physics.zfftt.kpi.ua

Задача 3.12. Тягар маси m = 5 кг починають підіймати з підлоги на гумовому шнурі діаметром d = 5 мм. Визначити  початкову довжину шнура l₀, якщо на момент відриву вантажу від підлоги вона шнура складала l = 1,5 м. Модуль Юнга гуми E = 3,74 МПа.

Задача 3.13. Тягач має буксирувати автомобіль маси m = 1 т вгору по дорозі з ухилом α = 10° за допомогою конопляного каната діаметром d = 7 мм.  Визначити  максимальне можливе  стартове прискорення a_m тягача при границі міцності каната \(\sigma\) = 80 МПа. Силами тертя та опору знехтувати.

Задача 3.14. Визначити  найбільшу висоту будинку h_m, який можна вибудувати із запасом міцності k = 3 з цегли густиною \(\rho=2,5\) г/см³ і границею міцності σ = 5 МПа.

Задача 3.15. Визначити, яку роботу треба виконати, аби вдвічі розтягнути гумовий джгут довжиною  l =1 м і перерізом 1 см², якщо його модуль пружності складає E = 10 МПа. Зміною об'єму джгута при розтяганні знехтувати. [500 Дж ].

Задача 3.16. Між двома розташованими на відстані L = 2 м одна від одної стінками натягнуто й закріплено на однаковій висоті залізний (модуль пружності Е = 2 ГПа) дріт діаметром d = 1 мм. Визначити, на яку відстань h опуститься підвішений посередині тягар масою 2,5 кг.

================

Задача 3.12

Тягар маси m = 5 кг починають підіймати з підлоги на гумовому шнурі діаметром d = 5 мм. 

Визначити  

початкову довжину шнура l₀, якщо на момент відриву тягаря від підлоги вона складала l = 1,5 м. Модуль Юнга гуми E = 3,74 МПа.

Розв’язання

Згідно із законом Гука (3.16)

де механічна напруга (3.15) в шнурі, що створюється вагою тягаря, визначається як

Тож урахувавши діаметр шнура, отримуємо відповідь:

\({l}_{0}=\frac{l}{1+(4mg/\pi{d^{2}}E)}\) = 0,9 м.

Задача 3.13

Тягач має буксирувати автомобіль маси m = 1 т вгору по дорозі з ухилом α = 10° за допомогою конопляного каната діаметром d = 7 мм.  

Визначити  

максимальне можливе стартове прискорення a_m тягача при границі міцності каната \(\sigma\) = 80 МПа. Силами тертя та опору знехтувати.

Розв’язання

За другим законом Ньютона прискорення а автомобіля дорівнює відношенню рівнодійної сили натягу каната  F  та паралельної до дороги складової сили тяжіння mg·sinα (див. схематичний рис. 13) до маси:

Отже, як і має бути, при заданому ухилі дороги та масі авто його теоретично можливе максимальне прискорення a_m залежить тільки від гранично допустимої величини натягу каната F_m, котра визначається його перерізом $S=(\pi {{d}^{2}}/4)$ і границею міцності ${{\sigma }_{m}}$, як

${{F}_{m}}=\frac{\pi {{d}^{2}}{{\sigma }_{m}}}{4}$.

Отже, підставивши цю величину у вираз (1), отримаємо наступну відповідь

${{a}_{m}}=\frac{\pi {{d}^{2}}{{\sigma }_{m}}}{4m}-g\cdot \sin \alpha $ = 1,4 м/с²

Задача 3.14

Визначити  

найбільшу висоту будинку h_m, який можна вибудувати із запасом міцності k = 3 з цегли густиною \(\rho=2,5\) г/см³ і границею міцності σ = 5 МПа.

Розв’язання

Розглянемо якийсь фрагмент стіни будинку площею основи S (рис. 14). Механічна напруга в цеглі на заданому рівні визначається вагою частини стіни, що лежить вище. Тож  найбільшою вона є біля основи й при висоті будинку h складає

За умовою максимальна допустима напруга дорівнює (σ_м/k), тому найбільша можлива висота будинку складає

\({h}_{m}=\frac{\sigma_{м}}{k\rho{g}}\) = 68 м.

Задача 3.15.

Визначити,

яку роботу треба виконати, аби вдвічі розтягнути  гумовий джгут довжиною  l = 1 м і перерізом S = 1 см², якщо його модуль пружності складає E = 10 МПа. Зміною об'єму джгута при розтяганні знехтувати.

Розв’язання

Із механіки відомо, для збільшення довжини пружного тіла довжини l на задану величну Δl, треба виконати роботу

де F – сила, що створює  вказаний розтяг і, відповідно до закону Гука (3.16) та виразу (3.15), дорівнює

$F=SE\frac{\Delta l}{l}$.

Відтак вираз (1) набуває вигляду:

$A=\frac{\sigma S{{l}^{2}}}{2\Delta l}$.

Звідси, врахувавши, що за умовою Δl = l, отримуємо відповідь:

$A=\frac{lSE}{2}$ = 500 Дж.

Задача 3.16.

Між двома розташованими на відстані L = 2 м одна від одної стінками натягнуто й закріплено на однаковій висоті залізний (модуль пружності Е = 2 ГПа) дріт діаметром d = 1 мм.

Визначити,

на яку відстань h опуститься підвішений посередині тягар масою 2,5 кг.

Розв’язання

Підвішений тягар буде опускатися, доки рівнодійна ${{\vec{F}}_{0}}$ сил натягу в підвісах $\vec{F}$, ${\vec{F}}'$ не скомпенсує вагу тягаря $m\vec{g}$, як показано на схематичному рис. 16. Тож, позначивши задля зручності початкову довжину половини підвісу як (L/2) = l₀, а її розтяг як Δl, для переміщення тягаря h = ОО′, як видно з рис. 16, можна записати: 

${{h}^{2}}={{\left( {{l}_{0}}+\Delta l \right)}^{2}}-l_{0}^{2}=2{{l}_{0}}\Delta l+{{\left( \Delta l \right)}^{2}}$.

При заданих в умові значеннях ваги тягаря та модуля пружності дроту його видовження достеменно є малим, а величина ($\Delta l$)² – неістотною. Тож реально

Отже, аби знайти відповідь задачі, треба обчислити розтяг підвісу Δl, котрий за співвідношенням (3.16) дорівнює

де механічна напруга σ дорівнює відношенню сили натягу F до площі перерізу дроту S і складає:

$\sigma =\frac{4F}{\pi {{d}^{2}}}$.

Із рисунка розуміло, що 

$\frac{F}{\left( mg/2 \right)}=\frac{{{l}_{0}}}{h}\quad \Rightarrow \quad F=\frac{mg{{l}_{0}}}{2h}$

Отже,

$\sigma =\frac{2mg{{l}_{0}}}{\pi {{d}^{2}}h}$

і за формулою (2)

$\Delta l=\frac{2mgl_{0}^{2}}{\pi {{d}^{2}}hE}$.

Відтак, підставивши цезначення у вираз (1) і врахувавши, що 2l₀ =L, після елементарних перетворень отримаємо наступну відповідь:

$h=L\sqrt[3]{\frac{mg}{2\pi {{d}^{2}}E}}$ = 2,5 см.

Щодо наведеного розв'язку варто зауважити, що робочий рисунок і подальші викладки передбачають строго горизонтальне натягнення дроту, що є принципово неможливим через його провисання під власною вагою. Але, враховуючи малу масу дроту (порядку 10 г), воно не спричинює помітного впливу на результат.