ФІЗИКА. Вчимося розв'язувати задачі. "МОЛЕКУЛЯРНА ФІЗИКА І ТЕРМОДИНАМІКА". Компенсаційний курс
3.2. Приклади розв’язування задач
Закон Гука, механічні властивості твердих тіл
Задача 3.12. Тягар маси m = 5 кг починають підіймати з підлоги на гумовому шнурі діаметром d = 5 мм. Визначити початкову довжину шнура l0, якщо на момент відриву вантажу від підлоги вона шнура складала l = 1,5 м. Модуль Юнга гуми E = 3,74 МПа.
Задача 3.13. Тягач має буксирувати автомобіль маси m = 1 т вгору по дорозі з ухилом α = 10° за допомогою конопляного каната діаметром d = 7 мм. Визначити максимальне можливе стартове прискорення am тягача при границі міцності каната σ = 80 МПа. Силами тертя та опору знехтувати.
Задача 3.14. Визначити найбільшу висоту будинку hm, який можна вибудувати із запасом міцності k = 3 з цегли густиною ρ=2,5 г/см3 і границею міцності σ = 5 МПа.
Задача 3.15. Визначити, яку роботу треба виконати, аби вдвічі розтягнути гумовий джгут довжиною l =1 м і перерізом 1 см2, якщо його модуль пружності складає E = 10 МПа. Зміною об'єму джгута при розтяганні знехтувати. [500 Дж ].
Задача 3.16. Між двома розташованими на відстані L = 2 м одна від одної стінками натягнуто й закріплено на однаковій висоті залізний (модуль пружності Е = 2 ГПа) дріт діаметром d = 1 мм. Визначити, на яку відстань h опуститься підвішений посередині тягар масою 2,5 кг.
================
Задача 3.12
Тягар маси m = 5 кг починають підіймати з підлоги на гумовому шнурі діаметром d = 5 мм.
Визначити
початкову довжину шнура l0, якщо на момент відриву тягаря від підлоги вона складала l = 1,5 м. Модуль Юнга гуми E = 3,74 МПа.
Дано: m = 5 кг
d = 5 мм
l= 1,5 м
E = 3,74 МПа
|
l0 - ?
|
Розв’язання
Згідно із законом Гука (3.16)
|
l−l0=l0σE ⇒ l0=l1+(σ/E), |
|
де механічна напруга (3.15) в шнурі, що створюється вагою тягаря, визначається як
|
σ=4mgπd2. |
|
Тож урахувавши діаметр шнура, отримуємо відповідь:
l0=l1+(4mg/πd2E) = 0,9 м.
Задача 3.13
Тягач має буксирувати автомобіль маси m = 1 т вгору по дорозі з ухилом α = 10° за допомогою конопляного каната діаметром d = 7 мм.
Визначити
максимальне можливе стартове прискорення am тягача при границі міцності каната σ = 80 МПа. Силами тертя та опору знехтувати.
Дано: α = 10°
m = 1 т
d = 7 мм
\(\sigma_{m}\) = 80 МПа
|
am - ?
|
Розв’язання

За другим законом Ньютона прискорення а автомобіля дорівнює відношенню рівнодійної сили натягу каната F та паралельної до дороги складової сили тяжіння mg·sinα (див. схематичний рис. 13) до маси:
|
a=Fm−g⋅sinα. |
(1) |
Отже, як і має бути, при заданому ухилі дороги та масі авто його теоретично можливе максимальне прискорення am залежить тільки від гранично допустимої величини натягу каната Fm, котра визначається його перерізом S=(πd2/4) і границею міцності σm, як
Fm=πd2σm4.
Отже, підставивши цю величину у вираз (1), отримаємо наступну відповідь
am=πd2σm4m−g⋅sinα = 1,4 м/с2
Задача 3.14
Визначити
найбільшу висоту будинку hm, який можна вибудувати із запасом міцності k = 3 з цегли густиною ρ=2,5 г/см3 і границею міцності σ = 5 МПа.
Дано: k = 3
σ = 5 МПа
ρ=2,5 г/см3
|
hm - ?
|
Розв’язання
Розглянемо якийсь фрагмент стіни будинку площею основи S (рис. 14). Механічна напруга в цеглі на заданому рівні визначається вагою частини стіни, що лежить вище. Тож найбільшою вона є біля основи й при висоті будинку h складає
|
σ=ρhSgS=ρhg. |
(1) |
За умовою максимальна допустима напруга дорівнює (σм/k), тому найбільша можлива висота будинку складає
hm=σмkρg = 68 м.
Визначити,
яку роботу треба виконати, аби вдвічі розтягнути гумовий джгут довжиною l = 1 м і перерізом S = 1 см2, якщо його модуль пружності складає E = 10 МПа. Зміною об'єму джгута при розтяганні знехтувати.
Дано: l =1 м S = 1см2 E = 10 МПа |
A - ? |
Розв’язання
Із механіки відомо, для збільшення довжини пружного тіла довжини l на задану величну Δl, треба виконати роботу
|
A=12FΔl, |
(1) |
де F – сила, що створює вказаний розтяг і, відповідно до закону Гука (3.16) та виразу (3.15), дорівнює
F=SEΔll.
Відтак вираз (1) набуває вигляду:
A=σSl22Δl.
Звідси, врахувавши, що за умовою Δl = l, отримуємо відповідь:
A=lSE2 = 500 Дж.
Між двома розташованими на відстані L = 2 м одна від одної стінками натягнуто й закріплено на однаковій висоті залізний (модуль пружності Е = 2 ГПа) дріт діаметром d = 1 мм.
Визначити,
на яку відстань h опуститься підвішений посередині тягар масою 2,5 кг.
Дано: d = 1 мм L = 2 м m = 2,5 кг Е = 200 ГПа |
h - ? |

Розв’язання
Підвішений тягар буде опускатися, доки рівнодійна →F0 сил натягу в підвісах →F, →F′ не скомпенсує вагу тягаря m→g, як показано на схематичному рис. 16. Тож, позначивши задля зручності початкову довжину половини підвісу як (L/2) = l0, а її розтяг як Δl, для переміщення тягаря h = ОО′, як видно з рис. 16, можна записати:
h2=(l0+Δl)2−l20=2l0Δl+(Δl)2.
При заданих в умові значеннях ваги тягаря та модуля пружності дроту його видовження достеменно є малим, а величина (Δl)2 – неістотною. Тож реально
|
h2=2l0Δl. |
(1) |
Отже, аби знайти відповідь задачі, треба обчислити розтяг підвісу Δl, котрий за співвідношенням (3.16) дорівнює
Δl=σEl0. |
(2) |
де механічна напруга σ дорівнює відношенню сили натягу F до площі перерізу дроту S і складає:
σ=4Fπd2.
Із рисунка розуміло, що
F(mg/2)=l0h⇒F=mgl02h
Отже,
σ=2mgl0πd2h
і за формулою (2)
Δl=2mgl20πd2hE.
Відтак, підставивши цезначення у вираз (1) і врахувавши, що 2l0 =L, після елементарних перетворень отримаємо наступну відповідь:
h=L3√mg2πd2E = 2,5 см.
Щодо наведеного розв'язку варто зауважити, що робочий рисунок і подальші викладки передбачають строго горизонтальне натягнення дроту, що є принципово неможливим через його провисання під власною вагою. Але, враховуючи малу масу дроту (порядку 10 г), воно не спричинює помітного впливу на результат.