ФІЗИКА. Вчимося розв'язувати задачі. "КОЛИВАННЯ ТА ХВИЛІ". Компенсаційний курс
Розділ 14. Електромагнітні коливання. Змінний струм
Теоретичні відомості. Змінний струм
|
Змінним струмом називаються вимушені коливання в електричному колі, підключеному до генератора. В елементарній фізиці розглядаються тільки синусоїдальні змінні струми. Такі струми повсюди використовуються в силових електричних установках (двигуни, нагрівачі, освітлювачі й ін.). Але в електроніці широко застосовують різноманітні змінні струми інших видів. У загальному випадку коло змінного струму, крім генератора, включає резистори, конденсатори і котушки індуктивності. Кожний з цих елементів створює певний опір струмові. Розрізняють три види опорів змінному струмові: активний опір, реактивний ємнісний та реактивний індуктивний опори. Зв'язок між струмом і напругою (ЕРС) генератора залежить від повного опору кола і описується законом Ома для змінного струму. За певних умов у колах змінного струму спостерігається резонанс – явище, яке має важливі практичні застосування. Потужність змінного струму залежить не тільки від напруги і сили струму, але й від різниці фаз між коливаннями цих величин. Для перетворення напруги і сили змінного струму використовують трансформатори. |
Синусоїдальним називається змінний струм, при якому сила струму і напруги на ділянках кола здійснюють гармонічні коливання.
Синусоїдальний струм створюється генератором змінної напруги (ЕРС), яке залежить від часу за законом:
|
|
\(u=U_{m}\sin\omega{t}\), |
(14.17) |
де Um – амплітуда напруги генератора, \(\omega\) – циклічна частота. На практиці використовують лінійну частоту \(\nu\). Наприклад, на пристроях, що використовують промисловий змінний струм, вказують: \(\nu\) = 50 Гц. (Зауважимо, що зміна напруги з часом може описуватися і законом косинуса).
Генератор змінного струму на електричних схемах зображують так:
Активним опором у колі (мається на увазі, що коло нерухоме, тобто відсутнє перетворення електричної енергії у механічну) змінного струму (рис.14.4) називають опір резисторів. Він має таку ж природу, що й при постійному струмі, тобто обумовлений гальмуванням носіїв струму іншими частинками провідника. Всі формули, співвідношення і закони постійного струму залишаються чинними і для змінного струму в резисторах. Зокрема, для них виконується закон Ома
|
|
\(i=\frac{u}{R}\), |
(14.18) |
де i, u – миттєві значення сили струму і напруги на резисторі, R – активний опір.
Якщо резистор підключити до генератора змінної напруги u (формула (14.17)), то сила струму у резисторі
|
|
\(i=I_{m}\sin\omega{t}\), |
(14.19) |
тобто коливання сили струму в резисторі відбуваються в однаковій фазі з коливаннями напруги і мають амплітуду
|
|
\(I_{m}=\frac{U_{m}}{R}\). |
(14.20) |
Реактивним ємнісним опором називається опір, що створюється ідеальним конденсатором при протіканні змінного струму.
Напруга на конденсаторі, підключеному до генератора (рис.14.5), дорівнює напрузі генератора (формула (14.17)): uC = u. Отже, заряд конденсатора неперервно змінюється за законом
|
|
\(q=Cu=CU_{m}\sin\omega{t}\). |
(14.21) |
При цьому через з'єднувальні провідники і генератор тече струм, який визначається формулою (14.2):
\(i=q^{\prime}(t)\).
У теорії змінного струму цю величину називають струмом конденсатора. (Струм конденсатора – абстрактне поняття, оскільки ніякого руху носіїв між обкладками немає. Струм в конденсаторі визначається не швидкістю носіїв, як звичайний струм, а швидкістю зміни в ньому електричного поля). Відповідно до рівняння (14.21) струм конденсатора
|
|
\(i=\omega{C}U_{m}\cos\omega{t}\), |
(14.22) |
або
|
|
\(i=I_{m}\sin\left(\omega{t}+\frac{\pi}{2}\right)\), |
(14.22a) |
де Im – амплітуда струму, яку можна записати як
\(I_{m}=\frac{U_{m}}{(1/\omega{C})}\).
Цей вираз і за виглядом, і за змістом аналогічний формулі (14.20). Отже, величина
|
|
\(X_{C}=\frac{1}{\omega{C}}=\frac{1}{2\pi\nu{C}}\) |
(14.23) |
описує опір конденсатора змінному струмові. Вона називається реактивним ємнісним опором.
Таким чином, для змінного струму в конденсаторі з'вязок між амплітудами сили струму Im і напруги Um аналогічний зв'язку між силою струму і напругою в колі постійного струму:
|
|
\(I_{m}=\frac{U_{m}}{X_{C}}\), |
(14.24) |
Але, як видно з рівнянь (14.22) і (14.17), \(i(t)\ne{u}(t)/X_{C}\), тобто
|
для миттєвих значень сили змінного струму і напруги на конденсаторі закон Ома не виконується. |
Реактивним індуктивним опором називається опір змінному струмові, створюваний ідеальною котушкою індуктивності.
Якщо до генератора підключити котушку з індуктивністю L і активним опором R (рис.14.6а), то відповідно до формули (11.15)
\(iR=u+\mathcal{E}_{с}\),
де i – сила струму, u – напруга (ЕРС) генератора, \(\mathcal{E}_{с}\) – ЕРС самоіндукції в котушці. Для ідеальної котушки R = 0 (рис.14.6б), отже
|
|
\(-\mathcal{E}_{с}=u\). |
(14.25) |
Оскільки котушка підключена до генератора прямо, то напруга на ній дорівнює напрузі генератора: uL = u. Тому, підставивши вирази u (14.17), та \(\mathcal{E}_{с}\) (12.14) у співвідношення (14.25), одержуємо
|
|
\(Li^{\prime}=U_{m}\sin\omega{t}\). |
(14.26) |
З цього рівняння випливає, що
|
|
\(i=I_{m}\sin\left(\omega{t}-\frac{\pi}{2}\right)\). |
(14.27) |
де амплітуда сили струму Im визначається виразом
\(I_{m}=\frac{U_{m}}{\omega{L}}\).
(Розв'язання рівняння (14.26) можна визначити або прямим інтегруванням, або підстановкою загального рівняння коливань струму \(i=I_{m}\sin(\omega{t}+\varphi_{0})\).
Порівняння цього виразу з формулами (14.20) і (14.23) показує, що котушка індуктивності створює для змінного струму опір
|
|
\(X_{L}=\omega{L}=2\pi\nu{L}\), |
(14.28) |
який називається реактивним індуктивним опором.
Індуктивний опір XL визначає зв'язок між амплітудами сили струму Im і напруги Um на котушці індуктивності в колі змінного струму:
|
|
\(I_{m}=\frac{U_{m}}{X_{L}}\). |
(14.29) |
Але для миттєвих значень (див. рівняння (14.27) та (14.17)) такого зв'язку немає: \(i\ne{u}/X_{L}\). Отже,
|
для миттєвих значень сили змінного струму і напруги на котушці індуктивності закон Ома не виконується. |
Прямо пропорційний зв'язок між амплітудою сили струму і амплітудою напруги зберігається в будь-якому колі змінного струму. У цьому полягає закон Ома для змінного струму:
|
амплітуда сили змінного струму в колі прямо пропорційна амплітуді напруги (ЕРС) генератора і обернено пропорційна повному опору кола: |
|
|
\(I_{m}=\frac{U_{m}}{Z}\). |
(14.30) |
При цьому повний опір Z (його ще називають ще "імпедансом") визначається параметрами елементів кола (R, L, C) і способом їх з'єднання. Для найпростішого послідовного кола (рис.14.7)
|
\(Z=\sqrt{R^{2}+(X_{L}-X_{C})^{2}}\), |
(14.31) |
або
|
\(Z=\sqrt{R^{2}+\left(\omega{L}-\frac{1}{\omega{C}}\right)^{2}}\). |
(14.31a) |
Закон Ома для змінного струму стосується амплітуд. Для миттєвих значень сили струму він не виконується, тобто сила струму в даний момент часу не дорівнює відношенню напруги в цей же момент часу до повного опору. (Це не суперечить співвідношенню (14.30), тому що сила струму і напруга здійснюють коливання зі зсувом фаз і досягають своїх максимальних значень Im і Um не одночасно).
Згідно з формулами (14.23), (14.28) та (14.30), повний опір кола Z залежить від частоти. Відповідно, від частоти залежить і амплітуда сили струму Im. Вигляд цих залежностей для послідовного кола показаний на рис.14.8. На рисунку виразно простежується явище резонансу в електричному колі, яке полягає у різкому збільшенні амплітуди коливань при при наближенні частоти струму до резонансної частоти \(\omega_{р}\). Резонансна частота відповідає мінімуму повного опору і знаходиться з умови
|
\(\omega_{р}L-\frac{1}{\omega_{р}C}\) \(\Rightarrow\) \(\omega_{р}=\frac{1}{\sqrt{LC}}\). |
(14.32) |
При \(\omega=\omega_{р}\) повний опір Zр і резонансна амплітуда сили струму Iр відповідно до формул (14.31a) та (14.30), дорівнюють
\(Z_{р}=R\),
\(I_{р}=\frac{U_{m}}{R}\).
Видно, що при резонансі відбувається компенсація ємнісного й індуктивного опорів. Це пояснюється тим, що коливання напруги на конденсаторі і на котушці протилежні по фазі і, отже, віднімаються. Тому при резонансі сумарний спад напруги на них дорівнює нулю.
Потужність змінного струму, що виділяється в колі у кожний момент часу, дорівнює добутку миттєвих значень сили струму і напруги. Ця миттєва потужність змінюється з великою частотою і її достатньо складно безпосередньо виміряти.
Тому потужністю змінного струму називають середнє значення добутку сили струму і напруги.
Повна потужність у колі змінного струму виражається формулою
|
|
\(P=\frac{1}{2}I_{m}U_{m}\cos\varphi\), |
(14.33) |
де Im, Um – амплітуди сили струму і напруги генератора, \(\varphi\) – різниця фаз між коливаннями струму і напруги генератора.
Величина \(\cos\varphi\) називається коефіцієнтом потужності і виражається через активний і повний опір кола формулою
|
|
\(\cos\varphi=\frac{R}{Z}\). |
(14.34) |
Якщо підставити цей вираз у формулу (14.33) і врахувати закон Ома (формула (14.30), то виходить
|
|
\(P=\frac{I_{m}^{2}}{2}R=\frac{U_{Rm}^{2}}{2R}\), |
(14.35) |
де URm = ImR – напруги на активному опорі кола.
Така ж потужність виділялася б у колі постійного струму з опором R при силі струму і напрузі
|
|
\(I=\frac{I_{m}}{\sqrt{2}}\), \(U=\frac{U_{m}}{\sqrt{2}}\). |
(14.34) |
Величини I та U, що визначаються формулами (14.36), називаються діючими, або ж ефективними значеннями сили струму і напруги.
Діючі значення є загальноприйнятими практичними характеристиками змінного струму. Зокрема, електровимірювальні прилади показують діючі значення, робочі величини струмів і напруг на різних побутових приладах теж вказують у діючих значеннях.
Із застосуванням діючих значень струму й напруги формули потужності (14.33) і (14.35) записуються у вигляді
|
|
\(P=IU\cos\varphi\), |
(14.37) |
та
|
|
\(P=I^{2}R=\frac{U_{m}^{2}}{R}\). |
(14.38) |
Остання формула показує, що споживана від генератора потужність змінного струму, виділяється тільки на активному опорі, а реактивні елементи – конденсатор і котушка індуктивності – енергії не споживають. Це пов'язано з тим, що при зарядці конденсатор поглинає відповідну енергію, а при розрядці – повністю повертає її в коло. Те ж саме відбувається і у котушці індуктивності при збільшенні і зменшенні сили струму.
Трансформатор – це пристрій для перетворення ("трансформації") величини напруги та сили змінного струму.
Робота трансформатора грунтується на явищі електромагнітної індукції.
Трансформатор складається з двох (або більше) обмоток, надітих на спільне залізне осердя. Та обмотка, яка підключається до джерела живлення, называється первинною, а та, до якої підключають навантаження, – вторинною. Якщо напруга на вторинній обмотці u2 більша, ніж на первинній u1, трансформатор називають підвищувальним, інакше (u2 < u1) – знижувальним.
Роботу трансформатора якісно можна пояснити так. При протіканні в первинній обмотці змінного струму в залізному осерді виникає змінний магнітный потік, який пронизує обидві обмотки і створює в кожному витку однакову ЕРС індукції ei. Активний опір первинної обмотки малий порівняно з індуктивним. Тому спадом напруги на активному опорі можно нехтувати і вважати, що напруга на первинній обмотці
\(u_{1}=\mathcal{E}_{1}=Ne_{i}\),
де N1 – кількість витків у первинній обмотці.
При розімкненій вторинній обмотці (режим "холостого ходу") напруга на ній
\(u_{2}=\mathcal{E}_{2}=N_{2}e_{i}\),
де N2 – кількість витків у вторинній обмотці.
Отже, відношення напруг
|
|
\(k=\frac{U_{1}}{U_{2}}=\frac{\mathcal{E}_{1}}{\mathcal{E}_{2}}=\frac{N_{1}}{ N_{2}}\). |
(14.39) |
Величину k називають коефіцієнтом трансформації. Для знижувального трансформатора k > 1, для підвищувального k < 1. Однак на практиці коефіцієнт трансформації підвищувального трансформатора виражають числом \(k^{\prime}=\frac{1}{k}\), яке більше за одиницю. Наприклад, говорять: "підвищувальний трансформатор з коефіцієнтом трансформації 10".
В трансформаторі певна частка енергії електричного струму втрачається внаслідок виділення тепла на активних опорах обмоток та при перемагнічуванні осердя. Але ці втрати невеликі, і ККД трансформації близький до 1. Тому з достатньою точністю можна вважати, що потужності струму у обмотках однакові:
|
|
\(U_{1}I_{1}= U_{2}I_{2}\) \(\Rightarrow\) \(\frac{I_{2}}{I_{1}}=\frac{U_{1}}{U_{2}}=\frac{1}{k}\). |
(14.38) |
Отже, у скільки разів трансформатор змінює напругу, у стільки ж разів (тільки в зворотному напрямку) він змінює й силу струму.