ФІЗИКА. Вчимося розв'язувати задачі. "МЕХАНІКА". Компенсаційний курс

Розділ 4. РОБОТА ТА ЕНЕРГІЯ

4.2. Теоретичні відомості. Кінетична та потенціальна енергія


Робота сили в загальному випадку супроводжується  зміною положення в просторі й  швидкості тіла і є пов'язана із зміною механічної енергії. Існують два види механічної енергії – кінетична та потенціальна.

 

Кінетична енергія – це "енергія руху". Вона визначається формулами

\( {W}_{к}=\frac{mv^{2}}{2}\),

(4.3а)

або

 

\( {W}_{к}=\frac{p^{2}}{2m}\),

(4.3б)

де m – маса, v – швидкість руху, p = mv – імпульс тіла.

Кінетична енергія є адитивною величиною, тобто кінетична енергія системи тіл дорівнює сумі кінетичних енергій окремих тіл, які складають систему:

\( {W}_{к}=\sum\limits_{i}W_{кi}\).

 

Між кінетичною енергією та роботою існує універсальний зв'язок, згідно з яким

робота рівнодійної  прикладених до тіла сил дорівнює зміні його кінетичної енергії:

 

\( {A}=W_{к2}-W_{к1}=\Delta{W}_{к}\)

(4.4)

де Wк1 і Wк2 – початкове та кінцеве значення кінетичної енергії.

Із співвідношення (4.4) видно, що енергія, як і робота, вимірюється в джоулях (Дж).

 

 

Серед різноманітних сил існують такі, робота котрих не залежить від форми траєкторії тіла та пройденого шляху, а визначається тільки його початковим і кінцевим положенням. Такі сили називаються консервативними силами й вирізняються с проміж інших тим, що залежать тільки від просторового розташування тіла, на яке діють. За рахунок консервативних сил тіло може виконувати роботу при зміні положення в просторі навіть тоді, коли його швидкість не змінюється. При цьому для кожної з консервативних сил існує  фізична величина, що називається потенціальною енергією й визначає вказану роботу, згідно із співвідношенням


A = Wп1Wп2 = –ΔWп,

(4.5)

де Wп1, Wп2 – початкове та кінцеве значення потенціальної енергії,  ΔWп = Wп2 – Wп1  її приріст (зміна), а "–ΔWп"    спад. Отже,

робота консервативних сил дорівнює спадові потенціальної енергії тіла

Із незалежності роботи консервативних сил від траєкторії випливає також, що

при переміщенні тіла по замкненій траєкторії робота консервативної сили дорівнює нулю.

Потенціальна енергія як один із  видів механічної енергії має важливу особливість. Згідно Вираз (4.5) є подібним до виразу (4.4), що визначає роботу через кінетичну енергію тіла в заданих точках.  Але на відміну від кінетичної, для потенціальної енергії не існує жодного способу встановити, чому  вона дорівнює кожній із точок окремо. Інакше говорячи, потенціальна енергія в точці не є заданою, подібно до того, як не є заданим положення тіла в просторі, доки не обрано відповідну систему відліку. Тож, аби надавати потенціальній енергії певних числових значень, треба спочатку вибрати "нульову точку" (початок відліку), тобто вказати положення тіла, в якому його потенціальна енергія приймається рівною нулю. Відтак можна дати наступне означення: .

потенціальною енергією тіла в даній точці називається величина, що дорівнює роботі консервативних сил при переміщенні його в нульову точку.

При цьому нульову точку можна вибирати довільно, в кожному випадку керуючись лише міркуваннями зручності.

(Зауваження. Така можливість пояснюється тим, що в будь-якій задачі результат залежить тільки від зміни потенціальної енергії, а не від її значення в кожній точці окремо).

 Консервативна сила, як і будь-яка інша, є проявом взаємодії між тілами. Тож потенціальна енергія є їхньою "спільною власністю". Але часто тіла, що взаємодіють, дуже відрізняються за відповідними характеристиками, так що взаємодія помітно змінює стан лише одного з них. Тоді говорять про потенціальну енергію саме цього тіла. До прикладу, ми говоримо про потенціальну енергію тіла, піднятого над Землею, а не про ''потенціальну енергію системи "тіло-Земля''.

Консервативні сили можуть бути різними за фізичною природою, тож  для кожної потенціальна енергія розраховується за своєю формулою. До прикладу, серед механічних сил консервативними є сили тяжіння (гравітаційні сили) та сили пружності. Відповідно, розрізняють гравітаційну та пружну потенціальну енергію.

Для гравітаційних сил із закону всесвітнього тяжіння (2.6) і виразу (4.5) випливає наступна загальна формула гравітаційної потенціальної енергії (енергії тяжіння) Wт :

\( {W}_{п}=-G\frac{Mm}{r}\),

(4.6)

де G – гравітаційна стала, M, m, відповідно, – маса планети та даного тіла, r – відстань від центра планети до тіла.

Для тіла, що перебуває на малій відстані від поверхні планети, цю формулу можна подати (див. Задачу 4.10 )) більш зручно:

\( {W}_{т}=mgh \),

(4.7)

де m – маса, g  прискорення вільного падіння і h  висота центра мас тіла відносно нульового рівня, за який приймається будь-яка горизонтальна площина.

(Зауваження. Якщо тіло знаходиться нижче нульового рівня, то "висота" h має знак "", і енергія Wп є від'ємною).

 

 Пружна потенціальна енергія тіла Wпр приймається рівною нулю за відсутності деформацій, що є природньо та зручно, хоча формально й не обов'язково. Зокрема, при деформаціях стиску-розтягу

\( {W}_{пр}=\frac{kx^{2}}{2}\),

(4.8)

де k  жорсткість тіла, x  величина деформації.

 

 

Згідно з виразами (4.5) –  (4.8), робота сил тяжіння та пружності через потенціальну енергію виражається формулами:

\( {A}_{т}=mgh_{1}-mgh_{2}\);

(4.9)

\( {A}_{т}=-G\frac{Mm}{r_{1}}+G\frac{Mm}{r_{2}}\);

(4.10)

\( {A}_{пр}=\frac{kx_{1}^{2}}{2}-\frac{kx_{2}^{2}}{2}\).

(4.11)