ФІЗИКА. Вчимося розв'язувати задачі. "МОЛЕКУЛЯРНА ФІЗИКА І ТЕРМОДИНАМІКА". Компенсаційний курс
3.2. Приклади розв’язування задач
Закон Гука, механічні властивості твердих тіл
Задача 3.12. Тягар маси m = 5 кг починають підіймати з підлоги на гумовому шнурі діаметром d = 5 мм. Визначити початкову довжину шнура l0, якщо на момент відриву вантажу від підлоги вона шнура складала l = 1,5 м. Модуль Юнга гуми E = 3,74 МПа.
Задача 3.13. Тягач має буксирувати автомобіль маси m = 1 т вгору по дорозі з ухилом α = 10° за допомогою конопляного каната діаметром d = 7 мм. Визначити максимальне можливе стартове прискорення am тягача при границі міцності каната \(\sigma\) = 80 МПа. Силами тертя та опору знехтувати.
Задача 3.14. Визначити найбільшу висоту будинку hm, який можна вибудувати із запасом міцності k = 3 з цегли густиною \(\rho=2,5\) г/см3 і границею міцності σ = 5 МПа.
Задача 3.15. Визначити, яку роботу треба виконати, аби вдвічі розтягнути гумовий джгут довжиною l =1 м і перерізом 1 см2, якщо його модуль пружності складає E = 10 МПа. Зміною об'єму джгута при розтяганні знехтувати. [500 Дж ].
Задача 3.16. Між двома розташованими на відстані L = 2 м одна від одної стінками натягнуто й закріплено на однаковій висоті залізний (модуль пружності Е = 2 ГПа) дріт діаметром d = 1 мм. Визначити, на яку відстань h опуститься підвішений посередині тягар масою 2,5 кг.
================
Задача 3.12
Тягар маси m = 5 кг починають підіймати з підлоги на гумовому шнурі діаметром d = 5 мм.
Визначити
початкову довжину шнура l0, якщо на момент відриву тягаря від підлоги вона складала l = 1,5 м. Модуль Юнга гуми E = 3,74 МПа.
Дано: m = 5 кг
d = 5 мм
l= 1,5 м
E = 3,74 МПа
|
l0 - ?
|
Розв’язання
Згідно із законом Гука (3.16)
|
$l-{{l}_{0}}={{l}_{0}}\frac{\sigma }{E}$ $\Rightarrow $ ${{l}_{0}}=\frac{l}{1+\left( {\sigma }/{E}\; \right)}$, |
|
де механічна напруга (3.15) в шнурі, що створюється вагою тягаря, визначається як
|
$\sigma =\frac{4mg}{\pi {{d}^{2}}}$. |
|
Тож урахувавши діаметр шнура, отримуємо відповідь:
\({l}_{0}=\frac{l}{1+(4mg/\pi{d^{2}}E)}\) = 0,9 м.
Задача 3.13
Тягач має буксирувати автомобіль маси m = 1 т вгору по дорозі з ухилом α = 10° за допомогою конопляного каната діаметром d = 7 мм.
Визначити
максимальне можливе стартове прискорення am тягача при границі міцності каната \(\sigma\) = 80 МПа. Силами тертя та опору знехтувати.
Дано: α = 10°
m = 1 т
d = 7 мм
\(\sigma_{m}\) = 80 МПа
|
am - ?
|
Розв’язання
За другим законом Ньютона прискорення а автомобіля дорівнює відношенню рівнодійної сили натягу каната F та паралельної до дороги складової сили тяжіння mg·sinα (див. схематичний рис. 13) до маси:
|
$a=\frac{F}{m}-g\cdot \sin \alpha $. |
(1) |
Отже, як і має бути, при заданому ухилі дороги та масі авто його теоретично можливе максимальне прискорення am залежить тільки від гранично допустимої величини натягу каната Fm, котра визначається його перерізом $S=(\pi {{d}^{2}}/4)$ і границею міцності ${{\sigma }_{m}}$, як
${{F}_{m}}=\frac{\pi {{d}^{2}}{{\sigma }_{m}}}{4}$.
Отже, підставивши цю величину у вираз (1), отримаємо наступну відповідь
${{a}_{m}}=\frac{\pi {{d}^{2}}{{\sigma }_{m}}}{4m}-g\cdot \sin \alpha $ = 1,4 м/с2
Задача 3.14
Визначити
найбільшу висоту будинку hm, який можна вибудувати із запасом міцності k = 3 з цегли густиною \(\rho=2,5\) г/см3 і границею міцності σ = 5 МПа.
Дано: k = 3
σ = 5 МПа
\(\rho=2,5\) г/см3
|
hm - ?
|
Розв’язання
Розглянемо якийсь фрагмент стіни будинку площею основи S (рис. 14). Механічна напруга в цеглі на заданому рівні визначається вагою частини стіни, що лежить вище. Тож найбільшою вона є біля основи й при висоті будинку h складає
|
\(\sigma=\frac{\rho{hSg}}{S}=\rho{hg}\). |
(1) |
За умовою максимальна допустима напруга дорівнює (σм/k), тому найбільша можлива висота будинку складає
\({h}_{m}=\frac{\sigma_{м}}{k\rho{g}}\) = 68 м.
Визначити,
яку роботу треба виконати, аби вдвічі розтягнути гумовий джгут довжиною l = 1 м і перерізом S = 1 см2, якщо його модуль пружності складає E = 10 МПа. Зміною об'єму джгута при розтяганні знехтувати.
Дано: l =1 м S = 1см2 E = 10 МПа |
A - ? |
Розв’язання
Із механіки відомо, для збільшення довжини пружного тіла довжини l на задану величну Δl, треба виконати роботу
|
$A=\frac{1}{2}F\Delta l$, |
(1) |
де F – сила, що створює вказаний розтяг і, відповідно до закону Гука (3.16) та виразу (3.15), дорівнює
$F=SE\frac{\Delta l}{l}$.
Відтак вираз (1) набуває вигляду:
$A=\frac{\sigma S{{l}^{2}}}{2\Delta l}$.
Звідси, врахувавши, що за умовою Δl = l, отримуємо відповідь:
$A=\frac{lSE}{2}$ = 500 Дж.
Між двома розташованими на відстані L = 2 м одна від одної стінками натягнуто й закріплено на однаковій висоті залізний (модуль пружності Е = 2 ГПа) дріт діаметром d = 1 мм.
Визначити,
на яку відстань h опуститься підвішений посередині тягар масою 2,5 кг.
Дано: d = 1 мм L = 2 м m = 2,5 кг Е = 200 ГПа |
h - ? |
Розв’язання
Підвішений тягар буде опускатися, доки рівнодійна ${{\vec{F}}_{0}}$ сил натягу в підвісах $\vec{F}$, ${\vec{F}}'$ не скомпенсує вагу тягаря $m\vec{g}$, як показано на схематичному рис. 16. Тож, позначивши задля зручності початкову довжину половини підвісу як (L/2) = l0, а її розтяг як Δl, для переміщення тягаря h = ОО′, як видно з рис. 16, можна записати:
${{h}^{2}}={{\left( {{l}_{0}}+\Delta l \right)}^{2}}-l_{0}^{2}=2{{l}_{0}}\Delta l+{{\left( \Delta l \right)}^{2}}$.
При заданих в умові значеннях ваги тягаря та модуля пружності дроту його видовження достеменно є малим, а величина ($\Delta l$)2 – неістотною. Тож реально
|
${{h}^{2}}=2{{l}_{0}}\Delta l$. |
(1) |
Отже, аби знайти відповідь задачі, треба обчислити розтяг підвісу Δl, котрий за співвідношенням (3.16) дорівнює
$\Delta l=\frac{\sigma }{E}{{l}_{0}}$. |
(2) |
де механічна напруга σ дорівнює відношенню сили натягу F до площі перерізу дроту S і складає:
$\sigma =\frac{4F}{\pi {{d}^{2}}}$.
Із рисунка розуміло, що
$\frac{F}{\left( mg/2 \right)}=\frac{{{l}_{0}}}{h}\quad \Rightarrow \quad F=\frac{mg{{l}_{0}}}{2h}$
Отже,
$\sigma =\frac{2mg{{l}_{0}}}{\pi {{d}^{2}}h}$
і за формулою (2)
$\Delta l=\frac{2mgl_{0}^{2}}{\pi {{d}^{2}}hE}$.
Відтак, підставивши цезначення у вираз (1) і врахувавши, що 2l0 =L, після елементарних перетворень отримаємо наступну відповідь:
$h=L\sqrt[3]{\frac{mg}{2\pi {{d}^{2}}E}}$ = 2,5 см.
Щодо наведеного розв'язку варто зауважити, що робочий рисунок і подальші викладки передбачають строго горизонтальне натягнення дроту, що є принципово неможливим через його провисання під власною вагою. Але, враховуючи малу масу дроту (порядку 10 г), воно не спричинює помітного впливу на результат.