ФІЗИКА. Вчимося розв'язувати задачі. "КОЛИВАННЯ ТА ХВИЛІ". Компенсаційний курс
Розділ 13. Механічні коливання
Теоретичні відомості. Швидкість, прискорення і сила при гармонічних коливаннях
При гармонічних коливаннях періодично змінюється не тільки координата точки, але й швидкість і прискорення. Миттєві значення цих величин визначаються рівнянням швидкості та рівнянням прискорення. Для того щоб коливання були гармонічними, прикладена до тіла рівнодійна сила повинна задовольняти жорстким умовам. |
Рівняння швидкості точки при гармонічних коливаннях одержують, знаходячи першу похідну координати по часу, наприклад (13.4), і воно має вигляд
|
\(v_{x}=x^{\prime}(t)=-\omega{x}_{m}\sin(\omega{t}+\varphi_{0})\), |
(13.5) |
або
|
\(v_{x}=v_{m}\cos\left(\omega{t}+\varphi_{0}+\frac{\pi}{2}\right)\), |
(13.5a) |
де vm – амплітуда швидкості, що зв'язана з амплітудою відхилення точки співвідношенням
|
\(v_{m}=\omega{x}_{m}\). |
(13.5б) |
Порівняння рівнянь (13.4) і (13.5) свідчить, що коливання швидкості випереджають коливання координати точки на \(\pi/2\) або на ¼ періода (рис.13.3а).
Рівняння прискорення при гармонічних коливаннях одержуємо, знаходячи похідну за часом від рівняння (13.5):
|
\(a_{x}=v_{x}^{\prime}=-\omega^{2}x_{m}\cos(\omega{t}+\varphi_{0})\), |
(13.5) |
або
|
\(a_{x}==a_{m}\cos(\omega{t}+\varphi_{0})=a_{m}\cos(\omega{t}+\varphi_{0}+\pi)\), |
(13.6) |
З рівняння (13.6а) випливає, що коливання прискорення відбуваються з різницею фаз \(\pi\), тобто в протифазі відносно коливань координати (рис.13.3б).
Амплітуда прискорення am пов'язана з амплітудою швидкості vm і з амплітудою відхилення xm співвідношеннями:
|
\(a_{m}=\omega^{2}x_{m}\), |
(13.7) |
||
|
\(a_{m}=\omega{v}_{m}\). |
(13.8) |
||
Примітка. Тригонометрична функція в рівняннях швидкості і прискорення визначена неоднозначно і залежить від вигляду цієї функції в рівнянні зміщення. Наприклад при використанні рівняння (13.1a) у рівнянні (13.5) буде присутня функція \(\cos\), а в рівняннях(13.6) та (13.6а) – функція \(\sin\).
З рівнянь (13.6) та (13.4), видно, що
|
\(a_{x}=-\omega^{2}{x}\). |
(13.9) |
Це означає, що
при гармонічних коливаннях прискорення точки в будь-який момент часу прямо пропорційне зміщенню і напрямлене до положення рівноваги. |
Відповідно до другого закону Ньютона (F = ma) та рівняння (13.9), прикладена до кожної точки рівнодійна сила у будь-який момент часу визначається формулою
|
\(F_{x}=-kx\), |
(13.10) |
де
|
\(k=m\omega^{2}\). |
(13.11) |
Ці формули виражають критерій гармонічності механічних коливань:
якщо рівнодійна сил, прикладених до матеріальної точки, прямо пропорційна зміщенню і спрямована до положення рівноваги, то рух точки є гармонічними коливаннями. |
При цьому частота і період коливань визначаються загальними формулами
|
\(\omega=\sqrt{\frac{k}{m}}\). |
(13.12) |
||
|
\(\nu=\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}}\). |
(13.12а) |
||
|
\(T=2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}\), |
(13.13) |
||
де m – маса матеріальної точки, що коливається, k – коефіцієнт пропорційності між рівнодійною силою і відхиленням точки від положення рівноваги.