ФІЗИКА. Вчимося розв'язувати задачі. "КОЛИВАННЯ ТА ХВИЛІ". Компенсаційний курс

Розділ 14. Електромагнітні коливання. Змінний струм

Теоретичні відомості. Змінний струм

Змінним струмом називаються вимушені коливання в електричному колі, підключеному до генератора. В елементарній фізиці розглядаються тільки синусоїдальні змінні струми. Такі струми повсюди використовуються в силових електричних установках (двигуни, нагрівачі, освітлювачі й ін.). Але в електроніці широко застосовують різноманітні змінні струми інших видів.

У загальному випадку коло змінного струму, крім генератора, включає резистори, конденсатори і котушки індуктивності. Кожний з цих елементів створює певний опір струмові. Розрізняють три види опорів змінному струмові: активний опір, реактивний ємнісний та реактивний індуктивний опори. Зв'язок між струмом і напругою (ЕРС) генератора залежить від повного опору кола і описується законом Ома для змінного струму.

За певних умов у колах змінного струму спостерігається резонанс – явище, яке має важливі практичні застосування.

Потужність змінного струму залежить не тільки від напруги і сили струму, але й від різниці фаз між коливаннями цих величин.

Для перетворення напруги і сили змінного струму використовують трансформатори.


 Синусоїдальним називається змінний струм, при якому сила струму і напруги на ділянках кола здійснюють гармонічні коливання.

Синусоїдальний струм створюється генератором змінної напруги (ЕРС), яке залежить від часу за законом:

 

\(u=U_{m}\sin\omega{t}\),

(14.17)

де Um – амплітуда напруги генератора, \(\omega\) – циклічна частота. На практиці використовують лінійну частоту \(\nu\). Наприклад, на пристроях, що використовують промисловий змінний струм, вказують: \(\nu\) = 50 Гц.  (Зауважимо, що зміна напруги з часом може описуватися і законом косинуса).

 

Генератор змінного струму на електричних схемах зображують так:

 

Активним опором у колі (мається на увазі, що коло нерухоме, тобто відсутнє перетворення електричної енергії у механічну)  змінного струму (рис.14.4) називають опір резисторів. Він має таку ж природу, що й при постійному струмі, тобто обумовлений гальмуванням носіїв струму іншими частинками провідника. Всі формули, співвідношення і закони постійного струму залишаються чинними і для змінного струму в резисторах. Зокрема, для них виконується закон Ома

 

\(i=\frac{u}{R}\),

(14.18)

де i, u – миттєві значення сили струму і напруги на резисторі, R – активний опір.

Якщо резистор підключити до генератора змінної напруги u (формула (14.17)), то сила струму у резисторі

 

\(i=I_{m}\sin\omega{t}\),

(14.19)

тобто коливання сили струму в резисторі відбуваються в однаковій фазі з коливаннями напруги і мають амплітуду

 

\(I_{m}=\frac{U_{m}}{R}\).

(14.20)

 

Реактивним ємнісним опором називається опір, що створюється ідеальним конденсатором при протіканні змінного струму.

Напруга на конденсаторі, підключеному до генератора (рис.14.5), дорівнює напрузі генератора (формула (14.17)): uC = u. Отже, заряд конденсатора неперервно змінюється за законом

 

\(q=Cu=CU_{m}\sin\omega{t}\).

(14.21)

При цьому через з'єднувальні провідники і генератор тече струм, який визначається формулою (14.2):

\(i=q^{\prime}(t)\).

У теорії змінного струму цю величину називають струмом конденсатора. (Струм конденсатора – абстрактне поняття, оскільки ніякого руху носіїв між обкладками немає. Струм в конденсаторі визначається не швидкістю носіїв, як звичайний струм, а швидкістю зміни в ньому електричного поля). Відповідно до рівняння (14.21) струм конденсатора

 

\(i=\omega{C}U_{m}\cos\omega{t}\),

(14.22)

або

 

\(i=I_{m}\sin\left(\omega{t}+\frac{\pi}{2}\right)\),

(14.22a)

де Im – амплітуда струму, яку можна записати як

\(I_{m}=\frac{U_{m}}{(1/\omega{C})}\).

Цей вираз і за виглядом, і за змістом аналогічний формулі (14.20). Отже, величина

 

\(X_{C}=\frac{1}{\omega{C}}=\frac{1}{2\pi\nu{C}}\)

(14.23)

описує опір конденсатора змінному струмові. Вона називається реактивним ємнісним опором.

Таким чином, для змінного струму в конденсаторі з'вязок між амплітудами сили струму Im і напруги  Um­  аналогічний зв'язку між силою струму і напругою в колі постійного струму:

 

\(I_{m}=\frac{U_{m}}{X_{C}}\),

(14.24)

Але, як видно з рівнянь (14.22) і (14.17), \(i(t)\ne{u}(t)/X_{C}\), тобто

для миттєвих значень сили змінного струму і напруги на конденсаторі закон Ома не виконується.

 

Реактивним індуктивним опором називається опір змінному струмові, створюваний ідеальною котушкою індуктивності.

Якщо до генератора підключити котушку з індуктивністю L  і активним опором R (рис.14.6а), то відповідно до формули (11.15)

\(iR=u+\mathcal{E}_{с}\),

де i – сила струму, u – напруга (ЕРС) генератора, \(\mathcal{E}_{с}\) – ЕРС самоіндукції в котушці. Для ідеальної котушки R = 0 (рис.14.6б), отже

 

\(-\mathcal{E}_{с}=u\).

(14.25)

Оскільки котушка підключена до генератора прямо, то напруга на ній дорівнює напрузі генератора: uL = u. Тому, підставивши вирази u (14.17), та \(\mathcal{E}_{с}\) (12.14) у співвідношення (14.25), одержуємо

 

\(Li^{\prime}=U_{m}\sin\omega{t}\).

(14.26)

З цього рівняння випливає, що

 

\(i=I_{m}\sin\left(\omega{t}-\frac{\pi}{2}\right)\).

(14.27)

де амплітуда сили струму Im визначається виразом

\(I_{m}=\frac{U_{m}}{\omega{L}}\).

(Розв'язання рівняння (14.26) можна визначити або прямим інтегруванням, або підстановкою загального рівняння коливань струму \(i=I_{m}\sin(\omega{t}+\varphi_{0})\).

Порівняння цього виразу з формулами (14.20) і (14.23) показує, що котушка індуктивності створює для змінного струму опір

 

\(X_{L}=\omega{L}=2\pi\nu{L}\),

(14.28)

який називається реактивним індуктивним опором.

Індуктивний опір XL визначає зв'язок між амплітудами сили струму Im і напруги Um на котушці індуктивності в колі змінного струму:

 

\(I_{m}=\frac{U_{m}}{X_{L}}\).

(14.29)

Але для миттєвих значень (див. рівняння (14.27) та (14.17)) такого зв'язку немає: \(i\ne{u}/X_{L}\). Отже,

для миттєвих значень сили змінного струму і напруги на котушці індуктивності закон Ома не виконується.

 

Прямо пропорційний зв'язок між амплітудою сили струму і амплітудою напруги зберігається в будь-якому колі змінного струму. У цьому полягає закон Ома для змінного струму:

амплітуда сили змінного струму в колі прямо пропорційна амплітуді напруги (ЕРС) генератора і обернено пропорційна повному опору кола:

 

 

\(I_{m}=\frac{U_{m}}{Z}\).

(14.30)

 

При цьому повний опір Z (його ще називають ще "імпедансом") визначається параметрами елементів кола (R, L, C) і способом їх з'єднання. Для найпростішого послідовного кола (рис.14.7)

\(Z=\sqrt{R^{2}+(X_{L}-X_{C})^{2}}\),

(14.31)

або

\(Z=\sqrt{R^{2}+\left(\omega{L}-\frac{1}{\omega{C}}\right)^{2}}\).

(14.31a)

Закон Ома для змінного струму стосується амплітуд. Для миттєвих значень сили струму він не виконується, тобто сила струму в даний момент часу не дорівнює відношенню напруги в цей же момент часу до повного опору. (Це не суперечить співвідношенню (14.30), тому що сила струму і напруга здійснюють коливання зі зсувом фаз і досягають своїх максимальних значень Im і Um не одночасно).

 

Згідно з формулами (14.23), (14.28) та (14.30), повний опір кола Z залежить від частоти. Відповідно, від частоти залежить і амплітуда сили струму Im. Вигляд цих залежностей для послідовного кола показаний на рис.14.8. На рисунку виразно простежується явище резонансу в електричному колі, яке полягає у різкому збільшенні амплітуди коливань при при наближенні частоти струму до резонансної частоти \(\omega_{р}\). Резонансна частота відповідає мінімуму повного опору і знаходиться з умови

\(\omega_{р}L-\frac{1}{\omega_{р}C}\)    \(\Rightarrow\)    \(\omega_{р}=\frac{1}{\sqrt{LC}}\).

(14.32)

При \(\omega=\omega_{р}\) повний опір Zр і резонансна амплітуда сили струму Iр відповідно до формул (14.31a) та (14.30), дорівнюють

\(Z_{р}=R\),

\(I_{р}=\frac{U_{m}}{R}\).

Видно, що при резонансі відбувається компенсація ємнісного й індуктивного опорів. Це пояснюється тим, що коливання напруги на конденсаторі і на котушці протилежні по фазі і, отже, віднімаються. Тому при резонансі сумарний спад напруги на них дорівнює нулю.

 

Потужність змінного струму, що виділяється в колі у кожний момент часу, дорівнює добутку миттєвих значень сили струму і напруги. Ця миттєва потужність змінюється з великою частотою і її достатньо складно безпосередньо виміряти.

Тому потужністю змінного струму називають середнє значення добутку сили струму і напруги.

Повна потужність у колі змінного струму виражається формулою

 

\(P=\frac{1}{2}I_{m}U_{m}\cos\varphi\),

(14.33)

де Im, Um – амплітуди сили струму і напруги генератора, \(\varphi\) – різниця фаз між коливаннями струму і напруги генератора.

Величина \(\cos\varphi\) називається коефіцієнтом потужності і виражається через активний і повний опір кола формулою

 

\(\cos\varphi=\frac{R}{Z}\).

(14.34)

Якщо підставити цей вираз у формулу (14.33) і врахувати закон Ома (формула (14.30), то виходить

 

\(P=\frac{I_{m}^{2}}{2}R=\frac{U_{Rm}^{2}}{2R}\),

(14.35)

де URm = ImR – напруги на активному опорі кола.

Така ж потужність виділялася б у колі постійного струму з опором R при силі струму і напрузі

 

\(I=\frac{I_{m}}{\sqrt{2}}\),     \(U=\frac{U_{m}}{\sqrt{2}}\).

(14.34)

Величини I  та U, що визначаються формулами (14.36), називаються діючими, або ж ефективними значеннями сили струму і напруги.

Діючі значення є загальноприйнятими практичними характеристиками змінного струму. Зокрема, електровимірювальні прилади показують діючі значення, робочі величини струмів і напруг на різних побутових приладах теж вказують у діючих значеннях.

Із застосуванням діючих значень струму й напруги формули потужності (14.33) і (14.35) записуються у вигляді

 

\(P=IU\cos\varphi\),

(14.37)

та

 

\(P=I^{2}R=\frac{U_{m}^{2}}{R}\).

(14.38)

Остання формула показує, що споживана від генератора потужність змінного струму, виділяється тільки на активному опорі, а реактивні елементи – конденсатор і котушка індуктивності – енергії не споживають. Це пов'язано з тим, що при зарядці конденсатор поглинає відповідну енергію, а при розрядці – повністю повертає її в коло. Те ж саме відбувається і у котушці індуктивності при збільшенні і зменшенні сили струму.

 

Трансформатор – це пристрій для перетворення ("трансформації") величини напруги та сили змінного струму.

Робота трансформатора грунтується на явищі електромагнітної індукції.

Трансформатор складається з двох (або більше) обмоток, надітих на спільне залізне осердя. Та обмотка, яка підключається до джерела живлення, называється первинною, а та, до якої підключають навантаження, – вторинною. Якщо напруга на вторинній обмотці u2 більша, ніж на первинній u1, трансформатор називають підвищувальним, інакше (u2 < u1) – знижувальним.

Роботу трансформатора якісно можна пояснити так. При протіканні в первинній обмотці змінного струму в залізному осерді виникає змінний магнітный потік, який пронизує обидві обмотки і створює в кожному витку однакову ЕРС індукції ei. Активний опір первинної обмотки малий порівняно з індуктивним. Тому спадом напруги на активному опорі можно нехтувати і вважати, що напруга на первинній обмотці

\(u_{1}=\mathcal{E}_{1}=Ne_{i}\),

де N1 – кількість витків у первинній обмотці.

При розімкненій вторинній обмотці (режим "холостого ходу") напруга на ній

\(u_{2}=\mathcal{E}_{2}=N_{2}e_{i}\),

де N2 – кількість витків у вторинній обмотці.

Отже, відношення напруг

 

\(k=\frac{U_{1}}{U_{2}}=\frac{\mathcal{E}_{1}}{\mathcal{E}_{2}}=\frac{N_{1}}{ N_{2}}\).

(14.39)

Величину k називають коефіцієнтом трансформації. Для знижувального трансформатора k > 1, для підвищувального k < 1. Однак на практиці коефіцієнт трансформації підвищувального трансформатора виражають числом \(k^{\prime}=\frac{1}{k}\), яке більше за одиницю. Наприклад, говорять: "підвищувальний трансформатор з коефіцієнтом трансформації 10".

В трансформаторі певна частка енергії електричного струму втрачається внаслідок виділення тепла на активних опорах обмоток та при перемагнічуванні осердя. Але ці втрати невеликі, і ККД трансформації близький до 1. Тому з достатньою точністю можна вважати, що потужності струму у обмотках однакові:

 

\(U_{1}I_{1}= U_{2}I_{2}\)     \(\Rightarrow\)     \(\frac{I_{2}}{I_{1}}=\frac{U_{1}}{U_{2}}=\frac{1}{k}\).

(14.38)

Отже, у скільки разів трансформатор змінює напругу, у стільки ж разів (тільки в зворотному напрямку) він змінює й силу струму.