ФІЗИКА ДЛЯ БАКАЛАВРІВ. ЕЛЕМЕНТИ ОПТИКИ

Загальні характеристики хвильових процесів, зокрема електромагнітних, а також і світлових хвиль, розглянуті в попередньому розділі (Лекції 4.7 і 4.9). Але для світла, на додачу, існує низка понять і величин, які пов’язані з його суб’єктивним сприйняттям.

Оптичне випромінювання. Інтервали частот n і довжин хвилі l електромагнітного випромінювання, яке ми сприймаємо як видим світло, дуже вузькі і дещо відрізняються у різних людей. Усереднено вони складають:

(Нагадаємо, що 1 ПГц = 10¹⁵ Гц,  1 мкм = 10^-6 м,  1 нм = 10^-9 м).

Суб’єктивно світло сприймається через відчуття яскравості джерела чи освітленої поверхні та через відчуття кольору. Об’єктивно яскравість та освітленість визначається інтенсивністю світлової хвилі, що потрапляє в око людини. За відчуття кольору відповідає частота світла, тож будь-якій частоті з означеного діапазону (1.1) формально відповідає  один окремий колір. Тому світло, що характеризується однією частотою, називають монохроматичним («однокольоровим»). Одразу зазначимо, що поняття монохроматичного світла відіграє важливу роль у теорії, але є ідеалізацією. Насправді в будь-якому реальному випромінюванні присутні коливання із безліччю різних частот в певному інтервали \(\Delta\nu\), який визначає спектральну ширину цього випромінювання. Тому на практиці за монохроматичне приймають випромінювання з достатньо вузькою спектральною шириною. Слід також зауважити, що око не здатне розрізняти за кольором світло з дуже близькими частотами. Тому умовно виділяють усього сім «чистих» кольорів, які в напрямку зростання частоти світла утворюють відому послідовність: червоний, жовтогарячий (оранжевий, помаранчевий), жовтий, зелений, блакитний, синій та фіолетовий. Проте завдяки досить великій роздільній здатності ока та існуванню трьох типів рецепторів кольору («колбочок») із максимальною чутливістю до різних частот людина здатна розрізняти дуже широку гаму кольорів.

Швидкість світла. Показник заломлення. Теоретично в речовині швидкість електромагнітних хвиль, тож і світла, визначається її діелектричною \(varepcilon\) та магнітною \(\mu\) проникностями (Лекція 4.9, формула (9.4)). Але через сильне загасання електромагнітних коливань у провідних середовищах прозорими для світлових хвиль є тільки діелектрики, що в переважній більшості є немагнітними речовинами (\(\mu=1\). Тому практично швидкість світла в речовині визначається формулою

де \(c=3\cdot{10}^{8}\) м/с – швидкість світла у вакуумі.

Із зміною швидкості поширення світла при переході з одного середовища в інше пов'язаний один з основних оптичних ефектів – заломлення світла. Для його описання використовують величину

яку називають показником заломлення, або оптичною густиною прозорої речовини. Відтак, швидкість світла в речовині визначається формулою

Оскільки частота \(\nu\) і період T не залежать від середовища, в якому поширюється хвиля, то зміна швидкості \(v\) при переході світла з вакууму в речовину супроводжується зміною довжини хвилі. У вакуумі довжина хвилі \(\lambda_{0}=cT\), а в середовищі \(\lambda=cT\), отож

Співвідношення (1.3) та (1.5) можна розглядати як означення показника заломлення.

Монохроматична світлова хвиля. В усякі електромагнітній, тож і світловій хвилі, напруженості електричного \(\vec{E}(\vec{r},t\) та магнітного \(\vec{H}(\vec{r},t)\) полів визначаються ідентичними рівняннями (див. Лекція 4.9, п. 9.1.2). При цьому у вакуумі та вільному (такому, що не містить відбиваючих поверхонь), ізотропному середовищі величини полів пов’язані між собою співвідношенням:

До того ж, у переважній більшості оптичних явищ роль магнітного поля є не істотною. Тому зазвичай світлову хвилю описують тільки рівнянням для електричного поля, а вектор \(\vec{E}(\vec{r},t)\) називають світловим вектором.

 Для теорії велике значення мають монохроматичні світлові хвилі – ідеальні хвилі, в яких коливання полів відбувається за законом косинуса або синуса (Лекція 4.7, п. 7.2.1). Коливання світлового вектора в такій хвилі описується рівнянням

в якому:

У випадку плоскої хвилі (Лекція 4.7, п.7.2.1) напрям поширення та амплітудний вектор \(\vec{E}_{0}\) однакові в усіх точках. Тому, спрямувавши координатну вісь у напрямку поширення, рівняння хвилі можна записати скалярно як

де \(E_{0}\) – амплітуда, а \(E(x,t)\) – проекція миттєвої напруженості електричного поля \(\vec{E}\) на напрям амплітудного вектора \(\vec{E}_{0}\).

Хвильові поверхні та промені. Фазова швидкість. У загальному випадку розподіл поля та характер поширення хвилі в просторі відображають хвильові поверхні – сукупність точок, в яких миттєва фаза хвилі \(\varphi(x,t)=const\) (Лекція 4.7 п. 7.2.4). Для плоскої хвилі (1.10) вони мають форму площин перпендикулярних до напрямку поширення хвилі як показано штриховими лініями на рис. 1.1а. Для сферичних та циліндричних хвиль, які описуються рівняннями

\(E(r,t)=\frac{a}{r}\cos(\omega{t}-kr)\)

І

\(E(r,t)=\frac{a}{\sqrt{r}}\cos(\omega{t}-kr)\),

(тут r – відстань від точки, яка знаходиться на одиничній відстані від джерела, a – амплітудний множник) хвильові поверхні мають вигляд концентричних сфер або коаксіальних циліндрів (показані штриховими лініями на рис. 1.1б).

Зображуючи на рисунку сімейство хвильових поверхонь для заданого моменту часу, можна отримати наочне уявлення про просторовий розподіл фаз, отже й величини поля хвилі в цей момент. У той же час, зображуючи положення хвильової поверхні в різні моменти, можна скласти уявлення про характер поширення хвилі  часі. Але зазвичай для цього використовують світлові промені – лінії, дотичні до яких у кожній точці збігаються з напрямом поширення хвилі в цій точці (суцільні лінії на рис. 1.1). Із наведених прикладів видно, що в кожній точці хвиля поширюється по нормалі до хвильової поверхні, що проходить через цю точку. Тобто промені та хвильові поверхні розглянутих простих хвиль є взаємно ортогональними. В ізотропних середовищах така взаємні орієнтація зберігається і для більш складних хвиль.

Хвильові поверхні з часом перемішуються в просторі із швидкістю

яка називається фазовою швидкістю.

Порівнюючи вирази (1.11) та (1.8) бачимо, що для ідеальної монохроматичної хвилі фазова швидкість збігається зі швидкістю самої хвилі, тобто швидкість переміщення фази співпадає із швидкістю поширення самих коливань та швидкстю перенесення енергії. Але така хвиля є ідеалізацією. Реальна хвиля завжди характеризуться не однією частотою, а відповідним набором састот (спектром), для кожної з яких є своя фазова швидкістью Тому поширення коливань в реальних хвиялх визначається іншою, так званою, груповою швидкістю (детальніше див. Лекція 5.6).

Інтенсивність світла. Зорові відчуття людини визначаються світловою енергією, що потрапляє в око за 1 с безпосередньо від джерела, чи після відбивання від освітленої поверхні. Ця енергія залежить від інтенсивності світлової хвилі I, а інтенсивність світла в кожній точці дорівнює енергії, що переноситься за одиницю часу через одиницю площі поперечного перерізу світлового пучка. Інтенсивність світла можна виразити через показник заломлення та амплітуду світлового вектора:

В однорідному середовищі (n = const) розподіл інтенсивностей у просторі визначається тільки амплітудою хвилі. Тому, коли не потрібно знати абсолютні величини, замість інтенсивності оперують квадратом амплітуди світлового вектора:

Зауважимо також, що завдяки співвідношенню (1.6) між полями у світловій хвилі інтенсивність можна аналогічно визначити й через амплітуду магнітного поля.

Визначальною властивістю хвиль є відбивання та заломлення – здатність ділитися на дві хвилі на межі двох різних середовищ. Одна з хвиль (відбита) не проходить, а інша (заломлена) проходить крізь межу поділу. Напрямки поширення відбитої та заломленої хвиль визначаються простими геометричним законами, що не залежать від фізичної природи хвилі. Оптиці ці закони складають основу геометричної оптики, в якій поширення світла досліджується на основі уявлення про падаючі, відбиті та заломлені промені – лінії, що вказують напрям поширення відповідних хвиль в кожній точці простору і спрямовані по нормалі до відповідної хвильової поверхні.

Напрямок падаючого, відбитого чи заломленого променя задається кутом між ним та нормаллю до межі поділу середовищ у точці падіння. Площина, в якій лежать указана нормаль і падаючий промінь називають площиною падіння. В ізотропних середовищах відбитий та заломлений промені лежать у тій самій площині, що випливає з міркувань симетрії. Таким чином,

Це твердження складає одне з основних положень геометричної оптики.

Закони відбивання і заломлення. Ці закони є основними законами геометричної оптики. Їх можна вивести із загальних законів електромагнітної теорії Максвелла. Але до них можна прийти простіше на основі відомого емпіричного принципу Гюйгенса, який спрощено можна сформулювати так:

У такий спосіб за відомими положенням фронту хвилі в даний момент часу можна побудувати його положення в наступні моменти і, відтак, прослідкувати поширення даної хвилі. Зокрема, так можна показати відомий факт прямолінійного поширення світла в однорідному середовищі, який трактується як один з основних законів геометричної оптики. Але слід зауважити, що принцип Гюйгенса не має строго фізичного обґрунтування і є лише емпіричним правилом побудови хвильових фронтів.

Виконаємо побудову Гюйгенса для світлових хвиль на плоскій межі поділу двох середовищ з показниками заломлення n₁ і n₂ і відповідним швидкостям поширення v₁ і v₂. Нехай на межу поділу під кутом \(\vartheta_1\) падає паралельний світловий пучок (плоска хвиля), обмежений променями 1 і 2 (рис. 1.2).

Позначимо кутами \(\vartheta\) і \(\vartheta^{\prime}\) напрямки відбитих та заломлених променів і відрізком AC – положення фронту падаючої хвилі на момент приходу променя 1 в точку А. Промінь 2 потрапляє в точку В пізніше на час проходження ним відстані ВС. Таку саме відстань AD = BC за цей час проходить відбитий промінь \(1^{\prime}\). Тому фронт відбитої в точці А вторинної хвилі на цей момент зобразиться півсферою з радіусом AD, а дотична до неї площина показана відрізком BD укаже положення результуючого фронту хвилі. Примітка. Ця площина є дотичною й до безлічі подібних сфер меншого радіуса, що зображують хвильові поверхні вторинних хвиль відбитих від інших точок ділянки А-В межі поділу середовищ, на яку падає світловий пучок. Тож відрізок \(\mathrm{AD}\perp\mathrm{BD}\) визначає напрям відбитого променя \(1^{\prime}\). Оскільки AD = BC, то DABC = DABD. Звідси, як можна зрозуміти з рис. 1.2, випливає закон відбивання світла:

A саме:

Аналогічною побудовою можна встановити і напрям поширення заломленої хвилі. Падаючий промінь 2 потрапляє на поверхню поділу середовищ пізніше, ніж промінь 1 на час \(\tau=\mathrm{BC}/v_{1}\). За цей час вторинна хвиля від точки А пошириться в другому середовищі на відстань AF так, що

Площина (показані відрізком BF), що проходить через точку В і є дотичною до сфери радіуса AF, визначає фронт заломленої хвилі, а перпендикуляр AF до нього – напрям заломлених променів. Урахувавши, що в прямокутних трикутниках DABC і DABF катети BC = AB\(\sin\vartheta_1\) і AF = AB\(sin\vartheta_2\) і що \(v=c/n\), із співвідношення (1.14) отримаємо закон заломлення:

Отже, як саме явище заломлення, так і зв'язок між напрямками поширення світлових хвиль у двох середовищах зумовлені відмінністю оптичних густин, тобто швидкостей світла в даних середовищах.

Граничний кут. Із співвідношень (1.15) випливає, що коли \(\vartheta_1=0\), то й \(\vartheta_2=0\), тобто при нормальному падінні променя на межу поділу ізотропних середовищ заломлення в буквальному розумінні немає. Істотно також, що при косому падінні напрям відхилення заломленого променя залежить від співвідношення показників заломлення середовищ.

Коли світло переходить в оптично більш густу речовину (n₁ > n₂), то згідно з (1.19) \(\vartheta_1<\vartheta_2\) і заломлений промінь відхиляється до нормалі (рис. 1.3а). Якщо ж світло падає на межу поділу із більш густого середовища (n₁ > n₂), то \(\vartheta_2>\vartheta_1\) і заломлений промінь відхиляється до поверхні поділу середовищ (рис. 1.3.б). У цьому випадку при певні величині кута падіння \(\vartheta_{1}=\vartheta_{гр}\) кут заломлення набуває максимального можливого значення \(\vartheta_2=90^{\circ}\). Величина \(\vartheta_{гр}\) називається граничним кутом (інакше – критичним кутом) для пари середовищ і визначається з (1.15) як

Як свідчить теорія та експеримент, при збільшенні кута падіння, за будь-яких умов, інтенсивність відбитого променя весь час збільшується, а заломленого – зменшується. При чому, у впадку n₁ > n₂, коли кут падіння наближається до значення \(\vartheta_1=\vartheta_{гр}\), інтенсивність заломленого променя зменшується до нуля. Тому при кутах падіння \(\vartheta\ge\vartheta_{гр}\) енергія падаючого променя повністю відбивається від межі поділу двох прозорих речовин як від ідеального дзеркала. Це явще носить назву повного внутрішнього відбивання. Воно спостерігається у природі і широко використовується в техніці. Достатньо згадати сліпучий виблиск крапель роси на сонці або широке застосування оптичних кабелів у системах телекомунікації.

Нагадаємо ще раз, що повне внутрішнє відбивання при падінні світла із середовища з показником заломлення n₁ намежу поділу із середовищем n₂ спостерігається при одночасному виконанні двох умов:

При проходженні світлової хвилі крізь межу поділу прозорих середовищ її енергія розподіляється між відбитою та заломленою хвилями. Тому поверхня поділу двох різних середовищ характеризується відповідними коефіцієнтами відбивання та пропускання (прозорістю).

Указані коефіцієнти можна визначити теоретично із законів електродинаміки за допомогою умов на межі (див. Лекція 3.4, п. 4.4). Ці умови встановлюють зв'язок між векторами електричного \(\vec{E}_{1},\,\vec{E}_{2}\) і магнітного \(\vec{H}_{1},\,\vec{H}_2\) полів на межі поділу двох ізотропних речовин і мають вигляд:

де індекси \(n\) і \(\tau\) відносять, відповідно, до нормальних та тангенціальних (дотичних до межі поділу) проекцій векторів; \(\varepsilon\) і \(\mu\) – діелектричні та магнітні проникності середовищ. Ці співвідношення показують, що на межі поділу змінюються тільки нормальні складові векторів, тож і їхні напрямки. При переході з одного середовища в інше змінюється і напрям поширення хвилі, тобто відбувається її заломлення.

З умов (1.18) можна визначити відносні інтенсивності та потоки енергії відбитої та заломленої хвиль, відтак і коефіцієнти відбивання та пропускання світла на поверхні поділу середовищ при будь-яких кутах падіння променів. Але обмежимося тільки випадком, коли паралельний пучок промені (плоска хвиля) падає на межі поділу по нормалі. Позаяк світлова хвиля є поперечною, то в цьому випадку нормальні складові полів відсутні і модулі тангенціальних проєкцій дорівнюють модулям самих векторів. Тоді умова (1.18) набуде вигляду:

\(E_{1}=E_2\),    \(H_1=H_2\),

де задля зручності опущені індекси тангенціальних проекцій.

Розглянемо ці умови детальніше. Електромагнітне поле в першому середовищі є суперпозицією полів падаючої (\(\vec{E},\,\vec{H}\)) і відбитої (\(\vec{E}^{\prime},\,\vec{H}^{\prime}\)) хвиль:

а в другому – то є поле заломленої хвилі (\(\vec{E}^{\prime\prime}\),  \(\vec{H}^{\prime\prime}\)):

При записі умов (1.18а), (1.18б) у скалярному вигляді треба врахувати, що в електромагнітній хвилі напрямки векторів жорстко узгоджені між собою. В саме, в послідовності \(\vec{E},\vec{H},\vec{k}\)  та при циклічних перестановках ці вектори завжди утворюють праву трійку, тобто при повороті правого гвинта від першого вектора до другого гвинт буде вкручуватися в напрямку третього вектора. Тому зміна напрямку поширення хвилі (напрямку вектора \(\vec{k}\)) при відбиванні автоматично тягне за собою відповідні зміну напрямку одного з векторів полів.

Справді, уявімо, що при відбиванні світловий вектор \(\vec{E}^{\prime}\) не змінив напрям як показано на рис. 1.4а. Тоді вектор \(\vec{H}^{\prime}\) обов’язково змінить напрям на протилежний. Це означає зміну фази коливань магнітного поля в точці відбивання на протилежну. Так само, якщо не змінюється напрям магнітного вектора, то обов’язково «перекидається» електричний вектор (рис. 1.4б). Тому, якщо прийняти для визначеності ситуацію рис. 1.6б, то умови (1.18а) в скалярному вигляді запишуться як

Урахувавши, що в прозорих для світла речовинах \(\mu=1\) і \(\sqrt{\varepsilon}=n\), і перейшовши від магнітного поля до електричного на основі співвідношення (1.7), отримаємо систему рівнянь:

з якої можна визначити тангенціальні складові світлового вектора відбитої та заломленої хвиль: 

Таким чином, напруженість електричного та магнітного полів у відбитій та заломленій хвилях визначаються тільки їхніми показниками заломлення (при косому падінні променів вони залежать ще й від кута падіння). Зокрема, для речовин з близькими показниками заломлення \(E^{\prime}\approx{0}\), \(E^{\prime\prime}\approx{E}\) і межа поділу є практично невидимою. З формул (1.19) також випливає, що знаки \(E^{\prime\prime}\) і E завжди збігаються. Відповідно, в падаючій заломленій хвилях у точці падіння напрямки полів \(\vec{E}^{\prime\prime}\),  \(\vec{E}\), і фази коливань однакові. Що ж до відбитої хвилі, то напрям поля \(\vec{E}^{\prime}\) залежить від співвідношення показників заломлення: при n₁ > n₂ він збігається з напрямком \(\vec{E}\), а при n₁ < n₂ – є протилежним. Отже:

При поширенні хвилі фаза змінюється на \(\pi\) на шляху \(\lambda/2\). Тому описане «перекидання» фази називають втратою півхвилі на межі поділу двох середовищ. Цей ефект істотно впливає на формування поля світлової хвилі в зоні відбивання і має враховуватися у відповідних задачах оптики.

Вирази (1.19) дозволяють визначити розподіл енергії  у відбитій та заломленій хвилях. Цей розподіл визначається коефіцієнтами відбивання \(\rho\) та пропускання r («прозорістю»), які дорівнюють відношенню потоків енергії у відбитій \(\Phi^{\prime}\) та заломленій \(\Phi^{\prime\prime}\) хвилях до потоку енергії \(\Phi\) у падаючій хвилі:

\(\rho=\frac{\Phi^{\prime}}{\Phi}\),     \(r=\frac{\Phi^{\prime\prime}}{\Phi}\).

У паралельному пучку променів з площею поперечного перерізу S потік енергії \(\Phi=IS\), де I – інтенсивність світла. При нормальному падінні площі поперечного перерізу падаючого, відбитого та заломленого променів однакова, тому

\(\rho=\frac{I^{\prime}}{I}\),    \(r=\frac{I^{\prime\prime}}{I}\).

Відтак, урахувавши вирази (1.16) та (1.19), отримаємо

Ці формули дають \(\rho+r=1\), як того й вимагає закон збереження енергії.

Показники  заломлення більшості прозорих речовин \(n\le{2}\), тому величина \(\rho\) є малою, а r – близькою до одиниці. Приміром, при падінні світла з повітря (n₁ = 1) на поверхню води (n₂ = 1,33) або скла (n₂ = 1,5) величина \(\rho\), згідно з (1.20), складає 2 % та 4 %. Проте в оптичних приладах, наприклад, складних об’єктивах, де багато світлові пучки на своєму шляху стрічають багато поверхонь поділу, сумарні втрати на відбивання можуть скласти значну частину падаючої світлової енергії. Тому в оптичному приладобудуванні використовують спеціальні технології для зменшення таких утрат.