ФІЗИКА. Вчимося розв'язувати задачі. "МОЛЕКУЛЯРНА ФІЗИКА І ТЕРМОДИНАМІКА". Компенсаційний курс

2.2. Приклади розв’язування задач

Перший закон термодинаміки та термодинаміка ізопроцесів у газах


 Задача 2.1. При швидкому стисканні m = 4 г гелію (М = 4 г/моль) в циліндрі під поршнем газ нагрівається від t1 = 7°C до t2 = 87°C. Визначити роботу A стискання газу.

Задача 2.2. При переміщенні поршня парової машини на відстань l = 60 см тиск пари в циліндрі лінійно спадає від P1 = 1,0 МПа до P2 = 0,2 МПа, а температура понижується до  t2 = 107°C. Початковий об'єм пари V1 = 10 л, площа поршня S = 1000 см2. Визначити: А) роботу пари A і Б) її початкову температуру t1.

Задача 2.3. Температуру одного моля газу в циліндрі під поршнем змінюють від t1 = 10°C до t2 = 75°C. Визначити: А) кількість теплоти, отриманої газом при закріпленому (QV) та вивільненому (QP) поршні; Б) роботу газу А.

Задача 2.4. Незмінну кількість газу переводять із стану 1 у стан 2 двома заданими способами ("шляхами"): а) 1-1'-2 та б) 1-2 (див. розв'язання, рис. 4). Визначити відношення кількостей тепла (Q1/Q2), отриманих газом у кожному випадку, якщо відношення кінцевого та початкового тисків (Р2/Р1) складає n = 9.

 Задача 2.5. Газ у кількості ν = 0,2 моль із початковими об'ємом V1 = 5 л і тиском Р1 = 100 кПа нагрівають у циліндрі з рухомим поршнем так, що тиск весь час є прямо пропорційний до об'єму P ~ V. Визначити: 1. Зв'язок між температурою та тиском газу в такому гіпотетичному процесі;  2. Роботу газу при збільшенні його об'єму в n = 2 рази.

 Задача 2.6. Два молі газу в циліндрі під поршнем спочатку ізобарно розширюють у n =  2 рази, а потім ізохорно охолоджують до вихідної температури. Визначити максимальну температуру газу, якщо різниця отриманої та відданої ним в процесі кількості теплоти ΔQ = 8,3 кДж. Газова стала R = 8,3 Дж/(моль·K).

 

Задача 2.1

При швидкому стисканні m = 4 г гелію (М = 4 г/моль) в циліндрі під поршнем газ нагрівається від t1 = 7 °C до t2 = 87 °C.

Визначити

·роботу A стискання газу.

 

Дано:

m = 4·10–3 кг 
М = 4 кг/кмоль
t1 = 280 К
t2 = 360 К

A - ?

Розв’язання

Через швидкоплинність процесу теплообміном газу із навколишніми тілами можна знехтувати й уважати процес адіабатним (див. п. 2.2). Отже, робота стискання А йде тільки на зміну внутрішньої енергії U, котра визначається формулою (2.1):

\(A=\frac{3}{2}\cdot \frac{mR}{M}({{T}_{2}}-{{T}_{1}})\).

Обчислення дають

А1,0 кДж.


 

Задача 2.2

При переміщенні поршня парової машини на відстань l = 60 см тиск пари  в циліндрі лінійно спадає від P1 = 1,0 МПа до P2 = 0,2 МПа, а температура понижується до t2 = 107°C. Початковий об'єм пари V1 = 10 л, площа поршня S = 1000 см2

Визначити: 

А) роботу A і 

Б) початкову температуру пари t1.

 

Дано:

l = 0,6 м
P1 = 106 Па
P2 = 2·105 Па
T2 = 380 К
V1 = 10–2 м3
S = 0,1 м2

A - ?  t1 - ?

Розв’язання

А). Роботу пари визначимо за графіком процесу (див. п. 2.1) через площу виділеної трапеції на рис. 2:

\(A=\frac{1}{2}({{P}_{1}}+{{P}_{2}})({{V}_{2}}-{{V}_{1}})\),

де зміна об’єму пари V2V1 = lS. Отже,

\(A=\frac{({{P}_{1}}+{{P}_{2}})LS}{2}=3,6\cdot {{10}^{4}}\) Дж = 36 кДж.

Б). Згідно з рівнянням Клапейрона (1.13),

\(\begin{align}  & {{P}_{1}}{{V}_{1}}=\nu R{{T}_{1}}, \\  & {{P}_{2}}{{V}_{2}}=\nu R{{T}_{2}}. \\ \end{align}\)

Тож

\(\frac{{{T}_{1}}}{{{T}_{2}}}=\frac{{{P}_{1}}{{V}_{1}}}{{{P}_{2}}{{V}_{2}}}.\)

Звідси, врахувавши, що V2 = V1 + lS, одержимо наступну відповідь:

\({{T}_{1}}={{T}_{2}}\cdot \frac{{{P}_{1}}{{V}_{1}}}{{{P}_{2}}({{V}_{1}}+lS)}=\frac{({{{P}_{1}}}/{{{P}_{2}}}\;)}{1+{lS}/{{{V}_{1}}}\;}\cdot {{T}_{2}} \) K.

Обчислення дають

T1 = 475 K   →  t1 = 2о2°С.

 

 

Задача 2.3. Температуру одного моля газу в циліндрі під поршнем змінюють від t1 = 10°C до t2 = 75°C.

Визначити 

А) кількість теплоти, отриманої газом при закріпленому QV) та вивільненому (QP) поршні

Б) роботу газу А.

Дано:

ν = 1 моль
t1 = 10°C
t2 = 75°C

QV - ?; QP - ?

Розв’язання

A) При закріпленому поршні об'єм газу V = const, тобто нагрівання є ізохорним. Тож відповідно до формули (2.11)

QV = ΔU,

де ΔU – зміна внутрішньої енергії, котра визначається формулою (2.3):

\(\Delta U=\frac{3}{2}\nu R({{T}_{2}}-{{T}_{1}})\).

Таким чином, при закріпленому поршні газ одержує кількість тепла

QV  = $\frac{3}{2}\nu R\left( {{T}_{2}}-{{T}_{1}} \right)$ = 809 Дж.

Б) За відсутності тертя в будь-якому положенні поршня тиск газу в циліндрі дорівнює зовнішньому тиску, тож нагрівання газу є ізобарним (P = const). При цьому, відповідно до формул (2.8) і (2.12а) отримана ним кількість тепла QP дорівнює:

QP  $\frac{3}{2}\nu R\left( {{T}_{2}}-{{T}_{1}} \right)$ +$\frac\nu R\left( {{T}_{2}}-{{T}_{1}} \right)$  \(\Rightarrow\)  QP  \(\frac{5}{2}\nu R({{T}_{2}}-{{T}_{1}})\) = 1,35 кДж.

Таким чином, для однакової зміни температури газу при вільному поршні необхідно витратити більшу кількість теплоти, ніж при закріпленому. Це й зрозуміло, бо якщо при незмінному об'ємі на нагрівання йде все отримане тепло, то при постійному тиску – тільки його частина, а решта витрачається на виконання газом роботи розширення A. Тож при однаковій зміні температури (і, відповідно, внутрішньої енергії)

QPQV = A.

 

Задача 2.4. Незмінну кількість газу переводять із стану 1 у стан 2 двома заданими способами ("шляхами") а) 1-1'-2 та б) 1-2, рис. 4 .

Визначити

відношення кількостей тепла (Qa/Qb), отриманих газом у кожному випадку, якщо відношення  кінцевого та початкового тисків (Р2/Р1) складає n = 9.

Дано:

(P2/P1) = n
n = 9

(Qa/Qb) - ?

Розв’язання

За першим законом термодинаміки (2.9а) отримана газом кількість тепла в кожному випадку визначається зміною його внутрішньої енергії та виконаною роботою:

Q = ΔU +A. 

(1)

Як видно з рис. 4, при обох зазначених в умові способах зміни стану газу відношення крайніх значень об'ємів і тисків однакові:

$\frac{{{V}_{2}}}{{{V}_{1}}}=\frac{{{P}_{2}}}{{{P}_{1}}}=n$.

Однаковими є й зміни внутрішньої енергії газу, котрі, згідно з формулою (2.2) і вказаним зв'язком між крайніми параметрами, дорівнюють:

$\Delta U=\frac{3}{2}\left( {{P}_{2}}{{V}_{2}}-{{P}_{1}}{{V}_{1}} \right)=\frac{3}{2}\left( {{n}^{2}}-1 \right){{P}_{1}}{{V}_{1}}$

(2)

Роботу газу у випадку a) і b) визначимо як виділену площу на рис. 4-1а та 4-1б:

AaP2(V2 – V1)     \(\Rightarrow\)     Aan(n–1)P1V1,

\({{A}_{b}}=\frac{1}{2}({{P}_{1}}+{{P}_{2}})({{V}_{2}}-{{V}_{1}})\)     \(\Rightarrow\)     \({{A}_{b}}=\frac{({{n}^{2}}-1){{P}_{1}}{{V}_{1}}}{2}.\)

Відтак підставимо ці вирази в рівняння (1) і, врахувавши вираз (2), після перетворень знайдемо

\({{Q}_{a}}=\frac{(n-1)(5n+3)}{2}{{P}_{1}}{{V}_{1}};\)

 Qb = 2(n2 – 1)P1V1.

Отже, шукане відношення (Qa/Qb) дорівнює

\(\frac{{{Q}_{1}}}{{{Q}_{2}}}=\frac{5n+3}{4(n+1)}=1,2.\)

Задача 2.5. Газ у кількості ν = 0,2 моль із початковими об'ємом V1 = 5 л і тиском Р1 = 100 кПа нагрівають у циліндрі з рухомим поршнем так, що тиск весь час є прямо пропорційний до об'єму: P ~ V.

Визначити:

1. Зв'язок між температурою та тиском газу в такому гіпотетичному процесі; 

2. Роботу газу при збільшенні його об'єму в n = 2 рази.

Дано:

ν = 0,2 моль
Р1 = 105 Па
V1 = 5·10–3 м3
n = 2

Т(V) - ?, А - ?

Рис. 2.5
Рис. 5


Розв'язання

Умову задачі наочно відображає графік процесу, рис. 5.

1. Згідно з рівнянням Клапейрона (7.13) температура заданої кількості газу визначається добутком тиску цй об'єму:

$T=\frac{PV}{\nu R}$ 

Отже, аби встановити залежність Т(P), треба знати зв'язок між об'ємом і тиском газу, який в даній задачі, згідно з рис. 5, має вигляд: 

$\frac{P}{V}=\frac{{{P}_{1}}}{{{V}_{1}}}\quad \Rightarrow \quad V=\frac{{{V}_{1}}}{{{P}_{1}}}P$,

Відтак, урахувавши це співвідношення у виразі (1), отримаємо:

$T=\alpha {{P}^{2}}$

де

$\alpha =\frac{{{V}_{1}}}{\nu R{{P}_{1}}}$ =  3·10–8 (К/Па2)

2. Роботу газу визначимо за площею під виділеною на рис. 2.5 ділянкою графіка процесу (див. п.2.1):

\(A=\frac{1}{2}\left( P_2+P_{1} \right)\left( V_2-V_0\right)\),

і, враховуючи задане співвідношення n між крайніми значеннями параметрів, дістанемо:

$A=\frac{{{n}^{2}}-1}{2}{{P}_{1}}{{V}_{1}}$ = 750 Дж.

Задача 2.6. Два молі газу в циліндрі під поршнем спочатку ізобарно розширюють в n =  2 рази, а потім ізохорно охолоджують до вихідної температури.

Визначити

максимальну температуру газу Т якщо різниця отриманої та відданої ним кількості теплоти ΔQ = 8,3 кДж. Газова стала R = 8,3 Дж/(моль·K).

 

Дано:

ν = 2 моль
n = 2
ΔQ = 8,3·103 Дж

Т - ?

Розв'язання

Шукана максимальна температура газу відповідає точці 1′(P1,V2) на графіку заданого комбінованого процесу (рис. 6).

Згідно з першим законом термодинаміки, отримане Q1 чи віддане Q2 газом тепло, на загал визначається зміною його внутрішньої енергії та виконаною роботою:

Q = ΔU + A.

Але, позаяк за умовою  кінцева й початкова температури є однакові, приріст внутрішньої енергії газу при нагріванні дорівнює її спадові при охолодженні. Тому різниця отриманої та відданої кількостей теплоти ΔQ дорівнює тільки роботі газу при ізобарному розширенні й визначається формулою (2.7). Отже,

ΔQ = P1(V2 – V1).

(1)

Так само через рівність початкової та кінцевої температур, точки 1 і 2 належать одній ізотермі, отже,

${{P}_{1}}{{V}_{1}}={{P}_{2}}{{V}_{2}}\quad \Rightarrow \quad {{V}_{1}}=\frac{{{P}_{2}}}{{{P}_{1}}}{{V}_{2}}=\frac{1}{n}{{V}_{2}}$.

 

 Зробивши таку заміну у виразі (1), дістанемо

$\Delta Q=\frac{n-1}{n}{{P}_{1}}{{V}_{2}}=\frac{n-1}{n}\nu RT$,

(2)

і відтак отримаємо наступну відповідь:

$T=\frac{n\Delta Q}{\left( n-1 \right)\nu R}=1000\text{ K}$.