ФІЗИКА. Вчимося розв'язувати задачі. "ОПТИКА". Компенсаційний курс

Приклади розв’язування задач

Формули дзеркала і лінзи

Рекомендації до теми

Задача 16.17. Рефлектор прожектора являє собою угнуте сферичне дзеркало з радіусом кривизни R = 30 см. Визначити на якій відстані l  від фокуса дзеркала треба розташувати на головній оптичній осі точкове джерело світла, щоб одержати конічний пучок відбитих променів, що сходиться в точку на відстані L = 10 м від полюса дзеркала.

Задача 16.18. Мурашка повзе зі швидкістю v = 5  мм/с уздовж головної оптичної осі опуклого дзеркала. Визначити швидкість руху зображення мурашки u у момент, коли вона знаходиться на відстані d = 1,5F від дзеркала (F – фокусна відстань).

Задача 16.19. Малий предмет розглядають, приклавши до ока збірну лінзу (лупу) з фокусною відстанню F = 5 см так, що утворюється пряме зображення предмета, розміщене на відстані найкращого зору L = 25 см від лінзи. Визначити положення d предмета та збільшення \(\Gamma\) зображення.

Задача 16.20. Відстань між предметом та його зображенням у розсіювальній лінзі l = 5 см, а збільшення \(\Gamma=0,5\). Визначити фокусну відстань F та оптичну силу лінзи D.

Задача 16.21.Збірна лінза має фокусну відстань F. Визначити: А) при якій відстані d0 між предметом та лінзою, відстань між предметом та його дійсним зображенням буде найменшою L = Lmin; Б) величину Lmin.

Задача 16.22. Світна точка S та екран E розташовані на відстані L = 1 м одне від одного. Збірна лінза, вміщена між ними, дає чітке зображення \(\mathrm{S}^{\prime}\) на екрані при двох положеннях, відстань між якими l = 60 см (див. схематичний рис. 22). Визначити фокусну відстань лінзи F.

Задача 16.23Промені збіжного конічного пучка, що проходять крізь розсіювальну лінзу з фокусною відстанню F = 30  см, перетинаються в точці В головної оптичної осі на відстані L = 60 см від центра лінзи O (рис.23). Визначити відстань l  на яку, зміститься точка перетину променів, якщо лінзу прибрати.

Задача 16.24Короткозорий хлопець читає книжку, тримаючи її на відстані d0 = 16 см від очей. Визначити оптичну силу Dл окулярів, які потрібні хлопцеві для корекції зору.

Задача 16.25Оптична система складається із збірної лінзи Л1 з відомою фокусною відстанню F1 і розсівної лінзи Л2, що розміщена у фокальній площині лінзи Л1 так, що головні оптичні осі лінз співпадають (рис.25). Предмет AB розташований на відстані d1 = 3F1 перед збиральною лінзою. Визначити фокусну відстань розсіювальної лінзи F2, якщо система дає дійсне зображення предмета із збільшенням \(\Gamma=2\).

Задача 16.17

Рефлектор прожектора являє собою угнуте сферичне дзеркало з радіусом кривизни R = 30 см.

Визначити

на якій відстані l від фокуса дзеркала треба розташувати на головній оптичній осі точкове джерело світла, щоб одержати конічний пучок відбитих променів, що сходиться в точку на відстані L = 10 м від полюса дзеркала.

Дано:

R = 30 см = 0,1 м
L = 10 м
l - ?

Розв’язання

Положення вершини відбитого пучка S′ (рис.17) і джерела S зв'язані формулою дзеркала (16.9). Оскільки дзеркало угнуте і точка S′ є дійсним зображенням точки S, усі величини у формулі (16.9) мають знак «+» (див. правило знаків). Відповідно до тексту задачі f = L і d = F + l, де F – головна фокусна відстань дзеркала. Тому формула (16.9) здобуває вигляд:

\(\frac{1}{F+l}+\frac{1}{L}=\frac{1}{F}\).

Звідси, після елементарних викладок одержуємо

\(l=\frac{F^{2}}{L-F}\).

Для сферичного дзеркала \(F=\frac{R}{2}\) (формула (16.8)), тому

\(l=\frac{R^{2}}{2(2L-R)}\).

З урахуванням того, що за умовою L >> R, остаточну відповідь доцільно представити у вигляді:

\(l\approx\frac{R^{2}}{4L}=4\cdot{10^{-3}}\) м = 4 мм

У такий спосіб джерело варто розташувати на 4 мм далі від полюса P, ніж фокус F. На рис.17-1 для ілюстрації показана побудова ходу одного з променів. (При побудові враховано, що показник заломлення повітря практично рівний одиниці).

 

Задача 16.18

Мурашка повзе зі швидкістю v = 5 мм/с уздовж головної оптичної осі опуклого дзеркала.

Визначити

швидкість руху зображення мурашки u у момент, коли вона знаходиться на відстані d = 1,5F від дзеркала (F – фокусна відстань).

Дано:

v = 5 мм/с
d = 1,5F
u - ?

Розв’язання

Побудуємо зображення мурашки в дзеркалі на момент, коли вона знаходиться в точці A на головній оптичній осі (рис.18).

Для цього (див. Рекомендації, п.3. рис.16.15б):

1) показуємо положення фокальної площини дзеркала F′F″;

2) проводимо допоміжний промінь KC, продовження якого за дзеркалом проходить через центр кривизни дзеркала C. Він перетинає фокальну площину в точці D;

3) будуємо хід променя AB, паралельного KC: після відбивання він йде так, щоб його продовження за дзеркалом перетинається з променем KC у точці D фокальної площини;

4) другий промінь AP, необхідний для побудови зображення, направимо уздовж головної оптичної осі; (після відбивання в точці P (полюс дзеркала) він змінить напрямок на протилежний);

5) На перетині відрізків BD і AC одержуємо уявне зображення A′ точки A.

Відповідно до формули сферичного дзеркала (16.9) з урахуванням правила знаків, маємо:

\(-\frac{1}{F}=\frac{1}{d}-\frac{1}{f}\) \(\Rightarrow\) \(f=\frac{Fd}{d+F}\),

(1)

де F – фокусна відстань дзеркала, d, f – відстані від предмета (мурашки) і її зображення у дзеркалі (рис.18).

Відстань (координата) мурашки до дзеркала змінюється за законом d = d0 + vt, де d0 – відстань у початковий момент часу. Підставимо вираз d у формулу (1):

\(f=\frac{F(d_{0}+vt)}{d_{0}+vt+F}\).

За умовою задачі необхідно визначити миттєву швидкість, що визначається як похідна координати за часом \(u=f^{\prime}(t)\) (див. формулу (1.5)). За правилами визначення похідної дробу маємо:

\(u=f^{\prime}(t)=\frac{Fv(d_{0}+vt+F)-F(d_{0}+vt)v}{(d_{0}+vt+F)^{2}}=\frac{vF^{2}}{(d+F)^{2}}\).

За умовою в заданий момент часу f = 1,5F , тому

\(u=\frac{vF^{2}}{(1,5F+F)^{2}}=\frac{v}{6,25}=\frac{5}{6,25}=0,8\) мм/с

(2)

Ті ж, хто не володіють вищою математикою, можуть міркувати так. Нехай у заданий момент часу відстань від мурашки до дзеркала дорівнює d. Тоді відстань f від дзеркала до зображення визначається формулою (1). За деякий проміжок часу \(\Delta{t}\) ці відстані зміняться і стануть рівними відповідно d1 і f1. Переміщення зображення

\(\Delta{f}=f_{1}-f=\frac{Fd_{1}}{d_{1}+F}-\frac{Fd}{(d+F)}\),

звідки

\(\Delta{f}=\frac{F^{2}\Delta{d}}{(d+F)(d_{1}+F)}\),

(3)

де \(\Delta{d}\) – переміщення мурахи за час \(\Delta{t}\).
З формул (1) і (3) можна зрозуміти, що рух зображення нерівномірний. Отже, для визначення його швидкості треба розглядати переміщення \(\Delta{f}\) і \(\Delta{d}\), за гранично малий проміжок часу \(\Delta{t}\to{0}\). У такому випадку величини d і d1 у формулі (3) можна вважати рівними і записати:

\(\Delta{f}=\frac{F^{2}\Delta{d}}{(d+F)^{2}}\)

звідки одержуємо швидкість зображення

\(u=\frac{\Delta{f}}{\Delta{t}}=\frac{F^{2}}{(d+F)^{2}}\cdot\frac{\Delta{d}}{\Delta{t}}=\frac{F^{2}v}{(d+F)^{2}}\),

що співпадає з виразом (2).



 

Задача 16.19

Малий предмет розглядають, приклавши до ока збірну лінзу (лупу) з фокусною відстанню F = 5 см так, що утворюється пряме зображення предмета, розміщене на відстані найкращого зору L = 25 см від лінзи.

Визначити

положення d предмета та збільшення \(\Gamma\) зображення.

Дано:

F = 5 см
L = 25 см
d, \(\Gamma\) - ?

Розв’язання

Лупа є найпростішим приладом, що "озброює" око. Для того, щоб зображення було прямим (неперевернутим), точки предмета та їх зображення повинні бути розташовані по один бік від головної оптичної осі лінзи. В збіральній лінзі це можливо, тільки коли предмет розміщений між оптичним центром та фокусом. При цьому зображення є уявним і збільшеним, як видно з побудови рис.19.

Отже, згідно з формулою лінзи (16.13) та правилом знаків і умовою задачі f = L, маємо:

\(\frac{1}{d}-\frac{1}{L}=\frac{1}{F}\) \(\Rightarrow\) \(d=\frac{LF}{L+F}\approx{4,2}\) см.

(1)

Збільшення зображення визначимо, підставивши вираз (1) у формулу (16.14):

\(\Gamma=\frac{f}{d}=\frac{L+F}{F}=6\).

З останнього виразу видно, що збільшення тим більше, чим менша фокусна відстань лінзи. Тому в якості луп використовують короткофокусні лінзи, і при розгляданні предмета його розміщують у безпосередньо біля фокуса лупи. Це очевидно з формули (1) за умови F << L.

 

Задача 16.20

Відстань між предметом та його зображенням у розсіювальній лінзі l = 5 см, а збільшення \(\Gamma=0,5\).

Визначити

фокусну відстань F та оптичну силу лінзи D.

Дано:

l = 5 см
\(\Gamma=0,5\)
F, D - ?

Розв’язання

Побудова зображення предмета AB в розсіювальній лінзі та відповідні відстані показані на рис.20, з якого видно що

l = df.

(1)

Лінійне збільшення лінзи \(\Gamma\) визначається формулою (16.14):

\(\Gamma=\frac{H}{h}=\frac{f}{d}\).

(2)

З рівнянь (1) та (2) знайдемо f та d:

\(-\frac{1}{F}=\frac{1}{d}-\frac{1}{f}\) \(\Rightarrow\) \(F=\frac{fd}{d-f}=\frac{l\Gamma}{(1-\Gamma)^{2}}=\frac{5\cdot{0,5}}{1-0,5}=10\) см.

Оптична сила лінзи

\(D=-\frac{1}{F}=-10\) дптр.

 

Задача 16.21

Збірна лінза має фокусну відстань F.

Визначити:

А) при якій відстані d0 між предметом та лінзою, відстань між предметом та його дійсним зображенням буде найменшою L = Lmin;

Б) величину Lmin.

Дано:

F
d0 - ?
Lmin - ?

Розв’язання

Предмет та його дійсне зображення знаходяться по різні боки від лінзи (рис.21). Тому відстань l між предметом та його дійсним зображенням

L = d + f.

(1)

Отже

f = Ld.

Підставивши цей вираз у формулу лінзи (16.9), отримаємо залежність L від d:

\(\frac{1}{d}+\frac{1}{L-d}=\frac{1}{F}\) \(\Rightarrow\) \(L=\frac{d^{2}}{d-F}\).

(2)

Далі задачу можна розв'язувати двома способами:

1) з використанням методів вищої математики;

2) алгебраїчно.

I спосіб.

А) Щоб визначити, при якому значенні d = d0 величина L буде найменшою (L = Lmin), знайдемо похідну від L по d і прирівняємо її до нуля. За правилом диференціювання дробу

\(L^{\prime}=\frac{2d(d-F)-d^{2}}{(d-F)^{2}}=\frac{d(d-2F)}{(d-F)^{2}}\).

(3)

Мінімальній відстані L = Lmin відповідає така величина d = d0, при якій \(L^{\prime}(d_{0})=0\), отже

\(\frac{d_{0}( d_{0}-2F)}{( d_{0}-F)}=0\) \(\Rightarrow\) \(d_{0}=2F\).

(4)

Зауважимо, що рівність нулю похідної відповідає також умові максимуму L. Однак відстань d може бути якою завгодно то, згідно з виразом (1), те ж саме можна сказати і про L. Таким чином, відсутні чинники, які б зумовили можливість досягнення максимуму функції L(d).

При цьому враховано те, що \( d_{0}\ne{F}\) і \( d_{0}\ne{0}\), оскільки при \( d_{0}=F\) зображення не існує (див. формулу (16.13)), а \(d_{0}=0\) не має фізичного змісту: предмет не може знаходитись всередині лінзи

Б) Підставивши значення \(d_{0}=2F\) у вираз (2), отримаємо для мінімальної відстані Lmin:

\(L_{min}=\frac{4F^{2}}{2F-F}=4F\).

За такої умови з виразу (1) випливає, що f = 2F.

Отже при мінімальній відстані L = Lmin: предмет і його дійсне зображення розміщені у подвійному фокусі лінзи. Як наслідок, збільшення \(\Gamma=f/d=1\). Сказане свідчить про те, що для збірної лінзи не лише головні фокуси, а й подвійні фокуси є особливими точками.

II спосіб. Перепишемо вираз (2) у вигляді квадратного рівняння відносно величини d:

\(d^{2}-Ld+LF=0\).

(5)

Корені цього рівняння можна подати у вигляді:

\(d_{1,2}=\frac{L}{2}\left(1\pm\sqrt{1-\frac{4F}{L}}\right)\).

(6)

Обидва корені d1 і d2 мають фізичний зміст і визначають два положення предмета відносно збиральної лінзи, при яких на заданій відстані утворюються дійсні зображення (в одному випадку збільшене, а в іншому зменшене). Але з виразу (6) очевидно, що дійсні корені, а отже – розв'язок задачі, існують лише за умови

\(1-\frac{4F}{L}\ge{0}\) \(\Rightarrow\) \(L\ge{4F}\).

Звідси відразу випливає відповідь на запитання Б):

\(L_{min}=4F\).

Підстановка цього значення у виразі (6) дає величину d. (завдання А)):

\(d_{0}=\frac{L_{min}}{2}=2F\).

 

Задача 16.22

Світна точка S та екран E розташовані на відстані L = 1 м одне від одного. Збірна лінза, вміщена між ними, дає чітке зображення \(\mathrm{S}^{\prime}\) на екрані при двох положеннях, відстань між якими l = 60 см (див. схематичний рис. 22).

Визначити фокусну відстань лінзи F.

Дано:

L = 1 м
l = 60 см
F - ?

Розв’язання

На рис.22-1 схематично показані точка S, її зображення \(\mathrm{S}^{\prime}\) на екрані E, два положення лінзи (1), (2) та відповідні відстані.

Задачу можна розв'язати декількома способами.

I спосіб. Логічно найпростішими є такий шлях. Запишемо формулу лінзи (16.9) для обох положень лінзи та співвідношення, що випливають безпосередньо з умови задачі та рис.22-1:

\(\frac{1}{d_{1}}+\frac{1}{f_{1}}=\frac{1}{F}\),

\(\frac{1}{d_{2}}+\frac{2}{f_{2}}=\frac{1}{F}\),

(1)

\(d_{1}+f_{1}=L\),

\(d_{2}+f_{2}=L\),

(2)

\(d_{2}-d_{1}=L\).

(3)

Ця система з п'яти рівнянь містить 5 невідомих (d1, f1, d2, f2, F), отже є повною. Розв'язавши її, можна визначити шукану фокусну відстань F. Але такий спосіб не є раціональним, оскільки пов'язаний з громіздкими викладками.

II спосіб. Розв'язання значно спрощується, якщо врахувати оборотність світлових променів, яка дозволяє міняти місцями предмет і його зображення. Відтак стає зрозумілим, що d2 = f1 , f2 = d1 і рівняння (3) набуває вигляду

\(f_{1}-d_{1}=l\).

(4)

Почленно додавши, а потім віднявши, рівняння (2) і (3), легко отримаємо

\(d_{1}=\frac{L-l}{2}\), \(f_{1}=\frac{L+l}{2}\).

Підставивши ці вирази в рівняння (1), після нескладних викладок знайдемо відповідь:

\(\frac{2}{L-l}+\frac{2}{L+l}=\frac{1}{F}\) \(\Rightarrow\) \(F=\frac{L^{2}-l^{2}}{4l}=16\) см.

III спосіб. Скористаємось виразами d1 і d2 з задачі 16.19 (формула (6)):

\(d_{1}=\frac{L}{2}\left(1-\sqrt{1-\frac{4F}{L}}\right)\),

\(d_{2}=\frac{L}{2}\left(1+\sqrt{1-\frac{4F}{L}}\right)\).

В такому виразі, згідно з співвідношенням (3)

\(l=L\sqrt{1-\frac{4F}{L}}\) \(\Rightarrow\) \(F=\frac{L^{2}-l^{2}}{4L}\).

 

Задача 16.23

Промені збіжного конічного пучка, що проходять крізь розсіювальну лінзу з фокусною відстанню F = 30  см, перетинаються в точці В головної оптичної осі на відстані L = 60 см від центра лінзи O (рис.23).

Визначити

відстань l  на яку, зміститься точка перетину променів, якщо лінзу прибрати.

Дано:

F = 30  см
L = 60 см
l - ?

Розв’язання

Промені, що падають на лінзу, не виходять з якоїсь світної точки (джерела). Тому може здатись, що формула лінзи (16.13) тут непридатна через невизначеність параметра d – відстані від "предмета" до лінзи. Але завдяки оборотності світлових променів можна "обернути" задачу в такий спосіб. Розмістимо в точці B точкове джерело, що напрямляє на лінзу конічний світловий пучок, обмежений променями BA і BA″ (рис.23-1). Тоді заломлені промені утворять такий самий, як падаючі, але розбіжний пучок, і точка B’ буде уявним зображенням точки B. При цьому OB = L = і  OB′ =Ll = f.

З формули лінзи (16.9), враховуючи правило знаків, маємо

 

\(\frac{1}{L}-\frac{1}{L-l}=-\frac{1}{F}\),

(1)

звідки

\(l=\frac{L^{2}}{L+F}=40\) см.

Цікаво і корисно звернути увагу на те, що формулі (1) можна надати іншої інтерпретації, яка дозволяє отримати відповідь у цій та подібних задачах одразу, не розглядаючи оберненої задачі. Точка B за умовою є точкою перетину продовжень падаючих на лінзу променів. Тому її можна формально трактувати як уявне джерело, тобто як уявний зображуваний предмет. Натомість точка B є дійсним зображенням уявної точки B. В такому разі OB = Ll = d  i  OB = L = f,  і вираз (1) набуває вигляду:

\(-\frac{1}{d}+\frac{1}{f}=-\frac{1}{F}\),

що співпадає з формулою лінзи (16.9) і відповідає правилу знаків (величина 1/d взята зі знаком "–", а 1/f – зі знаком "+").

 

Задача 16.24

Короткозорий хлопець читає книжку, тримаючи її на відстані d0 = 16 см від очей.

Визначити

оптичну силу Dл окулярів, які потрібні хлопцеві для корекції зору.

Дано:

d0 = 16 см
Dл - ?

Розв’язання

Людина з нормальним зором найкраще розрізняє дрібні деталі, якщо предмет розташований на відстані найкращого бачення d = 25 см. Люди з дефектами зору змушені роздивлятися дрібні предмети, тримаючи їх на відстанях d0, що відрізняються від вказаної. Для корекції зору застосовують окуляри, при цьому кришталик ока та лінзу окулярів можна вважати оптичною системою, в якій лінзи розташовані впритул одна до одної. Оптична сила такої системи D, тобто «скорегованого» ока, визначається формулою (16.15):

 

D = D0 + Dл,

(1)

де D0 – оптична сила кришталика, Dл – оптична  сила лінзи окулярів.

За формулою тонкої лінзи (16.13)

 

\(D_{0}=\frac{1}{d_{0}}+\frac{1}{f}\);     \(D=\frac{1}{d}+\frac{1}{f}\),

(2)

де f – відстань між кришталиком та дном ока. (Нагадаємо, що на дні ока знаходиться сітківка, що відіграє роль "екрана", на який фокусується зображення розглядуваних об'єктів). Підставивши вирази (2) у формулу (1), після перетворень дістанемо

\(D_{л}=D-D_{0}=\frac{1}{d}-\frac{1}{d_{0}}=\frac{1}{0,25}-\frac{1}{0,16}=-2,25\) дптр.

Оптична сила від'ємна, отже для короткозорих людей окуляри виготовляються з розсіювальних лінз.

 

Задача 16.25

Оптична система складається із збірної лінзи Л1 з відомою фокусною відстанню F1 і розсівної лінзи Л2, що розміщена у фокальній площині лінзи Л1 так, що головні оптичні осі лінз співпадають (рис.25). Предмет AB розташований на відстані d1 = 3F1 перед збиральною лінзою.

Визначити

фокусну відстань розсіювальної лінзи F2, якщо система дає дійсне зображення предмета із збільшенням \(\Gamma=2\).

Дано:

d1 = 3F1
\(\Gamma=2\)
F2 - ?

Розв’язання

Приблизний хід променів і необхідні для аналізу відстані показані на рис.25-1.

Ключ до аналітичного розв'язання задач на зображення в оптичних системах полягає в тому, що зображення, яке створюється (або створювалося б) одним елементом системи можна розглядати як зображуваний предмет для наступного елемента.

В даній задачі це стосується зображення A1B1 (див. рис.25-1), яке створювала б лінза Л1 за відсутності Л2. Тому варто визначити положення цього зображення. Згідно з формулою лінзи (16.13) та умовою задачі d1 = 3F1 маємо:

 

\(\frac{1}{3F_{1}}+\frac{1}{f_{1}}=\frac{1}{F_{1}}\)    \(\Rightarrow\)     \(f_{1}=\frac{3}{2}F_{1}\).

(1)

По відношенню до лінзи Л2 відрізок A1B1 є уявним предметом, а A2B2 – його дійсним зображенням (див. Задачу 16.23). Тому згідно з правилом знаків для Л2 формула (16.13) набуває вигляду:

 

\(-\frac{1}{d_{2}}+\frac{1}{f_{2}}=\frac{1}{F_{2}}\).

(2)

З рис.25-1 видно, що d2 = f1F1 і з урахуванням значення (1)

\(d_{2}=\frac{3}{2}F_{1}-F_{2}=\frac{1}{2}F_{1}\).

З подібних трикутників O2A2B2  і O2O1C маємо:

\(\frac{f_{2}}{F_{1}}=\frac{H}{h}\)     \(\Rightarrow\)     \(f_{2}=\Gamma{F}_{1}=2F_{2}\),

де \(\Gamma=2\) – задане збільшення системи.

Підставивши ці значення d2 і f2 у формулу (2), дістанемо відповідь:

\(-\frac{2}{F_{1}}+\frac{1}{\Gamma{F}_{1}}=-\frac{1}{F_{2}}\)     \(\Rightarrow\)     \(F_{2}=\frac{2}{3}F_{1}\).