ФІЗИКА. Вчимося розв'язувати задачі. "КОЛИВАННЯ ТА ХВИЛІ". Компенсаційний курс

Розділ 13. Механічні коливання

Теоретичні відомості. Диференціальне рівняння вільних гармонічних коливань

Якщо в рівнянні (13.9) величину ax представити у вигляді другої похідної (див. ч.1. Механіка, формула (1.7, 1.7a)) координати по часу, то одержимо диференціальне рівняння гармонічних коливань:

 

\(x^{\prime\prime}=-\omega^{2}x\).

(13.22)

 (Диференціальним називається рівняння, до складу якого входить не тільки невідома функція, але й її похідні).

У математиці доводиться, що єдиними функціями, які є розв'язником рівняння (13.22) є функції sin або cos. При цьому зміст, тобто фізична природа величини x не має значення. Наприклад, для математичного маятника роль x відіграє кут відхилення нитки від вертикалі, а при розгляді електромагнітних коливань у коливальному контурі – це заряд конденсатора, або сила струму в котушці.

Рівняння (13.22) виражає загальну ознаку гармонічних коливань:

якщо друга похідна по часу деякої фізичної величини прямо пропорційна самій величині і має протилежний знак, то ця величина здійснює гармонічні коливання, частота яких визначається з співвідношення (13.22).