ФІЗИКА. Вчимося розв'язувати задачі. "КОЛИВАННЯ ТА ХВИЛІ". Компенсаційний курс

Розділ І. Механічні коливання

1.3. Маятники.

 

Найпростішими механічними коливальними системами, в яких можливі вільні гармонічні коливання, є пружинний та математичний маятники.

Пружинний маятник являє собою тіло маси m, з'єднане з невагомою пружиною жорсткістю k і закріпленим іншим кінцем (рис.1.4).

За відсутності сил тертя та опору повітря (на практиці – коли ними можна нехтувати), рух маятника визначається тільки силою пружності ([І], розділ V) деформованої пружини

\(F=-kx\),

котра задовольняє умову (1.10).

Тому

пружинний маятник здійснює гармонічні коливання з циклічною частотою

 

\(\omega=\sqrt{\frac{k}{m}}\)

(1.14)

і періодом

 

\(T=2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}\),

(1.15)

де m – маса маятника, k – жорсткість пружини.

Все сказане стосується як горизонтальних (рис.1.4а), так і вертикальних (рис.1.4б) коливань, але в останньому випадку величина x не включає статичну деформацюю пружини маятника під дією сили тяжіння. 

Математичний маятник являє собою тіло маси m на невагомому нерозтяжному підвісі довжиною l із закріпленим кінцем (рис. 1.5).

За відсутності сил тертя в підвісі та опору середовища рух маятника відбувається під дією сил тяжіння \(m\vec{g}\) і натягу підвісу \(\vec{F}_{н}\), рівнодійна яких

\(\vec{F}=m\vec{g}+\vec{F}_{н}\)

при значних відхиленнях маятника (рис.1.5а) складно залежить від кута \(\alpha\). Тому довільні коливання математичного маятника не є гармонічними. Одначе при малих амплітудах ситуація спрощується, бо (\(\alpha\ll{1}\)) \(\mathrm{tg}\alpha=\sin\alpha=\alpha\). Отже, можна вважати, що малі коливання математичного маятника відбуваються вздовж горизонтальної  осі ОХ (рис.1.5б) під дією сили

\(F_{x}=-mg\cdot\mathrm{tg}\alpha=-mg\alpha\).

З тієї ж причини можна прийняти, що в будь-який момент часу кут відхилення маятника від положення рівноваги \alpha=x/l\). У такому разі

\(F_{x}=-kx\),

де x – зміщення маятника з положення рівноваги і

 

\(k=\frac{mg}{l}\),

(1.16)

Отже, згідно з критерієм (1.10),

малі вільні коливання математичного маятника є гармонічними.

Зіставивши вираз (1.16) з формулами (1.12) та (1.13), дісттанемо наступні формули для циклічної частоти \(\omega\) та періоду T  коливань математичного маятника:

 

\(\omega=\sqrt{\frac{g}{l}}\);

(1.17)

 

\(T=2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}\).

(1.18)