ФІЗИКА. Вчимося розв'язувати задачі. "КОЛИВАННЯ ТА ХВИЛІ". Компенсаційний курс
Розділ І. Механічні коливання
2,1. Рівняння і характеристики гармонічних коливань
≈У задачах, де потрібно складати рівняння гармонічних коливань за заданими характеристиками і початковими умовами, іноді виникають проблеми з визначенням початкової фази. Необхідно пам'ятати, що для визначення початкової фази потрібно використовувати обидві початкові умови (x(0), v(0)), оскільки при використанні тільки однієї з них початкова фаза визначається неоднозначно.
Для визначення характеристик гармонічних коливань за заданим рівнянням необхідно виконати наступне.
|
1) |
Записати загальний вигляд рівняння коливань через ту функцію, що використана в умові задачі. |
|
|
|
|
2) |
Порівнюючи задане числове рівняння із поданим у теоретичних відомостях відповідним загальним рівнянням, визначити необхідні характеристики (амплітуда, період і ін.). При цьому треба взяти до уваги, що коли в заданому рівнянні не зазначені одиниці фізичних величин, то вони по замовчуванню подані в основних одиницях СІ. |
|
|
|
|
3) |
Якщо потрібно визначити якісь характеристики, що не входять у задане рівняння (наприклад, швидкість за заданим рівнянням координати), то спочатку треба із заданого рівняння одержати рівняння коливань необхідної величини, а потім діяти аналогічно п.2). |
Задача 1.1. Точка здійснює гармонічні коливання з періодом T = 1,57 c і амплітудою A = 12 см. Записати рівняння руху точки x(t), якщо в початковий момент часу вона має координату x0 = 6 см і віддаляється від положення рівноваги.
Задача 1.2. Точка здійснює гармонічні коливання та, що на відстанях x1 = 3 см і x2 = 5 см від положення рівноваги її швидкість становить v1 = 10 см/с і v2 = 6 см/с, відповідно. Визначити циклічну частоту \(\omega\) й амплітуду A коливань точки.
Задача 1.3. Визначити середню шляхову швидкість \(\langle{v}\rangle\) тіла, що здійснює гармонічні коливання, якщо його максимальна швидкість \(v_{m}\) = 10 м/с.
Задача 1.1
Точка здійснює гармонічні коливання з періодом T = 1,57 c і амплітудою A = 12 см.
Записати
рівняння руху точки x(t), якщо в початковий момент часу вона має координату x0 = 6 см і віддаляється від положення рівноваги.
|
Дано: T = 1,57 c
A = 12 см
\(x_{0}\) = 6 см
|
|
x(t) - ?
|
Розв’язання
Оскільки в початковий момент часу ні координата, ні швидкість точки не дорівнюють нулю, то немає значення, яку функцію вибрати для опису коливань. Отож будемо шукати рівняння x(t) у вигляді
|
|
\(x(t)=A\cos\left(\frac{2\pi}{T}t+\varphi_{0}\right)\). |
(1) |
Значення A і T задані, отже, задача зводиться до визначення початкової фази \(\varphi_{0}\). Підставивши в рівняння (1) значення t = 0, x0 і A, одержимо
\(6=12\cos\varphi_{0}\) \(\Rightarrow\) \(\cos\varphi_{0}=\frac{1}{2}\) \(\Rightarrow\) \(\varphi_{0}=\pm\frac{\pi}{3}\).
Для вибору знаку \(\varphi_{0}\) врахуємо, що за умовою у початковий момент напрям швидкості точки збігається з напрямом осі OX, тобто \(v_{0x}>0\). Проекція швидкості \(v_{0x}=x^{\prime}(t)\), тому відповідно до рівняння (1) отримаємо
\(v_{x}=x^{\prime}(t)=-A\frac{2\pi}{T}\cos\left(\frac{2\pi}{T}\cdot{t}+\varphi_{0}\right)\).
При t = 0
\(v_{0x}=-A\frac{2\pi}{T}\sin\varphi_{0}\).
Оскільки \(v_{0x}>0\), то
\(\sin\varphi_{0}<0\) \(\Rightarrow\) \(\varphi_{0}<0\).
Отже, початкова фаза \(\varphi_{0}=-\pi/3\).
Підставивши в рівняння (1) всі числові значення, отримаємо відповідь:
\(x(t)=12\cos\left(4t-\pi/3\right)\), см.
Зауваження. Зверніть увагу на те, що при складанні рівняння коливань у відповіді всі величини, окрім часу, повинні бути представлені в числовому вигляді.
Задача 1.2
Точка здійснює гармонічні коливання та, що на відстанях x1 = 3 см і x2 = 5 см від положення рівноваги її швидкість становить v1 = 10 см/с і v2 = 6 см/с, відповідно.
Визначити
циклічну частоту \(\omega\) й амплітуду A коливань точки.
|
Дано: \(x_{1}\) = 3 см
\(v_{1}\) = 10 см/с
\(x_{2}\) = 5 см
\(v_{2}\) = 6 см/с
|
|
A - ?
\(\omega\) - ?
|
Розв’язання
Припустимо, що рівняння руху точки має вигляд
|
|
\(x=A\sin(\omega{t}+\varphi_{0})\), |
(1) |
де \(\varphi_{0}\) – початкова фаза, t – час. Тоді її швидкість
|
|
\(v_{x}=x^{\prime}(t)=A\omega\cos(\omega{t}+\varphi_{0})\). |
(2) |
Виключимо з рівнянь (1) і (2) час t, скориставшись основною тригонометричною тотожністю \(\sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha=1\):
|
|
\(\left. \begin{align} \sin(\omega{t}+\varphi_{0})=\frac{x}{A} \\ \cos(\omega{t}+\varphi_{0})=\frac{x}{A\omega} \\ \end{align} \right\} \) \(\Rightarrow\) \(\frac{x^{2}}{A^{2}}+\frac{v^{2}}{A^{2}\omega^{2}}=1\). |
(3) |
(Такий прийом дуже часто є продуктивним у задачах на гармонічні коливання, коли немає необхідності у визначенні моменту часу, або він не заданий в умові задачі).
Відтак, записавши та прирівнявши ліві частини виразів (3) для обох пар заданих величин ((x1, v1); (x2, v2)), отримаємо шукану частоту:
\(\omega=\sqrt{\frac{v_{1}^{2}-v_{2}^{2}}{x_{2}^{2}-x_{1}^{2}}}\) = 2 c-1,
а потім із будь-якого — амплітуду
А =5,83 см.
Задача 1.3
Визначити
середню шляхову швидкість \(\langle{v}\rangle\) тіла, що здійснює гармонічні коливання, якщо його максимальна швидкість \(v_{m}\) = 10 м/с.
|
Дано: \(v_{m}\) = 10 м/с
|
|
\(\langle{v}\rangle\) - ?
|
Розв’язання
Середня шляхова швидкість - це відношення пройденого шляху до часу (див. [І], ф-ла (1.4)):
\(\langle{v}\rangle=\frac{S}{t}\).
Отже, якщо розглянути два крайні положення тіла C і D (рис. 3), то відстань між ними S = 2A (А – амплітуда коливань) воно проходить за час t = T/2 у пів періоду коливань і шукана середня шляхова швидкість дорівнює
|
|
\(\langle{v}\rangle=\frac{4A}{T}\). |
(1) |
У той же час максимальна швидкість тіла при гармонічних коливаннях за формулою (1.5б) складає:
\(v_{m}=A\omega=A\cdot\frac{2\pi}{T}\) \(\Rightarrow\) \(T=\frac{2\pi{A}}{v_{m}}\),
де \(\omega\) – колова (циклічна) частота. Підставивши отриманий вираз періоду коливань у формулу (1), знайдемо:
\(\langle{v}\rangle=\frac{4Av_{m}}{2\pi{A}}=\frac{2v_{m}}{\pi}\) ≈ 6,4 м/с.