ФІЗИКА. Вчимося розв'язувати задачі. "КОЛИВАННЯ ТА ХВИЛІ". Компенсаційний курс

Розділ 13. Механічні коливання

Теоретичні відомості. Швидкість, прискорення і сила при гармонічних коливаннях

При гармонічних коливаннях періодично змінюється не тільки координата точки, але й швидкість і прискорення. Миттєві значення цих величин визначаються рівнянням швидкості та рівнянням прискорення. Для того щоб коливання були гармонічними, прикладена до тіла рівнодійна сила повинна задовольняти жорстким умовам.

 

Рівняння швидкості точки при гармонічних коливаннях одержують, знаходячи першу похідну координати по часу, наприклад (13.4), і воно має вигляд

 

\(v_{x}=x^{\prime}(t)=-\omega{x}_{m}\sin(\omega{t}+\varphi_{0})\),

(13.5)

або

 

\(v_{x}=v_{m}\cos\left(\omega{t}+\varphi_{0}+\frac{\pi}{2}\right)\),

(13.5a)

де vm – амплітуда швидкості, що зв'язана з амплітудою відхилення точки співвідношенням

 

\(v_{m}=\omega{x}_{m}\).

(13.5б)

Порівняння рівнянь (13.4) і (13.5) свідчить, що коливання швидкості випереджають коливання координати точки на \(\pi/2\) або на ¼ періода (рис.13.3а).

 

Рівняння прискорення при гармонічних коливаннях одержуємо, знаходячи похідну за часом від рівняння (13.5):

 

\(a_{x}=v_{x}^{\prime}=-\omega^{2}x_{m}\cos(\omega{t}+\varphi_{0})\),

(13.5)

або

 

\(a_{x}==a_{m}\cos(\omega{t}+\varphi_{0})=a_{m}\cos(\omega{t}+\varphi_{0}+\pi)\),

(13.6)

З рівняння (13.6а) випливає, що коливання прискорення відбуваються з різницею фаз \(\pi\), тобто в протифазі відносно коливань координати (рис.13.3б).

Амплітуда прискорення am пов'язана з амплітудою швидкості vm і з амплітудою відхилення xm співвідношеннями:

 

\(a_{m}=\omega^{2}x_{m}\),

(13.7)

 

\(a_{m}=\omega{v}_{m}\).

(13.8)

Примітка. Тригонометрична функція в рівняннях швидкості і прискорення визначена неоднозначно і залежить від вигляду цієї функції в рівнянні зміщення. Наприклад при використанні рівняння (13.1a) у рівнянні (13.5) буде присутня функція \(\cos\), а в рівняннях(13.6) та (13.6а) – функція \(\sin\).

З рівнянь (13.6) та (13.4), видно, що

 

\(a_{x}=-\omega^{2}{x}\).

(13.9)

Це означає, що

при гармонічних коливаннях прискорення точки в будь-який момент часу прямо пропорційне зміщенню і напрямлене до положення рівноваги.

 

Відповідно до другого закону Ньютона (F = ma) та рівняння (13.9), прикладена до кожної точки рівнодійна сила у будь-який момент часу визначається формулою

 

\(F_{x}=-kx\),

(13.10)

де

 

\(k=m\omega^{2}\).

(13.11)

Ці формули виражають критерій гармонічності механічних коливань:

якщо рівнодійна сил, прикладених до матеріальної точки, прямо пропорційна зміщенню і спрямована до положення рівноваги, то рух точки є гармонічними коливаннями.

При цьому частота і період коливань визначаються загальними формулами

 

\(\omega=\sqrt{\frac{k}{m}}\).

(13.12)

 

\(\nu=\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}}\).

(13.12а)

 

\(T=2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}\),

(13.13)

де m – маса матеріальної точки, що коливається, k – коефіцієнт пропорційності між рівнодійною силою і відхиленням точки від положення рівноваги.