ФІЗИКА. Вчимося розв'язувати задачі. "КОЛИВАННЯ ТА ХВИЛІ". Компенсаційний курс
Розділ 13. Механічні коливання
Теоретичні відомості. Рівняння і характеристики гармонічних коливань
Гармонічний коливальний рух описується рівнянням гармонічних коливань, яке визначає значення відповідної величини (зміщення, швидкість, прискорення) через основні характеристики гармонічних коливань у кожний момент часу. Основними характеристиками гармонічних коливань є амплітуда, період або частота (лінійна і циклічна). Крім цих величин миттєве положення точки визначається фазою. |
Рівняння гармонічних коливань визначає залежність зміщення x точки з положення рівноваги від часу t і має вигляд:
|
\(x=x_{m}\cos\left(\frac{2\pi}{T}+\varphi_{0}\right)\), |
(13.1) |
де xm, T, \(\varphi_{0}\) – постійні величини, \(\pi=\) 3,14… рад.
Рівняння (13.1) можна записати і так:
|
\(x=x_{m}\sin\left(\frac{2\pi}{T}+\varphi_{0}^{\prime}\right)\), |
(13.1а) |
де \(\varphi_{0}^{\prime}=\varphi_{0}+\pi/2\).
Графік x(t) показаний на рис.13.1.
Амплітудою xm коливань (її також часто позначають А) називається максимальне зміщення точки з положення рівноваги. Амплітуда визначає "розмах" коливань: усі можливі значення координати коливної точки належать інтервалу \(\left[-x_{m},\ x_{m}\right]\), (рис.13.1).
Період T – це проміжок часу, протягом якого відбувається одне повне коливання, (рис.13.1). Через час t = T стан коливаної системи повністю повторюється. Періодичність коливань характеризують також лінійною і циклічною (коловою) частотами.
Линійна частота \(\nu\) дорівнює кількості коливань, що відбуваються протягом часу 1 с:
|
\(\nu=\frac{1}{T}\), |
(13.2) |
Лінійна частота вимірюється у герцах (Гц). 1 Гц = 1 с-1 – частота, при якій за 1 с відбувається одне коливання. На практиці широко застосовуються високі частоти, які виражають у кілогецах (1 кГц = 103 Гц), мегагерца (1 МГц = 106 Гц) та інші.
Циклічна (колова) частота \(\omega\) пов'язана з періодом і лінійною частотою співвідношеннями:
|
\(\omega=\frac{2\pi}{T}=2\pi\nu\). |
(13.3) |
Циклічна частота вимірюється у "радіанах за секунду" (рад/с, але часто пишуть 1/с).
Використовуючи співвідношення (13.3), рівняння гармонічних коливань (13.1) можна записати через частоти:
|
\(x=x_{m}\cos(\omega{t}+\varphi_{0})\), |
(13.4) |
або
|
\(x=x_{m}\cos(2\pi\nu{t}+\varphi_{0})\) |
(13.4а) |
Фазою \(\varphi\) називається значення аргументу тригонометричної функції в рівнянні коливань (13.1), (13.4), (13.4a):
\(\varphi=\frac{2\pi}{T}t+\varphi_{0}=\omega{t}+\varphi_{0}=2\pi\nu{t}+\varphi_{0}\).
У момент часу t = 0 \(\varphi=\varphi_{0}\), тому величина \(\varphi_{0}\) називається початковою фазою коливань. Початкова фаза \(\varphi_{0}\) визначається вибором моменту початку відліку часу і може мати будь-які значення в інтервалі від 0 до \(2\pi\) рад.
Фаза визначає стан тіла, що коливається, у даний момент часу, а також дозволяє порівнювати різні коливання однакової частоти. В останньому випадку розглядають різницю фаз \(\delta=\varphi_{01}-\varphi_{02}\). Якщо різниця фаз \(\delta=0\) (рис.13.2а), то говорять, що коливання відбуваються "у фазі", інакше – синфазно, а якщо \(\delta=\pi\) (рис.13.2б) – "у протилежних фазах" або "в протифазі". В інших випадках говорять, що коливання відбуваються з "зсувом фаз" \(\delta\) (на рис.13.2в зсув фаз \(\delta=\frac{\pi}{2}\)).