Print this chapterPrint this chapter

ФІЗИКА. Вчимося розв'язувати задачі. "КОЛИВАННЯ ТА ХВИЛІ". Компенсаційний курс

Розділ 13. Механічні коливання

Теоретичні відомості. Найпростіші коливальні системи

Найпростішими коливальними системами, в яких можливі вільні гармонічні коливання, є пружинний і математичний маятники.

 

Пружинний маятник являє собою тіло маси m, з'єднане з невагомою пружиною, що має жорсткість k, інший кінець якої закріплений (рис.13.4). За відсутності сил тертя і опору повітря, тобто за умов, коли цими силами можна знехтувати,  рух тіла визначається тільки силою пружності

\(F=-kx\),

де x – величина деформації, зумовленої відхиленням тіла від положення рівноваги. Якщо тіло висить на пружині (рис. 13.4б), величина x на включає статичної деформації пружини, створеної вагою вантажу.

Сила пружності задовольняє умові (13.10), тому за відсутності сил тертя і опору пружинний маятник (вантаж на пружині), виведений з положення рівноваги і наданий сам собі, здійснює гармонічні коливання з циклічною частотою

 

\(\omega=\sqrt{\frac{k}{m}}\)

(13.14)

і періодом

 

\(T=2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}\),

(13.15)

де m – маса маятника, k – жорсткість пружини. Це в однаковій мірі стосується і горизонтальних (рис.13.4а), і вертикальних (рис.13.4б) коливань. Відмінність цих коливань тільки в тому, що в першому випадку в положенні рівноваги пружина недеформована, а в другому – вона розтягнута внаслідок притягання вантажу до Землі.

 

Математичним маятником називається матеріальна точка маси m, підвішена на невагомій нерозтяжній нитці довжиною l (рис.13.5).

За відсутності сил тертя в підвісі і опору середовища рух маятника відбувається тільки під дією сил тяжіння \(m\vec{g}\) і натягу нитки \(\vec{F}_{н}\) (рис.13.5).

Рівнодійна

\(\vec{F}=m\vec{g}+\vec{F}_{н}\)

у загальному випадку складно залежить від кута відхилення нитки \(\alpha\) і зміщення x маятника з положення рівноваги. Тому довільні коливання математичного маятника (рис.13.5а) не є гармонічними. Однак при невеликих амплітудах (\(\alpha\ll{1}\)) \(\mathrm{tg}\alpha=\sin\alpha=\alpha\). Тому можна вважати, що маятник рухається уздовж осі OX під дією рівнодійної сили

\(F_{x}=-mg\cdot\mathrm{tg}\alpha=-mg\alpha\).

З тієї ж причини можна прийняти \alpha=x/l\) (див. рис.13.5б). У результаті одержуємо

\(F_{x}=-kx\),

де x – зміщення маятника з положення рівноваги,

 

\(k=\frac{mg}{l}\),

(13.16)

Отже, у відповідності до умови (13.10)

малі вільні коливання математичного маятника є гармонічними.

Зіставивши вираз (13.16) з формулами (13.12) та (13.13), знаходимо, що циклічна частота \(\omega\) і період   гармонічних коливань математичного маятника визначається формулами

 

\(\omega=\sqrt{\frac{g}{l}}\),

(13.17)

і

 

\(T=2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}\),

(13.18)