ФІЗИКА ДЛЯ БАКАЛАВРІВ. КОЛИВАННЯ І ХВИЛІ
Частина І. КОЛИВАННЯ
2. Механічні гармонічні коливання
Найбільш наочними й зручними для вивчення є механічні коливання – рух тіла (матеріальної точки), при якому його положення у просторі та інші характеристики руху з плином часу періодично повторюються.
Характер руху всякого тіла визначається властивостями діючих на нього сил. Зокрема, якщо прикладена “спонукальна” сила періодично змінює свій напрям на протилежний і здатна подолати сили тертя та опору, то тіло здійснює вимушені коливання. Вільні механічні коливання тіла спостерігаються, коли рівнодійна прикладених сил весь час намагається повернути його в положення рівноваги. Таку силу інколи називають “повертаючою силою”. Але слід пам’ятати, що цей термін є умовним. У природі не існує ніякої спеціальної повертаючої сили — вона створюється сумісною дією якихось інших сил. До прикладу, при вільних коливаннях кульки на нитці повертаюча сила є рівнодійною сил тяжіння та натягу нитки.
Далі розглянуто:
2.1. Координата, швидкість, прискорення
2.2. Умова існування механічних гармонічних коливань
2.4. Енергія механічних гармонічних коливань
1.1. Координата, швидкість, прискорення
\( {x(t)}=x_{m}\cos{(}\omega{t}+\varphi_{0}{)}\), |
(2.1) |
де xm – амплітуда коливань (максимальне відхилення тіла від положення рівноваги).
Рівняння швидкості. Швидкість і напрям руху тіла визначається проєкцією вектора швидкості на вісь ОХ, тобто похідною координати по часу: \( {v}=\mathrm{d}x/\mathrm{d}{t}\). Отже, згідно з (2.1), рівняння швидкості тіла при гармонічних коливаннях має вигляд:
\( {v(t)}=-v_{m}\omega\sin{(}\omega{t}+\varphi_{0}{)}\) або \( {v(t)}=v_{m}\cos{(}\omega{t}+\varphi_{0}+\frac{\pi}{2}{)}\), |
(2.2) |
де \( {v_{m}}\) – амплітуда (максимальне значення) швидкості пов’язана з амплітудою коливань співвідношенням
\( {v_{m}}=x_{m}{\omega}\). |
(2.2а) |
Примітка. В рівнянні (2.2) мається на увазі проєкція вектора швидкості, але, позаяк рух відбувається вздовж однієї осі, індекс проєкції не вказують. Це стосується і всіх інших векторних величин, які використовуються далі для характеристики гармонічних коливань.
З рівняння (2.2) видно, що коливання швидкості за фазою випереджають коливання координати на π/2 або на чверть періоду.
Рівняння прискорення отримаємо аналогічно з (2.1) або (2.2), врахувавши, що прискорення є першою похідною по часу від швидкості або другою похідною від координати:
\( {a(t)}=-A\omega^{2}\cos{(}\omega{t}+\varphi_{0}{)}\) або \( {a(t)}=a_{m}\cos{(}\omega{t}+\varphi_{0}+\pi{)}\). |
(2.3) |
Амплітуда прискорення
\( {a_{m}}=x_{m}\omega^{2}=v_{m}{\omega}\). |
(2.3а) |
Із рівняння (2.3) випливає, що коливання прискорення випереджають (або відстають) коливання координати на π. Інакше говорячи, коливання прискорення відбуваються у протифазі до коливань координати.
На рис. 2.1 зображені графіки координати x(t) швидкості \({v(t)}\) і прискорення \( {a(t)}\) тіла при гармонічних коливаннях, які наочно показують фазові співвідношення між цими величинами.
![]() |
2.2. Умова існування механічних гармонічних коливань
Із рівнянь (2.1) і (2.3) випливає, що при гармонічних коливаннях прискорення тіла в будь-який момент часу є прямо пропорційним до координати (зміщення з положення рівноваги):
\( {a}=-\omega^2{x}\). |
(2.4) |
Тому за другим законом Ньютона проєкцію на вісь ОХ рівнодійної сили, що прикладена до тіла, можна записати, як
\( {F}=-{kx}\), |
(2.5) |
де
\( {k}=m{\omega^{2}}\). |
(2.6) |
Із (2.5) видно, що при x > 0 проєкція сили F < 0 і навпаки. Отже, будь-якої миті сила F напрямлена до положення рівноваги і є прямо пропорційною величині відхилення. Таку властивість має сила пружності. Але в загальному випадку рівнодійна F може створюватись і силами, які за природою не є пружними. Тому її називають квазіпружною силою.
Сказане дозволяє сформулювати критерій (достатню умову) механічних гармонічних коливань:
якщо тіло перебуває під дією пружної або квазіпружної сили, то воно здійснює гармонічні коливання.
Частота ω і період T гармонічних коливань визначаються коефіцієнтом пропорційності k у виразі сили (2.5) і масою тіла m, згідно з формулами:
\( \omega=\sqrt{\frac{k}{m}}\), |
(2.7) |
|
\( {T}=2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}\). |
(2.8) |
Відмітимо також, що, відповідно до (2.5), сила, яка зумовлює гармонічні коливання (2.1), сама змінюється за гармонічним законом:
\( {F}=-F_{m}\cos{(}\omega{t}+\varphi_{0}{)}\),
де амплітуда сили \( {F_{m}}=mx_{m}{\omega^{2}}\).
2.3. Маятники
Практичне значення розглянутої умови гармонічних коливань (2.5) і співвідношення (2.6) полягає в тому, що, визначивши рівнодійну прикладених до тіла сил, можна не лишень установити, чи здійснює воно гармонічні коливання, а й знайти їхню основну характеристику – частоту або період. Проілюструємо це на прикладі маятника – тіла, що підвішене на пружині чи нитці, або знаходиться на осі, навколо якої може здійснювати вільні коливання.
Пружинний маятник являє собою невеликий тягарець маси m, з’єднаний з невагомою пружиною жорсткості k із закріпленим іншим кінцем і може рухатися або горизонтально (рис.2.2а), або вертикально (рис.2.2б). Будемо вважати, що сили тертя та опору відсутні. Тоді, якщо координату x відраховувати від положення рівноваги тягарця, то прикладена до нього рівнодійна сила в обох випадках дорівнює тільки силі пружності \( \vec{F} \), що виникає внаслідок зміщення маятника з положення рівноваги (сили тяжіння та реакція опори у випадку а) і сила тяжіння та статична сила пружності при x = 0 у випадку б) є компенсованими і на рисунку не показані):
\( {F}=-{kx}\),
де x – координата маятника.
![]() |
Оскільки сила F задовольняє умову (2.5), маятник (тягарець на пружині), виведений з положення рівноваги і наданий самий собі, в обох випадках здійснює гармонічні коливання з циклічною частотою та періодом, які визначаються жорсткістю пружини k і масою тягарця m, відповідно до формул (2.7) і (2.8).
Математичний маятник. У строгому розумінні математичним маятником називається матеріальна точка, підвішена на невагомій нерозтяжній нитці. Реально – це кулька певної маси m підвішена на довгій тонкій сталевій дротині (струні) довжини l, масою котрої можна нехтувати (рис. 2.3). Силу тертя в точці кріплення та силу опору повітря також можна вважати не істотними.
Коли маятник перебуває в рівновазі, сили тяжіння та натягу нитки є компенсованими. Але, якщо кульку відвести й відпустити, з’явиться рівнодійна \(\vec{F}=m\vec{g}+\vec{F}\)н, напрямлена до положення рівноваги (рис. 2.3). Відтак маятник буде здійснювати вільні коливання. Рух маятника можна розглядати як рух матеріальної точки маси m по колу радіуса \({l}\) навколо горизонтальної осі Z, що проходить через точку кріплення нитки (т. О на рис. 2.3). Тому, відповідно до відомого з механіки рівнянням моментів відносно осі (див. МЕХАНІКА. Розділ 7, п. 7.3), можемо записати:
\({M_{z}}={I\beta_{z}}\), |
(2.9) |
![](http://physics.zfftt.kpi.ua/repository/coursefilearea/file.php/1/MyPhys/VibraWave/I.2/pic02-03.jpg)
де \( {M_{z}},~I,~\beta_{z}\) – сумарний момент сил, момент інерції кульки відносно осі О та кутове прискорення, відповідно.
Оскільки напрям сили натягу \(\vec{F}\)н проходить через вісь Z, момент відносно неї створює тільки сила тяжіння: \({M_{z}}=-mgl\sin\alpha \), де α - кут відхилення нитки маятника від вертикалі. Знак "–" у виразі стоїть тому, що кут α відраховують проти годинникової стрілки, а момент сили тяжіння діє за годинниковою стрілкою, тобто у від’ємному напрямку. Крім того \(\beta_{z}=\mathrm{d}^{2}\alpha /\mathrm{d}{t}^{2}\). Відтак можемо записати:
\({-mgl}\sin\alpha=I\frac{\mathrm{d}^{2}\alpha}{\mathrm{d}t^{2}}~~~~\Rightarrow~~~~\frac{\mathrm{d}^{2}\alpha}{\mathrm{d}t^{2}}+\frac{mgl}{I}\sin\alpha ={0}\),
Підставивши в (2.9) вираз моменту інерції матеріальної точки \({I}={ml^{2}}\), отримаємо диференціальне рівняння руху математичного маятника:
\(\frac{\mathrm{d}^{2}\alpha}{\mathrm{d}t^{2}}+\frac{g}{l}\sin\alpha = {0}\). |
(2.9а) |
Диференціальне рівняння (2.9а) є доволі складним – воно не збігається з рівнянням гармонічних коливань (1.18) і не має розв’язків у елементарних функціях. Це означає, що коливання маятника не є гармонічними. Але при малих амплітудах максимальний кут відхилення нитки маятника від вертикалі малий (αm << 1), і рівнянні (2.9а) можна з достатньою точністю покласти \(\sin\alpha =\alpha \). Тоді
\(\frac{\mathrm{d}^{2}\alpha}{\mathrm{d}t^{2}}+\omega^{2}\alpha={0},~~~\omega^{2}=\frac{g}{l}\). |
(2.9б) |
Отримане спрощене рівняння (2.9б) не відрізняється від загального диференціального рівняння гармонічних коливань (1.18), отже, кут відхилення нитки маятника від вертикалі змінюється за законом (1.4):
\(\alpha{(t)}=\alpha_{m}\cos{(\omega{t}+\varphi_{0})}\). |
(2.10) |
Оскільки при малих кутах дуга практично співпадає з хордою, можна вважати, що кулька маятника рухається вздовж горизонтальної осі, і її координата \({x=l\alpha}\) змінюється за законом:
\({x(t)}=x_{m}\cos{(\omega{t}+\varphi_{0})}\),
де амплітуда визначається довжиною та максимальним кутом відхилення маятника від вертикалі: \({x}_{m}={l\alpha_{m}}\).
Таким чином, при малих амплітудах математичний маятник здійснює вільні гармонічні коливання з циклічною частотою
\(\omega=\sqrt{\frac{g}{l}}\) |
(2.11) |
і періодом
\({T}=2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}\). |
(2.11а) |
Останній вираз називається формулою Гюйґенса.
![](http://physics.zfftt.kpi.ua/repository/coursefilearea/file.php/1/MyPhys/VibraWave/I.2/pic02-04.jpg)
Фізичний маятник. Фізичним маятником називають протяжне тверде тіло, яке може вільно коливатися навколо закріпленої осі О, що не проходить через його центр мас С, (рис. 2.4). У положенні рівноваги центр мас маятника знаходиться на одній вертикалі з точкою підвісу (рис. 2.4а), тому сили тяжіння \({m\vec{g}}\) та реакції осі \(\vec{R}\) є компенсованими. Але після відхилення тіла на деякий кут φ (рис. 2.4б) так само, як у випадку математичного маятника, виникає момент сили тяжіння \( {M}=-mgl\sin\varphi \) (\({l}\) – відстань між точкою підвісу та центром мас) відносно осі О, який намагається повернути маятник у положення рівноваги. Тому, якщо маятник надати самому собі, він почне коливатися згідно із рівнянням (2.9а), яке не є диференціальним рівнянням гармонічних коливань. Але, як і раніше, при малих кутах відхилення воно спрощується і набуває вигляду (2.9б):
\( \frac{\mathrm{d}^{2}\varphi}{\mathrm{d}t^{2}}+\omega^{2}\varphi = {0}\), \( \omega^{2}=\frac{mgl}{I}\).
Це означає, що при малих кутах відхилення \({\varphi_{m}}\ll{1}\), вільні коливання фізичного маятника є гармонічними і здійснюються за законом:
\( \varphi{(t)}=\varphi_{m}\cos{(\omega{t}+\phi_{0})}\) |
(2.12) |
із циклічною частотою
\( \omega =\sqrt{\frac{mdl}{I}}\), |
(2.13) |
чи періодом
\( {T}=2\pi\sqrt{\frac{I}{mgl}}\). |
(2.13а) |
При розгляді коливань фізичного маятника часто використовують поняття зведеної довжини фізичного маятника:
\( {l}\)зв = \(\frac{I}{ml}\). |
(2.14) |
У такому разі формули (2.13) і (2.13а) трансформуються в
\( \omega=\sqrt{g/l_{зв}}\) |
(2.15) |
|
\( {T}=2\pi\sqrt{l_{зв}/g}\), |
(2.15а) |
які збігаються з відповідними формулами для математичного маятника. Тому можна сказати, що
зведена довжина фізичного маятника дорівнює довжині математичного маятника з таким самим періодом вільних коливань.
2.4. Енергія гармонічних коливань
При зміні швидкості та координати тіла, що здійснює гармонічні коливання, відповідно змінюється і його кінетична та потенціальнв енергія.
Кінетична енергія гармонічних коливань (2.1) у довільний момент часу, з урахуванням виразів (2.2), (2.2а) і (2.6), визначається, як:
\( {K}=\frac{mv^{2}}{2}=\frac{1}{2}mx_{m}^{2}\omega^{2}\sin^{2}(\omega{t}+\varphi_{0})=\frac{1}{2}kx_{m}^{2}\sin^{2}{(\omega{t}+\varphi_{0})}\). |
(2.16) |
Максимальна величина кінетичної енергії
\({K}_{m}=\frac{1}{2}mx_{m}^{2}\omega^{2}=\frac{1}{2}kx_{m}^{2}\). |
(2.16а) |
Гармонічні коливаннях тіла відбуваються під дією квазіпружної сили (2.5), котра, як і пружна, є консервативною. Тому, з урахуванням виразу (2.1), потенціальна енергія гармонічних коливань у довільний момент часу визначається виразом
\({U}=\frac{kx^{2}}{2}=\frac{kx_{m}^{2}}{2}\cos^{2}(\omega{t}+\varphi_{0}) \). |
(2.17) |
Максимальне значення потенціальної енергії
\({U}_{m}=\frac{kx_{m}^{2}}{2}\). |
(2.17а) |
Із виразів (2.16а) та (2.17а) видно, що
при гармонічних коливаннях максимальні значення кінетичної та потенціальної енергій тіла збігаються:
\({K}_{m}=U_{m}=W_{0}\). |
(2.18) |
Відтак для повної енергії гармонічних коливань у довільний момент часу, урахувавши (2.16), (2.17) і (2.18), отримуємо:
\({W}=K+U=W_{0}\sin^{2}{(\omega{t}+\varphi_{0})}+W_{0}\cos^{2}{(\omega{t}+\varphi_{0})}={W_{0}}\). |
(2.19) |
Таким чином,
при гармонічних коливаннях повна енергія коливань зберігається, тобто не залежить від часу.
Це означає, що при вільних гармонічних коливаннях механічна енергія не переходить в інші форми, зокрема, в тепло. Тому такі коливання можливі лише за відсутності сил тертя та опору, які насправді в механічних системах завжди є. Отже, реально
вільні коливання ніколи не бувають строго гармонічними.
Але це не стосується вимушених коливань, позаяк у цьому випадку втрати механічної енергії на тертя та опір можуть компенсуватися за рахунок роботи спонукальної сили.
Відмітимо також, що згідно з (2.16а), (2.17) і (2.18),
повна енергія гармонічних коливань є прямо пропорційною квадратові амплітуди.
Наостаок зауважимо, що вирази (2.16) і (2.17) можна записати, як
\(K=\frac{1}{2}{{K}_{m}}\left( 1-\cos \left( 2\omega +2{{\varphi }_{0}} \right) \right)\)
та
\(U=\frac{1}{2}{{U}_{m}}\left( 1+\cos \left( 2\omega +2{{\varphi }_{0}} \right) \right)\),
звідки видно, що
при гармонічних коливаннях кінетична та потенціальна енергії змінюються з подвоєною частотою по відношенню до частоти самих коливань.
На рис. 2.5 показані графіки кінетичної K, потенціальної U та повної W енергій тіла, що здійснює гармонічні коливання. З них видно, що кінетична та потенціальна енергії змінюються в протифазі. Це пояснює, чому максимальне значення кожної з них дорівнює повній енергії коливань.