ФІЗИКА ДЛЯ БАКАЛАВРІВ. МОЛЕКУЛЯРНА ФІЗИКА ТА ТЕРМОДИНАМІКА
VII. ДРУГЕ НАЧАЛО ТЕРМОДИНАМІКИ
Колові процеси (цикли). Робота циклу. Коловим процесом або циклом називається такий процес, у якому система, пройшовши через низку не співпадаючих станів, повертається у вихідний стан. Графік квазістатичного[2] (рівноважного) колового процесу зображується замкненою кривою, як показано на діаграмі P-V (рис. 7.1).
Коловий процес характеризується і розширенням, і стисканням газу й має певний напрям, тобто, послідовність змін параметрів стану. Якщо цикл іде “за годинниковою стрілкою”, як показано стрілками на рис.7.2а, то цикл називається прямим. При зворотному напрямі зміни параметрів стану (рис.7.2б) цикл називається оберненим.
Квазістатичні цикли є оборотними, тобто, при проведенні такого циклу спочатку в одному, а потім у зворотному напрямі, в зовнішніх тілах не лишається будь-яких змін.
|
|
У коловому процесі газ виконує роботу, яка на ділянках розширення 
є додатньою, а на ділянках стискання 
– від’ємною. Тому графічно робота циклу визначається різницею площ під указаними ділянками й чисельно дорівнює взятій з відповідним знаком площі, обмеженій графіком циклу на діаграмі (P, V) (штриховка на рис. 7.2)[3]. У прямому циклі (рис. 7.2а) розширення (ділянка ) відбувається при більшому тиску, ніж стискання (ділянка ), тому повна робота циклу має знак “+”. Відповідно, в оберненому циклі знак роботи “–”.
Розглянемо детальніше термодинаміку прямого циклу, записавши перше начало термодинаміки (4.13а) для ділянок розширення й стискання газу та для циклу в цілому:
На ділянці розширення об’єм і температура газу зростають, отже A12 > 0 і U2 > U1. Тому Q12 > 0, тобто, газ дійсно отримує тепло від зовнішніх тіл. Але на ділянці стискання A12 < 0, U1 < U2 і Q21 < 0, отже, газ віддає тепло іншим тілам, а роботу реально виконує не сам газ, а зовнішні тіла. Відповідно до цього позначимо отриману газом кількість тепла як Q1 = Q12, віддану кількість тепла як Q′2 = – Q21, і сумарну роботу циклу як A = A12 + A21 = A12 - A′21, де A′21 - додатня робота зовнішніх тіл по стисканню газу. Тоді робота газу в циклі виразиться, як
|
A = Q1 – Q′2. |
(7.1) |
Отже, робота в прямому коловому процесі виконується виключно за рахунок теплової енергії, реально отриманої газом від зовнішніх тіл.
Принцип дії та склад теплового двигуна. В прямому циклі після виконання певної механічної роботи A > 0 газ повертається у вихідний стан. Тому процес можна повторювати знов і знов. На цьому ґрунтується робота теплових двигунів - циклічно діючих пристроїв для отримання механічної енергії за рахунок тепла. Через це прямий коловий процес називають іще циклом теплового двигуна.
З наведеного аналізу дії прямого циклу випливає, що, незалежно від конструкції, тепловий двигун повинен мати три обов’язкових структурних елементи: 1) робоче тіло - речовину (газ), у якій здійснюється робочий цикл двигуна, тобто, прямий коловий процес, в якому відбувається перетворення тепла на механічну енергію; 2) нагрівник - термодинамічну систему з високою температурою та великим запасом теплової енергії, яка може передаватися робочому тілу і 3) холодильник - систему з низькою температурою й дуже великою теплоємністю, котра може приймати від робочого тіла не використане тепло практично без зміни свого стану. Отже, в кожному циклі двигуна робоче тіло: 1) отримує від нагрівника тепло Q1, 2) виконує за рахунок цього корисну роботу А і 3) віддає холодильнику певну кількість тепла \({Q_{2}^{'}}\) , повертаючись у вихідний стан. Описана термодинамічна схема теплового двигуна показана на рис 7.3а. Слід зауважити, що вона відображає лише загальний принцип дії теплового двигуна. Що ж до конструктивного втілення, то всі три елементи у вигляді окремих пристроїв існували тільки в класичних парових машинах – перших і довгий час єдиних теплових двигунах, які використовувалися в техніці. В сучасних теплових двигунах, до прикладу, автомобільних, джерелом теплової енергії є паливна суміш у циліндрах, яка після запалення одночасно стає і нагрівником, і робочим тілом – штовхає поршні й виконує корисну роботу. А в якості холодильника використовується навколишнє повітря, куди викидається відпрацьоване робоче тіло (вихлопні гази) разом із не використаною тепловою енергією.
|
|
Холодильна машина. В робочому тілі (газі) можна здійснити й обернений цикл, умовно показаний на рис. 7.2б. Це можна, приміром, зробити так. Спочатку стиснений газ привести у добрий тепловий контакт із тілом з меншою температурою (холодним тілом), дати йому можливість розширитися при температурі цього тіла (ділянка ), а потім привести газ у контакт із більш нагрітим (гарячим) тілом і примусовим стисканням повернути його у вихідний стан (ділянка ). У такому разі газ отримує певну кількість тепла \({Q_1}\) від холодного тіла й передає певну кількість тепла \({Q_{2}^{'}}\) гарячому тілу. Як наслідок, холодне тіло ще більше охолоджується, а гаряче нагрівається. Саме це відбувається в кімнатному холодильнику, в якому тепло від холодильної камери, що має низьку температуру, завдяки роботі компресора передається повітрю в кімнаті, яке має вищу температуру. Тому обернений цикл називають циклом холодильної машини. Слід одразу наголосити на тому, що, на відміну від теплового двигуна, цикл холодильної машини можна здійснити тільки примусово за рахунок виконання більшої зовнішньої роботи по стисканню газу на ділянці (), ніж виконує сам газ на ділянці розширення (). Тому холодильна машина може працювати тільки в комбінації з якимось двигуном (зазвичай – електричним), який дає механічну енергію, необхідну для стискання робочого тіла. Принципова схема холодильної машини показана на рис.7.3б.
Ефективність перетворення теплової енергії на механічну в робочому циклі теплового двигуна визначається його коефіцієнтом корисної дії (ККД) η, тобто, відношенням роботи циклу А (формула (7.1)) до кількості тепла Q1, отриманого робочим тілом від нагрівника[4]:
|
\(\eta=\frac{A}{Q_1}=\frac{Q_1-Q_{2}^{'}}{Q_1}\). |
(7.2) |
Отже, ККД теплового двигуна показує, яка частка отриманої теплової енергії перетворюється на механічну, і є тим більшим, чим менша кількість тепла \({Q_{2}^{'}}\) передається холодильнику. Тому виникає природне питання, чи не можна обійтися без холодильника й побудувати тепловий двигун, у якому \({Q_{2}^{'}=0}\) і η = 1, адже це це не суперечить першому началу термодинаміки. Використовуючи в такому двигуні як нагрівник, скажімо, світовий океан із його практично безмежним запасом внутрішньої енергії, можна було би необмежено довго отримувати механічну енергію за рахунок внутрішньої енергії Землі. Оскільки такий гіпотетичний пристрій не суперечить закону збереження енергії, він називається вічним двигуном другого роду. Але, як доводить вся історія розвитку фізики та техніки,
вічний двигун другого роду є неможливим.
У цьому полягає один із фундаментальних законів природи – друге начало термодинаміки. Більш розлого воно виражається формулюванням Кельвіна-Планка, зміст якого полягає в тому, що
принципово неможливо збудувати циклічно працюючий механізм, єдиним результатом дії якого було би виконання роботи за рахунок внутрішньої енергії нагрівника.
Отже, друге начало термодинаміки стверджує неможливість повного перетворення отриманого робочим тілом тепла на механічну енергію в тепловому двигуні (або коловому процесі). Але воно не забороняє цього взагалі. До прикладу, при ізотермічному розширенні газу все отримане тепло перетворюється на роботу (див. Розділ IV, (4.15)), але такий процес не є циклічним і не може бути повторений без того, щоб якась кількість теплоти перейшла від газу до інших тіл.
Існують й інші формулювання другого начала, зокрема, формулювання Клаузіуса:
теплота не може спонтанно (саме по собі) переходити від менш нагрітого тіла до більш нагрітого.
Це твердження теж зовсім не означає, що перехід тепла від холодного тіла до гарячого взагалі неможливий. До прикладу, такий перехід відбувається під час роботи кімнатного холодильника або кондиціонера. Ідеться про те, що ніяким способом неможливо відібрати тепло від тіла з меншою температурою й повністю передати його тілу з більшою температурою так, аби в навколишньому середовищі не відбулося жодних змін. А якщо перехід тепла від холодного тіла до гарячого все ж таки відбувається, то він обов’язково супроводжується якимось іншими процесами. Приміром, перехід тепла в холодильнику від морозильної камери до повітря в кімнаті супроводжується роботою компресора.
Розглянуті формулювання другого начала термодинаміки Кельвіна-Планка та Клаузіуса словесно є істотно різними, і видається дивним, як вони можуть виражати один і той самий закон. Але можна довести, що обидва формулювання є еквівалентними. Припустимо, що якийсь тепловий двигун отримав від нагрівника кількість тепла Q1 і віддав холодильнику кількість тепла \({Q_{2}{'}}\), виконавши додатню роботу \({A}=Q_1-Q_{2}^{'}\). А тепер уявімо, що, всупереч формулюванню Клаузіуса, тепло \({Q_{2}^{'}}\) можна повернути від холодильника до нагрівника так, аби в довкіллі не відбулося ніяких змін. Тоді єдиним наслідком такого комбінованого процесу було б виконання роботи А за рахунок теплоти \({Q}=Q_1-Q_{2}^{'}\) і повернення двигуна у вихідний стан. Але це неможливо, згідно з формулюванням Кельвіна-Планка. Отже, із неможливості повного перетворення теплоти в роботу в коловому процесі з необхідністю випливає неможливість спонтанного переходу тепла від холодного тіла (холодильника) до гарячого (нагрівника). Тобто, із формулювання Клаузіуса випливає формулювання Кельвіна-Планка. Подібним чином можна довести й те, що з формулювання Кельвіна-Планка випливає формулювання Клаузіуса.
Друге начало термодинаміки дозволяє краще зрозуміти, чому при встановленні термодинамічної рівноваги в ізольованій системі всі тіла набувають однакової температури: процеси в замкненій системі є спонтанними й тому супроводжуються переходом тепла виключно від більш нагрітих тіл до менш нагрітих, аж доки ступінь нагрітості всіх тіл, тобто їхні температури, не зрівняються. Отже, можна сказати, що друге начало термодинаміки визначає напрям спонтанних термодинамічних процесів у природі.
Цикл Карно. Позаяк навіть теоретична можливість існування теплового двигуна з ККД η = 1 забороняється другим началом термодинаміки, постає принципове питання, яким може бути максимальний коефіцієнт корисної дії теплових двигунів. Відповідь отримав французький інженер і фізик Саді Карно, котрий винайшов коловий процес (“цикл Карно”), що має найбільший теоретично можливий ККД.
Цикл Карно є оборотним (квазістатичним) коловим процесом, котрий складається з двох ізотерм (ділянки \({1\to{2}}\) і \({3\to{4}}\) на рис.7.4) та двох адіабат (ділянки \({2\to{3}}\) і \({4\to{1}}\)) Висока ефективність такого циклу пояснюється тим, що робоче тіло виконує роботу в ізотермічному та адіабатному процесах (ділянки \({1\to{2}\to{3}}\)), тобто без будь-яких непродуктивних втрат теплової енергії.
|
|
Визначимо ККД циклу Карно, в котрому робочим тілом є ідеальний газ. Згідно з (7.2), можна записати:
|
\(\eta=\frac{A}{Q_1}=1-\frac{Q_2^{'}}{Q_1}\), |
(7.2а) |
де Q1 - кількість тепла, отримана газом від нагрівника, \({Q_2^{'}}\) - тепло, віддане холодильнику. Оскільки цикл Карно є оборотним, всі процеси в ньому є рівноважними. Тому газ отримує тепло, маючи температуру нагрівника T1, а віддає не використане тепло, маючи температуру холодильника T2. В ізотермічному процесі, згідно з (4.15), Q = A, тому в (7.2а) \({Q_1}/Q_2^{'}=A_{12}/A_{34}^{'}\), де A12 - робота газу на ділянці ізотермічного розширення \({1\to{2}}\), і \({A_{34}^{'}}\) - робота зовнішніх тіл на ділянці ізотермічного стискання газу \({3\to{4}}\). Урахувавши це та вирази (4.11) і (4.11а), для ККД отримаємо:
|
\(\eta_c=1-\frac{T_2\ln(V_3/V_4)}{T_1\ln(V_2/V_1)}\). |
(7.3) |
Далі візьмемо до уваги, що пари точок (2, 3) і (4, 1) належать кожна своїй адіабаті. Тому, згідно з (4.29а), можна записати:
Отже, із (7.3) маємо остаточно:
|
\(\eta_c=1-\frac{T_2}{T_1}\), або \(\eta_c=\frac{T_1-T_2}{T_1}\). |
(7.4) |
Теорема Карно. Вираз (7.4) ми отримали для циклу Карно в ідеальному газі. Але можна довести, що він є універсальним і визначає ККД будь-якого теплового двигуна, що працює на циклі Карно, незалежно ані від речовини робочого тіла, ані від конструкції. Карно також довів, що будь-який інший мислимий цикл має ККД менший, ніж (7.4). Це можна проілюструвати на прикладі циклу, що, як і цикл Карно, складається з двох ізотерм і двох адіабат, але є необоротним (нестатичним). У такому циклі теплообмін відбувається зі скінченною швидкістю, тому температура робочого тіла на ізотермічних ділянках не встигає вирівнюватись і при розширенні є нижчою за температуру нагрівника, а при стисканні – вищою за температуру холодильника. Тому ізотерми проходять, як показано штриховими лініями на рис. 7.4. Через це площа, обмежена графіком необоротного циклу, тож і робота, є меншою, ніж робота (площа) оборотного циклу Карно. Відповідно, меншим є й ККД. Отже, констатуємо, що ККД будь-якого теплового двигуна задовольняє фундаментальній нерівності:
|
\(\eta\le\frac{T_1-T_2}{T_1}\) або \(\eta\le 1-\frac{T_2}{T_1}\), |
(7.5) |
де T1 – максимальна температура, при якій тепло переходить від нагрівника до робочого тіла, а T2 – мінімальна температура, при якій робоче тіло передає тепло холодильнику.
Підводячи підсумок, можна сказати, що
ніякий тепловий двигун не може мати ККД вищий, ніж двигун, який працює на оборотному циклі Карно.
Наведені твердження й підсумковий вираз (7.5) складають зміст теореми Карно, яка посідає провідне місце в термодинаміці.
З практичної точки зору вираз (7.5) показує, що для збільшення ККД теплових двигунів треба підвищувати температуру нагрівника й знижувати температуру холодильника. Але реальні можливості підвищення температури нагрівника обмежені відносно невисокою жаростійкістю матеріалів і тепловим розширенням деталей, що призводить до виходу двигуна з ладу при перегріві. Що ж до температури холодильника, то її мінімальне обґрунтоване значення обмежене температурою довкілля. Причина полягає в тому, що для охолодження холодильника до більш низької, ніж навколишня, температури треба виконувати роботу, що, як випливає з другого начала термодинаміки, є більшою, ніж приріст корисної роботи двигуна за рахунок підвищення ККД. З указаних причин ККД навіть найкращих теплових двигунів є істотно меншим за одиницю.
Теорема Карно має не лише практичне, а й велике теоретичне значення. З попереднього зрозуміло, що теплота, передана холодильнику, вже не може бути ефективно перетворена на механічну енергію. Відбувається своєрідне знецінення теплової енергії, коли все більша її частина стає непридатною для отримання механічної енергії. Причому, це стосується не лише теплових двигунів, а взагалі будь-яких процесів перетворення теплової енергії на механічну.
2. Чому дорівнює робота системи в прямому циклі? Як вона відображаєтся на графіку циклу?
3. Чи можливі процеси, в яких усе отримане системою тепло йде на виконання нею роботи?
4. Чи можливо перетворити на роботу все отримане системою тепло в коловому процесі?
5. Що таке “тепловий двигун”? Наведіть термодинамічну схему теплового двигуна. Чи можна віднести електромотор до теплових двигунів?
6. Що таке “вічний двигун другого роду”? У чому полягає друге начало термодинаміки?
7. Дайте формулювання другого начала термодинаміки Кельвіна-Планка та Клаузіуса і доведіть їхню еквівалентність.
8. Який коловий процес називається циклом Карно? Чому дорівнює ККД циклу Карно?
9. Про що трактує теорема Карно?
[1] Більш за те, це відбувається навіть усупереч нашому бажанню, так що в замкненій системі з часом уся механічна енергія може перетворитися на теплову.
[2] Нагадаємо, що квазістатичним називається достатньо повільний процес, коли можна вважати, що система проходить через низку рівноважних станів.
[4] Це так званий термодинамічний ККД. Реальний ККД, тобто, відношення механічної енергії на валу двигуна до теплової енергії, що виділяється при згорянні палива, ясна річ, менший через недосконалість конструкції та втрати на тертя у вузлах двигуна.