physics.zfftt.kpi.ua

Стаціонарні (постійні у часі) струми можуть існувати тільки в замкнених провідних контурах. Але з рівняння неперервності (1.6) випливає, що нестаціонарні (залежні від часу) струми можуть існувати і в незамкнених контурах. Про це свідчить широке використання в колах змінного струму конденсаторів — схемних елементів, які створюють розриви провідності у відповідних гілках електричного кола. Нижче на прикладі найпростішого такого кола показана можливість застосування до залежних від часу струмів загальних законів стаціонарного струму, які були отримані вище в пп. 1, 2.

Далі розглядаються такі питання:

3.1. Квазістаціонарні струми

Те, що нестаціонарні (змінні) струми можуть існувати не тільки в замкнених, а й у незамкнених контурах, ставить природнє запитання, чи виконуються для них розглянуті вище закони електричного струму.

Аби отримати відповідь, згадаймо (див. п. 1.3), що час \(\tau \) і довжина \(\lambda \) вільного пробігу носіїв у провіднику є гранично малими, отже, вони між зіткненнями рухаються в практично постійному полі \(\vec{E}\), як і при стаціонарному струмі. Тому в кожну мить і в кожній точці провідника густина нестаціонарного струму \(\vec{j}(t) \) і напруженість поля \(\vec{E}(t) \) задовольняють закон Ома в локальній формі (1.9), як і при стаціонарному струмі. Так само лишається чинним і локальний закон Джоуля (1.13).

Але для всього кола чи його ділянки ситуація ускладнюється, позаяк електричне поле поширюється вздовж провідника не миттєво. Через це виникає ефект запізнення: струм у віддалених від джерела точках кола в даний момент часу \(t\) визначається напругою, що була створена на вході в якийсь попередній момент \(t - \Delta t\). При цьому “час запізнення” \(\Delta t\) визначається швидкістю поширення поля \(c\) та відстанню \(l\) від джерела до даної точки кола:

\begin{equation} \Delta{t}=\frac{l}{c}. \end{equation}

Отже, миттєва сила нестаціонарного струму в різних точках кола строго є не однаковою. Тому у виразі (2.9) величину струму \(I\) не можна винести з під знаку інтеграла і отримати співвідношення (2.11) і (2.11а). Це означає, що на загал у колах нестаціонарного струму інтегральний закон Ома не виконується. Проте, якщо за час \(\Delta t\) напруга на вході кола не встигає помітно змінитися, то ефект запізнення буде неістотним і закон Ома в кожен момент часу виконуватиметься практично точно для будь-якої ділянки кола. Такі "повільні" струми називаються квазістаціонарними. Тож

для миттєвих значень квазістаціонарних струмів виконуються ті самі основні закони, що й для постійних струмів.

Умову (критерій) квазістаціонарності можна записати так:

\begin{equation} \Delta{t}\ll \tau \qquad \text{або} \qquad \frac{l}{c}\ll \tau , \tag{3.1} \end{equation}

де \(\Delta t\) — час запізнення на довжині кола \(l\), \(c\) — швидкість поширення поля в провідниках, \(\tau \) — характерний для даного струму час суттєвої зміни.

Слід зауважити, що позаяк \(c\sim 3\cdot10^{8}\) м/с, умова (8.4) не є жорсткою і в теорії електричних кіл має радше теоретичне значення. Наприклад, для промислового струму частота складає \(\nu = 50\) Гц, а період \(T = 0{,}02\) c. Тому, прийнявши \(\tau\sim{T}\), для граничних розмірів кола \(L\), в якому такий струм є квазістаціонарним, з умови (8.4) отримаємо:

\begin{equation} {L}\sim{cT}=6\cdot{10^6}\ \text{м}. \end{equation}

Аналогічно отримаємо оцінку максимальної частоти, при якій виконується умова квазістаціонарності для різних електронних пристроїв, розміри яких зазвичай не перевищують \({l}\sim{1}\) м:

\begin{equation} \nu\sim\frac{c}{l}=300\ \text{МГц}, \end{equation}

що перекриває весь радіочастотний діапазон, включно з УКХ і FM.

Таким чином, змінні струми в широкому діапазоні частот і розмірів кіл є квазістаціонарними, і для них виконуються ті самі основні закони, що й для постійного струму.

3.2. Струм зарядки конденсатора

Як приклад аналізу квазістаціонарних струмів, розглянемо процес заряджання та розряджання конденсатора ємності \(C\) що сполучений з резистором \(R\) і через ключ може підключатися (чи відключатися) до ідеального (\(r = 0\)) джерела з ЕРС (рис. 3.1).

Нехай в момент \(t = 0\) ключ переводять у позицію 1, приєднуючи до джерела незаряджений (\(q (0) = 0\), \(U(0) = 0\)) конденсатор \(C\). Після замикання електрони під дією джерела відразу почнуть переходити з однієї обкладки конденсатора на іншу, і через резистор та джерело потече струм, який будемо вважати квазістаціонарним. Тоді для миттєвих значень на основі узагальненого закону Ома (2.11а) можна записати:

\begin{equation} \begin{aligned} &IR = \varphi _{-} - \varphi _{+} + U_{0}\quad \Rightarrow{}\\ &\quad{}\Rightarrow \quad IR + U = U_{0}. \end{aligned} \end{equation}

де \(U = \varphi _{+} - \varphi _{-}\) — напруга на обкладках конденсатора. Виражаючи величину \(U\) через заряд і ємність конденсатора (ф-ла (2.3), розділ II), отримаємо:

\begin{equation} {IR}+\frac{q}{C}=U_{0}. \tag{3.2} \end{equation}

У це рівняння входять дві невідомі величини — струм \(I\) у резисторі та заряд конденсатора \(q\). Аби лишити тільки одне, врахуємо, що заряд, який проходить через резистор, дорівнює зміні заряду конденсатора. Отже, миттєва сила струму через резистор \(I = (\mathrm{d}q/\mathrm{d}t)\) дорівнює швидкості зміни заряду конденсатора, і рівняння (3.2) набуває вигляду:

\begin{equation} \begin{aligned} &\frac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}t}R+\frac{q}{C}=U_{0} \quad \Rightarrow {}\\ &\quad{}\Rightarrow\quad \frac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}t}= -\frac{q}{\tau}+\frac{U_{0}}{R}, \end{aligned} \tag{3.2а}\end{equation}

де введено позначення

\begin{equation} \tau={RC}. \tag{3.3} \end{equation}

Диференціальне рівняння (3.2а) легко розв’язати. Для цього задля зручності введемо нову змінну

\begin{equation} {z}=\frac{U_{0}}{R}-\frac{q}{\tau}, \tag{3.4} \end{equation}

і зробимо наступні підстановки в рівняння (3.2а):

\begin{equation} {-\frac{q}{\tau}}=z-\frac{U_{0}}{R},\qquad \frac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}t}=-\tau\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t}. \end{equation}

Відтак рівняння набуває вигляду

\begin{equation} \tau=\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t}=-{z}, \end{equation}

і його можна переписати як

\begin{equation} \frac{\mathrm{d}z}{z}=-\frac{\mathrm{d}t}{\tau}. \tag{3.5} \end{equation}

Примітка. Таке перетворення обґрунтовується в теорії диференціальних рівнянь і називається відокремленням змінних.

Після цього, інтегруючи праву частину від \(t = 0\) до довільного моменту часу \(t\), а ліву — від початкового значення змінної \(z_{0}\) до значення \(z\) в момент \(t\), дістанемо:

\begin{equation} \begin{aligned} &\int\limits_{z_{0}}^{z}\frac{\mathrm{d}z}{z}=-\frac{1}{\tau}\int\limits_{0}^{t}\,\mathrm{d}{t} \quad \Rightarrow {}\\ &\quad{}\Rightarrow \quad \ln\frac{z}{z_0}=-\frac{t}{\tau} \quad \Rightarrow\quad {z}=z_{0}e^{-\frac{t}{\tau}}. \end{aligned} \tag{3.5а}\end{equation}

Зробивши зворотню заміну (3.4) і врахувавши, що \(z_{0} = (U_{0} / R)\) і \(\tau={RC}\), отримаємо остаточний результат:

\begin{equation} {q}=q_{m}(1-e^{-t/\tau}), \tag{3.6} \end{equation}

де величина

\begin{equation} {q}_{m}=CU_{0} \tag{3.7} \end{equation}

дорівнює максимальному заряду, що може бути накопичений на конденсаторі при заряджанні.

Поділивши \(q\) на \(C\), отримаємо залежність від часу напруги на конденсаторі:

\begin{equation} {U}=U_{0}(1-e^{-t/\tau}), \tag{3.8} \end{equation}

де максимальна напруга

\begin{equation} {U}_{0}=\frac{q_{m}}{C}, \end{equation}

природньо, дорівнює ЕРС джерела.

Диференціюючи рівняння (3.6) за часом, знайдемо закон зміни струму заряджання:

\begin{equation} {I}=I_{0}e^{-t/\tau}, \tag{3.9} \end{equation}

де \({I_{0}}=(q_{m}/\tau)={I(0)}\) — струм у резисторі в момент замикання ключа. Якщо сюди підставити вирази (3.3) і (3.7), то вийде

\begin{equation} {I}_{0}=\frac{U_{0}}{R}. \end{equation}

Вираз (3.9) можна отримати й за законом Ома, врахувавши, що напруга на конденсаторі має зустрічну до джерела полярність (“\(+\)” до “\(+\)” і “\(-\)” до “\(-\)”), отже напруга на опорі

\begin{equation} {U}_{R}=U_{0}-U=U_{0}e^{-t/\tau}, \end{equation}

і струм в колі

\begin{equation} {I}=\frac{U_{R}}{R}=\frac{U_{0}}{R}e^{-t/\tau}. \end{equation}

Графіки залежностей \(U ( t)\) і \(I ( t)\) показані на рис. 3.2а.

Впадає в око стрибок струму від \(0\) до \(I_{0}\) в момент замикання ключа, немов конденсатора взагалі немає. Але це цілком природньо, адже в першу мить після замикання напруга на конденсаторі \(U(0) = 0\), і він ще ніяк не перешкоджає рухові зарядів.

3.3. Струм розрядки конденсатора

Якщо після повного заряджання конденсатора перемкнути ключ у позицію 2, то конденсатор почне розряджатися через резистор. При цьому в будь-яку мить напруга (різниця потенціалів) на резисторі та на конденсаторі однакова, тому \({IR}=q/{C}\). Сила струму при розряджанні дорівнює швидкості спаду заряду конденсатора: \({I}=-(\mathrm{d}q/\mathrm{d}t) \), отже,

\begin{equation} {R}\frac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}t}=-\frac{q}{C} \quad \Rightarrow \quad \frac{\mathrm{d}q}{\tau}. \end{equation}

Відокремивши змінні, як раніше, та проінтегрувавши по тому отримане рівняння, дістанемо:

\begin{equation} {q}=q_{0}e^{-t/\tau}, \end{equation}

де \(q_{0} = CU_{0}\) — початковий заряд на конденсаторі. Відповідно, напруга на конденсаторі \(U = q / C\) і струм розряджання \(I = U / R\) змінюються за законом:

\begin{equation} {U}=U_{0}e^{-t/\tau}, \tag{3.10} \end{equation} \begin{equation} {I}=I_{0}e^{-t/\tau}, \tag{3.11} \end{equation}

де \({I}_{0}=U_{0}/{R}\). Графіки залежностей \(U ( t)\) і \(I ( t)\) при розряджанні конденсатора показані на рис. 3.2б.

Стосовно отриманих тут і в попередньому пункті результатів треба зробити наступні зауваження. Залежності (3.5)—(3.11) є асимптотичними, тому однозначно вказати час повної зарядки чи розрядки конденсатора неможливо. Можна говорити лише про швидкість процесу, мірою якої є параметр \({\tau}\). Ця величина називається часом релаксації або сталою часу RC-ланцюжка і визначається формулою (3.3).

Час релаксації має прозорий зміст: згідно з формулами (3.10), (3.11), на момент \({t=\tau}\) напруга на конденсаторі \({U}(\tau)=U_{0}/{e}\) і струм уколі \({I}(\tau)=I_{0}/{\tau}\). Отже,

час релаксації — то є проміжок часу, протягом якого напруга та струм при розряджанні конденсатора зменшуються в \({e}\approx{2{,}7}\) разів.

Що ж до повної зарядки або розрядки конденсатора, то теоретично вона взагалі не настає ніколи, бо потребує нескінченно великого часу \({t}\to\infty \). Але такий висновок є абстрактним. Через хаотичність теплового руху частинок у макроскопічних системах неперервно відбуваються так звані флуктуації — неконтрольовані мікроскопічні зміни параметрів системи. У нашому випадку це стосується густини потоку носіїв, а отже сили струму в провідниках і заряду та напруги на конденсаторі. Тому величини \({q}\), \(u\), \(i \) реально змінюються, лише доки їхня відміна від асимптотичних (граничних) значень не досягне величини флуктуацій. Відтак настає повна розрядка (або зарядка) конденсатора, при якій величини \({q}\), \(u\), \(i \) будуть здійснювати тільки мікроскопічні флуктуації навколо граничних значень. Причому, такий стан настає достатньо швидко — за час у декілька \(\tau \).

При наведених розрахунках уважалося, що струми зарядки і розрядки конденсатора є квазістаціонарними. З’ясуємо, наскільки таке припущення є обґрунтованим. В \(RC\)-ланцюжках потужних електричних і електронних кіл використовують конденсатори з ємністю щонайменше в декілька мікрофарад і резистори в десятки й більше омів. За таких умов час релаксації \({\tau}={RC}\), що є мірою суттєвої зміни струму, складає \(\geqslant 10^{-5}\) c. Розміри таких ланцюжків можуть досягати \({l}\approx{10}\) см, що відповідає часові запізнення \(\Delta{t}=(l/c)\approx{10^{-10}}\) c. Отже, \({\Delta{t}}/\tau\approx{10^{-4}}\) і критерій квазістаціонарності (3.1) виконується з великим запасом. Тим більше в мікроелектроніці, де розміри схемних елементів і часи запізнення є на порядки менші.