ФІЗИКА. Вчимося розв'язувати задачі. "ОПТИКА". Компенсаційний курс

Приклади розв'язування задач

Задача 17.1

Два точкові когерентні джерела світла розташовані на відстані l = 0,5 м від екрана. Довжина хвилі світла \(\lambda=620\) нм. Відстань між джерелами d = 0,4 мм.

Визначити

відстань \(\Delta{x}\) між інтерференційними максимумами на екрані.

 

Дано:

l = 0,5 м
\(\lambda=620\) нм = 6,2·10-7 м
d = 0,4 мм = 0,4·10-3 м
\(\Delta{x}\) - ?

Розв’язання

Припустимо, що в точці А на екрані (рис.1) спостерігається максимум інтерференції. Це можливо, якщо різниця ходу \(\Delta\) двох променів S1A та S2A задовольняє умові (17.8a):

 

\(\Delta=\pm{m}\lambda\),

(1)

де m – цілі числа. Знайдемо різницю ходу, скориставшись геометричною побудовою на рис.1. З трикутників S1AB та S2AC за теоремою Піфагора маємо:

S1A2 = S1B2 + AB2;     S2A2 = S2C2 + AC2.

Відрізки AB та AC відповідно дорівнюють

AB = AD - \(\frac{1}{2}\)BC;    AC = AD + \(\frac{1}{2}\)BC.

Позначимо AD = x. Оскільки S1B = S2C = l, BC = d, маємо:

 

S1A2 = l2 + (xd/2)2;    S2A2 = l2 +(x + d/2)2.

(2)

 Різницю квадратів (S2A2 – S1A2) запишемо у вигляді:

S2A2 – S1A2 = (S2A – S1A)(S2A + S1A).

Інтерференційна картина в таких випадках завжди спостерігається поблизу центра екрана (точка D на рис.1), тобто \(x\ll{l}\). За цих умов S2A + S1A \(\approx\) 2l, S2A – S1A = \(\Delta\)отже

S2A2 – S1A2 = \(\Delta\cdot{2l}\).

Підставимо сюди вирази (2) і дістанемо:

\(l^{2}+(x+d/2)^{2}-l^{2}-(x-d/2)^{2}=\Delta{2l}\)    \(\Rightarrow\)    \(x=\frac{\Delta\cdot{l}}{d}\).

Врахувавши умову (1), знаходимо, що точка A, в якій спостерігається максимум інтерференції з номером m, віддалена від точки D на відстань

\(x_{m}=\frac{m\lambda{l}}{d}\).

Точка А1, в якій спостерігається максимум з номером (m + 1), віддалена від точки О на відстань

\(x_{m+1}=\frac{(m+1)\lambda{l}}{d}\),

отже відстань між максимумами

\(\Delta{x}=x_{m+1}-x_{m}=\frac{\lambda{l}}{d}\).

З останнього виразу зрозуміло, що для покращення умов спостереження інтерференції необхідно збільшувати відстань від джерел до екрана l і зменшувати відстань між джерелами d.

Виконаємо обчислення:

\(\Delta{x}=\frac{6,2\cdot{10^{-7}}\cdot{0,5}}{0,4\cdot{10^{-3}}}=7,75\cdot{10}^{-4}\) м \(\approx{0,8}\) мм.