ФІЗИКА. Вчимося розв'язувати задачі. "КОЛИВАННЯ ТА ХВИЛІ". Компенсаційний курс
Розділ 13. Механічні коливання
Теоретичні відомості. Енергія гармонічних коливань
|
Тіло, яке здійснює коливання, має відповідний запас механічної енергії. У процесі гармонічних коливань відбуваються тільки взаємні перетворення потенціальної і кинетичної енергії тіла, що коливається. Повна енергія гармонічних коливань не змінюється з часом. |
У випадку пружинного маятника потенціальна енергія гармонічних коливань – це енергія пружини, зумовлена відхиленням вантажу від положення рівноваги:
|
|
\(W_{п}=\frac{kx^{2}}{2}\). |
(13.19) |
Потенціальна енергія статичної деформації пружини під дією ваги вантажу і потенціальна енергія вантажу в полі сил тяжіння до енергії коливань не входять.
Відповідно до рівняння (13.1)
|
|
\(W_{п}=\frac{kx_{m}^{2}}{2}\cos^{2}(\omega{t}+\varphi_{0})\), |
(13.19a) |
де k – жорсткість пружини, xm – амплітуда коливань.
Рівняння (13.19) визначає потенціальну енергію також й інших механічних гармонічних коливань. У таких випадках k – це коефіцієнт пропорційності між рівнодійною і зміщенням (формула (13.10)). Зокрема, для математичного маятника значення k визначається виразом (13.16).
Кінетична енергія гармонічних коливань
|
|
\(W_{к}=\frac{mv^{2}}{2}\) |
(13.20) |
у відповідності до рівняння (13.5) виражається як
|
|
\(W_{к}=\frac{mv_{m}^{2}}{2}\sin^{2}(\omega{t}+\varphi_{0})\), |
(13.20a) |
де m – маса, vm – амплітуда швидкості тіла.
За допомогою співвідношень (13.5б) і (13.11) максимальну потенціальну енергію у рівнянні (13.19) і максимальну кінетичну енергію у рівнянні (13.20) можна виразити через масу тіла m, частоту \(\omega\) і амплітуду зміщення xm. В такому разі виходить, що
|
|
\(\frac{mv_{m}^{2}}{2}=\frac{kx_{m}^{2}}{2}=\frac{m\omega^{2}x_{m}^{2}}{2}=W_{0}\). |
(13.21) |
З урахуванням цього повна енергія гармонічних коливань у будь-який момент часу
\(W=W_{к}+W_{п}=W_{0}\left(\cos^{2}(\omega{t}+\varphi_{0})+\sin^{2}(\omega{t}+\varphi_{0})\right)=W_{0}\),
Тобто
\(W=W_{0}\).
Отже,
|
повна енергія гармонічних коливань зберігається: |
|||
|
|
\(W_{п}+W_{к}=\) const. |
(13.21a) |
|
Цей результат має просте пояснення: гармонічні коливання можливі тільки тоді, коли відсутні сили тертя й опору, тобто не відбувається перетворення механічної енергії в інші форми.