ФІЗИКА ДЛЯ БАКАЛАВРІВ. ЕЛЕМЕНТИ ОПТИКИ

Загальні характеристики хвильових процесів, зокрема електромагнітних, а також і світлових хвиль, розглянуті в попередньому розділі (Лекції 4.7 і 4.9). Але для світла, на додачу, існує низка понять і величин, які пов’язані з його суб’єктивним сприйняттям.

Оптичне випромінювання. Інтервали частот n і довжин хвилі l електромагнітного випромінювання, яке ми сприймаємо як видим світло, дуже вузькі і дещо відрізняються у різних людей. Усереднено вони складають:

(Нагадаємо, що 1 ПГц = 10¹⁵ Гц,  1 мкм = 10^-6 м,  1 нм = 10^-9 м).

Суб’єктивно світло сприймається через відчуття яскравості джерела чи освітленої поверхні та через відчуття кольору. Об’єктивно яскравість та освітленість визначається інтенсивністю світлової хвилі, що потрапляє в око людини. За відчуття кольору відповідає частота світла, тож будь-якій частоті з означеного діапазону (1.1) формально відповідає  один окремий колір. Тому світло, що характеризується однією частотою, називають монохроматичним («однокольоровим»). Одразу зазначимо, що поняття монохроматичного світла відіграє важливу роль у теорії, але є ідеалізацією. Насправді в будь-якому реальному випромінюванні присутні коливання із безліччю різних частот в певному інтервали \(\Delta\nu\), який визначає спектральну ширину цього випромінювання. Тому на практиці за монохроматичне приймають випромінювання з достатньо вузькою спектральною шириною. Слід також зауважити, що око не здатне розрізняти за кольором світло з дуже близькими частотами. Тому умовно виділяють усього сім «чистих» кольорів, які в напрямку зростання частоти світла утворюють відому послідовність: червоний, жовтогарячий (оранжевий, помаранчевий), жовтий, зелений, блакитний, синій та фіолетовий. Проте завдяки досить великій роздільній здатності ока та існуванню трьох типів рецепторів кольору («колбочок») із максимальною чутливістю до різних частот людина здатна розрізняти дуже широку гаму кольорів.

Швидкість світла. Показник заломлення. Теоретично в речовині швидкість електромагнітних хвиль, тож і світла, визначається її діелектричною \(varepcilon\) та магнітною \(\mu\) проникностями (Лекція 4.9, формула (9.4)). Але через сильне загасання електромагнітних коливань у провідних середовищах прозорими для світлових хвиль є тільки діелектрики, що в переважній більшості є немагнітними речовинами (\(\mu=1\). Тому практично швидкість світла в речовині визначається формулою

де \(c=3\cdot{10}^{8}\) м/с – швидкість світла у вакуумі.

Із зміною швидкості поширення світла при переході з одного середовища в інше пов'язаний один з основних оптичних ефектів – заломлення світла. Для його описання використовують величину

яку називають показником заломлення, або оптичною густиною прозорої речовини. Відтак, швидкість світла в речовині визначається формулою

Оскільки частота \(\nu\) і період T не залежать від середовища, в якому поширюється хвиля, то зміна швидкості \(v\) при переході світла з вакууму в речовину супроводжується зміною довжини хвилі. У вакуумі довжина хвилі \(\lambda_{0}=cT\), а в середовищі \(\lambda=cT\), отож

Співвідношення (1.3) та (1.5) можна розглядати як означення показника заломлення.

Монохроматична світлова хвиля. В усякі електромагнітній, тож і світловій хвилі, напруженості електричного \(\vec{E}(\vec{r},t\) та магнітного \(\vec{H}(\vec{r},t)\) полів визначаються ідентичними рівняннями (див. Лекція 4.9, п. 9.1.2). При цьому у вакуумі та вільному (такому, що не містить відбиваючих поверхонь), ізотропному середовищі величини полів пов’язані між собою співвідношенням:

До того ж, у переважній більшості оптичних явищ роль магнітного поля є не істотною. Тому зазвичай світлову хвилю описують тільки рівнянням для електричного поля, а вектор \(\vec{E}(\vec{r},t)\) називають світловим вектором.

 Для теорії велике значення мають монохроматичні світлові хвилі – ідеальні хвилі, в яких коливання полів відбувається за законом косинуса або синуса (Лекція 4.7, п. 7.2.1). Коливання світлового вектора в такій хвилі описується рівнянням

в якому:

У випадку плоскої хвилі (Лекція 4.7, п.7.2.1) напрям поширення та амплітудний вектор \(\vec{E}_{0}\) однакові в усіх точках. Тому, спрямувавши координатну вісь у напрямку поширення, рівняння хвилі можна записати скалярно як

де \(E_{0}\) – амплітуда, а \(E(x,t)\) – проекція миттєвої напруженості електричного поля \(\vec{E}\) на напрям амплітудного вектора \(\vec{E}_{0}\).

Хвильові поверхні та промені. Фазова швидкість. У загальному випадку розподіл поля та характер поширення хвилі в просторі відображають хвильові поверхні – сукупність точок, в яких миттєва фаза хвилі \(\varphi(x,t)=const\) (Лекція 4.7 п. 7.2.4). Для плоскої хвилі (1.10) вони мають форму площин перпендикулярних до напрямку поширення хвилі як показано штриховими лініями на рис. 1.1а. Для сферичних та циліндричних хвиль, які описуються рівняннями

\(E(r,t)=\frac{a}{r}\cos(\omega{t}-kr)\)

і

\(E(r,t)=\frac{a}{\sqrt{r}}\cos(\omega{t}-kr)\),

(тут r – відстань від точки, яка знаходиться на одиничній відстані від джерела, a – амплітудний множник) хвильові поверхні мають вигляд концентричних сфер або коаксіальних циліндрів (показані штриховими лініями на рис. 1.1б).

Зображуючи на рисунку сімейство хвильових поверхонь для заданого моменту часу, можна отримати наочне уявлення про просторовий розподіл фаз, отже й величини поля хвилі в цей момент. У той же час, зображуючи положення хвильової поверхні в різні моменти, можна скласти уявлення про характер поширення хвилі  часі. Але зазвичай для цього використовують світлові промені – лінії, дотичні до яких у кожній точці збігаються з напрямом поширення хвилі в цій точці (суцільні лінії на рис. 1.1). Із наведених прикладів видно, що в кожній точці хвиля поширюється по нормалі до хвильової поверхні, що проходить через цю точку. Тобто промені та хвильові поверхні розглянутих простих хвиль є взаємно ортогональними. В ізотропних середовищах така взаємні орієнтація зберігається і для більш складних хвиль.

Хвильові поверхні з часом перемішуються в просторі із швидкістю

яка називається фазовою швидкістю.

Порівнюючи вирази (1.11) та (1.8) бачимо, що для ідеальної монохроматичної хвилі фазова швидкість збігається зі швидкістю самої хвилі, тобто швидкість переміщення фази співпадає із швидкістю поширення самих коливань та швидкстю перенесення енергії. Але така хвиля є ідеалізацією. Реальна хвиля завжди характеризуться не однією частотою, а відповідним набором састот (спектром), для кожної з яких є своя фазова швидкістью Тому поширення коливань в реальних хвиялх визначається іншою, так званою, груповою швидкістю (детальніше див. Лекція 5.6).

Інтенсивність світла. Зорові відчуття людини визначаються світловою енергією, що потрапляє в око за 1 с безпосередньо від джерела, чи після відбивання від освітленої поверхні. Ця енергія залежить від інтенсивності світлової хвилі I, а інтенсивність світла в кожній точці дорівнює енергії, що переноситься за одиницю часу через одиницю площі поперечного перерізу світлового пучка. Інтенсивність світла можна виразити через показник заломлення та амплітуду світлового вектора:

В однорідному середовищі (n = const) розподіл інтенсивностей у просторі визначається тільки амплітудою хвилі. Тому, коли не потрібно знати абсолютні величини, замість інтенсивності оперують квадратом амплітуди світлового вектора:

Зауважимо також, що завдяки співвідношенню (1.6) між полями у світловій хвилі інтенсивність можна аналогічно визначити й через амплітуду магнітного поля.

Визначальною властивістю хвиль є відбивання та заломлення – здатність ділитися на дві хвилі на межі двох різних середовищ. Одна з хвиль (відбита) не проходить, а інша (заломлена) проходить крізь межу поділу. Напрямки поширення відбитої та заломленої хвиль визначаються простими геометричним законами, що не залежать від фізичної природи хвилі. Оптиці ці закони складають основу геометричної оптики, в якій поширення світла досліджується на основі уявлення про падаючі, відбиті та заломлені промені – лінії, що вказують напрям поширення відповідних хвиль в кожній точці простору і спрямовані по нормалі до відповідної хвильової поверхні.

Напрямок падаючого, відбитого чи заломленого променя задається кутом між ним та нормаллю до межі поділу середовищ у точці падіння. Площина, в якій лежать указана нормаль і падаючий промінь називають площиною падіння. В ізотропних середовищах відбитий та заломлений промені лежать у тій самій площині, що випливає з міркувань симетрії. Таким чином,

Це твердження складає одне з основних положень геометричної оптики.

Закони відбивання і заломлення. Ці закони є основними законами геометричної оптики. Їх можна вивести із загальних законів електромагнітної теорії Максвелла. Але до них можна прийти простіше на основі відомого емпіричного принципу Гюйгенса, який спрощено можна сформулювати так:

У такий спосіб за відомими положенням фронту хвилі в даний момент часу можна побудувати його положення в наступні моменти і, відтак, прослідкувати поширення даної хвилі. Зокрема, так можна показати відомий факт прямолінійного поширення світла в однорідному середовищі, який трактується як один з основних законів геометричної оптики. Але слід зауважити, що принцип Гюйгенса не має строго фізичного обґрунтування і є лише емпіричним правилом побудови хвильових фронтів.

Виконаємо побудову Гюйгенса для світлових хвиль на плоскій межі поділу двох середовищ з показниками заломлення \(n_1\) і \n_2\)і відповідним швидкостям поширення \(v_1\) і \(v_2\). Нехай на межу поділу під кутом \(\vartheta_1\) падає паралельний світловий пучок (плоска хвиля), обмежений променями 1 і 2 (рис. 1.2).

Позначимо кутами \(\vartheta\) і \(\vartheta^{\prime}\) напрямки відбитих та заломлених променів і відрізком AC – положення фронту падаючої хвилі на момент приходу променя 1 в точку А. Промінь 2 потрапляє в точку В пізніше на час проходження ним відстані ВС. Таку саме відстань AD = BC за цей час проходить відбитий промінь \(1^{\prime}\). Тому фронт відбитої в точці А вторинної хвилі на цей момент зобразиться півсферою з радіусом AD, а дотична до неї площина показана відрізком BD укаже положення результуючого фронту хвилі. Примітка. Ця площина є дотичною й до безлічі подібних сфер меншого радіуса, що зображують хвильові поверхні вторинних хвиль відбитих від інших точок ділянки А-В межі поділу середовищ, на яку падає світловий пучок. Тож відрізок \(\mathrm{AD}\perp\mathrm{BD}\) визначає напрям відбитого променя \(1^{\prime}\). Оскільки AD = BC, то DABC = DABD. Звідси, як можна зрозуміти з рис. 1.2, випливає закон відбивання світла:

A саме:

 Аналогічною побудовою можна встановити і напрям поширення заломленої хвилі. Падаючий промінь 2 потрапляє на поверхню поділу середовищ пізніше, ніж промінь 1 на час \(\tau=\mathrm{BC}/v_{1}\). За цей час вторинна хвиля від точки А пошириться в другому середовищі на відстань AF так, що

Площина (показані відрізком BF), що проходить через точку В і є дотичною до сфери радіуса AF, визначає фронт заломленої хвилі, а перпендикуляр AF до нього – напрям заломлених променів. Урахувавши, що в прямокутних трикутниках DABC і DABF катети BC = AB\(\sin\vartheta_1\) і AF = AB\(sin\vartheta_2\) і що \(v=c/n\), із співвідношення (1.14) отримаємо закон заломлення:

Отже, як саме явище заломлення, так і зв'язок між напрямками поширення світлових хвиль у двох середовищах зумовлені відмінністю оптичних густин, тобто швидкостей світла в даних середовищах.

Граничний кут. Із співвідношень (1.15) випливає, що коли \(\vartheta_1=0\), то й \(\vartheta_2=0\), тобто при нормальному падінні променя на межу поділу ізотропних середовищ заломлення в буквальному розумінні немає. Істотно також, що при косому падінні напрям відхилення заломленого променя залежить від співвідношення показників заломлення середовищ.

Коли світло переходить в оптично більш густу речовину (n₁ > n₂), то згідно з (1.19) \(\vartheta_1<\vartheta_2\) і заломлений промінь відхиляється до нормалі (рис. 1.3а). Якщо ж світло падає на межу поділу із більш густого середовища (n₁ > n₂), то \(\vartheta_2>\vartheta_1\) і заломлений промінь відхиляється до поверхні поділу середовищ (рис. 1.3.б). У цьому випадку при певні величині кута падіння \(\vartheta_{1}=\vartheta_{гр}\) кут заломлення набуває максимального можливого значення \(\vartheta_2=90^{\circ}\). Величина \(\vartheta_{гр}\) називається граничним кутом (інакше – критичним кутом) для пари середовищ і визначається з (1.15) як

Як свідчить теорія та експеримент, при збільшенні кута падіння, за будь-яких умов, інтенсивність відбитого променя весь час збільшується, а заломленого – зменшується. При чому, у впадку \(n_1\gt{n}_2\), коли кут падіння наближається до значення \(\vartheta_1=\vartheta_{гр}\), інтенсивність заломленого променя зменшується до нуля. Тому при кутах падіння \(\vartheta\ge\vartheta_{гр}\) енергія падаючого променя повністю відбивається від межі поділу двох прозорих речовин як від ідеального дзеркала. Це явще носить назву повного внутрішнього відбивання. Воно спостерігається у природі і широко використовується в техніці. Достатньо згадати сліпучий виблиск крапель роси на сонці або широке застосування оптичних кабелів у системах телекомунікації.

Нагадаємо ще раз, що повне внутрішнє відбивання при падінні світла із середовища з показником заломлення n₁ намежу поділу із середовищем n₂ спостерігається при одночасному виконанні двох умов:

При проходженні світлової хвилі крізь межу поділу прозорих середовищ її енергія розподіляється між відбитою та заломленою хвилями. Тому поверхня поділу двох різних середовищ характеризується відповідними коефіцієнтами відбивання та пропускання (прозорістю).

Указані коефіцієнти можна визначити теоретично із законів електродинаміки за допомогою умов на межі (див. Лекція 3.4, п. 4.4). Ці умови встановлюють зв'язок між векторами електричного \(\vec{E}_{1},\,\vec{E}_{2}\) і магнітного \(\vec{H}_{1},\,\vec{H}_2\) полів на межі поділу двох ізотропних речовин і мають вигляд:

де індекси \(n\) і \(\tau\) відносять, відповідно, до нормальних та тангенціальних (дотичних до межі поділу) проекцій векторів; \(\varepsilon\) і \(\mu\) – діелектричні та магнітні проникності середовищ. Ці співвідношення показують, що на межі поділу змінюються тільки нормальні складові векторів, тож і їхні напрямки. При переході з одного середовища в інше змінюється і напрям поширення хвилі, тобто відбувається її заломлення.

З умов (1.18) можна визначити відносні інтенсивності та потоки енергії відбитої та заломленої хвиль, відтак і коефіцієнти відбивання та пропускання світла на поверхні поділу середовищ при будь-яких кутах падіння променів. Але обмежимося тільки випадком, коли паралельний пучок промені (плоска хвиля) падає на межі поділу по нормалі. Позаяк світлова хвиля є поперечною, то в цьому випадку нормальні складові полів відсутні і модулі тангенціальних проєкцій дорівнюють модулям самих векторів. Тоді умова (1.18) набуде вигляду:

\(E_{1}=E_2\),    \(H_1=H_2\),

де задля зручності опущені індекси тангенціальних проекцій.

Розглянемо ці умови детальніше. Електромагнітне поле в першому середовищі є суперпозицією полів падаючої (\(\vec{E},\,\vec{H}\)) і відбитої (\(\vec{E}^{\prime},\,\vec{H}^{\prime}\)) хвиль:

а в другому – то є поле заломленої хвилі (\(\vec{E}^{\prime\prime}\),  \(\vec{H}^{\prime\prime}\)):

При записі умов (1.18а), (1.18б) у скалярному вигляді треба врахувати, що в електромагнітній хвилі напрямки векторів жорстко узгоджені між собою. В саме, в послідовності \(\vec{E},\vec{H},\vec{k}\)  та при циклічних перестановках ці вектори завжди утворюють праву трійку, тобто при повороті правого гвинта від першого вектора до другого гвинт буде вкручуватися в напрямку третього вектора. Тому зміна напрямку поширення хвилі (напрямку вектора \(\vec{k}\)) при відбиванні автоматично тягне за собою відповідні зміну напрямку одного з векторів полів.

Справді, уявімо, що при відбиванні світловий вектор \(\vec{E}^{\prime}\) не змінив напрям як показано на рис. 1.4а. Тоді вектор \(\vec{H}^{\prime}\) обов’язково змінить напрям на протилежний. Це означає зміну фази коливань магнітного поля в точці відбивання на протилежну. Так само, якщо не змінюється напрям магнітного вектора, то обов’язково «перекидається» електричний вектор (рис. 1.4б). Тому, якщо прийняти для визначеності ситуацію рис. 1.6б, то умови (1.18а) в скалярному вигляді запишуться як

Урахувавши, що в прозорих для світла речовинах \(\mu=1\) і \(\sqrt{\varepsilon}=n\), і перейшовши від магнітного поля до електричного на основі співвідношення (1.7), отримаємо систему рівнянь:

з якої можна визначити тангенціальні складові світлового вектора відбитої та заломленої хвиль: 

Таким чином, напруженість електричного та магнітного полів у відбитій та заломленій хвилях визначаються тільки їхніми показниками заломлення (при косому падінні променів вони залежать ще й від кута падіння). Зокрема, для речовин з близькими показниками заломлення \(E^{\prime}\approx{0}\), \(E^{\prime\prime}\approx{E}\) і межа поділу є практично невидимою. З формул (1.19) також випливає, що знаки \(E^{\prime\prime}\) і E завжди збігаються. Відповідно, в падаючій заломленій хвилях у точці падіння напрямки полів \(\vec{E}^{\prime\prime}\),  \(\vec{E}\), і фази коливань однакові. Що ж до відбитої хвилі, то напрям поля \(\vec{E}^{\prime}\) залежить від співвідношення показників заломлення: при n₁ > n₂ він збігається з напрямком \(\vec{E}\), а при n₁ < n₂ – є протилежним. Отже:

При поширенні хвилі фаза змінюється на \(\pi\) на шляху \(\lambda/2\). Тому описане «перекидання» фази називають втратою півхвилі на межі поділу двох середовищ. Цей ефект істотно впливає на формування поля світлової хвилі в зоні відбивання і має враховуватися у відповідних задачах оптики.

Вирази (1.19) дозволяють визначити розподіл енергії  у відбитій та заломленій хвилях. Цей розподіл визначається коефіцієнтами відбивання \(\rho\) та пропускання r («прозорістю»), які дорівнюють відношенню потоків енергії у відбитій \(\Phi^{\prime}\) та заломленій \(\Phi^{\prime\prime}\) хвилях до потоку енергії \(\Phi\) у падаючій хвилі:

\(\rho=\frac{\Phi^{\prime}}{\Phi}\),     \(r=\frac{\Phi^{\prime\prime}}{\Phi}\).

У паралельному пучку променів з площею поперечного перерізу S потік енергії \(\Phi=IS\), де I – інтенсивність світла. При нормальному падінні площі поперечного перерізу падаючого, відбитого та заломленого променів однакова, тому

\(\rho=\frac{I^{\prime}}{I}\),    \(r=\frac{I^{\prime\prime}}{I}\).

Відтак, урахувавши вирази (1.16) та (1.19), отримаємо

Ці формули дають \(\rho+r=1\), як того й вимагає закон збереження енергії.

Показники  заломлення більшості прозорих речовин \(n\le{2}\), тому величина \(\rho\) є малою, а r – близькою до одиниці. Приміром, при падінні світла з повітря (n₁ = 1) на поверхню води (n₂ = 1,33) або скла (n₂ = 1,5) величина \(\rho\), згідно з (1.20), складає 2 % та 4 %. Проте в оптичних приладах, наприклад, складних об’єктивах, де багато світлові пучки на своєму шляху стрічають багато поверхонь поділу, сумарні втрати на відбивання можуть скласти значну частину падаючої світлової енергії. Тому в оптичному приладобудуванні використовують спеціальні технології для зменшення таких утрат.

Інтерференція. Інтерференція – це явище, що спостерігається при накладання декількох хвиль. Сутність явища розглянемо на прикладі двопроменевої інтерференції, що за певних умов спостерігається при накладанні двох світлових хвиль.

Нехай в якусь точку приходять дві хвилі із світловими векторами \(\vec{E}_{1}(\vec{r},t)\) і \(\vec{E}_{2}(\vec{r},t)\). За принципом суперпозиції результуюча напруженість електричного поля у цій «точці спостереження» \(\vec{E}=\vec{E}_{1}+\vec{E}_{2}\), тож

\(E^{2}=(\vec{E}_{1}+\vec{E}_{2})^{2}=E_{1}^{2}+E_{2}^{2}+2\vec{E}_{1}\vec{E}_{2}\).

Інтенсивність хвилі \(I\) прямо пропорційною середній величині квадрата напруженості електричного поля \(I\sim{E}^2\), тому провівши усереднення,

\(\langle{E}^{2}\rangle=\langle{E}_{1}^{2}\rangle+\langle{E}_{2}^{2}\rangle+2\langle\vec{E}_{1}\vec{E}_{2}\rangle\),

для результуючої інтенсивності маємо

\(I+I_{1}+I_{2}+2\langle\vec{E}_{1}\vec{E}_{2}\rangle\). 

Якщо коливання світлових векторів у точці накладання у взаємно перпендикулярних напрямках, то \(\vec{E}_{1}\vec{E}_{2}=0\) і результуюча інтенсивність \(I=I_{1}+I_{2}\). Але при інших напрямках коливань може виявитися, що середнє значення добутку функцій \(\langle\vec{E}_{1}(\vec{r},t)\cdot\vec{E}_{2}(\vec{r},t)\rangle\ne(0)\). Тоді

\(I\ne{I}_{1}+I_{2}\).

У цьому і полягає явище інтерференції, тобто

На перший погляд отриманий всновок суперечить закону збереження енергії, але це, звісно, не так. Інтенсивність є локальною величиною, що характеризує птік енергії лише крізь нескінчено маслу площадку в околі даної точки. Якщо ж підрахувати потік енергії крізь якусь поверхню помітої величини, то він завжди виявляється рівним сумі потоків, які створюються джерелами окремо. Отже при інтерференції світлова енергія не змінюється, а лише перерозподіляєтся у просторі. При цьому в одних точках результуюча інтенсиваність виявляється більшою, а в інших – меншою за суму інтенсивностей хвиль, які накладаються

Інтерференційна фомула. Детальний аналіз явища інтерференції почнемо з аналізу накладання ідеальних монохроматичних світлових хвиль від двох точкових (або лінійних) джерел S₁ та S₂ (рис. 2.1), які мають однакову частоту \(\omega\) і напям коливань світлового вектора. Для загальності будемо також уважати, що промені від джерел до точки накладання поширюються в середовищах з різним показниками заломлення, отже швидкості світла в цих середовищах різні. За таких умов світлові коливання, що збуджуються кожним джерелом у вибраній точці спостереження P, визначаються (див. рівняння (1.10) з лекції 5.1) як:

де \(l_{1}\), \(l_{2}\) – відстані від джерел до точки спостереження, \(k_1\),  \(k_2\) – хвильові числа, що визначаються частотою \(\omega\), швидкостями поширення \(v_{1}\), \(v_{2}\) та довжинами хвиль \(\lambda_{1}\),  \(\lambda_{2}\) як

Величини \(\varphi_{01}\), \(\varphi_{02}\) – це початкові фази коливань у джерелах (при відстані \(l = 0\), а \(\alpha_{1}=\varphi_{01}-k_{1}l_{1}\),  \(\alpha_{2}=\varphi_{02}-k_{2}l_{2}\)  – початкові фази коливань у точці спостереження.

Результуючу напруженість поля світлових хвиль \(\vec{E}=\vec{E}_{1}+\vec{E}_{2}\) у точці спостереження найпростіше визначити за допомогою векторної діаграми, зображуючи кожне коливаня відповідним вектором, що обертається з кутовою швидкістю \(\omega\), а довжина якого дорівнює модулю відповідного вектра. Миттеве положення вектрів показано на рис. 2.2. За теоремою коснусів визначаємо модуль вектора результуючої напруженості поля в точці спостереження:

де \(\delta=\alpha_{1}-\alpha_{2}\) – різниця фаз коливань, яка за рівнянням (2.1) складає

Відтак, замінивши в (2.3) квадрати амплітуд на інтенсивності, отримаємо:

З виразу (2.5), який називають інтерференційною формулою, видно, що при накладанні двох ідеальних монохроматичних хвиль результуюча інтенсивність \(I\ne{I}_{1}+I_{2}\), тобто – маємо інтерференцію.

Неважко збагнути, що такий результат вийшов тому, що хвилі мають однакову частоту. Через це в кожній точці простору різниця фаз \(\delta\) падаючих хвиль не залежть від часу, тож вони є жорстко узгодженими. Але в реальних хвилях із різних причин повної узгодженості коливань бути не може і різниця фаз \(\delta\), отже і \(\cos\delta\), в різні моменти часу мають різну величину. Тому інтенсивність, яку ми сприймаємо візуально або реєструємо приладами, визначається середнім значенням \(\langle\cos\delta\rangle\) за час спостереження.

Отже, для можливості реального спостереження інтерференції ведичина \(\langle\cos\delta\rangle\) має лишатися незмінною впродовж проміжку часу, який є достатнім для реєстрації ефекту. Інакше кажучи, коливання, що збуджуються хвилями в точці накладання, мають бути в достатній мірі узгодженими. Узгодженість хвильових та коливальних процесів відображається поняттям когерентності:

Таким чином,

інтерференцію можна спостерігати лише при накладанні когерентних хвиль.

При цьому ідеальні монохроматичні хвилі однакової частоти, для яких \(\cos\delta=const\), є повністю когерентними. Що до реальних хвиль, в яких \(\cos\delta\ne{const}\) але \(\langle\cos\delta\rangle\ne{0}\), то їх трактують як частково когерентні.

Із виразів (2.4), (2.5) та рис. 2.1 зрозуміло, що при переміщенні точки спостереження P у певному напрямі змінюються: різниця фаз \(\delta\) – монотонно, а \(\cos\delta\) і результуюча інтенсивність I – періодично. Це означає, що при накладанні когерентних хвиль утворюється система упорядковано розташованих областей підвищеної та пониженої інтенсивності світла. Тому на екрані, встановленому в області накладання (зоні інтерференції), спостерігається «інтерференційна картина» у вигляді сукупності світлих і темних смуг – інтерференційних максимумів та мінімумів. Отже, можна дати таке коротке формулювання:

інтерференцією називається утворення максимумів та мінімумів інтенсивності при накладанні когерентних хвиль.

Різниця ходу.  Із формули (2.5) випливає, що інтерференційні максимуми утворюються при \(cos\delta=1\), а мінімуми – при \(\cos\delta=-1\). Отже, різниця фаз когерентних хвиль у точках максимумів і мінімумів, відповідно, має задовольняти умови:

Ціле число  називається порядком інтерференційної смуги, або просто порядком інтерференції.

Для когерентних хвиль величина \(\delta\) визначається виразом (2.4). При цьому різниця початкових фаз не впливає на характер розподілу інтенсивностей, до того ж на практиці завжди \(\varphi_{01}=\varphi_{02}\). Тому, взявши до уваги вирази (2.2), запишемо:

або

де \(l_1,l_2\) – відстані від джерел до точки спостереження, \(\lambda_0\) – довжина світлової хвилі у вакуумі, \(n_1,n_2\) – показники заломлення середовищ, в яких поширюються промені.

Величина \(L=nl\) називається оптичною довжиною шляху або оптичним ходом променя від джерела до даної точки. Якщо на шляху променя трапляється декілька різних середовищ, то \(L=\sum{n_il_i}\), а у випадку неоднорідного середовища \(L=\int{n\mathrm{d}l}\). Відповідно, різниця оптичних довжин шляху двох променів

називається оптичною різницею ходу променів. Якщо обидва промені поширюються в одному середовищі, то \(n_1=n_2=n\), і

де величина \(\Delta_0=l_2-l_1\) – геометрична різниця ходу.

Відтак для різниці фаз у загальному випадку маємо:

Умови максимумів та мінімумів. Підставивши вираз (2.9) в (2.7), отримаємо умови інтерференційних максимумів і мінімумів:

В обох випадках \(m=0,1,2….\) – порядок інтерференції.

Згідно з цими умовами

інтерференційні максимуми утворюються в точках, в яких оптична різниця ходу променів дорівнює парній кількості півхвиль або цілій кількості довжин світлової хвилі у вакуумі;

інтерференційні мінімуми утворюються в точках, де оптична різниця ходу променів дорівнює непарній кількості півхвиль або напівцілій кількості довжин світлової хвилі у вакуумі.

Якщо когерентні промені поширюються в однорідному середовищі, то умови (2.10) і (2.10а) можна записати у вигляді через геометричну різницю ходу \(\Delta_0\) і довжину світлової хвилі в середовищі \(\lambda\):

де \(\lambda=\lambda_0/n\) – довжина хвилі в речовині, і \(\Delta_0=l_2-l_1\) – геометрична різниця ходу променів.

Інтенсивність та ширина інтерференційних смуг. Розглянемо тепер величину інтенсивностей у максимумах \(I_{max}\) та мінімумах \(I_{min}\) і їхнє положення на екрані при інтерференції від двох точкових когерентних джерел. Згідно з виразом (2.5) та умовами (2.7)

Аби інтерференційні смуги на екрані були чіткими (контрастними), інтенсивність мінімумів має бути якнайменшою, в ідеалі – \(I_{min}-0\). В такому випадку \(I_2=I_1 \) і \(I_{max}=4I_1\). Тому на практиці завжди намагаються отримувати когерентні промені з максимально близькими інтенсивностями. При цьому формула (2.5) набуває вигляду:

Визначимо із цього виразу розподіл інтенсивностей на екрані \(I(x)\) при двопроменевій інтерференції у повітрі (n =1) від ідеальних точкових когерентних джерел \(S_1\) і \(S_2\) з однаковими інтенсивностями \(I_1=I_2\). Для цього спочатку знайдемо різницю ходу \(\Delta{(x)}\), а потім за допомогою формули (2.9а) – різницю фаз \(\delta(x)\) променів, які приходять у довільну точку Р, в залежності від її координати х, рис. 2.3.

Задля спрощення викладок заздалегідь урахуємо, що інтерференційні смуги на екрані можна візуально спостерігати тільки при малих відстанях між джерелами (\(h\ll{1}\)) і в невеликій області біля центра картини О, тобто при \(x\ll{l}\). У такому разі показані на рис. 2.3 кути \(\theta\) дуже малі, практично однакові та мають величину \(\theta=x/l\). Тож, замінюючи відповідні тригонометричні функції самими кутами, різницю ходу \(\Delta\) і різницю фаз \(\delta\), можна з великою точністю виразити, як:

Підставивши цей вираз \(\delta(x)\) у формулу (2.13), для інтенсивності отримаємо:

Графік залежності \(I(x)\) показаний на рис.2.4.

Інтерференційна картина складається системи світлих смуг з інтенсивністю в максимумах \(I_0=4I_1\) та темних смуг із нульовою інтенсивністю в мінімумах. Смуги розміщуються симетрично по обидва боки від центральної точки О, в якій знаходиться максимум порядку \(m=0\). Він називається центральним максимумом, а відповідна смуга – центральною інтерференційною смугою. Підставивши вираз \(\Delta(x)\) з (2.14) в умови (2.11) та (2.11а), отримаємо вирази для координат максимумів та мінімумів при інтерференції:

З цих формул випливає, що відстань \(\Delta{x}=|x_{m+1}-x_{m}|\) між сусідніми максимумами чи мінімумами не залежить від порядку інтерференції, тобто смуги розташовані еквідистантно, тобто на однаковій відстані

або

де \(\Psi=h/l\) – кутова відстань між когерентними джерелами, тобто кут зору, під яким їх видно з центра інтерференційної картини (див. рис. 2.3).

 Між сусідніми мінімумами розташовується інтерференційний максимум, тобто світла смуга. Тому величина  називається шириною інтерференційної смуги.

Вираз (2.17) дозволяє зрозуміти, чому інтерференційні смуги можна спостерігати тільки при малих відстанях між когерентними джерелами. Причина полягає в обмеженій роздільній здатності ока (гостроті зору), що визначається найменшим кутом зору \(\Psi_{0}\), при якому дві близькі риски ще бачаться роздільно (не зливаються). Для нормального ока \(\Psi_{0}\approx{1}^{\prime}\approx{3}\cdot{10}^{-4}\) рад, тож при відстані до джерел \(l=1\) м інтерференцію можна візуально спостерігати, коли відстань між когерентними джерелами \(h\le{0,3}\) мм.

Некогерентність природнього світла. Дослід свідчить, що при накладанні світлових пучків від двох звичайних джерел світла (маються на увазі всі природні та штучні джерела, крім оптичних квантових генераторів - лазерів) інтерференція ніколи не спостерігається. Це означає, що хвилі від двох незалежних джерел світла є некогерентними. Причина цього лежить у самому механізмі випромінювання. Світло випромінюється атомами тіла не у вигляді неперервної хвилі, а окремими «порціями»  (причини цього пояснюються в квантовій механіці), які у хвильовій теорії називаються цугами.

Кожен цуг являє собою «відрізок хвилі» тривалістю \(\tau\sim{10}^{-8}\) c і протяжністю \(l\sim{3}\) м, який має задані початкову фазу та напрям коливань світлового вектора, але характеризується не заданою частотою \(\omega\), а спектром – неперервним набором частот у деякому інтервалі \(\Delta\omega\) в околі заданого значення \(\omega\). Тож хвильовий цуг не є строго монохроматичним. Тому на практиці монохроматичним називають випромінювання не з однією частотою, а з вузькою спектральною шириною \(\Delta\omega\ll\omega\). Іншою особливістю цугів є те, що їхні початкові фази, так само, як і напрямки коливань світлового вектора, ніяк не узгоджені: у кожного наступного цугу вони можуть як завгодно відрізнятися від попереднього. Тому в світловому промені від реального джерела початкова фаза та напрям коливань дуже швидко і хаотично змінюються. Відповідно так само швидко і невпорядковано змінюється різниця фаз і взаємна орієнтація напрямків коливань променів, які приходять у дану точку від двох незалежних джерел. Тому світлові пучки від незалежних джерел є повністю некогерентними і при накладанні не інтерферують. Проте руйнівний вплив нестабільності початкової фази на інтерференцію можна виключити, використовуючи для отримання когерентних пучків не два незалежних джерела, а одне. (Як це робиться, розглянемо в наступній лекції). Але через принципову немонохроматичність випромінювання та наявність у джерел скінченних лінійних розмірів добитися повної когерентності реальних світлових пучків все одно неможливо, що суттєво обмежує умови спостереження інтерференції світла. Проаналізуємо вплив кожного із указаних двох факторів окремо.

Часова когерентність. Розглянемо спочатку спрощену ситуацію, коли кожне з двох точкових джерел випромінює монохроматичну хвилю з початковою фазою \(\varphi_{0}\) і з тільки двома близькими частотами \(\omega\) та \(\omega+\Delta\omega\) та довжинами хвилі \(\lambda\) і \(\lambda+\Delta\lambda\). Тоді розподіл інтенсивностей на екрані можна змоделювати як суперпозицію двох інтерференційних картин, одна з яких створюється променями з довжиною хвилі \(\lambda\) а інша – \(\lambda+\Delta\lambda\). Ці картини характеризуються різною шириною смуги (формула (2.17)) і поступово «розповзаються», як показано на рис. 2.5а. Як наслідок, результуюча інтенсивність у максимумах буде поступово зменшуватись, а в мінімумах – збільшуватись аж до зникнення смуг (рис. 2.5б). Це станеться тоді, коли максимум якогось порядку \(m^{\prime}\) для довжини хвилі \(\lambda+\Delta\lambda\) співпаде з відповідним мінімумом для довжини хвилі \(\lambda\). Отже, згідно з формулами (2.16):

де \(m^{\prime}\) – порядок інтерференції в місці, де зникають смуги.

Формально число \(m^{\prime}\) можна трактувати як максимальний порядок інтерференції при накладанні умовних променів, кожен із яких включає дві довжини хвилі. Насправді ж у випромінювання присутні всі можливі довжини хвилі в інтервалі від \(\lambda\) до \(\lambda+\Delta\lambda\), тож можна вважати, що весь спектр складається з безлічі пар променів з різницею довжин хвилі \(\Delta\lambda/2\) кожна. Тому, підставивши цю величину в (2.18) замість \(\Delta\lambda\), отримаємо більш коректний вираз:

в якому величина

є мірою наближеності світла до строго монохроматичного.

Таким чином, неповна монохроматичність світла обмежує кількість інтерференційних смуг, які можна реально спостерігати, величиною \(N\approx{2}m_{max}\). Наприклад, при використанні білого світла і скляних світлофільтрів \(m_{max}\sim{10}\), тому інтерференція спостерігається на екрані тільки в невеликій центральній зоні, про що говорилося в п. 2.2. При цьому різниця ходу променів не повинна перевищувати максимальної допустимої величини \(\Delta_{max}=m_{max}\lambda\), яка називається довжиною когерентності: \(l_{ког}=\Delta_{max}\). Згідно з умовами (2.10) і (2.19),

Поняття довжини когерентності дозволяє сформулювати наступний критерій:

інтерференцію світла можна спостерігати лише, коли різниця ходу променів не перевищує довжину когерентності цього світла, тобто за умови:

Таким чином, випромінювання не сповна монохроматичних джерел є когерентним не скрізь, а тільки в обмеженій області простору, в якій різниця ходу променів задовольняє умову (2.21). Але це питання можна розглядати і з іншої точки зору. Якщо хвилі від точкових джерел \(S_1\) і \(S_2\) (рис.2.1.) є монохроматичними, але мають дещо різні частоти \(\omega_1=\omega\) і \(\omega_2=\omega+\Delta\omega\), то різниця фаз променів у точці накладання змінюється з часом:

Тому при накладанні таких двох хвиль інтерференція буде спостерігатися лише протягом часу

за який різниця фаз змінюється на \(\pi\), і умова підсилення інтенсивності переходить в умову послаблення, чи навпаки. Величина \(\tau^{\prime}\) визначає граничний проміжок часу, протягом якого дані дві хвилі можна вважати когерентними, і тому називається часом когерентності.

Для не повністю монохроматичних світлових пучків з частотами в усьому інтервалі від \(omega\) до \(\omega+\Delta\omega\) умови спостереження інтерференції покращуються, оскільки в них присутні промені з різницею частот не лише \(\Delta\omega\), а й з усіма меншими значеннями аж до 0. Тому, поставивши у вираз \(\tau^{\prime}\) замість \(\Delta\omega\) середню величину \(\Delta\omega/2\), отримаємо більш коректний вираз для часу когерентності \(\tau_{ког}\) не повністю монохроматичних хвиль:

Звідси випливає, що чим меншою є величина \(\Delta\omega\), тобто чим вищий ступінь монохроматичності хвиль, тим довше вони лишаються когерентними. Тому

когерентність хвиль, зумовлену близькістю їхніх частот, називають часовою когерентністю.

Відповідно, величина \(\tau_{ког}\) є мірою часової когерентності не повністю монохроматичних хвиль.

Час когерентності можна виразити й через інтервал довжин хвиль \(\Delta\lambda\) присутніх у випромінюванні. Для цього досить взяти до уваги, що \(\omega=2\pi{c}/\lambda\) і що за умови \(\Delta\omega\ll\omega\) величина \(\Delta\omega=(\mathrm{d}\omega)/\mathrm{d}\lambda)\Delta\lambda\). Тоді виходить:

і зі співвідношень (2.22) і (2.20) виходить:

Отже, між часом і довжиною когерентності є прямий зв’язок: довжина когерентності дорівнює відстані, на яку поширюється хвиля за час когерентності. Тому часову когерентність не сповна монохроматичних хвиль можна характеризувати як часом \(\tau_{ког}\), так і довжиною когерентності \(l_{ког}\). Але слід зауважити, що обидві ці величини є лишень оціночними, бо чіткої межі між можливістю та неможливістю спостерігати інтерференцію не існує.

Підводячи загальний підсумок, зазначимо, що причиною неповної часової когерентності є не повна визначеність частоти випромінювання реальних джерел світла, а наслідком – обмежена кількість інтерференційних смуг область простору, де їх можна спостерігати.

Просторова когерентність. На можливість спостерігати інтерференцію негативно впливають і лінійні розміри джерел світла, наявність яких зумовлює неоднозначність різниці ходу когерентних променів, які приходять у точку спостереження від різних точок джерел. У променів, які виходять із близьких точок джерел різниця ходу менша, а в променів від віддалених точок вона більша. Це погіршує умови спостереження та якість інтерференційних смуг. Може навіть статися, що промені від одних ділянок джерел підсилюються, а від інших – послаблюються й інтерференційні смуги взагалі не спостерігаються. Це можна трактувати як те, що випромінювання може бути більш або менш когерентним залежно від розмірів джерела. Тому когерентність, обумовлену лінійними розмірами джерел, називають просторовою когерентністю.

Зрозуміло, що за будь-яких умов просторова когерентність випромінювання погіршується при збільшені розмірів джерел. Але якоїсь єдиної формули-критерію тут немає, бо просторова когерентність залежить не тільки від розмірів джерел, а й від взаємного розташування джерел і точки спостереження. Як приклад розглянемо вплив неповної просторової когерентності на інтерференційну картину від двох джерел у вигляді однакових щілин ширини \(b\) розміщених на відстані \(h\) одна від одної (рис. 2.6 ), які випромінюють монохроматичне світло з довжиною хвилі \(\lambda\). Будемо вважати, що ці джерела складаються з безлічі пар гранично вузьких щілин – від \(1-1^{\prime}\) до \(2-2^{\prime}\), які розміщені на відстані \(h\) одна від одної. Всі вони утворюють на екрані однакові елементарні смуги з шириною \(\Delta{x}\) (формула (2.17)). Але центри інтерференційних картин від кожної пари цих віртуальних щілин зміщені одна відносно одної й розташовані між точками О₁ і О₂ всередині області шириною \(b\), рис.2.7а.

Через це результуюча інтенсивність у максимумах зменшується, а в мінімумах збільшується, що зменшує чіткість смуг, як схематично показано на рис. 2.7 б. Тому при поступовому збільшенні ширини щілин \(b\) інтерференційні смуги по всьому полю зору будуть менш і менш виразними і в решті зовсім зникнуть. (Оскільки око може розрізняти смуги за яскравістю лише при певній мінімальній різниці інтенсивностей, при збільшенні ширини щілин буде зменшуватись не тільки чіткість, а й кількість смуг, які спостерігаються)/ Так станеться, коли відстань О₁О₂ =  зрівняється із шириною інтерференційної смуги \(\Delta{x}\), тож інтерференція буде спостерігатися тільки за умови \(b\le\Delta{x}\). Цю умову можна розглядати як критерій просторової когерентності у схемі рис. 2.6. Відповідно до формул (2.17) і (2.17а), його можна записати, як:

де \(\Psi=h/l\) – кутова відстань між когерентними джерелами (див. рис. 2.3), тобто кут зору, під яким їх видно із зони інтерференції на екрані.

На завершення ще раз наголосимо, що від неповної просторової та часової когерентності принципово неможливо позбутися. Тому практично за будь-яких умов можна спостерігати тільки досить обмежену кількість інтерференційних смуг.

1. У чому полягає явище інтерференції? Чому воно є можливим?
2. За якої умови можлива інтерференція двох ідеальних гармонічних світлових хвиль однакової частоти?
3. Чи можлива інтерференція двох монохроматичних світлових хвиль, якщо їхні частоти відрізняються?
4. Якою може бути максимальна та мінімальна інтенсивності світла при накладанні двох когерентних променів, що мають інтенсивності \(I_{0}\) та \(4I_{0}\)?
5. За якої умови інтерференційні смуги від двох когерентних джерел будуть найбільш контрастними?
6. Що називають різницею ходу променів? Визначте різницю ходу променів, які проходять до точки спостереження однакову відстань \(l\): один у повітрі, а інший – в однорідному середовищі з показником заломлення \(n\).
7. Який зв'язок існує між різницею фаз і різницею ходу двох когерентних променів? Некогерентних?
8. Запишіть умови інтерференційних максимумів та мінімумів при двопроменевій інтерференції якщо промені поширюються: а) в різних середовищах; б) в одному середовищі.
9. Чому умови інтерференційних максимумів і мінімумів формулюють не через різницю фаз, а через різницю ходу?
10. Чому при визначенні різниці ходу променів не враховують їхні початкові фази? Як наявність різниці початкових фаз \(\delta_0=\varphi_{02}-\varphi_{01}\ne{0}\) не вплинула б на інтерференційні смуги, показані на рис2.5б?
11. Чому інтерференційні смуги спостерігаються тільки при малій відстані між монохроматичними когерентними джерелами?
12. Як зміниться ширина інтерференційної смуги при двопроменевій інтерференції, якщо одночасно змінити відстань між когерентними джерелами та відстань між джерелами й екраном в \(n\) разів? Розгляньте всі можливі варіанти.
13. Яку кількість інтерференційних смуг можна було б теоретично спостерігати на екрані при накладанні двох ідеальних когерентних хвиль% Чим би відрізнялися у такому випадку смуги від тих, що визначаються формулами (2.16) та (2.17)?
14. Чому в реальних дослідах спостерігається обмежена кількість інтерференційних смуг? Поясніть зміст поняття часової когерентності.
15. Що таке довжина та час когерентності? Як вони пов’язані між собою?
16. Виразіть граничну кількість інтерференційних смуг, яку можна спостерігати при двопроменевій інтерференції, з довжиною когерентності світла та кутовою відстанню між точковими когерентними джерелами.
17. Поясніть зміст поняття просторової когерентності та її вплив на інтерференційну картину.
18. Дві паралельні світні щілини шириною \(b\) розміщені на відстані \(h\) одна від одної і випромінюють когерентне світло з довжиною хвилі \(\lambda\). На якій найменшій відстані від щілин можна поставити екран, аби спостерігати інтерференційні смуги?

Як розглянуті тут, так й інші хвильові явища є однаково властивими як для поздовжніх, так і для поперечних хвиль, таких як світло. Але між поздовжніми та поперечними хвилями є суттєва відміна: для поздовжньої хвилі не можна вказати площину, в якій відбуваються коливання, тоді як у поперечній вона є. У кожній точці ця площина, утворена напрямом поширення хвилі(напрямком хвильового вектора \(\vec{k}\)) та напрямком коливань світлового вектора \(\vec{E}\) в даний момент часу. Тому напрям коливань у поперечній хвилі може бути впорядкованим.

Поперечні хвилі, в яких коливання певним чином упорядковані в просторі, називають поляризованими.

В оптиці поляризаційні ефекти засвідчили поперечність світлових хвиль ще до встановлення їхньої електромагнітної природи і занйшли застосування в науці та техніці.

Конкретним прикладом поляризованої хвилі може бути ідеальна плоска монохроматична світлова хвиля:

У цій хвилі \(\vec{E}_{0}=const\) і \(\vec{k}=const\), отже коливання відбуваються вздовж заданого напрямку (лінії вектора \(\vec{E}_{0}\)) у фіксовані й площині (\(\vec{E}_{0},\vec{k}\))/ Тому така хвиля називається лінійно- або плоско- поляризованою. Відповідно, площина, в якій здійснюються коливання світлового вектора, називають площиною поляризації. (Примітка. Раніше площиною поляризації називали площину коливань магнітного  вектора \(\vec{H}\), і ця застаріла термінологія інколи ще зустрічається в старих книжках).

Крім лінійної є ще два види поляризації, при яких площина коливань обертається навколо променя з кутовою швидкістю, рівною коловій частоті хвилі  \(\omega\). Це еліптична та колова (циркулярна) поляризації. У першому випадку проекція кінця світлового вектора на перпендикулярну до променя площину описує еліпс, а в другому – коло. Залежно від напрямку обертання світлового вектора ці види поляризації поділяють на праву та ліву. Якщо при спостереженні назустріч променю вектор \(\vec{E}\) обертається за годинниковою стрілкою, то поляризацію називають правою, а при протилежному напрямі – лівою.

Будь-яка неперервна монохроматична хвиля типу (5.1) «автоматично» є поляризованою. Але випромінювання реальних джерел (окрім лазерів) зазвичай не виявляє жодних ознак поляризації. Причина в тому, що реальне світлове випромінювання складається з окремих «шматків» хвилі – цуґів (див. Лекція 5.2, п.2.3), в яких не лише початкова фаза, а й напрям коливань світлового вектора є не прогнозованими. Через це в світловому пучку орієнтація площин поляризації дуже швидко і хаотично змінюються в часі. Таке світло не є поляризованим і називається природнім. Проте лінійно поляризоване світло можна отримати з природного за допомогою спеціальних приладів, які називають поляризаторами.

Поляризатор незалежно від принципу дії та конструкції виділяє світлові коливання, що відбуваються в одній площині – площині поляризатора, і в той чи інший спосіб відсіює коливання, що відбуваються у перпендикулярній площині . Тому при падінні на поляризатор природнього світла на виході утворюється світловий пучок, що поляризований у площині поляризатора.

В ідеальному поляризаторі (досконалому приладі, що дає повну поляризацію і зовсім не поглинає світло) інтенсивність поляризованого пучка на виході дорівнює половині інтенсивності пучка природнього світла на вході. Це легко довести. Світловий вектор \(\vec{E}_{пр}\) у падаючому природньому пучку можна розкласти на паралельну та перпендикулярну до площини поляризатора складові, як показано на рис. 5.1:

\(\vec{E}_{пр}=\vec{E}_{\parallel}+\vec{E}_{\perp}\).

Поляризатор пропускає тільки паралельну складову світлового вектора, отже у поляризованому промені на виході поляризатора миттєва напруженість поля

\(E=E_{\parallel}=E_{пр}\cos\alpha\),

де кут \(\alpha\) визначає миттєвий напрям вектора \(\vec{E}\) природнього світлі на вхлді і є випадковою швидкозмінною величиню.

Інтенсивність світла \(I\) є прямо пропорційною середній величині квадрата світлового вектора: \(I\sim\langle{E}^{2}\rangle=E_{пр}^{2}\langle\cos^{2}\alpha\rangle\). Отже,

\(I=I_{пр}\langle\cos^2\alpha\rangle\).

У природному пучку напрям коливань світлового вектора дуже швидко змінюється, і всі значення \(\alpha\) є рівноймовірними. Тому \(\langle\cos^{2}\alpha\rangle=\frac{1}{2}\), і для інтенсивності на виході поляризатора маємо:

Якщо на поляризатор спрямувати не природній, а лінійно поляризований промінь інтенсивності \(I_0\), площина поляризації якого складає заданий кут \(\alpha=\mathrm{const}\) з площиною поляризатора, то на виході отримаємо промінь, поляризований вже в площині поляризатора, і з інтенсивністю

Цей вираз називається законом Малюса. Завдяки йому поляризатор можна використовувати не тільки для отримання, а й для аналізу поляризованого світла, тобто для визначення орієнтації площини коливань та інших характеристик поляризованої світлової хвилі.

На практиці доводиться мати справу також із частково поляризованим світлом, яке можна розглядати як суміш лінійно поляризованого та природнього світла. Наближеність такого світла до поляризованого характеризують ступенем поляризації \(P\):

де \(I\) – інтенсивність поляризованої компоненти, \(I_{0}\) – повна інтенсивність частково поляризованого пучка, \(I_{пр}\) – інтенсивність природньої компоненти.

Ступінь поляризації на практиці можна визначити, спрямувавши частково поляризоване світло на поляризатор і обертаючи його навколо променя. При цьому від природньої компоненти на виході матимемо постійну інтенсивність  \(I_{пр}/2\), а от поляризована компонента при паралельній орієнтації площини коливань та площини поляризатора повністю пройде, а при перпендикулярній – повністю затримається. Тому в першому випадку на виході з поляризатора повна інтенсивність буде максимальною:

\(I_{max}=I+\frac{1}{2}I_{пр}\),

а в другому – мінімальною:

\(I_{min}=\frac{1}{2}I_{пр}\).

Тож інтенсивність поляризованої компоненти можна виразити як \(I=I_{max}-I_{min}\), а повну інтенсивність частково поляризованого пучка – як \(I_0=I_{max}+I_{min}\). Відтак ступінь поляризації визначається формулою:

Накладання лінійно поляризованих хвиль. Як було сказано раніше, крім лінійної існують ще два види поляризації – еліптична та колова, при яких світловий вектор \(\vec{E}\) обертається навколо променя. Покажемо, що ці види поляризації можна розглядати як результат суперпозиції плоско поляризованих хвиль.

Нехай дві когерентні плоскі хвилі з амплітудами \(E_{01}\) та \(E_{02}\) і частотою \(\omega\), які поляризовані у взаємно перпендикулярних площинах XOZ і YOZ (рис. 5.4), поширюються «до нас», тобто в додатному напрямку осі OZ. Тоді в якійсь площині перпендикулярній осі OZ хвилі створюють коливання світлового вектора, котрі задамо рівняннями:

де \(\delta\) – не залежно від часу різниця фаз.

«Координати» \(E_x\) та \(E_y\) визначають модуль і напрям результуючого вектора \(\vec{E}=\vec{E}_1+\vec{E}_2\) в будь-який момент часу. Тому, виключивши з рівнянь (5.6) параметр \(t\) (час), можна отримати траєкторію руху кінця вектора \(\vec{E}\). Для цього друге рівняння (5.6) перепишемо як

\(\frac{E_y}{E_{02}}=(\cos\omega{t}\cos\delta-\sin\omega{t}\sin\delta)\)    \(\Rightarrow\)    \(\frac{E_y}{E_{02}}=\left(\cos\omega{t}\cos\delta-\sqrt{1-\cos^2\omega{t}}\cdot\sin\delta\right)\)

і підставимо вираз \(\cos\omega{t}=E_{x}/E_{01}\) з першого рівняння. Тоді дістанемо:

\(\frac{E_y}{E_{02}}=\frac{E_x}{E_{01}}\cos\delta-\sin\delta\sqrt{1-\left(\frac{E_x}{E_{01}}\right)^2}\).

Після піднесення до квадрату і нескладних перетворень отримаємо:

Це рівняння є загальним рівнянням еліпса. Отже, при накладанні вказаних лінійно поляризованих хвиль в загальному випадку утворюється результуюча хвиля, в якій світловий вектор обертається навколо променя і змінюється так, що проекція його кінця описує еліпс, тобто виникає еліптично поляризоване світло.

Конкретні параметри поляризації залежать від амплітуд \(E_{01},{}E_{02}\) і різниці фаз \(\delta\) хвиль, що накладаються. Зокрема, залежно від знаку \(\sin\delta\) поляризація може бути правою або ліво. У цьому легко переконатися, знайшовши з (5.6) похідну по часу:

\((\mathrm{d}E_x/\mathrm{d}t)=-\omega{E}_{01}\sin\omega{t}\),   \((\mathrm{d}E_{y}/\mathrm{d}t)=-\omega{E}_{02}\sin(\omega{t}+\delta)\).

При \(t=0\) \((\mathrm{d}E_x/\mathrm{d}t)=0\) і \((\mathrm{d}E_y/\mathrm{d}t)=-\omega{E}_{02}\sin\delta\). Тож при спостереженні проти ходу променя у випадку \(0\lt\delta\lt\pi\) вектор \(\vec{E}\) обертається за годинниковою стрілкою і світло є право поляризованим. Відповідно, при \(-\pi\lt\delta\lt{0}\) поляризація ліва.

Окремі випадки. Величина різниці фаз та співвідношення амплітуд визначають орієнтацію еліпса (5.7) і його ексцентриситет («сплющеність»). При цьому є декілька важливих окремих випадків.

1)      \(\delta=\pm\pi/2\). У цьому випадку рівняння (5.7) надуває вигляду

\(\frac{E_{x}^{2}}{E_{01}^{2}}+\frac{E_y^2}{E_{02}^2}=1\),

тобто осі еліпса орієнтовані вздовж осей координат. Якщо \(E_{01}\gt{E}_{02}\), то еліпс сплющений уздовж осі OY, а при \(E_{01}\lt{E}_{02}\) – уздовж осі OX.

2)      За умови \(E_{01}=E_{02}=E_0\) рівняння (5.7) перетворюється на рівняння кола

\(E_{x}^{2}+E_{y}^{2}=E_{0}^{2}\).

Отже якщо накладаються когерентні плоско поляризовані хвилі із зсувом фаз у чверть періоду та однаковою амплітудою, то можна отримати хвилю, що поляризована по колу в той або інший бік.

3)      \(\delta=0,{}\pm\pi\). У цьому випадку з рівняння (5.7) випливає, що

\(E_{y}=\pm\frac{E_{02}}{E_{01}}E_x\),

і еліпс вироджується у відрізок прямої. Тож кінець вектора \(\vec{E}\) здійснює коливання вздовж фіксованого напрямку і першій і третій (при \(\delta=0\)) або другій та четвертій чвертях (при \(\delta=\pm\pi\). Напрям коливань визначається амплітудами \(E_{01}\) та \(E_{02}\), зокрема, при \(E_{01}=E_{02}\) він складає кут \(45^{\circ}\) з осями координат. Отже, вибираючи потрібне співвідношення \(E_{01}/E_{02}\), можна отримати бажану орієнтацію площини поляризації результуючої хвилі.

На практиці поляризоване по еліпсу та колу світло можна отримати, пропускаючи лінійно поляризоване світло крізь двозаломлюючу кристалічну пластинку.

Хід променів у кристалічній пластинці. Якщо з одновісного кристала вирізати паралельно до оптичної осі \(OO^{\prime}\) пластинку товщиною \(h\) (рис. 5.5а) і спрямувати на неї по нормалі промінь лінійно поляризованого монохроматичного світла, то звичайний та незвичайний промені не будуть розділятися, але поширюватимуться з різними швидкостями і матимуть різні показники заломлення \(n_o\) і \(n_e\). Тому вони пройдуть у пластинці різні оптичні шляхи \(L_o=n_{o}h\) та \(L_e=n_{e}h\) і на виході матимуть різницю ходу

\(\Delta=(n_e-n_o)h\)

та за умовами когерентності (див. Лекцію 5.2) – незалежну від часу різницю фаз

 У такому разі з пластинки вийде поляризоване світло, що описується загальним рівнянням (5.7). Характеристики поляризації залежать від знаку та величини \(\delta\), які при заданій товщині пластинки визначаються показниками заломлення променів \(o\) і \(e\). Тому всі кристали поділяють на два типи – додатні, якщо \(n_o\gt{n}_e\), та від’ємні, якщо \(n_o\lt{n}_e\).

Таким чином, вибираючи необхідну товщину пластинки заданого типу, можна отримати бажаний характер поляризації. Розглянемо деякі важливі окремі випадки.

Пластинка у чверть хвилі (пластинка \(\lambda/4\)). У пункті 5.3. було показано, що при накладанні хвиль із різницею фаз \(\delta=\pm\pi{/2}\) утворюється світло поляризоване або по еліпсу з приведеними осями, або по колу. Цю умову формально можна записати як \(\delta=m\pi{/2}\), де \(m=1,3,5,…\). Підставивши її в (5.8) отримаємо необхідну тлвщину пластинки:

Таку пластинку умовно називають пластиною у чверть хвилі (пластинкою \(\lambda/4\).

Уздовж якої з координатних осей буде сплющений еліпс залежить від співвідношення амплітуд звичайного та незвичайного променів \(E_{01}/E_{02}\), що визначається кутом \(\varphi\) між площиною поляризації падаючого променя та оптичною віссю пластинки (рис. 5.5б).

Напрям поляризації залежить від типу пластинки та її товщини й змінюється на протилежний при переході у формулі (5.9) від одного значення \(m\) до наступного. Наприклад, у пластинці з додатнього кристала при \(m=1\) поляризація буде правою, а при \(m=3\) – лівою.

В окремому випадку \(\varphi=45^{\circ}\) амплітуди звичайного та незвичайного променів будуть однаковими, тому з пластинки вийде світло поляризоване по колу. Отримання такого світла є одним з основних призначень пластинки у чверть хвилі.

Слід відзначити, що пластинка \(\lambda/4\) «працює» і в зворотньому напрямі. Якщо спрямувати на неї циркулярно поляризований промінь, то він розділиться на два лінійно поляризовані у взаємно перпендикулярних напрямках промені \(o\) та \(e\), зсунуті по фазі на \(\pi{/}2\). Всередині пластинки вони отримують додаткову різницю фаз \(\pm\pi{/}2\), відтак на виході матимемо лінійно поляризоване світло, площина поляризації якого складає кут \(45^{\circ}\) з оптичною віссю пластинки.

Пластинка у півхвилі (пластинка \(\lambda{/4}\)). Це так само, як говорилося раніше, вирізана з кристала пластинка з товщиною

Різниця фаз звичайного та незвичайного променів на виході з пластинки тепер складає \(\delta=m\pi\). Тож світло, що виходить, лишається лінійно поляризованим, але площина поляризації в загальному випадку повертається на кут  \(2\varphi\) (подвоєний кут між площиною поляризації падаючого променя та оптичною віссю пластинки) і розміщується симетрично відносно оптичної осі (рис. 5.6б). Тому, спрямувавши на пластинку \(\lambda{/4}\) світло, що лінійно поляризоване під кутом \(\varphi=45^{\circ}\) до оптичної осі, можна «повернути» площину поляризації на \(90^{\circ}\), як це буває необхідно на практиці.

На практиці часом виникає необхідність аналізувати світло, що використовується, тобто з’ясовувати, яким воно є: поляризованим чи природнім, а якщо поляризованим, то як саме. Розглянемо, як це можна зробити в різних конкретних випадках.

Плоско поляризоване світло. Переконатися, що світло є лінійно поляризованим і визначити орієнтацію площини поляризації можна за допомогою поляризатора з відомим положенням його площини пропускання. Для цього пучок досліджуваного світла спрямовують на поляризатор і, обертаючи його навколо променів, вимірюють інтенсивність світла на виході. Якщо світло плоско поляризоване, то при положенні площини поляризатора, що співпадає з площиною поляризації променя, інтенсивність буде максимальною, а при повороті поляризатора на \(90^{\circ}\) зменшуватиметься практично до нуля, відповідно до закону Малюса (5.3).

Природнє та циркулярно поляризоване світло. Інтенсивність на виході при обертанні поляризатора навколо променя лишається сталою не лише для природного світла, а й для світла поляризованого по колу. Але ці випадки можна розрізнити, якщо перед поляризатором на шляху падаючого променя встановити пластинку в чверть хвилі. В такому разі, якщо досліджуване світло поляризоване по колу, то пластинка перетворить його на плоскополяризоване, і це буде легко встановити, обертаючи поляризатор навколо променя. Природнє ж світло, пройшовши крізь пластинку \(\lambda/4\), так і лишиться природнім. Тому при обертанні поляризатора навколо променя інтенсивність на виході змінюватися не буде.

Еліптично-поляризоване та частково-поляризоване світло. Якщо спрямувати на поляризатор еліптично-поляризоване або частково-поляризоване світло, то при обертанні навколо променя кутова залежність інтенсивності на виході буде виглядати однаково. А саме, при деякому положенні площини поляризатора вона буде максимальною \(I_{max}\), а при повороті на \(90^{\circ}\) стане мінімальною (але не нульовою) \(I_{min}\). Визначити, яким саме є дане світло, можна так само, як у випадку циркулярно поляризованого та природнього світла. Якщо пластинка \(\lambda/4\), встановлена на шляху падаючого променя, перетворює його на плоскополяризований, то досліджуване світло є еліптично-поляризованим. Натомість у випадку частково поляризованого світла пластинка не вплине на залежність інтенсивності на виході від кута повороту поляризатора навколо променя. При цьому у випадку еліптично поляризованого світла положення максимального пропускання поляризатора вкаже орієнтацію більшої осі еліпса, а інтенсивності \(I_{max}\) та \(I_{min}\) визначать відношення його осей \(E_{01}/E_{02}=\sqrt{I_{max}/I_{min}}\). У випадку частково поляризованого світла аналогічно визначаться положення площини поляризації поляризованої компоненти та, за формулою (5.4а) – ступінь поляризації досліджуваного частково поляризованого світла.

Напрям поляризації. Пластинка \(\lambda/4\) дозволяє встановити також правою чи лівою є поляризація даного еліптично- або циркулярно-поляризованого світла. Для цього на ній вказано так званий \(\beta\)-напрям - напрям коливань у промені (\(o\) чи \(e\)), що поширюється з більшою швидкістю, тож має менший показник заломлення. Розглянемо на конкретному прикладі, як це робиться.

Нехай на чвертьхвильову пластинку падає в напрямку «до нас» циркулярно поляризований промінь. Виберемо для зручності координатні осі, як показано на рис. 5.7. Тоді промінь поширюється в додатньому напрямку осі OZ і є суперпозицією двох променів \(\vec{E}_1\) і \(\vec{E}_{2}\) однакової амплітуди, які поляризовані, як розглядалось у пункті 5.3: \(\vec{E}_{1}\) у площині ХOZ,  а \(\vec{E}_{2}\) в площині YOZ. При цьому, якщо поляризація права (світловий вектор \(\vec{E}=\vec{E}_1+\vec{E}_2\) обертається для нас за годинниковою стрілкою), то складова \(\vec{E}_{2}\) у падаючому промені випереджає за фазою складову \(\vec{E}_{1}\) на \(\pi/2\). Але при поширенні в пластинці \(\lambda/4\) промінь \(\vec{E}_2\) через більшу швидкість поширення і менший показник заломлення відстане від променя \(\vec{E}_1\) на \(\pi/2\) (див. формулу (5.8)). Тому кінцева різниця фаз буде нульовою, і з пластинки вийде промінь поляризований лінійно під кутом \(\varphi_{пр}=45^{\circ}\) до осі ОХ (вздовж лінії 1 на рис. 5.7). При лівій поляризації складова \(\vec{E}_2\) у падаючому промені за фазою відстає від \(\vec{E}_1\). Тож на виході різниця фаз буде рівна \(\pi\), і промінь на виході з пластинки буде поляризований під кутом \(\varphi_{лв}=135^{\circ}\) до осі ОХ (вздовж лінії 2 на рис. 5.7). Величину кута \(\varphi\), отже й напрям колової поляризації падаючого на пластинку \(\lambda/4\) променя, визначають за допомогою поляризатора встановленого за пластинкою на шляху променя, що пройшов.

Напрям поляризації еліптично-поляризованого світла визначається так само. Але в цьому випадку \(\varphi_{пр}\ne{45}^{\circ}\) і \(\varphi_{лв}\ne{135^{\circ}}\).

1. Які хвилі звуться поляризованими? Чи можуть бути поляризованими звукові хвилі?
2. Назвіть та опишіть існуючі види поляризації. Який між ними є зв’язок?
3. У чому полягає закон Малюса?
4. Що таке поляризатор? На яких фізичних явищах ґрунтується робота поляризаторів?
5. Яку частку інтенсивності \(I/I_{0}\) пропускає ідеальний поляризатор при падінні на нього: а) природнього, б) плоско поляризованого та в) циркулярно поляризованого світла?
6. Що таке ступінь поляризації світла та як його можна визначити?
7. Що таке кут Брюстера та чому він дорівнює?
8. Зобразіть на одному графіку приблизну залежність ступеня поляризації \(P\) відбитого та заломленого променів від кута падіння \(\vartheta\) природнього світла з повітря на поверхню прозорого діелектрика.
9. Зобразіть на одному графіку приблизну залежність коефіцієнта відбивання плоско поляризованого світла від кута падіння на поверхню прозорого діелектрика, якщо площина поляризації падаючого променя: а) є перпендикулярною до площини падіння і б) співпадає з площиною падіння.
10. Покажіть приблизний графік залежності коефіцієнта відбивання \(R\) від кута падіння \(\vartheta\) при падінні природнього світла з повітря на пластину прозорого діелектрика.
11. У чому полягає та коли спостерігається явище двозаломлення світла? Чим відрізняються звичайний і незвичайний промені та що у них є спільного?
12. Що таке оптична вісь та головна площина кристала? Поясніть, чи можуть не лежати в головній площині двозаломлюючого кристала: а) падаючий промінь; б) заломлені промені?
13. Чи завжди в двозаломлюючому кристалі існують звичайний і незвичайний промені?
14. Опишіть поширення світла в двозаломлюючому кристалі, коли падаючий промінь напрямлений: а) вздовж оптичної осі кристала і б) перпендикулярно до неї.
15. Поясніть принцип отримання світла поляризованого по еліпсу або по колу. Які вимоги мають задовольняти лінійно поляризовані промені, аби з них можна було отримати циркулярно поляризований промінь?
16. Як можна визначити положення площини поляризації лінійно поляризованого світла?
17. Як можна розрізнити природнє та циркулярно поляризоване світло? Еліптично та частково поляризоване світло?
18. Як можна встановити напрям обертання світлового вектора в еліптично-поляризованому промені, або в промені, що поляризований по колу?

У Лекції 5.1 (п. 1.1) було показано, що строго монохроматична хвиля поширюється із швидкістю, яка співпадає з фазовою швидкістю

\(v=\frac{\omega}{k}\).

При цьому частота монохроматичної хвилі \(\omega\) визначається тільки джерелом хвилі, а швидкість \(v\) – тільки властивостями середовища, в якому вона поширюється. Отже, на перший погляд фазова швидкість хвилі не повинна залежати від її частоти. Але насправді властивості середовища, які визначають швидкість поширення хвилі, залежать від її частоти. Тому між фазовою швидкістю та частотою хвилі існує опосередкований функціональний зв’язок: \(v=v(\omega)\).

Залежність фазової швидкості хвилі від її частоти називається дисперсією.

У випадку світлових хвиль на практиці замість швидкості \(v\) використовують показник заломлення \(n=(c/v)\), а замість частоти – довжину хвилі \(\lambda\). Відтак, явище дисперсії світла розглядають як залежність показника заломлення (оптичної густини) середовища від довжини світлової хвилі: \(n=n(\lambda)\). Кількісною мірою цієї залежності є величина \(\mathrm{d}n/\mathrm{d}\lambda\), яка називається дисперсією речовини.

Закон дисперсії світла \(n(\lambda)\) є складним і не може бути виражений точними формулами. Для ізотропних прозорих речовин характер залежності \(n(\lambda)\) якісно показаний на рис. 6.1а кривою, що складається з трьох характерних ділянок. Ділянки 1 і 3, на яких \((\mathrm{d}n/\mathrm{d}\lambda)\lt{0}\) називаються областями нормальної дисперсії, а ділянка 2, де \((\mathrm{d}n/\mathrm{d}\lambda)\gt{0}\)  – областю аномальної дисперсії. В безбарвних речовинах ділянка аномальної дисперсії потрапляє в ультрафіолетову область спектра. Тому у видимому діапазоні спостерігається тільки ділянка 3, як показано на рис. 6.1б. Примітка. Кількісно зміни \(n\) є набагато меншими, ніж показано на рисунку для виразності. Для більшості речовин вони складають всього біля 1%.

Завдяки дисперсії світлові промені з різними довжинами хвиль по-різному заломлюються на межі поділу середовищ з різними показниками заломлення – фіолетові сильніше, а червоні слабше. Саме це дозволило Ньютону, пропускаючи вузький пучок сонячного світла крізь призму, розкласти його у спектр і довести, що біле світло є складним і містить промені різних кольорів.

Елементарне пояснення дисперсії світла можна отримати на основі електромагнітної теорії, згідно з якою показник заломлення прозорої речовини визначається її діелектричною проникністю:

\(n=\sqrt{\varepsilon}\).

Величина \(\varepsilon\), згідно з класичною теорією діелектриків, залежить від зміщення електронів в атомах під дією електричного поля. У випадку світла це зміщення визначається амплітудою \(A\) вимушених коливань електронів під дією електричного поля світлової хвилі \(E=E_{0}\cos\omega{t}\). При цьому теорія доводить, що

де константа \(\eta\) залежить від індивідуальних властивостей діелектрика.

У класичній теорії вважається, що електрон зв’язаний з ядром атома квазіпружно, так, немов прикріплений пружинкою. Тому в речовині без поглинання електрони атомів розглядаються як гармонічні осцилятори з певною частотою \(\omega_0\). Отже, згідно з теорією вимушених коливань, для амплітуди \(A\) за відсутності загасання можна записати

\(A\sim\frac{1}{\omega_{0}^2-\omega^2}\)

і подати вираз (6.1) у вигляді:

де \(a\) – коефіцієнт пропорційності, який, згідно з розрахунками, визначається зарядом і масою електрона та концентрацією електронів у даному діелектрику.

Записана функція \(\varepsilon(\omega)\) при \(\omega=\omega_0\) має розрив \(\varepsilon\to\pm\infty\) , показаний штриховими відрізками на рис. 6.2. Але цей розрив є фіктивним. Він зумовлений тим, що у виразі (6.2) не враховано загасання коливань, яке завжди існує. Тому насправді залежність \(\varepsilon(\omega)\) виглядає, як суцільна крива на рис. 6.2. Подібною є й залежність \(n(\omega)=\sqrt{\varepsilon(\omega)}\), що відповідає вигляду дисперсійної кривої \(n(\lambda)\) на рис. 6.1. При цьому ділянка аномальної дисперсії потрапляє в окіл власної (резонансної) частоти \(\omega_0\), де амплітуда вимушених коливань електронів у речовині різко зростає за рахунок енергії світлової хвилі.  (В атомі зв’язок різних груп електронів з ядром не однаковий. Тому може існувати декілька резонансних частот і відрізків типу рис. 6.1 на дисперсійній кривій). Тому області аномальної дисперсії відповідають смугам поглинання світла у речовині. Цей теоретичний висновок також підтверджується на досліді.

Заслуговує на увагу ще одна особливість дисперсійної кривої рис. 6.1а. А саме, на ділянці 1 нормальної дисперсії показник заломлення \(n\lt{1}\), і \(v\gt{c}\). Виходить, що фазова швидкість світла в речовині може бути більшою, ніж у вакуумі. Це може видатися парадоксальним, оскільки в теорії відносності встановлено, що величина \(c=3\cdot{10}^8\) м/с є граничною, тобто максимальною можливою швидкістю. Але фазова швидкість не є фізичною величиною по суті. Вона визначає не рух фізичних об’єктів (частинок речовини або поля), а переміщення математичних хвильових поверхонь, тобто точок із заданим значенням формальної характеристики хвилі – фази \(\varphi\). Тому можливість ситуації, коли \(v\gt{c}\), не суперечить теорії відносності. Але така можливість вочевидь указує на те, що фазова швидкість \(v\) не визначає реальну швидкість хвилі, тобто швидкість поширення коливань і перенесення енергії хвилі. Виняток становлять лишень електромагнітні хвилі у вакуумі, де вони при будь-якій частоті поширюються із швидкістю \(v=c\).

Реальна швидкість поширення хвилі називається груповою швидкістю і в середовищі відрізняється від фазової швидкості. Ця відміна зумовлена тим, що в реальній хвилі завжди присутні коливання з різними частотами, які в середовищі з дисперсією мають різні фазові швидкості. Аби переконатись у цьому, спочатку розглянемо гранично спрощений приклад поширення «реальної» хвилі \(E=E_{1}+E_{2}\), що складається всього з двох гармонічних хвиль з близькими частотами \(\omega\) та \(\omega+\Delta\omega\) та хвильовими числами \(k\) і \(k+\Delta{k}\), так що \(\Delta\omega\ll\omega\) і \(\Delta{k}\ll{k}\). Ці хвилі описуються рівняннями:

\(E_{1}=E_{0}\cos(\omega{t}-kx)\),

\(E_{2}=E_{0}\cos\left({}(\omega+\Delta\omega){t}-(k+\Delta{k})x\right)\).

Додавши ці рівняння матимемо:

\(E=2E_{0}\cos\left(\frac{\Delta\omega}{2}t-\frac{\Delta{k}}{2}x\right)\cos\left(\left(\omega+\frac{\Delta\omega}{2}\right)t-\left(k+\frac{\Delta{k}}{2}\right)x\right)\).

Через те, що \(\Delta\omega\ll\omega\) і \(\Delta{k}\ll{k}\), в останньому множнику можна знехтувати величинами \(\Delta\omega/2\) і \(\Delta{k}/2\) і згорнуто записати:

де функція

змінюється дуже повільною порівняно з \(\cos(\omega{t}-kx)\). Тому рівняння (6.3) можна трактувати як рівняння хвилі з частотою \(\omega\), хвильовим числом \(k\) і фазовою швидкістю \(v=(\omega/k)\), в якій амплітуда \(A=|A(x,t)|\) є різною в різні моменти часу і в різних точках простору. Зокрема, в будь-який заданий момент часу \(t=\tau\) значення амплітуди розподіляються вздовж напрямку поширення хвилі періодично за законом

Відповідно, існує множина точок із максимальною амплітудою \(A_0=2E_0\), розміщених на відстані \(X\) одна від одної, і така сама множина точок, в яких \(A=0\), тобто коливання відсутні. Позаяк \(\Delta{k}\ll{k}\), відстані між такими точками \(X=(2\pi/\Delta{k})\) є набагато більші за довжину хвилі \(\lambda=2\pi/k\). Отже, складена хвиля (6.3) являє собою послідовність окремих згустків з великої кількості коливань, як показано на рис. 6.3а.

З плином часу координати точок із заданим, приміром максимальним, значенням амплітуди змінюються, тож хвиля рухається. Швидкість цього руху можна знайти поклавши в рівнянні (6.3а) \(A=2E_0\). Тоді:

або

\(x=x_0+ut\),

де \(x_0\) – початкова координата якоїсь вибраної точки з максимальною амплітудою коливань, а \(u\) – швидкість її руху.

Отже, утворена з двох гармонічних складових «реальна» хвиля являє собою послідовність згустків коливань, які рухаються зі швидкістю

За відсутності дисперсії ця величина співпадає з фазовою швидкістю \(v\). Справді, якщо фазова швидкість не залежить від частоти та довжини хвилі, то

\(x=\frac{\omega}{k}=const\)    \(\Rightarrow\)    \(\Delta\omega=v\Delta{k}\)    \(\Rightarrow\)    \(u=\frac{\Delta\omega}{\Delta{k}}=v\).

Але в середовищах з дисперсією, а такими є всі реальні середовища, швидкість поширення хвилі \(u\) відрізняється від фазової швидкості: \(u\ne{v}\).

У дійсності в будь-якій реальній хвилі присутні коливання не з двома, а з усіма можливими частотами в деякому інтервалі \(\omega\pm\Delta\omega/2\) і хвильовими числами в інтервалі \(k\pm{k}/2\) в околі центральної частоти \(\omega\) та центрального хвильового числа \(k\). У такому разі розрахунки показують, що за умови \(\Delta\omega\ll\omega\) і \(\Delta{k}\ll{k}\) при накладанні всіх складових розподіл амплітуд у результуючій хвилі має вигляд рис. 6.3б, тобто утворюється практично один згусток («пакет») коливань. Тому

хвильове утворення, що має малу спектральну ширину, називається хвильовим пакетом або групою хвиль.

Розрахунок показує, що для групи хвиль (хвильового пакета) формула (6.6) трансформується у наступний вираз швидкості руху пакета, або групової швидкості \(u\):

Групова та фазова швидкості пов’язані між собою. Відповідне співвідношення легко встановити, взявши до уваги, що \(\omega=vk\) і в середовищі з дисперсією фазова швидкість є функцією довжини хвилі, тож і хвильового числа \(k\): \(v=v(k)\). Тоді з виразу (6.7) отримаємо:

Це співвідношення можна переписати і через довжину хвилі , зробивши заміни:

\(k=\frac{2\pi}{\lambda}\)   і   \(\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}k}=\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}\lambda}\cdot\frac{\mathrm{d}\lambda}{\mathrm{d}k}=-\lambda\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}\lambda}\).

Тоді

Цей вираз називається формулою (співвідношенням) Релея.

Із виразів (6.7а) і (6.7б) випливає, що й у реальному хвильовому пакеті за відсутності дисперсії групова швидкість співпадає з фазовою, а в середовищі з дисперсією – відрізняється від неї. При цьому конкретне співвідношення між величинами \(u\) і \(v\) залежить від значення похідної \(\mathrm{d}v/\mathrm{d}k\) або \(\mathrm{d}v/\mathrm{d}\lambda\) у виразах (6.7а) і (6.7б), тобто від закону дисперсії. Зокрема, в областях нормальної дисперсії \((\mathrm{d}v/\mathrm{d}\lambda)>0\), тому групова швидкість \(u\lt{v}\) і завжди виявляється меншою за \(c\). Але в області аномальної дисперсії, де \(\mathrm{d}v/\mathrm{d}\lambda\lt{0}\), маємо \(u\gt{v}\). Через це на ділянці, де \(n\lt{1}\), виходить \(u\gt{c}\), що неможливо. Цей парадокс має наступне пояснення. Закон дисперсії в реальних середовищах не буває лінійним. З цієї причини похідна \(\mathrm{d}n/\mathrm{d}\lambda\) і величина \(u\) мають різні значення при різних \(\lambda\). Тому під груповою швидкістю (швидкістю пакета) розуміють величину (6.7а) чи (6.7б), яка відповідає центральним значенням \(k\) та \(\lambda\) і визначає рух центра пакета – точки з максимальною амплітудою коливань. Крім того, позаяк окремі гармонічні складові мають різні фазові швидкості, пакет поступово розпливається і в решті решт зникає. Така деградація («редукція») пакета відбувається тим швидше, чим більша дисперсія. Тому, взагалі, про хвильовий пакет і групову швидкість можна говорити лише при малій дисперсії, коли пакет існує достатньо довго. Але аномальна дисперсія спостерігається у вузькому інтервалі довжин хвилі і тому є дуже сильною. За таких умов поняття хвильового пакета та групової швидкості, тож і формули (6.7а) і (6.7б), втрачають зміст.

Поглинання світла. Уявлення про прозоре в усьому оптичному діапазоні середовище є абстракцією. Насправді кожна прозора речовина поглинає світло з певними довжинами хвиль, які в рідинах і твердих тілах утворюють досить широкі смуги поглинання (рис. 6.4а). Якщо смуги поглинання розташовані в ультрафіолетовій або інфрачервоній областях спектра, речовина пропускає всі довжини хвиль видимого світла і виглядає безбарвною. Але коли смуги поглинання потрапляють у певну частину видимого діапазону, при розгляданні на просвіт речовина виявляється забарвленою у доповнюючий колір. Приміром, якщо смуга поглинання даної речовини лежить у зеленій області спектра, то на просвіт вона виглядає пурпуровою (суміш червоного і синього кольорів). Окреме місце посідають одноатомні гази та пари атомарних речовин при невисокому тиску. Їхнє поглинання характеризується великою кількістю надзвичайно вузьких (\(\sim{10}^{-12}\) м) смуг, які називаються спектральними лініями, як умовно показано на рис.6.4б. Довжини хвиль та інтенсивності спектральних ліній є строго індивідуальними для кожного хімічного елемента, що дозволяє його ідентифікувати по спектрах. Так, наприклад, по спектру поглинання світла в атмосфері Сонця (сонячній короні) був відкритий хімічний елемент гелій («сонячний»).

При поглинанні частина світлової енергії переходить у внутрішню енергію речовини, тому при поширенні в речовині світловий пучок поступово послаблюється. Закон, за яким відбувається це послаблення, не важко встановити. Нехай в однорідному середовищі поширюється плоска світлова хвиля (паралельний пучок променів). Тоді спад інтенсивності \(-\mathrm{d}I\)  зумовлюється лише поглинанням і в елементарному шарі речовини є прямо пропорційним самій інтенсивності \(I\) та товщині шару \(\mathrm{d}x\):

\(-\mathrm{d}I=\varkappa\mathrm{d}x\),

де \(\varkappa\) – коефіцієнт залежний від властивостей речовини.

Це рівняння легко інтегрується методом поділу змінних:

де \(I_{0}\) – інтенсивність у точці \(x=0\), а \(I\) – інтенсивність на відстані \(x\) у напрямку поширення світла.

Вираз (6.8), який називається законом Бугера, свідчить, що інтенсивність світла в однорідному середовищі спадає експоненціально. Швидкість спадання визначається величиною

\(\varkappa=\frac{\mathrm{d}I}{I\mathrm{d}x}\),

що називається коефіцієнтом поглинання і показує, яка частка енергії поглинається даною речовиною в шарі одиничної товщини.

Зауважимо також, що у формулі (6.8) відстань \(x\) можна відраховувати від будь-якої точки \(x_0\) всередині речовини. Зокрема, якщо на пластинку товщини \(d\) з коефіцієнтом поглинання \(\varkappa\) падає плоска хвиля з інтенсивністю \(I_)\), то на виході інтенсивність буде \(I=I_{0}e^{-\varkappa{d}}\).

При поширенні в речовині не паралельних променів, скажімо променів від точкового чи лінійного джерела, закон Бугера теж виконується, але у виразі (6.8) замість інтенсивностей фігурують потоки світлової енергії:

Це пояснюється тим, що в сферичній чи циліндричній хвилі незалежно від поглинання інтенсивність спадає з відстанню від джерела через розподіл енергії випромінювання по все більшій поверхні.

Розсіювання світла. Як уже говорилося, згідно з класичною хвильовою оптикою, при поширенні світла в речовині за рахунок енергії світлової хвилі збуджуються вимушені коливання електронів у атомах. Частина цієї енергії поглинається, а решта повертається у вигляді вторинного випромінювання атомів. Але, хоча це випромінювання відбувається в усіх напрямах, в оптично однорідному середовищі ніякого «розпорошення» світлової енергії не спостерігається. Це пояснюється тим, що вторинні промені всіх напрямів, окрім напрямку падаючого променя, взаємно погашаються внаслідок інтерференції.

Інша картина спостерігається в середовищах, які містять оптичні неоднорідності. Такими, зокрема, є мутні середовища – рідини або гази із зваженими в них мікроскопічними частинками, як от задимлене повітря або вода, «підфарбована» невеликою кількістю молока. При проходженні світла в мутному середовищі на чужорідних частинках відбувається дифракція. Але через неупорядкованість розташування та хаотичний тепловий рух цих частинок дифракційні максимуми та мінімуми не утворюються, й інтенсивність дифрагованих променів майже рівномірно розподіляється по всіх напрямках. Така нерегулярна дифракція називається розсіюванням світла. Саме завдяки розсіюванню стають видимими світлові промені в мутному середовищі, як наприклад, сонячні промені в запиленому приміщенні.

Розсіювання світла спостерігається і в чистих рідинах і газах. Це пояснюється тепловим рухом молекул, тому в даному випадку говорять про молекулярне розсіювання. Через хаотичність теплового руху молекул в окремих точках виникають флуктуації – спонтанні відхилення концентрації молекул та інших характеристик середовища від середньостатистичних значень. Відповідно, створюються мікроскопічні неоднорідності, в яких показник заломлення відрізняється від середньої для всього середовища величини. На цих неоднорідностях і відбувається молекулярне розсіювання світла. Правда, цей ефект є незначним, і ми не бачимо розсіювання світла в оточуючому чистому повітрі. Але у товщі всієї атмосфери воно є помітним, через що ми й бачимо небо, а не чорноту Космосу.

Інтенсивність розсіяного світла залежить від його довжини хвилі \(\lambda\), причому по-різному при різних розмірах неоднорідностей середовища. Відтак виділяють декілька видів розсіювання, одним з яких є релеєвське розсіювання, котре спостерігається при розмірах неоднорідностей \(\sim{0,1}\lambda\) і менше. За таких умов виконується закон Релея, згідно з яким інтенсивність розсіяного світла є обернено пропорційною четвертому степеню довжини хвилі:

\(I\sim\frac{1}{\lambda^{4}}\).

Згідно із законом Релея, випромінювання із синьо-фіолетової частини спектра розсіюється сильніше, ніж із оранжево-червоної. Тому у випадку білого світла розсіяні промені є збагаченими на сині кольори, а промені, що проходять прямо, – на червоні. Цим, зокрема, пояснюється блакитний колір неба, який ми спостерігаємо, коли в око попадають розсіяні сонячні промені. Так само при сході та при заході Сонце видається червоним, бо в око потрапляють прямі промені.

Якщо розміри неоднорідностей суттєво перевищують довжину світлових хвиль, то інтенсивність розсіяного світла практично не залежить від \(\lambda\). Цим пояснюється білий колір хмар, які складаються з крапельок пари достатньо великих порівняно з \(\lambda\) розмірів.

1.  Що таке дисперсія хвиль та у чому полягає її причина?
2. Покажіть хід променя білого світла крізь трикутну призму. Чим спектр, який дає призма, відрізняється від дифракційного спектра?
3. Зобразіть типовий вигляд дисперсійної кривої \(n(\lambda)\) в широкому інтервалі довжин хвилі. Охарактеризуйте фазову швидкість світла в кожній з трьох характерних областей дисперсії.
4.  Поясніть якісно механізм дисперсії світла (електромагнітних хвиль).
5.  Що називається групою хвиль (хвильовим пакетом) та груповою швидкістю? Яким виразом визначається групова швидкість?
6.  Чому групова швидкість відрізняється від фазової? Якими співвідношеннями вони пов’язані?
7.  Як пояснити, чому на певній ділянці області аномальної дисперсії групова швидкість світла виходить більшою за граничну швидкість \(c=3\cdot{10}^8\) м/с?
8.  Запишіть закон поглинання світла в однорідному середовищі. Якщо при проходженні паралельного пучка світла крізь шар якоїсь речовини на першій третині товщини інтенсивність пучка зменшується на \(\eta\) %, то на скільки відсотків змінюється інтенсивність на останній третині товщини шару?
9.  Чому вузький промінь світла в кімнаті з чистим повітрям безпосередньо бачити на можна, а в накуреній кімнаті його добре видно?
10.  Як пояснити блакитний колір неба та білий колір хмар, який ми спостерігаємо в сонячний день?
11.  Як пояснити червоний колір сонця при сході та при заході Сонця?