physics.zfftt.kpi.ua

Заслуговує на увагу ще одна особливість дисперсійної кривої рис. 6.1а. А саме, на ділянці 1 нормальної дисперсії показник заломлення \(n\lt{1}\), і \(v\gt{c}\). Виходить, що фазова швидкість світла в речовині може бути більшою, ніж у вакуумі. Це може видатися парадоксальним, оскільки в теорії відносності встановлено, що величина \(c=3\cdot{10}^8\) м/с є граничною, тобто максимальною можливою швидкістю. Але фазова швидкість не є фізичною величиною по суті. Вона визначає не рух фізичних об’єктів (частинок речовини або поля), а переміщення математичних хвильових поверхонь, тобто точок із заданим значенням формальної характеристики хвилі – фази \(\varphi\). Тому можливість ситуації, коли \(v\gt{c}\), не суперечить теорії відносності. Але така можливість вочевидь указує на те, що фазова швидкість \(v\) не визначає реальну швидкість хвилі, тобто швидкість поширення коливань і перенесення енергії хвилі. Виняток становлять лишень електромагнітні хвилі у вакуумі, де вони при будь-якій частоті поширюються із швидкістю \(v=c\).

Реальна швидкість поширення хвилі називається груповою швидкістю і в середовищі відрізняється від фазової швидкості. Ця відміна зумовлена тим, що в реальній хвилі завжди присутні коливання з різними частотами, які в середовищі з дисперсією мають різні фазові швидкості. Аби переконатись у цьому, спочатку розглянемо гранично спрощений приклад поширення «реальної» хвилі \(E=E_{1}+E_{2}\), що складається всього з двох гармонічних хвиль з близькими частотами \(\omega\) та \(\omega+\Delta\omega\) та хвильовими числами \(k\) і \(k+\Delta{k}\), так що \(\Delta\omega\ll\omega\) і \(\Delta{k}\ll{k}\). Ці хвилі описуються рівняннями:

\(E_{1}=E_{0}\cos(\omega{t}-kx)\),

\(E_{2}=E_{0}\cos\left({}(\omega+\Delta\omega){t}-(k+\Delta{k})x\right)\).

Додавши ці рівняння матимемо:

\(E=2E_{0}\cos\left(\frac{\Delta\omega}{2}t-\frac{\Delta{k}}{2}x\right)\cos\left(\left(\omega+\frac{\Delta\omega}{2}\right)t-\left(k+\frac{\Delta{k}}{2}\right)x\right)\).

Через те, що \(\Delta\omega\ll\omega\) і \(\Delta{k}\ll{k}\), в останньому множнику можна знехтувати величинами \(\Delta\omega/2\) і \(\Delta{k}/2\) і згорнуто записати:

де функція

змінюється дуже повільною порівняно з \(\cos(\omega{t}-kx)\). Тому рівняння (6.3) можна трактувати як рівняння хвилі з частотою \(\omega\), хвильовим числом \(k\) і фазовою швидкістю \(v=(\omega/k)\), в якій амплітуда \(A=|A(x,t)|\) є різною в різні моменти часу і в різних точках простору. Зокрема, в будь-який заданий момент часу \(t=\tau\) значення амплітуди розподіляються вздовж напрямку поширення хвилі періодично за законом

Відповідно, існує множина точок із максимальною амплітудою \(A_0=2E_0\), розміщених на відстані \(X\) одна від одної, і така сама множина точок, в яких \(A=0\), тобто коливання відсутні. Позаяк \(\Delta{k}\ll{k}\), відстані між такими точками \(X=(2\pi/\Delta{k})\) є набагато більші за довжину хвилі \(\lambda=2\pi/k\). Отже, складена хвиля (6.3) являє собою послідовність окремих згустків з великої кількості коливань, як показано на рис. 6.3а.

З плином часу координати точок із заданим, приміром максимальним, значенням амплітуди змінюються, тож хвиля рухається. Швидкість цього руху можна знайти поклавши в рівнянні (6.3а) \(A=2E_0\). Тоді:

або

\(x=x_0+ut\),

де \(x_0\) – початкова координата якоїсь вибраної точки з максимальною амплітудою коливань, а \(u\) – швидкість її руху.

Отже, утворена з двох гармонічних складових «реальна» хвиля являє собою послідовність згустків коливань, які рухаються зі швидкістю

За відсутності дисперсії ця величина співпадає з фазовою швидкістю \(v\). Справді, якщо фазова швидкість не залежить від частоти та довжини хвилі, то

\(x=\frac{\omega}{k}=const\)    \(\Rightarrow\)    \(\Delta\omega=v\Delta{k}\)    \(\Rightarrow\)    \(u=\frac{\Delta\omega}{\Delta{k}}=v\).

Але в середовищах з дисперсією, а такими є всі реальні середовища, швидкість поширення хвилі \(u\) відрізняється від фазової швидкості: \(u\ne{v}\).

У дійсності в будь-якій реальній хвилі присутні коливання не з двома, а з усіма можливими частотами в деякому інтервалі \(\omega\pm\Delta\omega/2\) і хвильовими числами в інтервалі \(k\pm{k}/2\) в околі центральної частоти \(\omega\) та центрального хвильового числа \(k\). У такому разі розрахунки показують, що за умови \(\Delta\omega\ll\omega\) і \(\Delta{k}\ll{k}\) при накладанні всіх складових розподіл амплітуд у результуючій хвилі має вигляд рис. 6.3б, тобто утворюється практично один згусток («пакет») коливань. Тому

хвильове утворення, що має малу спектральну ширину, називається хвильовим пакетом або групою хвиль.

Розрахунок показує, що для групи хвиль (хвильового пакета) формула (6.6) трансформується у наступний вираз швидкості руху пакета, або групової швидкості \(u\):

Групова та фазова швидкості пов’язані між собою. Відповідне співвідношення легко встановити, взявши до уваги, що \(\omega=vk\) і в середовищі з дисперсією фазова швидкість є функцією довжини хвилі, тож і хвильового числа \(k\): \(v=v(k)\). Тоді з виразу (6.7) отримаємо:

Це співвідношення можна переписати і через довжину хвилі , зробивши заміни:

\(k=\frac{2\pi}{\lambda}\)   і   \(\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}k}=\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}\lambda}\cdot\frac{\mathrm{d}\lambda}{\mathrm{d}k}=-\lambda\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}\lambda}\).

Тоді

Цей вираз називається формулою (співвідношенням) Релея.

Із виразів (6.7а) і (6.7б) випливає, що й у реальному хвильовому пакеті за відсутності дисперсії групова швидкість співпадає з фазовою, а в середовищі з дисперсією – відрізняється від неї. При цьому конкретне співвідношення між величинами \(u\) і \(v\) залежить від значення похідної \(\mathrm{d}v/\mathrm{d}k\) або \(\mathrm{d}v/\mathrm{d}\lambda\) у виразах (6.7а) і (6.7б), тобто від закону дисперсії. Зокрема, в областях нормальної дисперсії \((\mathrm{d}v/\mathrm{d}\lambda)>0\), тому групова швидкість \(u\lt{v}\) і завжди виявляється меншою за \(c\). Але в області аномальної дисперсії, де \(\mathrm{d}v/\mathrm{d}\lambda\lt{0}\), маємо \(u\gt{v}\). Через це на ділянці, де \(n\lt{1}\), виходить \(u\gt{c}\), що неможливо. Цей парадокс має наступне пояснення. Закон дисперсії в реальних середовищах не буває лінійним. З цієї причини похідна \(\mathrm{d}n/\mathrm{d}\lambda\) і величина \(u\) мають різні значення при різних \(\lambda\). Тому під груповою швидкістю (швидкістю пакета) розуміють величину (6.7а) чи (6.7б), яка відповідає центральним значенням \(k\) та \(\lambda\) і визначає рух центра пакета – точки з максимальною амплітудою коливань. Крім того, позаяк окремі гармонічні складові мають різні фазові швидкості, пакет поступово розпливається і в решті решт зникає. Така деградація («редукція») пакета відбувається тим швидше, чим більша дисперсія. Тому, взагалі, про хвильовий пакет і групову швидкість можна говорити лише при малій дисперсії, коли пакет існує достатньо довго. Але аномальна дисперсія спостерігається у вузькому інтервалі довжин хвилі і тому є дуже сильною. За таких умов поняття хвильового пакета та групової швидкості, тож і формули (6.7а) і (6.7б), втрачають зміст.