ФІЗИКА. Вчимося розв'язувати задачі. "КОЛИВАННЯ ТА ХВИЛІ". Компенсаційний курс

Рівняння гармонічних коливань визначає залежність зміщення x точки з положення рівноваги від часу t і має вигляд:

де x_m, T, \(\varphi_{0}\) – постійні величини, \(\pi=\) 3,14… рад.

Рівняння (13.1) можна записати і так:

де \(\varphi_{0}^{\prime}=\varphi_{0}+\pi/2\).

Графік x(t) показаний на рис.13.1.

Амплітудою x_m коливань (її також часто позначають А) називається максимальне зміщення точки з положення рівноваги. Амплітуда визначає "розмах" коливань: усі можливі значення координати коливної точки належать інтервалу \(\left[-x_{m},\ x_{m}\right]\), (рис.13.1).

Період T – це проміжок часу, протягом якого відбувається одне повне коливання, (рис.13.1). Через час t = T стан коливаної системи повністю повторюється. Періодичність коливань характеризують також лінійною і циклічною (коловою) частотами.

Линійна частота \(\nu\) дорівнює кількості коливань, що відбуваються протягом часу 1 с:

Лінійна частота вимірюється у герцах (Гц). 1 Гц = 1 с^-1 – частота, при якій за 1 с відбувається одне коливання. На практиці широко застосовуються високі частоти, які виражають у кілогецах (1 кГц = 10³ Гц), мегагерца (1 МГц = 10⁶ Гц) та інші.

Циклічна (колова) частота \(\omega\) пов'язана з періодом і лінійною частотою співвідношеннями:

Циклічна частота вимірюється у "радіанах за секунду" (рад/с, але часто пишуть 1/с).

Використовуючи співвідношення (13.3), рівняння гармонічних коливань (13.1) можна записати через частоти:

або

Фазою \(\varphi\) називається значення аргументу тригонометричної функції в рівнянні коливань (13.1), (13.4), (13.4a):

\(\varphi=\frac{2\pi}{T}t+\varphi_{0}=\omega{t}+\varphi_{0}=2\pi\nu{t}+\varphi_{0}\).

У момент часу t = 0  \(\varphi=\varphi_{0}\), тому величина \(\varphi_{0}\) називається початковою фазою коливань. Початкова фаза \(\varphi_{0}\) визначається вибором моменту початку відліку часу і може мати будь-які значення в інтервалі від 0  до \(2\pi\) рад.

Фаза визначає стан тіла, що коливається, у даний момент часу, а також дозволяє порівнювати різні коливання однакової частоти. В останньому випадку розглядають різницю фаз \(\delta=\varphi_{01}-\varphi_{02}\). Якщо різниця фаз \(\delta=0\) (рис.13.2а), то говорять, що коливання відбуваються "у фазі", інакше – синфазно, а якщо \(\delta=\pi\) (рис.13.2б) – "у протилежних фазах" або "в протифазі". В інших випадках говорять, що коливання відбуваються з "зсувом фаз" \(\delta\) (на рис.13.2в зсув фаз \(\delta=\frac{\pi}{2}\)).

Рівняння швидкості точки при гармонічних коливаннях одержують, знаходячи першу похідну координати по часу, наприклад (13.4), і воно має вигляд

або

де v_m – амплітуда швидкості, що зв'язана з амплітудою відхилення точки співвідношенням

Порівняння рівнянь (13.4) і (13.5) свідчить, що коливання швидкості випереджають коливання координати точки на \(\pi/2\) або на ¼ періода (рис.13.3а).

Рівняння прискорення при гармонічних коливаннях одержуємо, знаходячи похідну за часом від рівняння (13.5):

або

З рівняння (13.6а) випливає, що коливання прискорення відбуваються з різницею фаз \(\pi\), тобто в протифазі відносно коливань координати (рис.13.3б).

Амплітуда прискорення a_m пов'язана з амплітудою швидкості v_m і з амплітудою відхилення x_m співвідношеннями:

Примітка. Тригонометрична функція в рівняннях швидкості і прискорення визначена неоднозначно і залежить від вигляду цієї функції в рівнянні зміщення. Наприклад при використанні рівняння (13.1a) у рівнянні (13.5) буде присутня функція \(\cos\), а в рівняннях(13.6) та (13.6а) – функція \(\sin\).

З рівнянь (13.6) та (13.4), видно, що

Це означає, що

Відповідно до другого закону Ньютона (F = ma) та рівняння (13.9), прикладена до кожної точки рівнодійна сила у будь-який момент часу визначається формулою

де

Ці формули виражають критерій гармонічності механічних коливань:

При цьому частота і період коливань визначаються загальними формулами

де m – маса матеріальної точки, що коливається, k – коефіцієнт пропорційності між рівнодійною силою і відхиленням точки від положення рівноваги.

Пружинний маятник являє собою тіло маси m, з'єднане з невагомою пружиною, що має жорсткість k, інший кінець якої закріплений (рис.13.4). За відсутності сил тертя і опору повітря, тобто за умов, коли цими силами можна знехтувати,  рух тіла визначається тільки силою пружності

\(F=-kx\),

де x – величина деформації, зумовленої відхиленням тіла від положення рівноваги. Якщо тіло висить на пружині (рис. 13.4б), величина x на включає статичної деформації пружини, створеної вагою вантажу.

Сила пружності задовольняє умові (13.10), тому за відсутності сил тертя і опору пружинний маятник (вантаж на пружині), виведений з положення рівноваги і наданий сам собі, здійснює гармонічні коливання з циклічною частотою

і періодом

де m – маса маятника, k – жорсткість пружини. Це в однаковій мірі стосується і горизонтальних (рис.13.4а), і вертикальних (рис.13.4б) коливань. Відмінність цих коливань тільки в тому, що в першому випадку в положенні рівноваги пружина недеформована, а в другому – вона розтягнута внаслідок притягання вантажу до Землі.

Математичним маятником називається матеріальна точка маси m, підвішена на невагомій нерозтяжній нитці довжиною l (рис.13.5).

За відсутності сил тертя в підвісі і опору середовища рух маятника відбувається тільки під дією сил тяжіння \(m\vec{g}\) і натягу нитки \(\vec{F}_{н}\) (рис.13.5).

Рівнодійна

\(\vec{F}=m\vec{g}+\vec{F}_{н}\)

у загальному випадку складно залежить від кута відхилення нитки \(\alpha\) і зміщення x маятника з положення рівноваги. Тому довільні коливання математичного маятника (рис.13.5а) не є гармонічними. Однак при невеликих амплітудах (\(\alpha\ll{1}\)) \(\mathrm{tg}\alpha=\sin\alpha=\alpha\). Тому можна вважати, що маятник рухається уздовж осі OX під дією рівнодійної сили

\(F_{x}=-mg\cdot\mathrm{tg}\alpha=-mg\alpha\).

З тієї ж причини можна прийняти \alpha=x/l\) (див. рис.13.5б). У результаті одержуємо

\(F_{x}=-kx\),

де x – зміщення маятника з положення рівноваги,

Отже, у відповідності до умови (13.10)

Зіставивши вираз (13.16) з формулами (13.12) та (13.13), знаходимо, що циклічна частота \(\omega\) і період  T  гармонічних коливань математичного маятника визначається формулами

і

У випадку пружинного маятника потенціальна енергія гармонічних коливань – це енергія пружини, зумовлена відхиленням вантажу від положення рівноваги:

Потенціальна енергія статичної деформації пружини під дією ваги вантажу і потенціальна енергія вантажу в полі сил тяжіння до енергії коливань не входять.

Відповідно до рівняння (13.1)

де k – жорсткість пружини, x_m – амплітуда коливань.

Рівняння (13.19) визначає потенціальну енергію також й інших механічних гармонічних коливань. У таких випадках k – це коефіцієнт пропорційності між рівнодійною і зміщенням (формула (13.10)). Зокрема, для математичного маятника значення k визначається виразом (13.16).

Кінетична енергія гармонічних коливань

у відповідності до рівняння (13.5) виражається як

де m – маса, v_m – амплітуда швидкості тіла.

За допомогою співвідношень (13.5б) і (13.11) максимальну потенціальну енергію у рівнянні (13.19) і максимальну кінетичну енергію у рівнянні (13.20) можна виразити через масу тіла m, частоту \(\omega\) і амплітуду зміщення x_m. В такому разі виходить, що

З урахуванням цього повна енергія гармонічних коливань у будь-який момент часу

\(W=W_{к}+W_{п}=W_{0}\left(\cos^{2}(\omega{t}+\varphi_{0})+\sin^{2}(\omega{t}+\varphi_{0})\right)=W_{0}\),

Тобто

\(W=W_{0}\).

Отже,

Цей результат має просте пояснення: гармонічні коливання можливі тільки тоді, коли відсутні сили тертя й опору, тобто не відбувається перетворення механічної енергії в інші форми.

Якщо в рівнянні (13.9) величину a_x представити у вигляді другої похідної (див. ч.1. Механіка, формула (1.7, 1.7a)) координати по часу, то одержимо диференціальне рівняння гармонічних коливань:

 (Диференціальним називається рівняння, до складу якого входить не тільки невідома функція, але й її похідні).

У математиці доводиться, що єдиними функціями, які є розв'язником рівняння (13.22) є функції sin або cos. При цьому зміст, тобто фізична природа величини x не має значення. Наприклад, для математичного маятника роль x відіграє кут відхилення нитки від вертикалі, а при розгляді електромагнітних коливань у коливальному контурі – це заряд конденсатора, або сила струму в котушці.

Рівняння (13.22) виражає загальну ознаку гармонічних коливань:

У задачах, де потрібно складати рівняння гармонічних коливань за заданими характеристиками і початковими умовами, іноді виникають проблеми з визначенням початкової фази. Необхідно пам'ятати, що для визначення початкової фази потрібно використовувати обидві початкові умови (x(0), v(0)), оскільки при використанні тільки однієї з них початкова фаза визначається неоднозначно.

Для визначення характеристик гармонічних коливань за заданим рівнянням необхідно виконати наступне.

Задача 13.1. Точка здійснює гармонічні коливання з періодом T = 1,57 c  і амплітудою A = 12 см. Визначити рівняння руху точки x(t), якщо в початковий момент часу її координата x­­0 = 6 см і вона віддаляється від положення рівноваги.

Задача 13.2. Точка здійснює гармонічні коливання. На відстані x1 = 3 см від положення рівноваги її швидкість v1 = 10 см/с, а на відстані x2 = 5 см – швидкість v2 = 6 см/с. Визначити циклічну частоту \(\omega\) й амплітуду A коливань.

Задача 13.3. Тіло здійснює гармонічні коливання між точками C і D. Його максимальна швидкість \(v_{m}\) = 10 м/с. Визначити середню швидкість \(\langle{v}\rangle\) на шляху від C до D.

Задача 13.1

Точка здійснює гармонічні коливання з періодом T = 1,57 c  і амплітудою A = 12 см.

Визначити
рівняння руху точки x(t), якщо в початковий момент часу її координата x­­₀ = 6 см і вона віддаляється від положення рівноваги.

Розв’язання

Оскільки в початковий момент часу ні координата, ні швидкість точки не дорівнюють нулю, то немає значення, яку функцію вибрати для опису коливань. Будемо вважати, що рівняння x(t) має вигляд

Значення A і T задані, отже, задача зводиться до визначення початкової фази \(\varphi_{0}\). Підставивши в рівняння (1) значення t = 0, x₀ і  A, одержимо

\(6=12\cos\varphi_{0}\)     \(\Rightarrow\)     \(\cos\varphi_{0}=\frac{1}{2}\)     \(\Rightarrow\)     \(\varphi_{0}=\pm\frac{\pi}{3}\).

Для вибору знаку \(\varphi_{0}\) врахуємо, що за умовою у початковий момент часу напрям швидкості точки співпадає з напрямом осі OX, тобто \(v_{0x}>0\). Проекція швидкості \(v_{0x}=x^{\prime}(t)\), тому з рівняння (1):

\(v_{x}=x^{\prime}(t)=-A\frac{2\pi}{T}\cos\left(\frac{2\pi}{T}\cdot{t}+\varphi_{0}\right)\).

При t = 0

\(v_{0x}=-A\frac{2\pi}{T}\sin\varphi_{0}\).

Оскільки \(v_{0x}>0\), то

\(\sin\varphi_{0}<0\)     \(\Rightarrow\)      \(\varphi_{0}<0\).

Отже, початкова фаза \(\varphi_{0}=-\pi/3\).

Підставивши в рівняння (1) всі числові значення, отримаємо відповідь:

\(x(t)=12\cos\left(4t-\pi/3\right)\), см.

Зауваження. Зверніть увагу на те, що при складанні рівняння коливань у відповіді всі величини, окрім часу, повинні бути представлені в числовому вигляді.

Задача 13.2

Точка здійснює гармонічні коливання. На відстані x₁ = 3 см від положення рівноваги її швидкість v₁ = 10 см/с, а на відстані x₂ = 5 см – швидкість v₂ = 6 см/с.

Визначити
циклічну частоту \(\omega\) й амплітуду A коливань.

Розв’язання

Припустимо, що рівняння руху точки має вигляд

де \(\varphi_{0}\) – початкова фаза, t – час. Тоді її швидкість

Виключимо з рівнянь (1) і (2) час t, скориставшися основною тригонометричною тотожністю \(\sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha=1\):

 (Такий прийом дуже часто використовують в задачах на гармонічні коливання, коли немає необхідності у визначенні моменту часу, або він не заданий в умові задачі).

Записавши вираз (3) для двох випадків (x₁, v₁, x₂, v₂), отримаємо систему рівнянь:

\( \left\{ \begin{align} {}x_{1}^{2}+\frac{v_{1}^{2}}{\omega^{2}}=A^{2}; \\ {}x_{2}^{2}+\frac{v_{2}^{2}}{\omega^{2}}=A^{2}. \\ \end{align} \right. \)

Розв’язування цієї системи дає:

\(\omega=\sqrt{\frac{v_{1}^{2}-v_{2}^{2}}{x_{2}^{2}-x_{1}^{2}}}=\sqrt{\frac{100-36}{25-9}}\) = 2 c^-1;

\(A=\sqrt{\frac{v_{1}^{2}x_{2}^{2}}{v_{1}^{2}-v_{2}^{2}}}=\sqrt{\frac{100\cdot{25}-36\cdot{9}}{100-36}}=\) 5,83 см.

Задача 13.3

Тіло здійснює гармонічні коливання між точками C і D. Його максимальна швидкість \(v_{m}\) = 10 м/с.

Визначити
середню швидкість \(\langle{v}\rangle\) на шляху від C до D.

Розв’язання

Середня шляхова швидкість - це відношення пройденого шляху до часу (див. розділ 1. Кінематика, формула (1.4)):

\(\langle{v}\rangle=\frac{S}{t}\).

Точки C і D максимально віддалені від положення рівноваги (точка O на рис.3), тобто знаходяться на відстані амплітуди від неї, тому шлях точки дорівнює подвоєній амплітуді коливань S = 2A. Якщо припустити, що рух починається в точці C, то за час одного періоду тіло доходить до точки D  і повертається в точку C, тому час руху від точки С до точки D дорівнює половині періоду коливань t = T/2, отже:

Максимальна швидкість тіла визначається формулою (13.5б):

\(v_{m}=A\omega=A\cdot\frac{2\pi}{T}\)     \(\Rightarrow\)      \(T=\frac{2\pi{A}}{v_{m}}\),

де \(\omega\) – кругова (циклічна) частота. Підставивши вираз періоду коливань у формулу (1), остаточно знаходимо:

\(\langle{v}\rangle=\frac{4Av_{m}}{2\pi{A}}=\frac{2v_{m}}{\pi}=\frac{2\cdot{10}}{\pi}\approx\) 6,4 м/с.

Для аналізу і визначення періоду (частоти) гармонічних коливань у складній коливальній механічній системі необхідно виконати наступне.

Задача 13.4. До стіни, нахиленої під кутом \(\alpha=3^{\circ}\) до вертикалі, прикріплена нитка математичного маятника завдовжки l = 0,5 м. Нитку відвели на кут \(\Theta_{0}=6^{\circ}\) від вертикалі  і відпустили. Вважаючи удар кульки маятника об стіну абсолютно пружним, визначити період коливань маятника T.

Задача 13.5. Маленька кулька масою m = 20 г, що несе заряд q = 1 мкКл, підвішена на тонкій шовковій нитці завдовжки l = 40 см і здійснює малі коливання у вертикальному електричному полі напруженістю E = 50 кВ/м. Визначити період коливань T, якщо вектор \(\vec{E}\) напрямлений: А) вгору (T₁); Б) вниз (T₂).

Задача 13.6. В середині закритого з обох торців горизонтального циліндра довжиною 2l = 0,8 м, розташований поршень масою m = 2 кг і площею S = 50 см². Тиск повітря в циліндрі P = 50 кПа. В результаті легкого поштовху поршень починає здійснювати малі коливання. Нехтуючи товщиною поршня і тертям, визначити період коливань T. Температуру повітря вважати постійною.

Задача 13.7. На вертикальній пружині жорсткістю k = 245 Н/м укріплена горизонтальна чашка масою M = 1,5 кг. З висоти h = 20 см на чашку падає шматок пластиліну масою m = 0,5 кг і прилипає до неї. Визначити період  T  і амплітуду x_m коливань чашки.

Задача 13.4

До стіни, нахиленої під кутом \(\alpha=3^{\circ}\) до вертикалі, прикріплена нитка математичного маятника завдовжки l = 0,5 м. Нитку відвели на кут \(\Theta_{0}=6^{\circ}\) від вертикалі (рис.4) і відпустили. Вважаючи удар кульки маятника об стіну абсолютно пружним,

визначити
період коливань маятника T.

Розв’язання

Період – це час, за який тіло здійснює одне повне коливання. В даній задачі період дорівнює часу, за який маятник з початкового положення дійде до стіни і повернеться назад. Оскільки удар об стіну пружний, швидкість маятника при ударі змінює тільки напрям, не змінюючи величини. Звідси очевидно, що час t₀ руху з крайнього положення до стіни і назад однаковий, отже період коливань

Зміщення маятника з положення рівноваги задається кутом \(\Theta\) відхилення нитки від вертикалі. Визначимо закон, за яким змінюється з часом цей кут. Оскільки \(\Theta\ll{1}\) рад, координата x  маятника при вільному русі від початкового положення і до удару об стіну виражається рівнянням (13.4):

де частота \(\omega\) визначається формулою (13.17).

Розділивши обидві частини рівняння (2) на довжину маятника l і врахувавши малість кутів \(\Theta\) і \(\Theta_{0}\), отримаємо:

\(\Theta=\Theta_{0}\cos(\omega{t})\).

У момент удару об стіну t = t₀ кут відхилення \(\Theta=-\alpha\), тому

\(-\alpha=\Theta_{0}\cos\omega{t}_{0}\)     \(\Rightarrow\)     \(t_{0}=\frac{1}{\omega}\mathrm{arccos}\left(\frac{\alpha}{\Theta_{0}}\right)=\sqrt{\frac{l}{g}}\left(\pi-\mathrm{arccos\frac{\alpha}{\Theta_{0}}}\right)\).

Підставимо цей вираз у формулу (1) і остаточно отримаємо:

\(T=2\sqrt{\frac{l}{g}}\left(\pi-\mathrm{arccos\frac{\alpha}{\Theta_{0}}}\right)=2\sqrt{\frac{0,5}{9,8}}\left(\pi-\mathrm{arccos}\frac{3}{6}\right)\approx\) 0,95 c,

де кути виражені в радіанах, \(\mathrm{arccos}\frac{3}{6}=\frac{\pi}{3}\).

Задача 13.5

Маленька кулька масою m = 20 г, що несе заряд q = 1 мкКл, підвішена на тонкій шовковій нитці завдовжки l = 40 см і здійснює малі коливання у вертикальному електричному полі напруженістю E = 50 кВ/м (рис.5).

Визначити
період коливань T, якщо вектор \(\vec{E}\) напрямлений:

А) вгору (T₁);

Б) вниз (T₂).

Розв’язання

Нехай кулька рухається від положення рівноваги (рис.5-1). На кульку діє сила тяжіння \(m\vec{g}\), сила натягу нитки \(\vec{F}_{н}\) і сила \(\vec{F}_{е}=q\vec{E}\) в електричному полі. Якщо вектор \(\vec{E}\) направлений вертикально вгору, то і сила \(\vec{F}_{е}\) також направлена вгору.

Проекції сил на напрям вектора швидкості дорівнює відповідно: \(-mg\sin\vartheta\), 0 і \(qE\sin\vartheta\). Проекція сили натягну нитки на напрям вектора \(\vec{v}\) дорівнює нулю, оскільки цей вектор перпендикулярний нитці (направлений по дотичній до траєкторії).Проекція рівнодійної цих сил

де введено позначення \(k=(mg-qE)/l\), і враховано, що \(\sin\vartheta=x/l\), оскільки відхилення від положення рівноваги x є малим у порівнянні з довжиною нитки l від положення рівноваги.

Вигляд виразу (1) співпадає з формулою (13.10). Це значить, що коливання гармонічні і згідно формулі (13.13), їх період

Якби ми припустили спочатку, що вектор \(\vec{E}\) направлений вертикально вниз, то проекція вектора \(\vec{F}_{е}\) на напрям вектора швидкості була б негативною, і період коливань був би

Об'єднавши вирази (2) і (3), можна записати:

Підставивши сюди числові значення величин, знаходимо

\(T_{1}=2\pi\sqrt{\frac{2\cdot{10^{-2}}\cdot{0,4}}{2\cdot{10^{-2}}\cdot{9,8}-10^{-6}\cdot{5}\cdot{10^{4}}}}\) = 1,47 c;

\(T_{1}=2\pi\sqrt{\frac{2\cdot{10^{-2}}\cdot{0,4}}{2\cdot{10^{-2}}\cdot{9,8}+10^{-6}\cdot{5}\cdot{10^{4}}}}\) = 1,13 c

Корисно провести аналіз загального виразу (4).

1)   Якщо електричне поле відсутнє (E = 0), то

\(T=2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}\),

що природно співпадає з формулою (13.18) періоду вільних коливань математичного маятника.

2) Якщо виявиться, що qE > mg, то формально під коренем виходить від’ємна величина, чого бути не може. Річ у тім, що за таких умов рівноважним є положення маятника, показане на рис.5-2, і маятник здійснюватиме коливання відносно цього положення з періодом

\(T=2\pi\sqrt{\frac{ml}{qE-mg}}\).

3) У випадку mg = qE повертаюча сила F = 0 і період коливань \(T\to\infty\), тобто кулька знаходиться в стані байдужої рівноваги.

Задача 13.6

В середині закритого з обох торців горизонтального циліндра довжиною 2l = 0,8 м, розташований поршень масою m = 2 кг і площею S = 50 см². Тиск повітря в циліндрі P = 50 кПа. В результаті легкого поштовху поршень починає здійснювати малі коливання. Нехтуючи товщиною поршня і тертям,

визначити

період коливань T. Температуру повітря вважати постійною.

Розв’язання

В положенні рівноваги поршня (рис.6а) тиск в обох половинах циліндра однаковий. При зсуві поршня на відстань x, наприклад управо (рис.6б), тиск у лівій частині зменшується, а у правій - зростає. У результаті виникають сили F₁ = P₁S і F₂ = P₂S (рис.6б), рівнодійна яких напрямлена до положення рівноваги (повертаюча сила). Знайдемо її вираз.

Оскільки за умовою температура повітря не змінюється, зміни тиску в частинах циліндра зв'язані законом Бойля-Маріотта (формула (7.10)). Якщо поршень змістився на x, то об'єм правої частини V₁ = S(l - x), і тоді

\(PS=P_{1}S(l-x)\)      \(\Rightarrow\)      \(P_{1}=\frac{Pl}{l-x}\).

Аналогічно, для лівої частини

\(PS=P_{2}S(l+x)\)      \(\Rightarrow\)      \(P_{2}=\frac{Pl}{l+x}\).

Нехай поршень зміщений управо (рис.6б). Проектуючи сили тиску на вісь OX, для рівнодійної отримаємо:

\(F_{x}=-F_{1}+F_{2}=(-P_{1}+P_{2})S=PlS\left(\frac{1}{l+x}-\frac{1}{l-x}\right)=-PlS\frac{2x}{l^{2}-x^{2}}\).

При малих коливаннях \(x\ll{l}\), в знаменнику можна знехтувати \(x^{2}\) у порівнянні з \(l^{2}\), тоді

де

Вираз (1) співпадає з (13.10), отже коливання поршня є гармонічними з періодом, який визначається формулою (13.13):

\(T=2\pi\sqrt{\frac{ml}{2PS}}=2\pi\sqrt{\frac{2\cdot{0,4}}{2\cdot{5}\cdot{10^{-4}}\cdot{5}\cdot{10^{-3}}}}\) = 0,25 c.

Задача 13.7

На вертикальній пружині жорсткістю k = 245 Н/м укріплена горизонтальна чашка масою M = 1,5 кг. З висоти h = 20 см на чашку падає шматок пластиліну масою m = 0,5 кг і прилипає до неї.

Визначити
період  T  і амплітуду x_m коливань чашки.

Розв’язання

Період коливання вантажу на пружині визначається формулою (13.15). Після того, як пластилін прилипнув до чашки, маса вантажу дорівнює m + M, отже період коливань

Якщо пластилін обережно покласти на чашку, то пружина стиснеться на величину  x₀ (рис.7), яка знаходиться з умови рівності сил тяжіння і пружності:

Очевидно, що це положення є положенням рівноваги системи "пластилін – чашка – пружина". Впавши з висоти h, (рис.7-1) пластилін має швидкість (формула (1.19)).

\(v=\sqrt{2gh}\).

Оскільки тривалість удару мала (частки секунди), то можна вважати, що виконується закон збереження імпульсу. Тому початкова швидкість чашки з пластиліном v₀ визначається з рівняння балансу імпульсів:

Нехай коливальний рух чашки після удару відбувається згідно із законом

Тоді швидкість чашки після удару змінюється з часом згідно із законом

Для знаходження амплітуди x_m виразимо з рівнянь (4) і (5) \(\cos(\omega{t}+\varphi_{0})\) і \(\sin(\omega{t}+\varphi_{0})\), піднесемо їх до квадрату і додамо:

(Тут ми скористалися формулою (13.3)).

Співвідношення (6) виконується у будь-який момент часу, у тому числі і у момент початку коливань. Тому, підставивши в (6) вирази T, x₀, v₀ з формул (1), (2) і (3), отримаємо:

\(x_{m}=\sqrt{\left(\frac{mg}{k}\right)^{2}+\left(\frac{m}{M+m}\right)^{2}\cdot\frac{2gh(M+m)}{k}}=\frac{mg}{k}\sqrt{1+\frac{2hk}{(M+m)g}}\).

Обчислення дають:

\(x_{m}=\frac{0,5\cdot{9,8}}{245}\cdot\sqrt{1+\frac{2\cdot{0,2}\cdot{245}}{2\cdot{9,8}}}\) = 0,049 м = 4,9 см.

При розв'язуванні задач на енергію гармонічних коливань часто буває необхідно скласти рівняння енергетичного балансу (13.21a) з використанням виразів (13.19), (13.20), (13.21).

У зв'язку з цим нагадаємо, що формули (13.20) і (13.19) можна застосоувати не лише до коливань вантажу на пружині, але й до будь-яких інших гармонічних коливань. При цьому k - коефіцієнт пропорційності між рівнодійною силою і зміщенням тіла з положення рівноваги.

Нагадаємо також, що вигляд тригонометричної функції в рівняннях (13.19) та (13.20) не відомий заздалегідь, а залежить від вибору вихідної функції, що описує коливання.

Задача 13.8. Математичний маятник з довжиною нитки l здійснює малі коливання. Показати, що потенціальна енергія малих коливань маятника визначається формулою (13.19): \(W_{п}=\frac{kx^{2}}{2}\), в якій коефіцієнт k задається виразом (13.16): \(k=\frac{mg}{l}\).

Задача 13.9. Тіло, прикріплене до пружини, здійснює гармонічні коливання, амплітуда коливань A = 2 см. Повна енергія коливань W = 0,3 мДж. Визначити зміщення x з положення рівноваги, при якому на тіло діє повертаюча сила |F| = 22,5 мН.

Задача 13.10. Тіло, прикріплене до пружини жорсткістю k = 1200 Н/м, Здійснює в горизонтальній площині коливання за законом синуса з амплітудою A = 10 см. Нехтуючи тертям і опором повітря, визначити повну W, кінетичну W_к  і потенціальну W_п енергії коливань при фазі \(\varphi=50^{\circ}\).

Задача 13.11. Тіло, прикріплене до пружини, здійснює гармонічні коливання в горизонтальній площині. В момент, коли потенціальна енергія системи складає n = 80 % її повної енергії, зміщення тіла з положення рівноваги  x = 2 см, а його швидкість v = 3,1 см/с. Визначити період коливань T.

Задача 13.8

Математичний маятник з довжиною нитки l здійснює малі коливання.

Показати,
що потенціальна енергія малих коливань маятника визначається формулою (13.19): \(W_{п}=\frac{kx^{2}}{2}\), в якій коефіцієнт k задається виразом (13.16): \(k=\frac{mg}{l}\).

Розв’язання

Потенціальна енергія маятника обумовлена дією на нього сили тяжіння і виражається формулою

де m – маса маятника, h – висота підйому над положенням рівноваги (див. рис.8). З рис.8 видно, що

Оскільки маятник здійснює малі коливання (\(x\ll{l}\)), то \(\alpha\ll{1}\) рад. Тому \(\sin\frac{\alpha}{2}=\frac{\alpha}{2}\), і вираз (2) набуває вигляду:

\(h=2l\left(\frac{\alpha}{2}\right)^{2}=\frac{l\alpha^{2}}{2}\).

Підставивши його у формулу (1) і зробивши заміну \(\alpha=x/l\), отримаємо

\(W_{п}=\frac{mgx^{2}}{2l}=\frac{kx^{2}}{2}\),

де \(k=\frac{mg}{l}\), що і треба було довести.

Ця задача ілюструє універсальність формули (13.19): вона може бути застосовна до будь-яких гармонічних коливань, а не тільки до коливань під дією сили пружності.

 Задача 13.9

Тіло, прикріплене до пружини, здійснює гармонічні коливання, амплітуда коливань A = 2 см. Повна енергія коливань W = 0,3 мДж.

Визначити
зміщення x з положення рівноваги, при якому на тіло діє повертаюча сила |F| = 22,5 мН.

Розв’язання

Повна енергія тіла, що здійснює гармонічні коливання, визначається формулою (13.21):

Повертаюча сила в залежності від зміщеня виражається формулою (13.10), причому її модуль

Виключивши з виразів (1) і (2) величину k, знаходимо:

\(x=\frac{|F|A^{2}}{2W}=\frac{2,25\cdot{10^{-2}}\cdot{4}\cdot{10^{-4}}}{2\cdot{3}\cdot{10^{-4}}}=1,5\cdot{10^{-2}}\) м = 1,5 см.

Задача 13.10

Тіло, прикріплене до пружини жорсткістю k = 1200 Н/м, Здійснює в горизонтальній площині коливання за законом синуса з амплітудою A = 10 см. Нехтуючи тертям і опором повітря,

визначити
повну W, кінетичну W_к  і потенціальну W_п енергії коливань при фазі \(\varphi=50^{\circ}\).

Розв’язання

Повна енергія коливань тіла на пружині визначається виразом (13.21):

\(W=\frac{kA^{2}}{2}=\frac{1200\cdot{10^{-2}}}{2}=6\) Дж.

Згідно з умовою, коливання відбуваються за законом

\(x=A\sin(\omega{t}+\varphi_{0})=A\sin\varphi\),

де \(\varphi=\omega+\varphi_{0}\) – фаза коливань. Потенціальна енергія коливань відповідно до формули (13.19)

\(W_{п}=\frac{kx^{2}}{2}=\frac{kA^{2}\sin^{2}\varphi}{2}\)=\(\frac{1200\cdot{10^{-2}}\sin^{2}50^{\circ}}{2}\) = 3,52 Дж.

Оскільки повна енергія рівна сумі кінетичної і потенціальної W = W_к + W_п, то кінетична енергія коливань

W_к = W – W_п = 6 – 3,52 = 2,48 Дж.

Звичайно, кінетичну енергію можна було б шукати як \(W_{к}=\frac{mv^{2}}{2}\), але для цього треба було б визначати швидкість як похідну від координати x по часу, і врахувати, що амплітуда швидкості \(v_{m}=A\omega\), і далі скористатися тим, що \(k=m\omega^{2}\). Все це вимагає додаткових перетворень, а використання закону збереження енергії дозволило одержати значення кінетичної енергії за одну дію.

Задача 13.11

Тіло, прикріплене до пружини, здійснює гармонічні коливання в горизонтальній площині. В момент, коли потенціальна енергія системи складає n = 80 % її повної енергії, зміщення тіла з положення рівноваги  x = 2 см, а його швидкість v = 3,1 см/с.

Визначити
період коливань T.

Розв’язання

Період коливань тіла на пружині визначається формулою:

Відношення m/k знайдемо з умови збереження повної енергії коливань:

де \(W_{к}=mv^{2}/2\) – кінетична енергія, \(W_{п}=kx^{2}/2\) – потенціальна енергія. З формули (2) одержуємо:

\(\frac{m}{k}=\frac{x^{2}}{v^{2}}\left(\frac{W}{W_{п}}-1\right)\).

Підставивши цей вираз у формулу (1), маємо

\(T=2\pi\frac{x}{v}\sqrt{\frac{W}{W_{п}}-1}=2\pi\cdot\frac{2}{3,1}\sqrt{\frac{1}{0,8}-1}\approx\) 2 c.

Підкреслимо, що методи розв’язування задач, які ґрунтуються на законі збереження енергії, часто дозволяють визначити період (частоту) коливань простіше, ніж інші методи.

Коливальним контуром називається електричне коло, що складається з резистора (резистором у контурі часто є дроти), конденсатора і котушки індуктивності. При певних співвідношеннях між параметрами кола R, L, C, в ньому можливі вільні електричні коливання.

У теорії електричних коливань базовою моделлю є ідеальний коливальний контур. Такий контур (рис.14.1) складається тільки з ідеальних конденсатора і котушки індуктивності і не має опору (R = 0). (Ідеальний конденсатор заповнений ідеальним діелектриком, і його електричне поле зосереджене тільки між обкладками. Ідеальна котушка не має опору (R = 0) , і її магнітне поле зосереджене тільки усередині котушки).

Вільні електричні коливання у контурі виникають так. Якщо зарядити конденсатор і замкнути ключ K, то конденсатор почне розряджатися через котушку, і в ній виникне струм, що змінюється за величиною. Цей струм створює ЕРС самоіндукції (див. формулу (12.14)), яка за правилом Ленца перешкоджає зміні струму. Як наслідок, після замикання ключа К сила струму розрядки конденсатора спочатку поступово збільшується, а потім поступово зменшується. При цьому за рахунок ЕРС самоіндукції на момент повної розрядки конденсатора (q, U = 0) струм не припиняється, а продовжує текти в тому ж напрямку, що призводить до перезаряджання конденсатора. Далі всі процеси повторюються у зворотному напрямку, тобто виникають коливання.

Диференціальне рівняння ідеального контуру виходить з тієї очевидної  умови, що, оскільки котушка приєднана безпосередньо до конденсатора (рис.14.1), то  в будь–який момент часу напруга на конденсаторі u дорівнює ЕРС самоіндукції \(\mathcal{E}_{с}\):

Величини u і \(\mathcal{E}_{с}\) визначаються формулами (10.23) і (12.14), отже

де q – заряд конденсатора, \(i^{\prime}\) – похідна сили струму по часу.

Струм у контурі створюється переміщенням заряду з однієї обкладки конденсатора на іншу. Тому заряд, що проходить протягом часу dt через переріз провідників контуру, дорівнює зміні заряду конденсатора dq протягом цього ж часу. Отже, сила струму

де \(a^{\prime}\) – похідна заряду конденсатора по часу, тобто

Після підстановки цього виразу до рівняння (14.1) маємо диференціальне рівняння ідеального контуру

Рівняння (14.4) ідентичне рівнянню (13.22). З цього випливають два висновки.

де \(\omega\) – циклічна частота коливань.

Частоти і період вільних коливань в ідеальному контурі виражаються наступними формулами.

Циклична частота

Період коливань (див. формулу (13.3))

Останній вираз називається формулою Томсона.

Лінійна частота (див. формулу (13.2))

Рівняння коливань заряду конденсатора в ідеальному контурі можна одержати з рівняння механічних коливань (13.4) або (13.1), (13.1a), (13.4a), замінивши зміщення x на заряд q:

де q_m – амплітуда заряду, \(\omega\) – циклічна частота (формула (14.5)) і \(\varphi_{0}\) – початкова фаза коливань.

Напруга на конденсаторі \(u=q/C\) (формула (10.23)), тому рівняння коливань напруги на конденсаторі ідеального контуру має вигляд:

де U_m – амплітуда напруги, що визначається як

Оскільки сила струму в контурі \(i=q^{\prime}(t)\), то сила струму в ідеальному контурі:

де амплітуда сили струму

З рівнянь (14.9) і (14.11а) видно, що в ідеальному контурі коливання сили струму випереджають по фазі коливання напруги на конденсаторі на \(\pi/2\) або на ¼  періоду (рис.14.2).

(Коливання заряду на конденсаторі завжди мають таку ж фазу, як і коливання напруги (див. рівняння (14.8) та (14.9)). Тому графік  q(t) на рисунку не показаний).

Енергія коливань в ідеальному контурі складається з енергії електричного поля конденсатора W_E та енергії магнітного поля котушки індуктивності W_B:

Відповідно до формул (10.32), (12.15) і рівнянь (14.9), (14.11а)

З виразів (14.12) та (14.5) виходить:

\(LI_{m}^{2}=L\omega^{2}q_{m}^{2}\)    \(\Rightarrow\)     \(LI_{m}^{2}=\frac{q_{m}^{2}}{C}\).

Тому з виразів (14.13), (14.14) і (14.15) очевидно, що

Таким чином,

На рис.14.3 зображені графіки залежності від часу електричної W_E, магнітної W_B і повної енергії коливань W в ідеальному контурі.

Ці графіки наочно показують, що при вільних коливаннях в ідеальному контурі відбуваються неперервні взаємні перетворення електричного та магнітного полів без втрати енергії. Крім того, з рівнянь (14.14) і (14.15) випливає, що коливання енергії кожного з полів відбуваються з подвоєною частотою \(\omega^{\prime}\) відносно коливань напруги і струму:

Порівняння формул (14.16) і (13.21) показує їх математичну ідентичність. При цьому для контуру величини 1/C  і L  виконують ту ж саму роль, що й жорсткість пружини k та маса вантажу m у випадку пружинного маятника.

 Синусоїдальним називається змінний струм, при якому сила струму і напруги на ділянках кола здійснюють гармонічні коливання.

Синусоїдальний струм створюється генератором змінної напруги (ЕРС), яке залежить від часу за законом:

де U_m – амплітуда напруги генератора, \(\omega\) – циклічна частота. На практиці використовують лінійну частоту \(\nu\). Наприклад, на пристроях, що використовують промисловий змінний струм, вказують: \(\nu\) = 50 Гц.  (Зауважимо, що зміна напруги з часом може описуватися і законом косинуса).

Генератор змінного струму на електричних схемах зображують так:

Активним опором у колі (мається на увазі, що коло нерухоме, тобто відсутнє перетворення електричної енергії у механічну)  змінного струму (рис.14.4) називають опір резисторів. Він має таку ж природу, що й при постійному струмі, тобто обумовлений гальмуванням носіїв струму іншими частинками провідника. Всі формули, співвідношення і закони постійного струму залишаються чинними і для змінного струму в резисторах. Зокрема, для них виконується закон Ома

де i, u – миттєві значення сили струму і напруги на резисторі, R – активний опір.

Якщо резистор підключити до генератора змінної напруги u (формула (14.17)), то сила струму у резисторі

тобто коливання сили струму в резисторі відбуваються в однаковій фазі з коливаннями напруги і мають амплітуду

Реактивним ємнісним опором називається опір, що створюється ідеальним конденсатором при протіканні змінного струму.

Напруга на конденсаторі, підключеному до генератора (рис.14.5), дорівнює напрузі генератора (формула (14.17)): u_C = u. Отже, заряд конденсатора неперервно змінюється за законом

При цьому через з'єднувальні провідники і генератор тече струм, який визначається формулою (14.2):

\(i=q^{\prime}(t)\).

У теорії змінного струму цю величину називають струмом конденсатора. (Струм конденсатора – абстрактне поняття, оскільки ніякого руху носіїв між обкладками немає. Струм в конденсаторі визначається не швидкістю носіїв, як звичайний струм, а швидкістю зміни в ньому електричного поля). Відповідно до рівняння (14.21) струм конденсатора

або

де I_m – амплітуда струму, яку можна записати як

\(I_{m}=\frac{U_{m}}{(1/\omega{C})}\).

Цей вираз і за виглядом, і за змістом аналогічний формулі (14.20). Отже, величина

описує опір конденсатора змінному струмові. Вона називається реактивним ємнісним опором.

Таким чином, для змінного струму в конденсаторі з'вязок між амплітудами сили струму I_m і напруги  U_m­  аналогічний зв'язку між силою струму і напругою в колі постійного струму:

Але, як видно з рівнянь (14.22) і (14.17), \(i(t)\ne{u}(t)/X_{C}\), тобто

Реактивним індуктивним опором називається опір змінному струмові, створюваний ідеальною котушкою індуктивності.

Якщо до генератора підключити котушку з індуктивністю L  і активним опором R (рис.14.6а), то відповідно до формули (11.15)

\(iR=u+\mathcal{E}_{с}\),

де i – сила струму, u – напруга (ЕРС) генератора, \(\mathcal{E}_{с}\) – ЕРС самоіндукції в котушці. Для ідеальної котушки R = 0 (рис.14.6б), отже

Оскільки котушка підключена до генератора прямо, то напруга на ній дорівнює напрузі генератора: u_L = u. Тому, підставивши вирази u (14.17), та \(\mathcal{E}_{с}\) (12.14) у співвідношення (14.25), одержуємо

З цього рівняння випливає, що

де амплітуда сили струму I_m визначається виразом

\(I_{m}=\frac{U_{m}}{\omega{L}}\).

(Розв'язання рівняння (14.26) можна визначити або прямим інтегруванням, або підстановкою загального рівняння коливань струму \(i=I_{m}\sin(\omega{t}+\varphi_{0})\).

Порівняння цього виразу з формулами (14.20) і (14.23) показує, що котушка індуктивності створює для змінного струму опір

який називається реактивним індуктивним опором.

Індуктивний опір X_L визначає зв'язок між амплітудами сили струму I_m і напруги U_m на котушці індуктивності в колі змінного струму:

Але для миттєвих значень (див. рівняння (14.27) та (14.17)) такого зв'язку немає: \(i\ne{u}/X_{L}\). Отже,

Прямо пропорційний зв'язок між амплітудою сили струму і амплітудою напруги зберігається в будь-якому колі змінного струму. У цьому полягає закон Ома для змінного струму:

При цьому повний опір Z (його ще називають ще "імпедансом") визначається параметрами елементів кола (R, L, C) і способом їх з'єднання. Для найпростішого послідовного кола (рис.14.7)

або

Закон Ома для змінного струму стосується амплітуд. Для миттєвих значень сили струму він не виконується, тобто сила струму в даний момент часу не дорівнює відношенню напруги в цей же момент часу до повного опору. (Це не суперечить співвідношенню (14.30), тому що сила струму і напруга здійснюють коливання зі зсувом фаз і досягають своїх максимальних значень I_m і U_m не одночасно).

Згідно з формулами (14.23), (14.28) та (14.30), повний опір кола Z залежить від частоти. Відповідно, від частоти залежить і амплітуда сили струму I_m. Вигляд цих залежностей для послідовного кола показаний на рис.14.8. На рисунку виразно простежується явище резонансу в електричному колі, яке полягає у різкому збільшенні амплітуди коливань при при наближенні частоти струму до резонансної частоти \(\omega_{р}\). Резонансна частота відповідає мінімуму повного опору і знаходиться з умови

При \(\omega=\omega_{р}\) повний опір Z_р і резонансна амплітуда сили струму I_р відповідно до формул (14.31a) та (14.30), дорівнюють

\(Z_{р}=R\),

\(I_{р}=\frac{U_{m}}{R}\).

Видно, що при резонансі відбувається компенсація ємнісного й індуктивного опорів. Це пояснюється тим, що коливання напруги на конденсаторі і на котушці протилежні по фазі і, отже, віднімаються. Тому при резонансі сумарний спад напруги на них дорівнює нулю.

Потужність змінного струму, що виділяється в колі у кожний момент часу, дорівнює добутку миттєвих значень сили струму і напруги. Ця миттєва потужність змінюється з великою частотою і її достатньо складно безпосередньо виміряти.

Тому потужністю змінного струму називають середнє значення добутку сили струму і напруги.

Повна потужність у колі змінного струму виражається формулою

де I_m, U_m – амплітуди сили струму і напруги генератора, \(\varphi\) – різниця фаз між коливаннями струму і напруги генератора.

Величина \(\cos\varphi\) називається коефіцієнтом потужності і виражається через активний і повний опір кола формулою

Якщо підставити цей вираз у формулу (14.33) і врахувати закон Ома (формула (14.30), то виходить

де U_Rm = I_mR – напруги на активному опорі кола.

Така ж потужність виділялася б у колі постійного струму з опором R при силі струму і напрузі

Величини I  та U, що визначаються формулами (14.36), називаються діючими, або ж ефективними значеннями сили струму і напруги.

Діючі значення є загальноприйнятими практичними характеристиками змінного струму. Зокрема, електровимірювальні прилади показують діючі значення, робочі величини струмів і напруг на різних побутових приладах теж вказують у діючих значеннях.

Із застосуванням діючих значень струму й напруги формули потужності (14.33) і (14.35) записуються у вигляді

та

Остання формула показує, що споживана від генератора потужність змінного струму, виділяється тільки на активному опорі, а реактивні елементи – конденсатор і котушка індуктивності – енергії не споживають. Це пов'язано з тим, що при зарядці конденсатор поглинає відповідну енергію, а при розрядці – повністю повертає її в коло. Те ж саме відбувається і у котушці індуктивності при збільшенні і зменшенні сили струму.

Трансформатор – це пристрій для перетворення ("трансформації") величини напруги та сили змінного струму.

Робота трансформатора грунтується на явищі електромагнітної індукції.

Трансформатор складається з двох (або більше) обмоток, надітих на спільне залізне осердя. Та обмотка, яка підключається до джерела живлення, называється первинною, а та, до якої підключають навантаження, – вторинною. Якщо напруга на вторинній обмотці u₂ більша, ніж на первинній u₁, трансформатор називають підвищувальним, інакше (u₂ < u₁) – знижувальним.

Роботу трансформатора якісно можна пояснити так. При протіканні в первинній обмотці змінного струму в залізному осерді виникає змінний магнітный потік, який пронизує обидві обмотки і створює в кожному витку однакову ЕРС індукції e_i. Активний опір первинної обмотки малий порівняно з індуктивним. Тому спадом напруги на активному опорі можно нехтувати і вважати, що напруга на первинній обмотці

\(u_{1}=\mathcal{E}_{1}=Ne_{i}\),

де N₁ – кількість витків у первинній обмотці.

При розімкненій вторинній обмотці (режим "холостого ходу") напруга на ній

\(u_{2}=\mathcal{E}_{2}=N_{2}e_{i}\),

де N₂ – кількість витків у вторинній обмотці.

Отже, відношення напруг

Величину k називають коефіцієнтом трансформації. Для знижувального трансформатора k > 1, для підвищувального k < 1. Однак на практиці коефіцієнт трансформації підвищувального трансформатора виражають числом \(k^{\prime}=\frac{1}{k}\), яке більше за одиницю. Наприклад, говорять: "підвищувальний трансформатор з коефіцієнтом трансформації 10".

В трансформаторі певна частка енергії електричного струму втрачається внаслідок виділення тепла на активних опорах обмоток та при перемагнічуванні осердя. Але ці втрати невеликі, і ККД трансформації близький до 1. Тому з достатньою точністю можна вважати, що потужності струму у обмотках однакові:

Отже, у скільки разів трансформатор змінює напругу, у стільки ж разів (тільки в зворотному напрямку) він змінює й силу струму.

Задача 14.1. Конденсатор ємністю C = 1000 пФ зарядили від джерела ЕРС \(\mathcal{E}\) = 10 В (рис.1) і у момент часу t = 0 замкнули на котушку індуктивності L = 10 мкГн. Нехтуючи опором провідників, визначити: А) частоту коливань \(\nu\) в контурі; Б) залежність від часу:  – заряду конденсатора q(t);  – струму в контурі i(t);  – напруги u_L(t) на котушці.

Задача 14.2. До конденсатора C  ідеального контуру приєднали ще один такий же конденсатор. Визначити, у скільки разів (\(\eta\)) змінилася частота вільних коливань у контурі.

Задача 14.3. Коливальний контур з повітряним конденсатором має певну власну частоту (власною називається частота вільних коливань в ідеальному контурі). Контур помістили під вакуумний ковпак і відкачали повітря. В результаті власна частота контура змінилася на \(\Delta\nu=13\) Гц. Нехтуючи опором контура R, визначити діелектричну проникність \(\varepsilon\) повітря в умовах досліду.

 Задача 14.4. В ідеальному коливальному контурі ємність конденсатора C = 1 мкФ, індуктивність котушки L = 100 мкГн. При вільних коливаннях в контурі максимальний заряд конденсатора q_m = 1 мкКл. Визначити силу струму i  в контурі в момент, коли заряд конденсатора в k = 3 рази менший за максимальний.

Задача 14.5. У коливальному контурі ємність конденсатора C = 20 мкФ, індуктивність котушки L = 2 мГн. В деякий момент часу напруга на конденсаторі u = 10 В, а сила струму в котушці i₁ = 2 A. Визначити заряд конденсатора q в момент, коли сила струму в котушці i₂ = 1 A.

Задача 14.6. У коливальному контурі, що має котушку індуктивності L = 0,2 Гн, амплітуда сили струму I_m = 40 мА. Визначити енергію електричного W_E і магнітного W_B полів на момент, коли сила струму в n = 2 рази менша свого амплітудного значення.

Задача 14.7. У початковий момент часу напруга на конденсаторі контура має максимальне значення U₀ = 400 В. Ємність конденсатора C = 10 мкФ. Унаслідок наявності опору провідників, амплітуда вільних коливань в контурі поступово зменшується. Визначити кількість теплоти Q, що виділяється в контурі за час, протягом якого амплітуда напруги на конденсаторі зменшиться в n = 2 рази.

Задача 14.1

Конденсатор ємністю C = 1000 пФ зарядили від джерела ЕРС \(\mathcal{E}\) = 10 В (рис.1) і у момент часу t = 0 замкнули на котушку індуктивності L = 10 мкГн. Нехтуючи опором провідників,

визначити:
А) частоту коливань \(\nu\) в контурі;

Б) залежність від часу:

 – заряду конденсатора q(t);

 – струму в контурі i(t);

 – напруги u_L(t) на котушці.

Розв’язання

При замиканні зарядженого конденсатора C на котушку L (ключ K на рис.1 в положенні 2) утворюється коливальний контур, в якому виникають вільні коливання. Оскільки по умові R = 0, то контур ідеальний, і коливання в ньому є гармонічними.

Частота коливань визначається формулою (14.7):

При цьому циклічна частота \(\omega=2\pi\nu=10^{-7}\) c^-1. З умови задачі в початковий момент часу t = 0 напруга на конденсаторі, а значить і заряд, мають максимальні значення. Тому в рівнянні (14.8) початкову фазу слід узяти \(\varphi=0\). З урахуванням співвідношення (13.3), рівняння коливань заряду на конденсаторі має вигляд:

При підключенні до джерела на конденсаторі встановилася максимальна напруга U_m, що дорівнює ЕРС джерела \(U_{m}=\mathcal{E}\). Відповідно до формули (10.23), максимальний заряд

З урахуванням величини q_m і \(\nu\) (формула (1)), рівняння (2) в числовому вигляді записується як

Коливання сили струму в контурі визначаються загальним рівнянням (14.11). В даній задачі \(\varphi=0\), тому з урахуванням співвідношень (13.3):

Підставивши значення \(\nu\) (формула (1)) і q_m (формула (3)), отримаємо рівняння з числовими коефіцієнтами:

\(i(t)=-0,1\cdot\sin(10^{7}t)\), A.

Напруга на ідеальній котушці індуктивності (R = 0) виникає тільки завдяки явищу самоіндукції. Згідно співвідношенням (12.14), (14.25) і рівнянню (5), для будь-якого моменту часу

\(u_{L}(t)=-L(2\pi\nu)^{2}q_{m}\cos(2\pi\nu{t})\).

З урахуванням формули (14.7) і виразу (3) одержуємо:

\(u_{L}(t)=-\mathcal{E}\cos(2\pi\nu{t})=\mathcal{E}\cos(2\pi\nu{t}+\pi)\).

Це означає, що коливання напруги на котушці відбуваються в протифазі з коливаннями напруги на конденсаторі. В числовому вигляді рівняння (6) записується як

\(u_{L}=10\cdot\cos(10^{-7}t+\pi)\).

Графіки залежності від часу q(t), i(t) і u_L(t) показані на рис.1–1.

Задача 14.2

До конденсатора C  ідеального контуру приєднали ще один такий же конденсатор.

Визначити,
у скільки разів (\(\eta\)) змінилася частота вільних коливань у контурі.

Розв’язання

Відповідно до формули (14.5a), шукане відношення частот

де \(C,\ C^{\prime}\) – початкова і кінцева ємності контура.

Оскільки в умові не вказаний спосіб приєднання додаткового конденсатора, треба розглянути два випадки:

1) послідовне з'єднання (рис.2а),

2) паралельне з'єднання (рис.2б).

В першому випадку відповідно до формули (10.26), \(C^{\prime}=C/2\), а в другому, відповідно до формули (10.29), \(C^{\prime}=2C\).

Підставивши ці значення в співвідношення (1), отримаємо відповідь:

\(\eta_{1}=\sqrt{\frac{C}{(C/2)}}=\sqrt{2}\approx\) 1,41;

\(\eta_{2}=\sqrt{\frac{C}{(2C)}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\approx\) 0,707.

Таким чином, при послідовному з'єднанні частота контура зростає в \(\sqrt{2}\approx\) 1,4 рази, а при паралельному – в стільки ж разів зменшується.

Задача 14.3

Коливальний контур з повітряним конденсатором має певну власну частоту (власною називається частота вільних коливань в ідеальному контурі). Контур помістили під вакуумний ковпак і відкачали повітря. В результаті власна частота контура змінилася на \(\Delta\nu=13\) Гц. Нехтуючи опором контура R,

визначити

діелектричну проникність \(\varepsilon\) повітря в умовах досліду.

Розв’язання

При відкачуванні з конденсатора віддаляється діелектрик (повітря) і зменшується його ємність (формула (10.24)). В результаті (формула (14.7)) збільшується власна частота контура. Отже, після відкачування власна частота контура:

де \(\nu_{0}\) - частота після відкачування. З формули (14.7):

де L – індуктивність контура, C₀ і C – ємність конденсатора після і до відкачування повітря.

Розділивши почленно вирази (2) і врахувавши співвідношення (1), отримаємо:

\(1+\frac{\Delta\nu}{\nu}=\frac{C}{C_{0}}\).

Звідси, використовуючи формулу (10.24), отримаємо відповідь:

\(\varepsilon=\left(1+\frac{\Delta\nu}{\nu}\right)^{2}\) = 1,00063.

Примітка. Існують прилади, які дозволяють виміряти власні частоти контурів з великою точністю. Тому описаний в задачі експеримент є одним з лабораторних способів вимірювання діелектричних проникність газів, які дуже мало відрізняються від одиниці.

Задача 14.4

В ідеальному коливальному контурі ємність конденсатора C = 1 мкФ, індуктивність котушки L = 100 мкГн. При вільних коливаннях в контурі максимальний заряд конденсатора q_m = 1 мкКл.

Визначити

силу струму i в контурі в момент, коли заряд конденсатора в k = 3 рази менший за максимальний.

Розв’язання

Задачу можна розв’язати двома способами.

I спосіб. Нехай заряд конденсатора змінюється з часом за законом

де q_m – амплітуда заряду, \(\omega\) – частота коливань, \(\varphi_{0}\) – початкова фаза. Згідно з рівнянням (14.11), сила струму в контурі

Щоб не визначати фазу для обумовленого в умові моменту часу, виразимо з формул (1) і (2) тригонометричні функції:

\(\cos(\omega{t}+\varphi_{0})=\frac{q}{q_{m}}\);    \(\sin(\omega{t}+\varphi_{0})=-\frac{i}{q_{m}\omega}\).

Якщо піднести ці вирази в квадрат і додати, отримаємо

\(\left(\frac{q}{q_{m}}\right)^{2}+\left(\frac{1}{q_{m}\omega}\right)^{2}=1\)    \(\Rightarrow\)    \(i=\omega\sqrt{1-\left(\frac{q}{q_{m}}\right)^{2}}\).

Враховуючи, що \(\frac{q}{q_{m}}=\frac{1}{k}\),  \(\omega=\frac{1}{\sqrt{LC}}\), з виразу (3) після перетворення знаходимо:

\(i=\frac{q_{m}}{k}\sqrt{\frac{k^{2}-1}{LC}}=\frac{10^{-6}}{3}\sqrt{\frac{9-1}{10^{-4}\cdot{10^{-6}}}}=0,094\) А = 94 мА.

II спосіб. Відповідь задачі можна отримати за допомогою закону збереження енергії.

В ідеальному контурі повна енергія W, яка дорівнює сумі енергій електричного W_E, і магнітного W_B полів, не зміниться:

W_E + W_B = const.

Повна енергія, згідно виразу (14.16), дорівнює максимальному значенню енергії електричного W_E або магнітного W_B полів:

\(W=\frac{q_{m}^{2}}{2C}=\frac{Li_{m}^{2}}{2}\).

Енергії W_E, і W_B  визначаються за формулами (14.14) і (14.15), тому

\(\frac{q^{2}}{2C}+\frac{Li^{2}}{2}=\frac{q_{m}^{2}}{2C}\)    \(\Rightarrow\)    \(i=\sqrt{\frac{q_{m}^{2}-q^{2}}{LC}}=\frac{q_{m}}{k}\sqrt{\frac{k^{2}-1}{LC}}\),

що, природно, співпадає з отриманим вище результатом. Зазначимо, що використовування закону збереження енергії істотно спростило розв’язування.

Задача 14.5

У коливальному контурі ємність конденсатора C = 20 мкФ, індуктивність котушки L = 2 мГн. В деякий момент часу напруга на конденсаторі u = 10 В, а сила струму в котушці i₁ = 2 A.

Визначити

заряд конденсатора q в момент, коли сила струму в котушці i₂ = 1 A.

Розв’язання

Для розв’язання задачі використаємо законом збереження енергії.

В ідеальному коливальному контурі повна енергія залишається незмінною: W = const. Ця енергія складається з енергій електричного і магнітного полів, отже, для будь-яких двох моментів часу t₁ і t₂ можна записати

Енергія електричного поля конденсатора і магнітного поля котушки виражається формулами (10.32) і (12.15) відповідно:

\(W_{E}=\frac{q^{2}}{2C}=\frac{Cu^{2}}{2}\);    \(W_{B}=\frac{Li^{2}}{2}\).

Підставивши ці формули у вираз (1), знайдемо

\(\frac{Cu^{2}}{2}+\frac{Li_{1}^{2}}{2}=\frac{q^{2}}{2C}+\frac{Li_{2}^{2}}{2}\)     \(\Rightarrow\)     \(q=\sqrt{C^{2}u^{2}+LC(Li_{1}^{2}-Li_{2}^{2})}\).

Виконаємо обчислення

\(q=\sqrt{4\cdot{10^{-10}}\cdot{10^{2}}+2\cdot{10^{-5}}\cdot{2}\cdot{10^{-3}}\cdot{(4-1)}}=4\cdot{10^{-4}}\) Кл = 400 мкКл.

Примітка. Цю задачу, як і попередню, можна розв'язати, розглядаючи рівняння коливань в конденсаторі. Але це набагато більш громіздкий спосіб.

Задача 14.6

У коливальному контурі, що має котушку індуктивності L = 0,2 Гн, амплітуда сили струму I_m = 40 мА.

Визначити

енергію електричного W_E і магнітного W_B полів на момент, коли сила струму в n = 2 рази менша свого амплітудного значення.

Розв’язання

Енергія магнітного поля котушки для будь-якого моменту часу визначається формулою (12.15)

\(W_{B}=\frac{Li^{2}}{2}\).

Звідси одержуємо значення повної енергії контура W (формула (14.16)) і енергії магнітного поля W_B на момент часу, коли I = I_m/2:

\(W=\frac{LI_{m}^{2}}{2}=\frac{0,2\cdot(4\cdot{10^{-2}})^{2}}{2}=1,6\cdot{10^{-4}}\) Дж = 160 мкДж.

\(W_{B}=\frac{LI_{m}^{2}}{2\cdot{4}}=\frac{W}{4}=40\) мкДж.

Енергію електричного поля W_E визначимо із співвідношення (14.13):

W_E = W – W_B = 120 мкДж.

Задача 14.7

У початковий момент часу напруга на конденсаторі контура має максимальне значення U₀ = 400 В. Ємність конденсатора C = 10 мкФ. Унаслідок наявності опору провідників, амплітуда вільних коливань в контурі поступово зменшується.

Визначити

кількість теплоти Q, що виділяється в контурі за час, протягом якого амплітуда напруги на конденсаторі зменшиться в n = 2 рази.

Розв’язання

Кількість теплоти, яка виділяється при протіканні струму по провідниках контура, дорівнює зменшенню енергії коливань:

Q = W₁ – W₂.

Відповідно до формул (14.16) і (10.32), енергія конденсатора

\(W=\frac{CU^{2}}{2}=\frac{q^{2}}{2C}\).

отже, записавши вирази енергій для заданих моментів часу, маємо

\(Q= \frac{CU_{0}^{2}}{2}-\frac{C(U_{0}/n)^{2}}{2}=\frac{CU_{0}^{2}}{2}\cdot\frac{n^{2}-1}{n^{2}}\)

Виконаємо обчислення:

\(Q=\frac{10^{-5}\cdot{400^{2}}}{2}\cdot\frac{4-1}{4}=0,6\) Дж.

Задача 14.8. Неонова лампочка горить, коли напруга на її електродах перевищує строго певне значення – напругу запалення U_з (незалежно від полярності). Лампочку включають в мережу з діючим значенням напруги, рівним напрузі запалення, U = U_з. Визначити, яку частину часу \(\eta\) (в частках періоду) горить лампочка.

Задача 14.9. У мережу змінного струму з частотою \(\nu\) = 50 Гц послідовно включені резистор R = 100 Ом і два однакові конденсатори по C = 30 мкФ. Один з конденсаторів пробивається. (При електричному пробої в діелектрику, який заповнює конденсатор, утворюється провідний канал, який сполучає (закорочує) пластини конденсатора). Визначити відношення сил струмів в колі до (I1) та після (I2) пробою одного з конденсаторів. 

Задача 14.10. Якщо котушку з індуктивністю L = 0,03 Гн приєднати до батареї з нульовим внутрішнім опором і ЕРС \(\mathcal{E}\) = 9 В (рис.10а), то сила струму в котушці I₁ = 1 A. Визначити силу струму в котушці I₂, якщо її приєднати до джерела змінного струму з частотою \(\nu=50\) Гц і напругою \(U=\mathcal{E}\) (рис.10б)

Задача 14.11. Послідовно з’єднанні конденсатор C, котушка індуктивності L = 0,338 Гн і резистор R = 2 Ом підключені до джерела напруги U = 220 В з частотою \(\nu=50\) Гц. Визначити: А) ємність конденсатора C, при якій струм у колі буде максимальним; Б) напруга на кожному з елементів схеми (конденсаторі U_C, котушці U_L, резисторі U_R) при максимальному струмі.

Задача 14.12. Електричне коло складається з послідовно з’єднаних котушки індуктивності L = 6 мкГн, конденсатора С = 0,01 мкФ і резистора R = 0,5 Ом. Визначити потужність P, яку необхідно підводити від джерела змінної напруги, щоб амплітуда напруги на конденсаторі при резонансі була U = 10 В.

Задача 14.13. Трансформатор, що підвищує напругу від U₁ = 100 В до U₂ = 3300 В, має замкнуте осердя у вигляді кільця. Крізь кільце пропущений дріт, кінці якого приєднані до вольтметра (рис.13). Вольтметр показує U = 0,5 В. Визначити кількість витків первинної N₁ і вторинної N₂ обмоток.

Задача 14.14. Трансформатор має осердя, показане на рис.14. Якщо обмотку I підключити до джерела з напругою U₁ = 160 В, то напруга на обмотці II буде дорівнювати U. Джерело U₁ відключають від обмотки I, і обмотку II підключають до джерела напруги U. Вважаючи, що магнітний потік ділиться порівну між розгалуженнями осердя визначити напругу U₂ на виводах обмотки I. Опором обмотки нехтувати.

Задача 14.15. На первинну обмотку знижувального трансформатора з коефіцієнтом трансформації k = 20 подана напруга U₁ = 220 В. При цьому у вторинній обмотці, яка замкнута на певне навантаження, тече струм I₂ = 5 А. Активний опір вторинної обмотки r₂ = 0,5 Ом. Нехтуючи втратами у первинній обмотці, визначити напругу \(U_{2}\) на клемах вторинної обмотки.

Задача 14.8

Неонова лампочка горить, коли напруга на її електродах перевищує строго певне значення – напругу запалення U_з (незалежно від полярності). Лампочку включають в мережу з діючим значенням напруги, рівним напрузі запалення, U = U_з.

Визначити,

яку частину часу \(\eta\) (в частках періоду) горить лампочка.

Розв’язання

Відповідно до означення (формула 14.36), діюче (або ефективне) значення напруги дорівнює

\(U=\frac{U_{m}}{\sqrt{2}}\),

де U_m – амплітуда напруги.

Залежність напруги від часу визначається законом (14.17):

\(u=U_{m}\sin\omega{t}\),

Графік цієї функції, а також рівні діючого значення напруги і рівного йому напруги запалення показані на рис.8. З нього зрозуміло, що лампочка горітиме в проміжках часу \(\left[t_{1},\ t_{2}\right]\) і \(\left[t_{3},\ t_{4}\right]\). З симетрії графіка функції \(\sin\omega{t}\) очевидно, що час горіння лампочки протягом одного періоду визначається за формулою

\(\tau=T-4t_{1}\).

Час t₁ знайдемо з умови загорання лампочки, враховуючи задану в умові рівність u = U_з:

\(U_{з}=\frac{U_{m}}{\sqrt{2}}=U_{m}\sin\omega{t}_{1}\)    \(\Rightarrow\)    \(\sin\omega{t}_{1}=\frac{1}{\sqrt{2}}\)    \(\Rightarrow\)    \(\omega{t}_{1}=\frac{\pi}{4}\).

Беручи до уваги, що циклічна частота пов'язана з періодом як \(\omega=2\pi/T\), знаходимо:

\(\frac{2\pi}{T}t_{1}=\frac{\pi}{4}\)    \(\Rightarrow\)    \(t_{1}=\frac{T}{8}\).

Отже

\(\tau=T-4\frac{T}{8}=\frac{T}{2}\)    \(\Rightarrow\)    \(\eta=\frac{\tau}{T}=0,5=50\) %.

Отже, лампочка горітиме половину часу, протягом якого вона підключена до електромережі.

Задача 14.9

У мережу змінного струму з частотою \(\nu\) = 50 Гц послідовно включені резистор R = 100 Ом і два однакові конденсатори по C = 30 мкФ (рис.9). Один з конденсаторів пробивається. (При електричному пробої в діелектрику, який заповнює конденсатор, утворюється провідний канал, який сполучає (закорочує) пластини конденсатора).

Визначити

відношення сил струмів в колі до (I₁) та після (I₂) пробою одного з конденсаторів. (Якщо говорять "сила струму" або "напруга" в колі змінного струму, то завжди мають на увазі діючі значення).

Розв’язання

Унаслідок пробою, замість початкового кола (рис.9–1а) утворюється нове коло (рис.9–1б). Сила змінного струму в колі визначається законом Ома. Тому шукане відношення дорівнює оберненому відношенню імпедансів:

\(\frac{I_{2}}{I_{1}}=\frac{Z_{1}}{Z_{2}}\).

Оскільки в колі відсутня індуктивність, то імпеданс кола

\(Z=\sqrt{R^{2}+X_{C}^{2}}\).

Реактивний ємнісний опір X_C визначається формулою (14.23)

\(X_{C}=\frac{1}{2\pi\nu{C}}\).

Враховуючи, що в даній задачі C₂ = C, а C₁ = C/2 (див. формулу (10.26)), знаходимо:

\(Z_{1}=\sqrt{R^{2}+\left(\frac{1}{2\pi\nu(C/2)}\right)^{2}}\) = 234,6 Ом.

\(Z_{2}=\sqrt{R^{2}+\left(\frac{1}{2\pi\nu{C}}\right)^{2}}\) =145,8 Ом.

Таким чином:

\(\frac{I_{1}}{I_{2}}=\frac{145,8}{234,6}\approx\) 0,62,

тобто сила струму після пробою збільшиться в \(\approx{1,6}\) рази.

Задача 14.10

Якщо котушку з індуктивністю L = 0,03 Гн приєднати до батареї з нульовим внутрішнім опором і ЕРС \(\mathcal{E}\) = 9 В (рис.10а), то сила струму в котушці I₁ = 1 A.

Визначити

силу струму в котушці I₂, якщо її приєднати до джерела змінного струму з частотою \(\nu=50\) Гц і напругою \(U=\mathcal{E}\) (рис.10б)

Розв’язання

В першому випадку в котушці тече постійний струм, сила якого залежить тільки від активного опору R (опора дроту, яким намотана котушка) і ЕРС джерела. Еквівалентна схема кола для цього випадку показана на рис.10а. Якщо ж струм змінний, то повний опір кола визначається не тільки опором дроту R, але й індуктивністним опором котушки X_L (рис.10б). Відповідно до закону Ома для постійного (11.15) і змінного (14.30) струму маємо:

Звідси, з урахуванням умови \(U=\mathcal{E}\), одержуємо:

де Z – імпенданс (повний опір) котушки. Оскільки в колі немає конденсатора, то опір ємності X_C = 0, і з формул (14.31) і (14.28) випливає

\(Z=\sqrt{R^{2}+(2\pi\nu{L})^{2}}\).

Підставивши цей вираз у формулу (2), отримаємо:

З формули (1) \(R=\mathcal{E}/I_{1}\), тому остаточна відповідь має вигляд:

\(I_{2}=\frac{1}{\sqrt{1/I_{1}^{2}+\left(2\pi\nu{L}/\mathcal{E}\right)^{2}}}\).

Виконавши обчислення одержимо:

I₂ = 0,7 A.

Задача 14.11

Послідовно з’єднанні конденсатор C, котушка індуктивності L = 0,338 Гн і резистор R = 2 Ом підключені до джерела напруги U = 220 В з частотою \(\nu=50\) Гц (рис.11)

Визначити:

А) ємність конденсатора C, при якій струм у колі буде максимальним;

Б) напруга на кожному з елементів схеми (конденсаторі U_C, котушці U_L, резисторі U_R) при максимальному струмі.

Розв’язання

А) Струм в колі (рис.11) буде найбільшим при мінімальному значенні повного опору, тобто при виконанні умови Z = R (див. формули (14.31), (14.31a)). Тому

\(\omega{L}-\frac{1}{\omega{C}}=0\)     \(\Rightarrow\)     \(\omega{L}=\frac{1}{\omega{C}}\).

Звідси знаходимо:

\(C=\frac{1}{\omega^{2}L}=\frac{1}{(2\pi\nu)^{2}L}=\frac{1}{(2\pi\cdot{50})^{2}\cdot{0,338}}=3\cdot{10^{-5}}\) Ф = 30 мкФ.

Б) За законом Ома (14.30) при Z = R маємо:

\(I_{m}=\frac{U}{R}\).

Підставивши цей вираз у формули (14.24), (14.29), (14.20), знаходимо:

\(U_{C}=\frac{I}{\omega{C}}=\frac{U}{2\pi\nu{CR}}=\frac{220}{22\cdot{2}\cdot{3,14}\cdot{50}\cdot{3}\cdot{10^{-5}}}=1061\) В;

\(U_{L}=I\omega{L}=\frac{U}{R}2\pi\nu{L}=\frac{220}{22}\cdot{2}\cdot{3,14}\cdot{50}\cdot{0,338}=1061\) В.

В отриманих результатах впадає в очі здавалося б парадоксальний факт – напруги на конденсаторі і котушці майже в 5 разів перевищують напругу джерела, а напруга на резисторі дорівнює напрузі джерела так, ніби конденсатора і котушки у колі немає. Ці особливості зв'язані з тим, що напруги на котушці і конденсаторі мають протилежні фази і виявляються рівними по величині.

Задача 14.12

Електричне коло складається з послідовно з’єднаних котушки індуктивності L =6 мкГн, конденсатора С = 0,01 мкФ і резистора R = 0,5 Ом.

Визначити

потужність P, яку необхідно підводити від джерела змінної напруги, щоб амплітуда напруги на конденсаторі при резонансі була U = 10 В.

Вказівка: Для змінного струму слово "потужність" без спеціальних домовленостей  означає середню потужність за період.

Розв’язання

Схема заданого кола зображена на рис.12. В колі змінного струму енергію споживає тільки резистор і вона визначається формулами (14.33), (14.34). В умовах резонансу з формул (14.31a), (14.32) і (14.34), маємо:

\(Z=R\),    \(\cos\varphi=1\)

Тому потужність, яка виділяється в колі, відповідно до формул (14.33) і (14.30), дорівнює:

де I_р – резонансна амплітуда сили струму в колі.

Значення I_р знаходимо через задану величину U_р за допомогою закону Ома (формула (14.24)), врахувавши вираз (14.32):

\(I_{р}=\frac{U_{р}}{X_{р}}=\omega{C}U_{р}=\frac{CU_{р}}{\sqrt{LC}}\)     \(\Rightarrow\)    \(I_{р}=U\sqrt{\frac{C}{L}}\).

Підставивши цей вираз у формулу (1), отримаємо відповідь:

\(P=\frac{RCU_{р}^{2}}{2L}\approx{4,17}\cdot{10^{-2}}\) Вт = 41,7 мВт.

Задача 14.13

Трансформатор, що підвищує напругу від U₁ = 100 В до U₂ = 3300 В, має замкнуте осердя у вигляді кільця. Крізь кільце пропущений дріт, кінці якого приєднані до вольтметра (рис.13). Вольтметр показує U = 0,5 В.

Визначити
кількість витків первинної N₁ і вторинної N₂ обмоток.

Розв’язання

Дріт разом з вольтметром утворюють замкнутий контур. Його поверхня пронизується магнітним потоком, створеним струмом в первинній обмотці. Це дозволяє вважати дріт (разом з вольтметром) обмоткою трансформатора, що має один виток. Для цієї "обмотки" формула трансформатора (14.39) набуває вигляд:

\(\frac{U}{U_{1}}=\frac{1}{N_{1}}\)     \(\Rightarrow\)     \(N_{1}=\frac{U_{1}}{U}=\frac{100}{0,5}=200\).

Таким чином, первинна обмотка трансформатора складається з N₁ = 200 витків. Число витків вторинної обмотки трансформатора N₂ також знаходимо з формули (14.39):

\(\frac{U_{1}}{U_{2}}=\frac{N_{1}}{N_{2}}\)     \(\Rightarrow\)     \(N_{2}=N_{1}\frac{U_{2}}{U_{1}}=200\cdot\frac{3300}{100}=6600\),

або

\(\frac{U}{U_{2}}=\frac{1}{N_{2}}\)     \(\Rightarrow\)     \(N_{2}=\frac{U_{2}}{U}=\frac{3300}{0,5}=6600\).

Задача 14.14

Трансформатор має осердя, показане на рис.14. Якщо обмотку I підключити до джерела з напругою U₁ = 160 В, то напруга на обмотці II буде дорівнювати U. Джерело U₁ відключають від обмотки I, і обмотку II підключають до джерела напруги U. Вважаючи, що магнітний потік ділиться порівну між розгалуженнями осердя

визначити

напругу U₂ на виводах обмотки I. Опором обмотки нехтувати.

Розв’язання

Припустимо, що кількість витків в обмотках I і II рівні N₁ і N₂ відповідно. Тоді напруга на обмотці I згідно з формулою (12.12)

де \(\Phi_{1}\) – магнітний потік, створений в осерді струмом в обмотці I, \(\Phi_{1}^{\prime}(t)\) – похідна магнітного потоку по часу. Оскільки потік \(\Phi_{1}\) ділиться порівну між розгалуженнями, обмотку II пронизує потік \(\Phi_{2}=\Phi_{1}/2\), індукуючи напругу U, яка дорівнює ЕРС у цій обмотці (обмотка розімкнена):

З формули (1) і (2) знаходимо

Якщо джерело напруги U підключити до обмотки II, то міркуючи аналогічно попередньому, нескладно отримати

Помноживши отриманий вираз (4) на (3), знаходимо відповідь:

\(\frac{U_{2}}{U_{1}}=\frac{1}{4}\)     \(\Rightarrow\)     \(U_{2}=\frac{U_{1}}{4}=\frac{160}{4}=40\) В.

Задача 14.15

На первинну обмотку знижувального трансформатора з коефіцієнтом трансформації k = 20 подана напруга U₁ = 220 В. При цьому у вторинній обмотці, яка замкнута на певне навантаження, тече струм I₂ = 5 А. Активний опір вторинної обмотки r₂ = 0,5 Ом. Нехтуючи втратами у первинній обмотці,

Визначити

напругу \(U_{2}\) на клемах вторинної обмотки.

Розв’язання

Відповідно до означення (14.39), коефіцієнт трансформації

де \(\mathcal{E}_{1}\) – ЕРС самоіндукції в первинній обмотці, \(\mathcal{E}_{2}\) – ЕРС індукції у вторинній обмотці.

За умовою в первинній обмотці втрат немає, тому можна записати:

Для вторинної обмотки, згідно із законом Ома (формула (11.17)),

де \( I_{2}r_{2}\) – спад напруги на активному опорі обмотки.

Відповідно до співвідношень (1) і (2),

\(\mathcal{E}_{2}=\frac{\mathcal{E}_{1}}{k}=\frac{U_{1}}{k}\).

Підставивши цей вираз в співвідношення (3), отримаємо відповідь:

\(U_{2}=\frac{U_{1}}{k}-I_{2}r_{2}\) = 8,5 В.

Найпростішою за властивостями монохроматичною хвилею є плоска хвиля. У рівнянні плоскої монохроматичної хвилі міститься інформація про основні параметри монохроматичної хвилі: амплітуду, період (частоти), швидкість поширення і довжину хвилі (хвильове число). Крім того використовуються такі поняття: фаза, хвильові поверхні, промінь, різниця фаз та різниці ходу.

Уявлення про плоску монохроматичну хвилю можна одержати, якщо уявити нескінченну площину-мембрану, яка здійснює гармонічні коливання в пружному середовищі (рис.15.1). Завдяки силам зчеплення між частинками середовища, ці коливання в усіх точках поширюються паралельно осі OX. Звичайно, коливання поширюються в обидва боки від мембрани. Але оскільки їхні властивості не залежать від напрямку, то надалі будемо вважати, що хвиля поширюється в додатному напрямку осі OX.

З огляду симетрії зрозуміло, що коливання всіх точок середовища в будь-якій площині, паралельній мембрані, повністю однакові. Тому така хвиля називається плоскою.

У пружному середовищі відсутнє поглинання енергії коливань. Тому коливання частинок середовища в плоскій хвилі мають однакову амплітуду і частоту. Але оскільки хвиля поширюється з кінцевою швидкістю, коливання у віддалених від джерела (мембрани) точках починаються з деяким запізненням.

Нехай мембрана і частинки середовища, що безпосередньо прилягають до неї, здійснюють коливання за законом

\(\xi(0,t)=\xi_{0}\cos\frac{2\pi}{t}t\),

де \(\xi\) – відхилення від положення рівноваги в момент часу t частинок середовища (у випадку немеханічної хвилі – це, відповідно, інша величина), розташованих в площині x = 0, \(\xi_{0}\) – амплітуда, T – період коливань.

Частинки, розташовані на відстані x від джерела, почнуть коливання з деяким запізненням \(\tau\). Отже, ці коливання описуються рівнянням

\(\xi(x,t)=\xi_{0}\cos\frac{2\pi}{T}(t-\tau)\).

Якщо хвиля поширюється зі швидкістю v, то \(\tau=x/v\) (див. рис.15.1), і

Рівняння (15.1) називається рівнянням плоскої монохроматичної хвилі, що поширюється уздовж осі OX.  Так само, як у випадку гармонічних коливань, існує кілька рівнозначних способів представлення рівняння монохроматичної хвилі, див. нижче. Рівняння (15.1) дає значення величини \(\xi\) у будь-якій точці простору і у будь-який момент часу.

Усі характеристики гармонічних коливань є також параметрами монохроматичної хвилі. Зокрема, – це амплітуда, період, циклічна або лінійна частота (див. розділ 13 ("Механічні коливання"), формули (13.1), (13.2), (13.3)).

Коливання в монохроматичній хвилі вимушені, вони створюються і підтримуються джерелом. Тому

Швидкість поширення хвилі характеризується швидкістю хвилі v, тобто відстанню, на яку поширюються коливання від джерела за одиницю часу.

У будь-якій заданій точці x = x₀ відповідно до рівняння (15.1) збуджуються гармонічні коливання (рис.15.2а):

початкова фаза яких \(\varphi_{0}\) визначається положенням цієї точки:

Аналогічно в будь-який заданий момент часу t = t₀ значення \(\xi\) залежать від координати за законом:

де

Таким чином, величина \(\xi\) змінюється від точки до точки теж за гармонічним законом (рис.15.2б). При цьому значення \(\xi\) повністю повторюються на відстані \(\lambda\) (рис.15.2.б), яка називається довжиною хвилі. З рівняння (15.3) випливає, що

Можна сказати, що довжина хвилі – це відстань, на яку поширюється хвиля за час одного періоду коливань.

Очевидно також, що

Величину \(\lambda\) можливо також виражати через швидкість v і частоти \(\nu\) або \(\omega\) співвідношеннями:

З використанням \(\lambda\) рівняння хвилі (15.1) можна записати як

Замість періоду T використовують також частоту \(\omega=2\pi/T\), а замість довжини хвилі \(\lambda\) – так зване хвильове число:

При цьому рівняння монохроматичної хвилі записується найбільш компактно:

Коливання у хвилі в кожній точці в кожен момент часу визначаються фазою.

Фазою хвилі називається аргумент функції в рівнянні хвилі, наприклад у (15.7)

У будь-якій заданій точці фаза безперервно змінюється з часом, а в будь-який заданий момент часу вона безперервно змінюється від точки до точки. Для наочного уявлення про розподіл фаз у просторі використовують поняття хвильових поверхонь, а для характеристики напрямків поширення хвилі використовують поняття променів.

Хвильова поверхня (іноді її називають фронтом хвилі) – це поверхня, у всіх точках якої фаза хвилі має одне і теж значення в даний момент часу.

Форма хвильових поверхонь дає наочне уявлення про хвилю. Вона залежить від типу джерела і властивостей середовища. Рівняння хвильових поверхонь знаходять підстановкою фіксованих значень \(\varphi=\varphi_{0}\) та t = t₀ до рівняння фази. Для розглянутої тут хвилі з рівняння (15.8) виходить

\(\varphi_{0}=\omega{t}-kx\)     \(\Rightarrow\)     x = const.

Це означає, що хвильові поверхні являють собою площини, перпендикулярні осі OX, тобто напрямку поширення хвилі (рис.15.3а). Саме тому така хвиля називається плоскою.

Іншим поширеним типом хвиль є сферична хвиля, що створюється точковим джерелом в однорідному ізотропному середовищі. Хвильові поверхні такої хвилі – сфери з центром у джерелі (рис.15.3б).

Промінь – це лінія, уздовж якої хвиля переносить енергію від джерела до даної точки.

У випадку однорідного та ізотропного середовища промені в кожній точці співпадають з напрямком швидкості хвилі і спрямовані уздовж нормалі до хвильової поверхні, що проходить через дану точку.

При розгляді різних хвильових явищ важливу роль відіграє різниця фаз хвилі \(\delta=\varphi_{2}-\varphi_{1}\) у двох точках в один і той же момент часу. Відповідно до рівняння (15.8) і формули (15.6)

де \(\Delta{x}=x_{2}-x_{1}\) – різниця відстаней від цих точок до джерела.

Формулою (15.9) визначається також

При цьому \(\Delta{x}\) – різниця відстаней від джерел до даної точки – називається різницею ходу хвиль (або променів).

Механічні хвилі при визначених частотах коливань, діючи на органи слуху – вуха, створюють слухове відчуття і називаються чутним звуком. Крім чутного звуку, існують інфразвук та ультразвук. За суб'єктивним сприйняттям всі звуки поділяються на музичні звуки та шуми. Усі звуки характеризуються гучністю, а музичні ще й висотою тону та тембром.

Чутний для людини звук утворюють механічні хвилі в середовищі, що мають частоти в діапазоні:

\(\nu=(16\div{20000})\) Гц.

Діапазон частот чутного звуку для інших істот може відрізнятися. Так, кажани чують в ультразвуковому діапазоні частот.

Хвилі с частотами \(\nu<16\) Гц називаються інфразвуком, а з частотами \(\nu>20000\) Гц – ультразвуком.

Звукові хвилі практично ніколи не бувають монохроматичними. Вони несуть коливання різних частот або, як говорять, мають певний спектральний склад. Сприйняття звуку людиною сильно залежить від характеру спектра. Якщо звук складається з усіх можливих частот у широкому діапазоні, то спектр такого звуку називають безперервним. Звуки з безперервним спектром людина сприймає як шуми. Якщо ж звик складається з визначеного набору хвиль з окремими частотами у заданому діапазоні частот, то кажуть, що спектр такого звуку є дискретним. Звуки з дискретним спектром сприймаються як музичні.

Музичні звуки характеризуються висотою і тембром (колоратурою). Висота звуку визначається частотою основного тону, тобто найнижчою частотою в спектрі даного звуку. Більш високі частоти, кратні до основного тону, називаються обертонами або гармоніками.

Набір обертонів і їхні амплітуди визначають тембр звуку – специфічне «забарвлення», що робить звук приємним для слуху і визначає індивідуальне звучання людського голосу і кожного музичного інструмента

Незалежно від спектру всі звуки за силою впливу на вухо характеризуються гучністю. Гучність звуку визначається амплітудою звукової хвилі і чутливістю вуха, яка максимальна в середині звукового діапазону і різко зменшується на краях.

Іншим розповсюдженим типом хвиль є електромагнітні хвилі. Їх виникнення обумовлене здатністю електричних і магнітних полів до взаємних перетворень. Властивості цих полів визначають характерні властивості електромагнітних хвиль: поперечність, гранично велику швидкість поширення і здатність переносити енергію на дуже великі відстані.

Перенесення енергії характеризується інтенсивністю хвилі.

Змінне магнітне поле породжує вихрове електричне поле, а змінне електричне поле, у свою чергу, породжує магнітне поле. Як наслідок, змінне електромагнітне поле здатне "самовідтворюватися", тобто існувати незалежно від тих зарядів, що його створили. При цьому коливання електричних і магнітних полів у відкритому просторі відбуваються не в тому самому місці, як, наприклад, у коливальному контурі, а поширюються з кінцевою швидкістю, утворючи хвилю.

Зауваження. Вихровим поле називають тому, що його силові лінії замкнуті. Вихрове електричне поле може виконувати роботу при переміщенні заряду уздовж замкнутої траєкторії і створювати електричний струм у замкнутому провідному контурі.

Коливання напруженості електричного \(\vec{E}\) і індукції магнітного \(\vec{B}\) полів відбуваються в напрямках, перпендикулярних напрямку поширення хвилі, тобто

Крім того, коливання полів відбуваються в однаковій фазі і у взаємно перпендикулярних напрямках так, що вектори \(\vec{E}\) і \(\vec{B}\) утворюють з вектором швидкості хвилі \(\vec{v}\) праву трійку, як показано на рис.15.4.

З рис. 15.4 видно, напрямки векторів у послідовності \(\vec{E}\), \(\vec{B}\), \(\vec{v}\), або \(\vec{B}\), \(\vec{v}\), \(\vec{E}\), або \(\vec{v}\), \(\vec{B}\), \(\vec{E}\), пов'язані правилом правого гвинта.

Швидкість поширення електромагнітних хвиль у вакуумі є універсальною фізичною сталою, яка майже точно дорівнює

\(c=3\cdot{10^{8}}\) м/с.

(Точне значення \(c=(299792458\pm{1,2})\) м/с)

Швидкість поширення електромагнітних хвиль у речовині залежить від діелектричної \(\varepsilon\) і магнітної \(\mu\) проникностей речовини:

Практично всі речовини, в яких можуть поширюватися електромагнітні хвилі, є слабо магнітними (у них \(|\mu-1|\lt{0,0001}\)). Для них можна вважати \(\mu=1\) і

Швидкість електромагнітних хвиль співпадає зі швидкістю поширення світла, що свідчить про електромагнітну природу світла. Тому електродинаміка є теоретичною базою хвильової оптики.

Електромагнітна хвиля переносить енергію, що випромінюється джерелом, в різні точки простору. Основною енергетичною характеристикою хвилі є інтенсивність.

Інтенсивність I чисельно дорівнює енергії, що переноситься хвилею за одиницю часу крізь одиничну площину, перпендикулярну до напрямку поширення хвилі:

де \(\Delta{W}\) – енергія, що переноситься протягом часу \(\Delta{t}\) через площину \(\Delta{S}_{\bot}\).

Одиниця інтенсивності – 1 Вт/м².

Розв'язування задач на хвилі проводять за схемою, викладеною у вступі (див. "Етапи розв'язування задач"), з урахуванням специфіки хвильових процесів.

1. При розгляді механічних хвиль, зокрема звукових, потрібно пам'ятати, що швидкість поширення хвилі і швидкість руху часток середовища – це зовсім різні швидкості. Перша визначається фізичними властивостями середовища, а друга – амплітудою і частотою хвилі.

2. Стандартні рівняння і формули, наведені в теоретичних відомостях, стосуються випадку, коли джерело і приймач (спостерігач) нерухомі відносно середовища, у якому поширюється хвиля. Але у випадку руху джерела або приймача (спостерігача) характеристики хвилі змінюються. Тому такі задачі вимагають особливої уваги.

Задача 15.1. Точки A, B та C лежать на лінії поширення плоскої монохроматичної хвилі. Точки B та C віддалені від точки A на відстані l₁ = 15 см та l₂ = 30 см відповідно. Швидкість поширення хвилі v = 0,6 м/с. Коливання в точці A відбуваються за законом \(\xi_{A}=0,05\cos(2\pi{t})\), м.

Задача 15.2. Джерело створює плоску звукову хвилю з частотою \(\nu\) = 500 Гц і амплітудою \(\xi_{m}=5\) мкм. Коливання в джерелі відбуваються за законом косинуса з нульовою початковою фазою. Для точки, що віддалена від джерела на відстань l = 170 м, і моменту часу t = 1 c. Визначити: А) зміщення частинок середовища від положення рівноваги \(\xi\); Б) швидкість їх коливального руху u; В) прискорення частинок a. Швидкість звуку прийняти v = 340 м/с.

Задача 15.3. У плоскій монохроматичній хвилі частота коливань частинок середовища \(\nu=10\) Гц. Різниця фаз коливань у двох точках, які лежать на лінії поширення хвилі на відстані \(\Delta{l}=100\) см одна від одної, дорівнює \(\Delta\varphi=\pi/4\). Визначити швидкість поширення хвилі v.

Задача 15.4. По озеру рухається катер, хвилі від якого дістаються до берега за час t = 1 хв. Відстань між гребенями хвиль l = 0,5 м, час між ударами хвиль об берег \(\tau=0,5\) с. Визначити відстань L від катера до берега.

Задача 15.5. Літак рухається горизонтально з надзвуковою швидкістю на висоті H = 4 км над землею. Спостерігач чує звук через час \(\tau= 10\) c після того, як літак пролетів над ним. Визначити  швидкість літака u. Швидкість звуку взяти v = 330 м/с.

Задача 15.6. Тепловоз подає звуковий сигнал з частотою \(\nu_{0}=400\) Гц. Пасажир, який стоїть на платформі сприймає частоту сигналу \(\nu=380\) Гц. Визначити: швидкість V та напрям руху тепловоза. Швидкість звуку в повітрі прийняти v = 340 м/с.

Задача 15.7. Відстань між гребенями хвиль на морі l = 5 м. Коли катер йде в напрямку поширення хвиль, вони б'ють у ніс катера з частотою n₁ = 2 удари за секунду. Якщо ж катер рухається назустріч хвилям, то удари в ніс йдуть з частотою n₂ = 4 удари за секунду. Визначити швидкість поширення хвиль v та швидкість руху катера V.

Задача 15.8. Вхідний коливальний контур радіоприймача з плоским повітряним конденсатором налаштований на довжину хвилі \(\lambda_{1}=200\) м. Визначити довжину хвилі \(\lambda_{2}\), на яку буде налаштований контур, якщо між обкладинками конденсатора розмістити діелектричну пластину з проникністю \(\varepsilon=6\), товщина якої в k = 3 рази менша ніж відстань між пластинами.

Задача 15.9. Частота електромагнітної хвилі \(\nu=1\) МГц. Визначити довжину електромагнітної хвилі: А) \(\lambda_{0}\) у вакуумі; Б) \(\lambda\) у немагнітному (\(\mu=1\)) діелектричному середовищі з діелектричною проникністю \(\varepsilon=2,25\).

Задача 15.10. На відстані l = 30 км від радіолокатора знаходиться літак. Визначити максимальне число імпульсів n, що може випромінювати локатор за \(\tau=1\) с для спостереження за літаком.

Задача 15.1

Точки A, B та C лежать на лінії поширення плоскої монохроматичної хвилі. Точки B та C віддалені від точки A на відстані l₁ = 15 см та l₂ = 30 см відповідно. Швидкість поширення хвилі v = 0,6 м/с. Коливання в точці A відбуваються за законом \(\xi_{A}=0,05\cos(2\pi{t})\), м.

Записати:
рівняння коливань в точках B та C.

Розв’язання

Коливання в заданій точці хвилі визначаються рівнянням (15.2) і співвідношенням (15.2a). Згідно з умовою задачі в точці A початкова фаза \(\varphi=0\), її координату приймемо x_A = 0. Тоді, x_B = l₁, x_C = l₂. Оскільки хвиля поширюється зі швидкістю v, то коливання в точках B та C відстають по фазі від коливань у точці A і згідно з рівнянням (15.2) мають вигляд:

\(x_{B}=x_{m}\cos\left(2\pi{t}-\frac{2\pi{l_{1}}}{v}\right)\);

\(x_{C}=x_{m}\cos\left(2\pi{t}-\frac{2\pi{l_{2}}}{v}\right)\).

У числовому вигляді:

\(x_{B}=0.05\cdot\cos\left(2\pi{t}-\frac{2\pi\cdot{0,15}}{0,06}\right)=0,05\sin(2\pi{t})\);

\(x_{B}=0.05\cdot\cos\left(2\pi{t}-\frac{2\pi\cdot{0,3}}{0,06}\right)=-0,05\cos(2\pi{t})\).

Задача 15.2

Джерело створює плоску звукову хвилю з частотою \(\nu\) = 500 Гц і амплітудою \(\xi_{m}=5\) мкм. Коливання в джерелі відбуваються за законом косинуса з нульовою початковою фазою. Для точки, що віддалена від джерела на відстань l = 170 м, і моменту часу t = 1 c.

визначити:

А) зміщення частинок середовища від положення рівноваги \(\xi\);

Б) швидкість їх коливального руху u;

В) прискорення частинок a.

Швидкість звуку прийняти v = 340 м/с.

Розв’язання

A)   Згідно з рівнянням (15.1) і формулою (13.2) можна записати:

Підставивши числові дані, отримаємо:

\(\xi=5\cdot{10^{-6}}\cdot\cos\left(1000\pi-\frac{1000\pi\cdot{170}}{340}\right)=5\cdot{10^{-6}}\) м = 5 мкм.

Б) Швидкість коливального руху частинок у хвилі – це похідна від зміщення по часу (формула (1.5)): \(u=\xi^{\prime}(t)\). Взявши похідну від функції (1), дістанемо

У числах

\(u=-1000\pi\cdot{5}\cdot{10^{-6}}\cdot\sin\left(1000\pi\cdot{1}-\frac{1000\pi\cdot{170}}{340}\right)=0\).

В) Прискорення частинок – це похідна швидкості коливального руху по часу (формула (1.7)): \(a=u^{\prime}(t)\). Взявши похідну від функції (2), знаходимо:

\(a=-(2\pi\nu)^{2}\xi\),

де, згідно з результатом пункту А), \(\xi=5\cdot{10^{-5}}\) м. Отже

\(a=-(2\pi\cdot{500})^{2}\cdot{5}\cdot{10^{-6}}=-49,3\) м/с².

Задача 15.3

У плоскій монохроматичній хвилі частота коливань частинок середовища \(\nu=10\) Гц. Різниця фаз коливань у двох точках, які лежать на лінії поширення хвилі на відстані \(\Delta{l}=100\) см одна від одної, дорівнює \(\Delta\varphi=\pi/4\).

Визначити

швидкість поширення хвилі v.

Розв’язання

Відповідно до формули (15.9) можна записати:

де \(\Delta{l}\) – задана відстань між точками, \(\lambda\) – довжина хвилі.

Швидкість поширення хвилі v виражається через довжину хвилі на основі формули (15.4a):

Виразивши величину l з співвідношення (1) і підставивши її у формулу (2), дістанемо

\(v=\frac{2\pi\nu\Delta{l}}{\Delta\varphi}=\frac{2\pi\cdot{10}\cdot{1}}{\pi/4}=80\) м/с.

Задача 15.4

По озеру рухається катер, хвилі від якого дістаються до берега за час t = 1 хв. Відстань між гребенями хвиль l = 0,5 м, час між ударами хвиль об берег \(\tau=0,5\) с.

Визначити

відстань L від катера до берега.

Розв’язання

Відстань між гребнями хвиль – то є довжина хвилі, час між ударами хвиль об берег дорівнює періоду коливань. Скориставшись зв'язком між довжиною хвилі \(\lambda\), періодом коливань T та швидкістю поширення хвилі v (формула (15.4)), знайдемо

\(v=\frac{\lambda}{T}=\frac{l}{\tau}\).

Тоді відстань, яку проходить хвиля за час t, становить

\(L=vt=\frac{l}{\tau}t=\frac{0,5}{0,5}\cdot{60}=60\) м.

тобто катер пливе на відстані 60 м від берега.

Задача 15.5

Літак рухається горизонтально з надзвуковою швидкістю на висоті H = 4 км над землею. Спостерігач чує звук через час \(\tau= 10\) c після того, як літак пролетів над ним.

Визначити
швидкість літака u. Швидкість звуку взяти v = 330 м/с.

Розв’язання

Літак у кожній точці свого перебування випромінює сферичну хвилю. Обвідна всіх цих сферичних хвильових поверхонь утворює конус, який являє собою фронт звукової хвилі, що поширюється від літака. На рис.5 показаний перетин деяких з цих сферичних поверхонь з площиною рисунка та слід обвідної O₂C. З рис.5 можна збагнути, що спостерігач (точка C) чує звук, який був випромінений літаком у точці O₁. В той момент, коли хвиля дійшла до спостерігача, літак вже знаходиться у точці O₂.

Врахуємо, що обвідна сферичних хвиль O₂C перпендикулярна до радіусів сфер. Отже на рис.5 трикутники \(\Delta{O}_{1}O_{2}C\), \(\Delta{A}O_{2}B\) та \(\Delta{A}CB\) прямокутні та подібні. За умовою задачі літак долає відстань AO₂ за час \(\tau\), тому

\(AO_{2}=u\tau\).

За цей же час звукова хвиля, що була випромінена літаком у точці A, доходить до точки B, отже

\(AB=v\tau\).

З трикутника AO₂B маємо:

\(\sin\alpha=\frac{AB}{AO_{2}}=\frac{v}{U}\).

З трикутника ABC:

\(H=\frac{AB}{\cos\alpha}=\frac{v\tau}{\sqrt{1-\sin^{2}\alpha}}=\frac{v\tau}{\sqrt{1-(v/u)^{2}}}\).

Після нескладних перетворень з останнього виразу знаходимо