ФІЗИКА. Вчимося розв'язувати задачі. "КОЛИВАННЯ ТА ХВИЛІ". Компенсаційний курс

Розділ І. Механічні коливання

1.2. Швидкість, прискорення і сила при гармонічних коливаннях

При гармонічних коливаннях за гармонічним законом змінюється не тільки координата, а й інші характеристики руху, зокрема, швидкість і прискорення .

 

Рівняння швидкості точки при гармонічних коливаннях одержимо, взявши першу похідну по часу від координати (рівняння (1.4)):

 

\(v_{x}=x^{\prime}(t)=-\omega{x}_{m}\sin(\omega{t}+\varphi_{0})\),

(1.5)

або

 

\(v_{x}=v_{m}\cos\left(\omega{t}+\varphi_{0}+\frac{\pi}{2}\right)\),

(1.5a)

де vm – амплітуда швидкості, що пов'язана з амплітудою зміщення xm співвідношенням

 

\(v_{m}=\omega{x}_{m}\).

(1.6)

Порівнюючи рівняння (1.4) і (1.5), бачимо, що коливання швидкості за фазою випереджають коливання координати точки на \(\pi/2\) або на чверть періоду (рис.1.3а).

 

Рівняння прискорення одержимо, визначивши похідну швидкості з рівняння (1.5):

 

\(a_{x}=v_{x}^{\prime}=-\omega^{2}x_{m}\cos(\omega{t}+\varphi_{0})\)

 

або

 

\(a_{x}=a_{m}\cos(\omega{t}+\varphi_{0}+\pi)\),

(1.7)

де величина

\(a_{m}=\omega^{2}x_{m}\),

(1.8)

є амплітудою прискорення, котру, згідно з виразом (1.6), можна подати й так:

\(a_{m}=\omega{v}_{m}\).

(1.8а)

З рівняння (1.7) видно, що коливання прискорення відбуваються з різницею фаз \(\pi\), тобто в протифазі до коливань координати (рис.1.3б).

Слід зауважити, що тригонометрична функція в рівняннях швидкості й прискорення є визначена неоднозначно і залежить від вигляду цієї функції в рівнянні зміщення. До прикладу, при використанні рівняння (1.1a) у рівнянні (1.5) буде фігурувати функція \(\cos\), а в рівнянні (1.6) – функція \(\sin\). Але  будь-що,

 

\(a_{x}=-\omega^{2}{x}\),

(1.9)

тобто,

при гармонічних коливаннях прискорення точки в будь-який момент є прямо пропорційне до зміщення й напрямлене до положення рівноваги.

Відповідно до другого закону Ньютона та рівняння (1.9), прикладена до коливної точки рівнодійна сила у будь-який момент часу визначається, як

 

\(F_{x}=-kx\),

(1.10)

де

 

\(k=m\omega^{2}\).

(1.11)

Формула виражає критерій гармонічності механічних коливань:

якщо рівнодійна сил, які діють на матеріальну точку, є прямо пропорційна її зміщенню і спрямована до положення рівноваги, то точка здійснює гармонічні коливання.

При цьому частота і період гармонічних коливань визначаються наступними загальними формулами:

 

\(\omega=\sqrt{\frac{k}{m}}\).

(1.12)

 

\(\nu=\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}}\).

(1.12а)

 

\(T=2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}\),

(1.13)

де m – маса матеріальної точки, що коливається, k – коефіцієнт пропорційності між рівнодійною силою і відхиленням точки від положення рівноваги.