ФІЗИКА ДЛЯ БАКАЛАВРІВ. ЕЛЕМЕНТИ ОПТИКИ
Site: | physics.zfftt.kpi.ua |
Course: | physics.zfftt.kpi.ua |
Book: | ФІЗИКА ДЛЯ БАКАЛАВРІВ. ЕЛЕМЕНТИ ОПТИКИ |
Printed by: | |
Date: | Saturday, 15 February 2025, 9:09 PM |
Table of contents
ВСТУП
Оптика – це розділ фізики, в якому вивчаються властивості світла та його взаємодія з речовиною. А світлом називають електромагнітне випромінювання, що здатне створювати в оці людини та інших істот зорове відчуття.
Електромагнітну природу світла відкрив Максвелл, який теоретично встановив, що швидкість світла у вакуумі збігається із швидкістю поширення електромагнітних хвиль. Відтак закони електродинаміки лягли в основу фізичної оптики і дозволили отримати вичерпне пояснення багатьох хвильових оптичних явищ, зокрема тих, що розглядаються в наступних лекціях. Але відразу зауважимо, що існують і так звані квантові оптичні явища, в яких світло виявляє властивості не хвиль, а частинок (див. Розділ 6). Далі розглядаються такі питання:
Лекція 5.1. Відбивання і заломлення світла
Лекція 5.2. Інтерференція світла
Лекція 5.3. Спостереження інтерференції світла
Лекція 5.1. ВІДБИВАННЯ ТА ЗАЛОМЛЕННЯ СВІТЛА
Нижче будуть розглянуті такі питання
1.СВІТЛОВІ ХВИЛІ
Загальні характеристики хвильових процесів, зокрема електромагнітних, а також і світлових хвиль, розглянуті в попередньому розділі (Лекції 4.7 і 4.9). Але для світла, на додачу, існує низка понять і величин, які пов’язані з його суб’єктивним сприйняттям.
Оптичне випромінювання. Інтервали частот n і довжин хвилі l електромагнітного випромінювання, яке ми сприймаємо як видим світло, дуже вузькі і дещо відрізняються у різних людей. Усереднено вони складають:
|
\(\nu=(0,75\div{0,4})\) ПГц, |
(1.1) |
|
\(\lambda=(0,4\div{0,75})\) мкм = \((400\div{750})\) нм. |
(Нагадаємо, що 1 ПГц = 1015 Гц, 1 мкм = 10-6 м, 1 нм = 10-9 м).
Суб’єктивно світло сприймається через відчуття яскравості джерела чи освітленої поверхні та через відчуття кольору. Об’єктивно яскравість та освітленість визначається інтенсивністю світлової хвилі, що потрапляє в око людини. За відчуття кольору відповідає частота світла, тож будь-якій частоті з означеного діапазону (1.1) формально відповідає один окремий колір. Тому світло, що характеризується однією частотою, називають монохроматичним («однокольоровим»). Одразу зазначимо, що поняття монохроматичного світла відіграє важливу роль у теорії, але є ідеалізацією. Насправді в будь-якому реальному випромінюванні присутні коливання із безліччю різних частот в певному інтервали \(\Delta\nu\), який визначає спектральну ширину цього випромінювання. Тому на практиці за монохроматичне приймають випромінювання з достатньо вузькою спектральною шириною. Слід також зауважити, що око не здатне розрізняти за кольором світло з дуже близькими частотами. Тому умовно виділяють усього сім «чистих» кольорів, які в напрямку зростання частоти світла утворюють відому послідовність: червоний, жовтогарячий (оранжевий, помаранчевий), жовтий, зелений, блакитний, синій та фіолетовий. Проте завдяки досить великій роздільній здатності ока та існуванню трьох типів рецепторів кольору («колбочок») із максимальною чутливістю до різних частот людина здатна розрізняти дуже широку гаму кольорів.
Швидкість світла. Показник заломлення. Теоретично в речовині швидкість електромагнітних хвиль, тож і світла, визначається її діелектричною \(varepcilon\) та магнітною \(\mu\) проникностями (Лекція 4.9, формула (9.4)). Але через сильне загасання електромагнітних коливань у провідних середовищах прозорими для світлових хвиль є тільки діелектрики, що в переважній більшості є немагнітними речовинами (\(\mu=1\). Тому практично швидкість світла в речовині визначається формулою
|
\(v=\frac{c}{\sqrt{\varepsilon}}\), |
(1.2) |
де \(c=3\cdot{10}^{8}\) м/с – швидкість світла у вакуумі.
Із зміною швидкості поширення світла при переході з одного середовища в інше пов'язаний один з основних оптичних ефектів – заломлення світла. Для його описання використовують величину
|
\(n=\sqrt{\varepsilon}=\frac{c}{v}\), |
(1.3) |
яку називають показником заломлення, або оптичною густиною прозорої речовини. Відтак, швидкість світла в речовині визначається формулою
|
\(v=\frac{c}{n}\). |
(1.4) |
Оскільки частота \(\nu\) і період T не залежать від середовища, в якому поширюється хвиля, то зміна швидкості \(v\) при переході світла з вакууму в речовину супроводжується зміною довжини хвилі. У вакуумі довжина хвилі \(\lambda_{0}=cT\), а в середовищі \(\lambda=cT\), отож
|
\(\lambda=\frac{\lambda_0}{n}\) і \(n=\frac{\lambda_0}{\lambda}\). |
(1.5) |
Співвідношення (1.3) та (1.5) можна розглядати як означення показника заломлення.
Монохроматична світлова хвиля. В усякі електромагнітній, тож і світловій хвилі, напруженості електричного \(\vec{E}(\vec{r},t\) та магнітного \(\vec{H}(\vec{r},t)\) полів визначаються ідентичними рівняннями (див. Лекція 4.9, п. 9.1.2). При цьому у вакуумі та вільному (такому, що не містить відбиваючих поверхонь), ізотропному середовищі величини полів пов’язані між собою співвідношенням:
|
\(\sqrt{\varepsilon_{0}\varepsilon}E(r,t)=\sqrt{\mu_{0}\mu}H(r,t) \). |
(1.6) |
До того ж, у переважній більшості оптичних явищ роль магнітного поля є не істотною. Тому зазвичай світлову хвилю описують тільки рівнянням для електричного поля, а вектор \(\vec{E}(\vec{r},t)\) називають світловим вектором.
Для теорії велике значення мають монохроматичні світлові хвилі – ідеальні хвилі, в яких коливання полів відбувається за законом косинуса або синуса (Лекція 4.7, п. 7.2.1). Коливання світлового вектора в такій хвилі описується рівнянням
|
\(\vec{E}(\vec{r},t)=\vec{E}_{0}\cos(\omega{t}-\vec{k}\cdot\vec{r}+\varphi_{0})\), |
(1.7) |
в якому:
|
- вектор \(\vec{E}_{0}\) визначає амплітуду E0 і напрям коливань напруженості електричного поля хвилі; |
||
|
- колова частота \(\omega\) (рад/с) (або лінійна частота \(\nu=\omega/2\pi\) (Гц), чи період \(T=1/\nu=2\pi/\omega\)) визначає часову циклічність змін поля хвилі в заданій точці простору; |
||
|
- поточна фаза \(\varphi(x,t)=\omega{t}-\vec{k}\cdot\vec{r}+\varphi_{0}\) визначає стан поля хвилі в будь-яку мит і в в будь-які точці; відповідно, початкова фаза визначає фазу в точці \(\vec{r}=0\) у момент часу t = 0; |
||
|
- [хвильовий вектор \(\vec{k}\) визначається виразом |
||
|
де \(v\) – величина швидкості, \(\vec{n}\) – одиничний вектор (орт) напрямку поширення хвилі в даній точці. Модуль хвильового вектора називають хвильовим числом; |
||
|
- довжина хвилі \(\lambda\) дорівнює найменшій відстані у напрямку поширення, на якій повторюється стан поля хвилів заданий момент часу; довжина хвилі є її просторовим періодом і дорівнює відстані, на яку поширюється хвиля за ча одного періоду коливань поля;
|
У випадку плоскої хвилі (Лекція 4.7, п.7.2.1) напрям поширення та амплітудний вектор \(\vec{E}_{0}\) однакові в усіх точках. Тому, спрямувавши координатну вісь у напрямку поширення, рівняння хвилі можна записати скалярно як
|
\(E(x,t)=E_{0}\cos(\omega{t}-kx+\varphi_{0})\), |
(1.10) |
де \(E_{0}\) – амплітуда, а \(E(x,t)\) – проекція миттєвої напруженості електричного поля \(\vec{E}\) на напрям амплітудного вектора \(\vec{E}_{0}\).
Хвильові поверхні та промені. Фазова швидкість. У загальному випадку розподіл поля та характер поширення хвилі в просторі відображають хвильові поверхні – сукупність точок, в яких миттєва фаза хвилі \(\varphi(x,t)=const\) (Лекція 4.7 п. 7.2.4). Для плоскої хвилі (1.10) вони мають форму площин перпендикулярних до напрямку поширення хвилі як показано штриховими лініями на рис. 1.1а. Для сферичних та циліндричних хвиль, які описуються рівняннями
\(E(r,t)=\frac{a}{r}\cos(\omega{t}-kr)\)
і
\(E(r,t)=\frac{a}{\sqrt{r}}\cos(\omega{t}-kr)\),
(тут r – відстань від точки, яка знаходиться на одиничній відстані від джерела, a – амплітудний множник) хвильові поверхні мають вигляд концентричних сфер або коаксіальних циліндрів (показані штриховими лініями на рис. 1.1б).
Зображуючи на рисунку сімейство хвильових поверхонь для заданого моменту часу, можна отримати наочне уявлення про просторовий розподіл фаз, отже й величини поля хвилі в цей момент. У той же час, зображуючи положення хвильової поверхні в різні моменти, можна скласти уявлення про характер поширення хвилі часі. Але зазвичай для цього використовують світлові промені – лінії, дотичні до яких у кожній точці збігаються з напрямом поширення хвилі в цій точці (суцільні лінії на рис. 1.1). Із наведених прикладів видно, що в кожній точці хвиля поширюється по нормалі до хвильової поверхні, що проходить через цю точку. Тобто промені та хвильові поверхні розглянутих простих хвиль є взаємно ортогональними. В ізотропних середовищах така взаємні орієнтація зберігається і для більш складних хвиль.
Хвильові поверхні з часом перемішуються в просторі із швидкістю
|
\(v=\frac{\omega}{k}\), |
(1.11) |
яка називається фазовою швидкістю.
Порівнюючи вирази (1.11) та (1.8) бачимо, що для ідеальної монохроматичної хвилі фазова швидкість збігається зі швидкістю самої хвилі, тобто швидкість переміщення фази співпадає із швидкістю поширення самих коливань та швидкстю перенесення енергії. Але така хвиля є ідеалізацією. Реальна хвиля завжди характеризуться не однією частотою, а відповідним набором састот (спектром), для кожної з яких є своя фазова швидкістью Тому поширення коливань в реальних хвиялх визначається іншою, так званою, груповою швидкістю (детальніше див. Лекція 5.6).
Інтенсивність світла. Зорові відчуття людини визначаються світловою енергією, що потрапляє в око за 1 с безпосередньо від джерела, чи після відбивання від освітленої поверхні. Ця енергія залежить від інтенсивності світлової хвилі I, а інтенсивність світла в кожній точці дорівнює енергії, що переноситься за одиницю часу через одиницю площі поперечного перерізу світлового пучка. Інтенсивність світла можна виразити через показник заломлення та амплітуду світлового вектора:
|
\(I=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{\varepsilon_0}{\mu_0}}nE_{0}^{2}\) \(\Rightarrow\) \(I~nE_{0}^{2}\). |
(1.12) |
В однорідному середовищі (n = const) розподіл інтенсивностей у просторі визначається тільки амплітудою хвилі. Тому, коли не потрібно знати абсолютні величини, замість інтенсивності оперують квадратом амплітуди світлового вектора:
|
\(I\thicksim{E}_{0}^{2}\). |
(1.12а) |
Зауважимо також, що завдяки співвідношенню (1.6) між полями у світловій хвилі інтенсивність можна аналогічно визначити й через амплітуду магнітного поля.
2. СВІТЛОВІ ХВИЛІ НА МЕЖІ ПОДІЛУ СЕРЕДОВИЩ. ВІДБИВАННЯ ТА ЗАЛОМЛЕННЯ
Визначальною властивістю хвиль є відбивання та заломлення – здатність ділитися на дві хвилі на межі двох різних середовищ. Одна з хвиль (відбита) не проходить, а інша (заломлена) проходить крізь межу поділу. Напрямки поширення відбитої та заломленої хвиль визначаються простими геометричним законами, що не залежать від фізичної природи хвилі. Оптиці ці закони складають основу геометричної оптики, в якій поширення світла досліджується на основі уявлення про падаючі, відбиті та заломлені промені – лінії, що вказують напрям поширення відповідних хвиль в кожній точці простору і спрямовані по нормалі до відповідної хвильової поверхні.
Напрямок падаючого, відбитого чи заломленого променя задається кутом між ним та нормаллю до межі поділу середовищ у точці падіння. Площина, в якій лежать указана нормаль і падаючий промінь називають площиною падіння. В ізотропних середовищах відбитий та заломлений промені лежать у тій самій площині, що випливає з міркувань симетрії. Таким чином,
в ізотропних середовищах падаючий, відбитий та заломлений промені лежать в одній площині – площині падіння. |
Це твердження складає одне з основних положень геометричної оптики.
Закони відбивання і заломлення. Ці закони є основними законами геометричної оптики. Їх можна вивести із загальних законів електромагнітної теорії Максвелла. Але до них можна прийти простіше на основі відомого емпіричного принципу Гюйгенса, який спрощено можна сформулювати так:
точки, до яких на дану мить дійшла хвиля (точки фронту хвилі), можна вважати джерелами сферичних вторинних хвиль; положення фронту хвилі, що розглядається, в наступний момент часу визначається обвідною елементарних хвильових поверхонь всіх вторинних хвиль у цей момент. |
У такий спосіб за відомими положенням фронту хвилі в даний момент часу можна побудувати його положення в наступні моменти і, відтак, прослідкувати поширення даної хвилі. Зокрема, так можна показати відомий факт прямолінійного поширення світла в однорідному середовищі, який трактується як один з основних законів геометричної оптики. Але слід зауважити, що принцип Гюйгенса не має строго фізичного обґрунтування і є лише емпіричним правилом побудови хвильових фронтів.
Виконаємо побудову Гюйгенса для світлових хвиль на плоскій межі поділу двох середовищ з показниками заломлення \(n_1\) і \n_2\)і відповідним швидкостям поширення \(v_1\) і \(v_2\). Нехай на межу поділу під кутом \(\vartheta_1\) падає паралельний світловий пучок (плоска хвиля), обмежений променями 1 і 2 (рис. 1.2).
Позначимо кутами \(\vartheta\) і \(\vartheta^{\prime}\) напрямки відбитих та заломлених променів і відрізком AC – положення фронту падаючої хвилі на момент приходу променя 1 в точку А. Промінь 2 потрапляє в точку В пізніше на час проходження ним відстані ВС. Таку саме відстань AD = BC за цей час проходить відбитий промінь \(1^{\prime}\). Тому фронт відбитої в точці А вторинної хвилі на цей момент зобразиться півсферою з радіусом AD, а дотична до неї площина показана відрізком BD укаже положення результуючого фронту хвилі. Примітка. Ця площина є дотичною й до безлічі подібних сфер меншого радіуса, що зображують хвильові поверхні вторинних хвиль відбитих від інших точок ділянки А-В межі поділу середовищ, на яку падає світловий пучок. Тож відрізок \(\mathrm{AD}\perp\mathrm{BD}\) визначає напрям відбитого променя \(1^{\prime}\). Оскільки AD = BC, то DABC = DABD. Звідси, як можна зрозуміти з рис. 1.2, випливає закон відбивання світла:
|
\(\vartheta^{\prime}=\vartheta\). |
(1.13) |
A саме:
|
кут відбивання дорівнює кутові падіння. |
|
Аналогічною побудовою можна встановити і напрям поширення заломленої хвилі. Падаючий промінь 2 потрапляє на поверхню поділу середовищ пізніше, ніж промінь 1 на час \(\tau=\mathrm{BC}/v_{1}\). За цей час вторинна хвиля від точки А пошириться в другому середовищі на відстань AF так, що
|
\(\mathrm{AF}=v_{2}\tau=\mathrm{BC}\cdot\frac{v_2}{v_1}\) \(\Rightarrow\) \(\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{AF}=\frac{v_1}{v_2}}\). |
(1.14) |
Площина (показані відрізком BF), що проходить через точку В і є дотичною до сфери радіуса AF, визначає фронт заломленої хвилі, а перпендикуляр AF до нього – напрям заломлених променів. Урахувавши, що в прямокутних трикутниках DABC і DABF катети BC = AB\(\sin\vartheta_1\) і AF = AB\(sin\vartheta_2\) і що \(v=c/n\), із співвідношення (1.14) отримаємо закон заломлення:
|
\(\frac{\sin\vartheta_1}{\sin\vartheta_2}=\frac{n_2}{n_1}\) або \(n_1\sin\vartheta_1=n_2\sin\vartheta_2\) |
(1.15) |
|
при переході променя через межу поділу двох середовищ відношення синусів кутів падіння та заломлення дорівнює оберненому відношенню показників заломлення цих середовищ. |
|
Отже, як саме явище заломлення, так і зв'язок між напрямками поширення світлових хвиль у двох середовищах зумовлені відмінністю оптичних густин, тобто швидкостей світла в даних середовищах.
Граничний кут. Із співвідношень (1.15) випливає, що коли \(\vartheta_1=0\), то й \(\vartheta_2=0\), тобто при нормальному падінні променя на межу поділу ізотропних середовищ заломлення в буквальному розумінні немає. Істотно також, що при косому падінні напрям відхилення заломленого променя залежить від співвідношення показників заломлення середовищ.
Коли світло переходить в оптично більш густу речовину (n1 > n2), то згідно з (1.19) \(\vartheta_1<\vartheta_2\) і заломлений промінь відхиляється до нормалі (рис. 1.3а). Якщо ж світло падає на межу поділу із більш густого середовища (n1 > n2), то \(\vartheta_2>\vartheta_1\) і заломлений промінь відхиляється до поверхні поділу середовищ (рис. 1.3.б). У цьому випадку при певні величині кута падіння \(\vartheta_{1}=\vartheta_{гр}\) кут заломлення набуває максимального можливого значення \(\vartheta_2=90^{\circ}\). Величина \(\vartheta_{гр}\) називається граничним кутом (інакше – критичним кутом) для пари середовищ і визначається з (1.15) як
|
\(\sin\vartheta_{гр}=\frac{n_2}{n_1}\) \(\Rightarrow\) \(\vartheta_{гр}=\mathrm{arcsin}\left(\frac{n_2}{n_1}\right)\), (n1 > n2). |
(1.16) |
Як свідчить теорія та експеримент, при збільшенні кута падіння, за будь-яких умов, інтенсивність відбитого променя весь час збільшується, а заломленого – зменшується. При чому, у впадку \(n_1\gt{n}_2\), коли кут падіння наближається до значення \(\vartheta_1=\vartheta_{гр}\), інтенсивність заломленого променя зменшується до нуля. Тому при кутах падіння \(\vartheta\ge\vartheta_{гр}\) енергія падаючого променя повністю відбивається від межі поділу двох прозорих речовин як від ідеального дзеркала. Це явще носить назву повного внутрішнього відбивання. Воно спостерігається у природі і широко використовується в техніці. Достатньо згадати сліпучий виблиск крапель роси на сонці або широке застосування оптичних кабелів у системах телекомунікації.
Нагадаємо ще раз, що повне внутрішнє відбивання при падінні світла із середовища з показником заломлення n1 намежу поділу із середовищем n2 спостерігається при одночасному виконанні двох умов:
|
\(n_1>n_2\) і \(\vartheta_{1}\ge\vartheta_{гр}\). |
(1.17) |
3. АМПЛІТУДИ І ФАЗИ ВІДБИТОЇ ТА ЗАЛОМЛЕНОЇ ХВИЛЬ
При проходженні світлової хвилі крізь межу поділу прозорих середовищ її енергія розподіляється між відбитою та заломленою хвилями. Тому поверхня поділу двох різних середовищ характеризується відповідними коефіцієнтами відбивання та пропускання (прозорістю).
Указані коефіцієнти можна визначити теоретично із законів електродинаміки за допомогою умов на межі (див. Лекція 3.4, п. 4.4). Ці умови встановлюють зв'язок між векторами електричного \(\vec{E}_{1},\,\vec{E}_{2}\) і магнітного \(\vec{H}_{1},\,\vec{H}_2\) полів на межі поділу двох ізотропних речовин і мають вигляд:
|
\(\varepsilon_{1}E_{1n}=\varepsilon_{2}E_{2n}\), \(E_{1\tau}= E_{1\tau}\); |
(1.18) |
|
\(\mu_{1}H_{1n}=\mu_{2}H_{2n}\), \(H_{1\tau}= H_{1\tau}\), |
де індекси \(n\) і \(\tau\) відносять, відповідно, до нормальних та тангенціальних (дотичних до межі поділу) проекцій векторів; \(\varepsilon\) і \(\mu\) – діелектричні та магнітні проникності середовищ. Ці співвідношення показують, що на межі поділу змінюються тільки нормальні складові векторів, тож і їхні напрямки. При переході з одного середовища в інше змінюється і напрям поширення хвилі, тобто відбувається її заломлення.
З умов (1.18) можна визначити відносні інтенсивності та потоки енергії відбитої та заломленої хвиль, відтак і коефіцієнти відбивання та пропускання світла на поверхні поділу середовищ при будь-яких кутах падіння променів. Але обмежимося тільки випадком, коли паралельний пучок промені (плоска хвиля) падає на межі поділу по нормалі. Позаяк світлова хвиля є поперечною, то в цьому випадку нормальні складові полів відсутні і модулі тангенціальних проєкцій дорівнюють модулям самих векторів. Тоді умова (1.18) набуде вигляду:
\(E_{1}=E_2\), \(H_1=H_2\),
де задля зручності опущені індекси тангенціальних проекцій.
Розглянемо ці умови детальніше. Електромагнітне поле в першому середовищі є суперпозицією полів падаючої (\(\vec{E},\,\vec{H}\)) і відбитої (\(\vec{E}^{\prime},\,\vec{H}^{\prime}\)) хвиль:
|
\(\vec{E}_1=\vec{E}+\vec{E}^{\prime}\), |
(1.18а) |
|
\(\vec{H}_1=\vec{H}+\vec{H}^{\prime}\), |
а в другому – то є поле заломленої хвилі (\(\vec{E}^{\prime\prime}\), \(\vec{H}^{\prime\prime}\)):
|
\(\vec{E}_2=\vec{E}^{\prime\prime}\), |
(1.18б) |
|
\(\vec{H}_2=\vec{H}^{\prime\prime}\). |
При записі умов (1.18а), (1.18б) у скалярному вигляді треба врахувати, що в електромагнітній хвилі напрямки векторів жорстко узгоджені між собою. В саме, в послідовності \(\vec{E},\vec{H},\vec{k}\) та при циклічних перестановках ці вектори завжди утворюють праву трійку, тобто при повороті правого гвинта від першого вектора до другого гвинт буде вкручуватися в напрямку третього вектора. Тому зміна напрямку поширення хвилі (напрямку вектора \(\vec{k}\)) при відбиванні автоматично тягне за собою відповідні зміну напрямку одного з векторів полів.
Справді, уявімо, що при відбиванні світловий вектор \(\vec{E}^{\prime}\) не змінив напрям як показано на рис. 1.4а. Тоді вектор \(\vec{H}^{\prime}\) обов’язково змінить напрям на протилежний. Це означає зміну фази коливань магнітного поля в точці відбивання на протилежну. Так само, якщо не змінюється напрям магнітного вектора, то обов’язково «перекидається» електричний вектор (рис. 1.4б). Тому, якщо прийняти для визначеності ситуацію рис. 1.6б, то умови (1.18а) в скалярному вигляді запишуться як
|
\(E+E^{\prime}=E^{\prime\prime}\), |
(1.18б) |
|
\(H-H^{\prime}=H^{\prime\prime}\). |
Урахувавши, що в прозорих для світла речовинах \(\mu=1\) і \(\sqrt{\varepsilon}=n\), і перейшовши від магнітного поля до електричного на основі співвідношення (1.7), отримаємо систему рівнянь:
\({} \begin{cases} E+E^{\prime}=E^{\prime\prime}\\n_{1}E-n_{1}E^{\prime}=n_{2}E^{\prime\prime},\end{cases}\) |
з якої можна визначити тангенціальні складові світлового вектора відбитої та заломленої хвиль:
|
\(E^{\prime}=\frac{n_1-n_2}{n_1+n_2}E;\) \(E^{\prime\prime}=\frac{2n_1}{n_{1}+n_{2}}\). |
(1.19) |
Таким чином, напруженість електричного та магнітного полів у відбитій та заломленій хвилях визначаються тільки їхніми показниками заломлення (при косому падінні променів вони залежать ще й від кута падіння). Зокрема, для речовин з близькими показниками заломлення \(E^{\prime}\approx{0}\), \(E^{\prime\prime}\approx{E}\) і межа поділу є практично невидимою. З формул (1.19) також випливає, що знаки \(E^{\prime\prime}\) і E завжди збігаються. Відповідно, в падаючій заломленій хвилях у точці падіння напрямки полів \(\vec{E}^{\prime\prime}\), \(\vec{E}\), і фази коливань однакові. Що ж до відбитої хвилі, то напрям поля \(\vec{E}^{\prime}\) залежить від співвідношення показників заломлення: при n1 > n2 він збігається з напрямком \(\vec{E}\), а при n1 < n2 – є протилежним. Отже:
в точці відбивання світла від оптично менш густого середовища (n2 > n1) фаза світлового вектора \(\vec{E}\) не змінюється, в той час як фаза магнітного вектора \(\vec{H}\) змінюється на \(\pi\). Натомість при відбиванні від більш густого середовища (n1 < n2) не змінюється фаза магнітного вектора \(\vec{H}\), а фаза світлового вектора \(\vec{E}\) змінюється на \(\pi\). |
При поширенні хвилі фаза змінюється на \(\pi\) на шляху \(\lambda/2\). Тому описане «перекидання» фази називають втратою півхвилі на межі поділу двох середовищ. Цей ефект істотно впливає на формування поля світлової хвилі в зоні відбивання і має враховуватися у відповідних задачах оптики.
Вирази (1.19) дозволяють визначити розподіл енергії у відбитій та заломленій хвилях. Цей розподіл визначається коефіцієнтами відбивання \(\rho\) та пропускання r («прозорістю»), які дорівнюють відношенню потоків енергії у відбитій \(\Phi^{\prime}\) та заломленій \(\Phi^{\prime\prime}\) хвилях до потоку енергії \(\Phi\) у падаючій хвилі:
\(\rho=\frac{\Phi^{\prime}}{\Phi}\), \(r=\frac{\Phi^{\prime\prime}}{\Phi}\).
У паралельному пучку променів з площею поперечного перерізу S потік енергії \(\Phi=IS\), де I – інтенсивність світла. При нормальному падінні площі поперечного перерізу падаючого, відбитого та заломленого променів однакова, тому
\(\rho=\frac{I^{\prime}}{I}\), \(r=\frac{I^{\prime\prime}}{I}\).
Відтак, урахувавши вирази (1.16) та (1.19), отримаємо
|
\(\rho=\frac{(n_1-n_2)^2}{(n_1+n_2)^2}\) \(r=\frac{4n_{1}n_{2}}{(n_1+n_2)^2}\). |
(1.20) |
Ці формули дають \(\rho+r=1\), як того й вимагає закон збереження енергії.
Слід зауважити, що при косому падінні у формулах (1.20) вираз для \(\rho\) зберігається, а для r – ні, бо при косому падінні площі поперечного перерізу падаючого й заломленого пучків не однакові. |
Показники заломлення більшості прозорих речовин \(n\le{2}\), тому величина \(\rho\) є малою, а r – близькою до одиниці. Приміром, при падінні світла з повітря (n1 = 1) на поверхню води (n2 = 1,33) або скла (n2 = 1,5) величина \(\rho\), згідно з (1.20), складає 2 % та 4 %. Проте в оптичних приладах, наприклад, складних об’єктивах, де багато світлові пучки на своєму шляху стрічають багато поверхонь поділу, сумарні втрати на відбивання можуть скласти значну частину падаючої світлової енергії. Тому в оптичному приладобудуванні використовують спеціальні технології для зменшення таких утрат.
1. ДВОПРОМЕНЕВА ІНТЕРФЕРЕНЦІЯ
Інтерференція. Інтерференція – це явище, що спостерігається при накладання декількох хвиль. Сутність явища розглянемо на прикладі двопроменевої інтерференції, що за певних умов спостерігається при накладанні двох світлових хвиль.
Нехай в якусь точку приходять дві хвилі із світловими векторами \(\vec{E}_{1}(\vec{r},t)\) і \(\vec{E}_{2}(\vec{r},t)\). За принципом суперпозиції результуюча напруженість електричного поля у цій «точці спостереження» \(\vec{E}=\vec{E}_{1}+\vec{E}_{2}\), тож
\(E^{2}=(\vec{E}_{1}+\vec{E}_{2})^{2}=E_{1}^{2}+E_{2}^{2}+2\vec{E}_{1}\vec{E}_{2}\).
Інтенсивність хвилі \(I\) прямо пропорційною середній величині квадрата напруженості електричного поля \(I\sim{E}^2\), тому провівши усереднення,
\(\langle{E}^{2}\rangle=\langle{E}_{1}^{2}\rangle+\langle{E}_{2}^{2}\rangle+2\langle\vec{E}_{1}\vec{E}_{2}\rangle\),
для результуючої інтенсивності маємо
\(I+I_{1}+I_{2}+2\langle\vec{E}_{1}\vec{E}_{2}\rangle\).
Якщо коливання світлових векторів у точці накладання у взаємно перпендикулярних напрямках, то \(\vec{E}_{1}\vec{E}_{2}=0\) і результуюча інтенсивність \(I=I_{1}+I_{2}\). Але при інших напрямках коливань може виявитися, що середнє значення добутку функцій \(\langle\vec{E}_{1}(\vec{r},t)\cdot\vec{E}_{2}(\vec{r},t)\rangle\ne(0)\). Тоді
\(I\ne{I}_{1}+I_{2}\).
У цьому і полягає явище інтерференції, тобто
інтерференцією називають таке накладання хвиль, при якому результуюча інтенсивність у точці накладання не дорівнює сумі інтенсивностей, що створюються в цій тчці кожною хвилею окремо. |
На перший погляд отриманий всновок суперечить закону збереження енергії, але це, звісно, не так. Інтенсивність є локальною величиною, що характеризує птік енергії лише крізь нескінчено маслу площадку в околі даної точки. Якщо ж підрахувати потік енергії крізь якусь поверхню помітої величини, то він завжди виявляється рівним сумі потоків, які створюються джерелами окремо. Отже при інтерференції світлова енергія не змінюється, а лише перерозподіляєтся у просторі. При цьому в одних точках результуюча інтенсиваність виявляється більшою, а в інших – меншою за суму інтенсивностей хвиль, які накладаються
Інтерференційна фомула. Детальний аналіз явища інтерференції почнемо з аналізу накладання ідеальних монохроматичних світлових хвиль від двох точкових (або лінійних) джерел S1 та S2 (рис. 2.1), які мають однакову частоту \(\omega\) і напям коливань світлового вектора. Для загальності будемо також уважати, що промені від джерел до точки накладання поширюються в середовищах з різним показниками заломлення, отже швидкості світла в цих середовищах різні. За таких умов світлові коливання, що збуджуються кожним джерелом у вибраній точці спостереження P, визначаються (див. рівняння (1.10) з лекції 5.1) як:
|
\(E_{1}=E_{01}\cos(\omega{t}-k_{1}l_{1}+\varphi_{01})=E_{01}\cos(\omega{t}-\alpha_{1})\), |
(2.1) |
|
\(E_{1}=E_{01}\cos(\omega{t}-k_{1}l_{1}+\varphi_{01})=E_{01}\cos(\omega{t}-\alpha_{1})\), |
де \(l_{1}\), \(l_{2}\) – відстані від джерел до точки спостереження, \(k_1\), \(k_2\) – хвильові числа, що визначаються частотою \(\omega\), швидкостями поширення \(v_{1}\), \(v_{2}\) та довжинами хвиль \(\lambda_{1}\), \(\lambda_{2}\) як
|
\(k_{1}=\frac{\omega}{v_{1}}=\frac{2\pi}{\lambda_{1}}\) і \(k_{2}=\frac{\omega}{v_{2}}=\frac{2\pi}{\lambda_{2}}\) |
(2.2) |
Величини \(\varphi_{01}\), \(\varphi_{02}\) – це початкові фази коливань у джерелах (при відстані \(l = 0\), а \(\alpha_{1}=\varphi_{01}-k_{1}l_{1}\), \(\alpha_{2}=\varphi_{02}-k_{2}l_{2}\) – початкові фази коливань у точці спостереження.
Результуючу напруженість поля світлових хвиль \(\vec{E}=\vec{E}_{1}+\vec{E}_{2}\) у точці спостереження найпростіше визначити за допомогою векторної діаграми, зображуючи кожне коливаня відповідним вектором, що обертається з кутовою швидкістю \(\omega\), а довжина якого дорівнює модулю відповідного вектра. Миттеве положення вектрів показано на рис. 2.2. За теоремою коснусів визначаємо модуль вектора результуючої напруженості поля в точці спостереження:
|
\(E_{1}^{2}=E_{01}^{2}+E_{02}^{2}+2E_{01}E_{02}\cos\delta\), |
(2.3) |
де \(\delta=\alpha_{1}-\alpha_{2}\) – різниця фаз коливань, яка за рівнянням (2.1) складає
|
\(\delta=(k_{2}l_{2}- k_{1}l_{1})-(\varphi_{02}-\varphi_{02})\). |
(2.4) |
Відтак, замінивши в (2.3) квадрати амплітуд на інтенсивності, отримаємо:
|
\(I=I_{1}+I_{2}+2\sqrt{I_{1}I_{2}}\cos\delta\). |
(2.5) |
З виразу (2.5), який називають інтерференційною формулою, видно, що при накладанні двох ідеальних монохроматичних хвиль результуюча інтенсивність \(I\ne{I}_{1}+I_{2}\), тобто – маємо інтерференцію.
Неважко збагнути, що такий результат вийшов тому, що хвилі мають однакову частоту. Через це в кожній точці простору різниця фаз \(\delta\) падаючих хвиль не залежть від часу, тож вони є жорстко узгодженими. Але в реальних хвилях із різних причин повної узгодженості коливань бути не може і різниця фаз \(\delta\), отже і \(\cos\delta\), в різні моменти часу мають різну величину. Тому інтенсивність, яку ми сприймаємо візуально або реєструємо приладами, визначається середнім значенням \(\langle\cos\delta\rangle\) за час спостереження.
|
\(I=I_{1}+I_{2}+2\sqrt{I_{1}I_{2}}\langle\cos\delta\rangle\). |
(2.6) |
Отже, для можливості реального спостереження інтерференції ведичина \(\langle\cos\delta\rangle\) має лишатися незмінною впродовж проміжку часу, який є достатнім для реєстрації ефекту. Інакше кажучи, коливання, що збуджуються хвилями в точці накладання, мають бути в достатній мірі узгодженими. Узгодженість хвильових та коливальних процесів відображається поняттям когерентності:
хвилі (і коливання), різниця фаз яких у даній точці з часом не змінюється або змінюється достатньо повільно, називають когерентними. |
Таким чином,
інтерференцію можна спостерігати лише при накладанні когерентних хвиль.
При цьому ідеальні монохроматичні хвилі однакової частоти, для яких \(\cos\delta=const\), є повністю когерентними. Що до реальних хвиль, в яких \(\cos\delta\ne{const}\) але \(\langle\cos\delta\rangle\ne{0}\), то їх трактують як частково когерентні.
Із виразів (2.4), (2.5) та рис. 2.1 зрозуміло, що при переміщенні точки спостереження P у певному напрямі змінюються: різниця фаз \(\delta\) – монотонно, а \(\cos\delta\) і результуюча інтенсивність I – періодично. Це означає, що при накладанні когерентних хвиль утворюється система упорядковано розташованих областей підвищеної та пониженої інтенсивності світла. Тому на екрані, встановленому в області накладання (зоні інтерференції), спостерігається «інтерференційна картина» у вигляді сукупності світлих і темних смуг – інтерференційних максимумів та мінімумів. Отже, можна дати таке коротке формулювання:
інтерференцією називається утворення максимумів та мінімумів інтенсивності при накладанні когерентних хвиль.
2. ІНТЕРФЕРЕНЦІЙНА КАРТИНА
Різниця ходу. Із формули (2.5) випливає, що інтерференційні максимуми утворюються при \(cos\delta=1\), а мінімуми – при \(\cos\delta=-1\). Отже, різниця фаз когерентних хвиль у точках максимумів і мінімумів, відповідно, має задовольняти умови:
|
\(\begin{matrix} \delta=\pm{m}\cdot{2}\pi,\\ \delta=\pm(2m+1)\pi;\end{matrix}\,\,m=0,1,2…\) |
(2.7) |
Ціле число називається порядком інтерференційної смуги, або просто порядком інтерференції.
Для когерентних хвиль величина \(\delta\) визначається виразом (2.4). При цьому різниця початкових фаз не впливає на характер розподілу інтенсивностей, до того ж на практиці завжди \(\varphi_{01}=\varphi_{02}\). Тому, взявши до уваги вирази (2.2), запишемо:
|
\(\delta=k_2l_2-k_1l_1=2\pi\left(\frac{l_2}{\lambda_2}-\frac{l_1}{\lambda_1}\right)\), |
|
або
|
\(\delta=\frac{2\pi}{\lambda_0}(n_2l_2-n_1l_1)\), |
|
де \(l_1,l_2\) – відстані від джерел до точки спостереження, \(\lambda_0\) – довжина світлової хвилі у вакуумі, \(n_1,n_2\) – показники заломлення середовищ, в яких поширюються промені.
Величина \(L=nl\) називається оптичною довжиною шляху або оптичним ходом променя від джерела до даної точки. Якщо на шляху променя трапляється декілька різних середовищ, то \(L=\sum{n_il_i}\), а у випадку неоднорідного середовища \(L=\int{n\mathrm{d}l}\). Відповідно, різниця оптичних довжин шляху двох променів
|
\(\Delta=L_2-L_1=n_2l_2-n_1l_1\) |
(2.8) |
називається оптичною різницею ходу променів. Якщо обидва промені поширюються в одному середовищі, то \(n_1=n_2=n\), і
|
\(\Delta=n(l_2-l_1)=n\Delta_0\), |
(2.8а) |
де величина \(\Delta_0=l_2-l_1\) – геометрична різниця ходу.
Відтак для різниці фаз у загальному випадку маємо:
|
\(\delta=\frac{2\pi}{\lambda_0}\Delta\), |
(2.9) |
3. Інтерференційні максимуми та мінімуми
Умови максимумів та мінімумів. Підставивши вираз (2.9) в (2.7), отримаємо умови інтерференційних максимумів і мінімумів:
для максимумів: |
\(\Delta=\pm{2}m\frac{\lambda_0}{2}=\pm{m}\lambda\), |
(2.10) |
для мінімумів: |
\(\Delta=\pm(2m+1)\frac{\lambda_0}{2}=\pm\left(m+\frac{1}{2}\right)\lambda_0\). |
(2.10a) |
В обох випадках \(m=0,1,2….\) – порядок інтерференції.
Згідно з цими умовами
інтерференційні максимуми утворюються в точках, в яких оптична різниця ходу променів дорівнює парній кількості півхвиль або цілій кількості довжин світлової хвилі у вакуумі;
інтерференційні мінімуми утворюються в точках, де оптична різниця ходу променів дорівнює непарній кількості півхвиль або напівцілій кількості довжин світлової хвилі у вакуумі.
Якщо когерентні промені поширюються в однорідному середовищі, то умови (2.10) і (2.10а) можна записати у вигляді через геометричну різницю ходу \(\Delta_0\) і довжину світлової хвилі в середовищі \(\lambda\):
для максимумів: |
\(\Delta_0=\pm{2}m\frac{\lambda}{2}=\pm{m}\lambda\), |
(2.11) |
для мінімумів: |
\(\Delta_{0}=\pm{(2m+1)}\frac{\lambda_0}{2}=\pm\left(m+\frac{1}{2}\right)\lambda\). |
(2.11a) |
де \(\lambda=\lambda_0/n\) – довжина хвилі в речовині, і \(\Delta_0=l_2-l_1\) – геометрична різниця ходу променів.
4. ІНТЕНСИВНІСТЬ СВІТЛА ТА ШИРИНА ІНТЕРФЕРЕНЦІЙНИХ СМУГ
Інтенсивність та ширина інтерференційних смуг. Розглянемо тепер величину інтенсивностей у максимумах \(I_{max}\) та мінімумах \(I_{min}\) і їхнє положення на екрані при інтерференції від двох точкових когерентних джерел. Згідно з виразом (2.5) та умовами (2.7)
|
\(\begin{matrix} I_{max}=\left(\sqrt{I_1}+\sqrt{I_2}\right)^{2},\\I_{min}=\left(\sqrt{I_1}-\sqrt{I_2}\right)^2.\end{matrix}\) |
(2.12) |
Аби інтерференційні смуги на екрані були чіткими (контрастними), інтенсивність мінімумів має бути якнайменшою, в ідеалі – \(I_{min}-0\). В такому випадку \(I_2=I_1 \) і \(I_{max}=4I_1\). Тому на практиці завжди намагаються отримувати когерентні промені з максимально близькими інтенсивностями. При цьому формула (2.5) набуває вигляду:
|
\(I=2I_{1}(1+\cos\delta)=I_{0}\cos^2\frac{\delta}{2}\), де \(I_{0}=4I_1\). |
(2.13) |
Визначимо із цього виразу розподіл інтенсивностей на екрані \(I(x)\) при двопроменевій інтерференції у повітрі (n =1) від ідеальних точкових когерентних джерел \(S_1\) і \(S_2\) з однаковими інтенсивностями \(I_1=I_2\). Для цього спочатку знайдемо різницю ходу \(\Delta{(x)}\), а потім за допомогою формули (2.9а) – різницю фаз \(\delta(x)\) променів, які приходять у довільну точку Р, в залежності від її координати х, рис. 2.3.
Задля спрощення викладок заздалегідь урахуємо, що інтерференційні смуги на екрані можна візуально спостерігати тільки при малих відстанях між джерелами (\(h\ll{1}\)) і в невеликій області біля центра картини О, тобто при \(x\ll{l}\). У такому разі показані на рис. 2.3 кути \(\theta\) дуже малі, практично однакові та мають величину \(\theta=x/l\). Тож, замінюючи відповідні тригонометричні функції самими кутами, різницю ходу \(\Delta\) і різницю фаз \(\delta\), можна з великою точністю виразити, як:
|
\(\Delta(x)=h\cdot\theta=h\frac{x}{l}\) \(\Rightarrow\) \(\delta(x)=\frac{2\pi{h}}{\lambda{l}}x\)\). |
(2.14) |
Підставивши цей вираз \(\delta(x)\) у формулу (2.13), для інтенсивності отримаємо:
|
\(I(x)=I_{0}\cos^{2}\left(\frac{\pi{h}}{\lambda{l}}\right)\). |
(2.15) |
Графік залежності \(I(x)\) показаний на рис.2.4.
Інтерференційна картина складається системи світлих смуг з інтенсивністю в максимумах \(I_0=4I_1\) та темних смуг із нульовою інтенсивністю в мінімумах. Смуги розміщуються симетрично по обидва боки від центральної точки О, в якій знаходиться максимум порядку \(m=0\). Він називається центральним максимумом, а відповідна смуга – центральною інтерференційною смугою. Підставивши вираз \(\Delta(x)\) з (2.14) в умови (2.11) та (2.11а), отримаємо вирази для координат максимумів та мінімумів при інтерференції:
|
\(\begin{matrix} x_{m\mathrm{max}}=\pm{m}\frac{l\lambda}{h},\\x_{m\mathrm{min}}=\pm\left(m+\frac{1}{2}\right)\frac{l\lambda}{h}.\end{matrix}\) \(m=0,1,2…\) |
(2.16) |
З цих формул випливає, що відстань \(\Delta{x}=|x_{m+1}-x_{m}|\) між сусідніми максимумами чи мінімумами не залежить від порядку інтерференції, тобто смуги розташовані еквідистантно, тобто на однаковій відстані
|
\(\Delta{x}=\frac{l\lambda}{h}\)\), |
(2.17) |
або
|
\(\Delta{x}=\frac{\lambda}{\Psi}\), |
(2.17) |
де \(\Psi=h/l\) – кутова відстань між когерентними джерелами, тобто кут зору, під яким їх видно з центра інтерференційної картини (див. рис. 2.3).
Між сусідніми мінімумами розташовується інтерференційний максимум, тобто світла смуга. Тому величина називається шириною інтерференційної смуги.
Вираз (2.17) дозволяє зрозуміти, чому інтерференційні смуги можна спостерігати тільки при малих відстанях між когерентними джерелами. Причина полягає в обмеженій роздільній здатності ока (гостроті зору), що визначається найменшим кутом зору \(\Psi_{0}\), при якому дві близькі риски ще бачаться роздільно (не зливаються). Для нормального ока \(\Psi_{0}\approx{1}^{\prime}\approx{3}\cdot{10}^{-4}\) рад, тож при відстані до джерел \(l=1\) м інтерференцію можна візуально спостерігати, коли відстань між когерентними джерелами \(h\le{0,3}\) мм.
5. ПРОБЛЕМИ КОГЕРЕНТНОСТІ
Некогерентність природнього світла. Дослід свідчить, що при накладанні світлових пучків від двох звичайних джерел світла (маються на увазі всі природні та штучні джерела, крім оптичних квантових генераторів - лазерів) інтерференція ніколи не спостерігається. Це означає, що хвилі від двох незалежних джерел світла є некогерентними. Причина цього лежить у самому механізмі випромінювання. Світло випромінюється атомами тіла не у вигляді неперервної хвилі, а окремими «порціями» (причини цього пояснюються в квантовій механіці), які у хвильовій теорії називаються цугами.
Кожен цуг являє собою «відрізок хвилі» тривалістю \(\tau\sim{10}^{-8}\) c і протяжністю \(l\sim{3}\) м, який має задані початкову фазу та напрям коливань світлового вектора, але характеризується не заданою частотою \(\omega\), а спектром – неперервним набором частот у деякому інтервалі \(\Delta\omega\) в околі заданого значення \(\omega\). Тож хвильовий цуг не є строго монохроматичним. Тому на практиці монохроматичним називають випромінювання не з однією частотою, а з вузькою спектральною шириною \(\Delta\omega\ll\omega\). Іншою особливістю цугів є те, що їхні початкові фази, так само, як і напрямки коливань світлового вектора, ніяк не узгоджені: у кожного наступного цугу вони можуть як завгодно відрізнятися від попереднього. Тому в світловому промені від реального джерела початкова фаза та напрям коливань дуже швидко і хаотично змінюються. Відповідно так само швидко і невпорядковано змінюється різниця фаз і взаємна орієнтація напрямків коливань променів, які приходять у дану точку від двох незалежних джерел. Тому світлові пучки від незалежних джерел є повністю некогерентними і при накладанні не інтерферують. Проте руйнівний вплив нестабільності початкової фази на інтерференцію можна виключити, використовуючи для отримання когерентних пучків не два незалежних джерела, а одне. (Як це робиться, розглянемо в наступній лекції). Але через принципову немонохроматичність випромінювання та наявність у джерел скінченних лінійних розмірів добитися повної когерентності реальних світлових пучків все одно неможливо, що суттєво обмежує умови спостереження інтерференції світла. Проаналізуємо вплив кожного із указаних двох факторів окремо.
Часова когерентність. Розглянемо спочатку спрощену ситуацію, коли кожне з двох точкових джерел випромінює монохроматичну хвилю з початковою фазою \(\varphi_{0}\) і з тільки двома близькими частотами \(\omega\) та \(\omega+\Delta\omega\) та довжинами хвилі \(\lambda\) і \(\lambda+\Delta\lambda\). Тоді розподіл інтенсивностей на екрані можна змоделювати як суперпозицію двох інтерференційних картин, одна з яких створюється променями з довжиною хвилі \(\lambda\) а інша – \(\lambda+\Delta\lambda\). Ці картини характеризуються різною шириною смуги (формула (2.17)) і поступово «розповзаються», як показано на рис. 2.5а. Як наслідок, результуюча інтенсивність у максимумах буде поступово зменшуватись, а в мінімумах – збільшуватись аж до зникнення смуг (рис. 2.5б). Це станеться тоді, коли максимум якогось порядку \(m^{\prime}\) для довжини хвилі \(\lambda+\Delta\lambda\) співпаде з відповідним мінімумом для довжини хвилі \(\lambda\). Отже, згідно з формулами (2.16):
|
\(m^{\prime}\cdot\frac{l(\lambda+\Delta\lambda)}{h}=\left(m^{\prime}+\frac{1}{2}\right)\cdot\frac{l\lambda}{h}\) \(\Rightarrow\) \(m^{\prime}=\frac{\lambda}{2\Delta\lambda}\), |
(2.18) |
де \(m^{\prime}\) – порядок інтерференції в місці, де зникають смуги.
Формально число \(m^{\prime}\) можна трактувати як максимальний порядок інтерференції при накладанні умовних променів, кожен із яких включає дві довжини хвилі. Насправді ж у випромінювання присутні всі можливі довжини хвилі в інтервалі від \(\lambda\) до \(\lambda+\Delta\lambda\), тож можна вважати, що весь спектр складається з безлічі пар променів з різницею довжин хвилі \(\Delta\lambda/2\) кожна. Тому, підставивши цю величину в (2.18) замість \(\Delta\lambda\), отримаємо більш коректний вираз:
|
\(m_{max}=\frac{\lambda}{\Delta\lambda}\), |
(2.19) |
в якому величина
|
\(\frac{\lambda}{\Delta\lambda}=\frac{\omega}{\Delta\omega}\) |
|
є мірою наближеності світла до строго монохроматичного.
Таким чином, неповна монохроматичність світла обмежує кількість інтерференційних смуг, які можна реально спостерігати, величиною \(N\approx{2}m_{max}\). Наприклад, при використанні білого світла і скляних світлофільтрів \(m_{max}\sim{10}\), тому інтерференція спостерігається на екрані тільки в невеликій центральній зоні, про що говорилося в п. 2.2. При цьому різниця ходу променів не повинна перевищувати максимальної допустимої величини \(\Delta_{max}=m_{max}\lambda\), яка називається довжиною когерентності: \(l_{ког}=\Delta_{max}\). Згідно з умовами (2.10) і (2.19),
|
\(l_{ког}=l_{max}\lambda=\frac{\lambda^2}{\Delta\lambda}\). |
(2.20) |
Поняття довжини когерентності дозволяє сформулювати наступний критерій:
інтерференцію світла можна спостерігати лише, коли різниця ходу променів не перевищує довжину когерентності цього світла, тобто за умови:
|
\(\Delta\le{l}_{ког}\), тобто \(\Delta\le\frac{\lambda^2}{\Delta\lambda}\). |
(2.21) |
Таким чином, випромінювання не сповна монохроматичних джерел є когерентним не скрізь, а тільки в обмеженій області простору, в якій різниця ходу променів задовольняє умову (2.21). Але це питання можна розглядати і з іншої точки зору. Якщо хвилі від точкових джерел \(S_1\) і \(S_2\) (рис.2.1.) є монохроматичними, але мають дещо різні частоти \(\omega_1=\omega\) і \(\omega_2=\omega+\Delta\omega\), то різниця фаз променів у точці накладання змінюється з часом:
|
\(\delta(t)=(\omega_2{t}-\alpha_2)-(\omega_{1}t-\alpha_1)=\Delta\omega\cdot{t}-(\alpha_2-\alpha_1)\). |
|
Тому при накладанні таких двох хвиль інтерференція буде спостерігатися лише протягом часу
|
\(\tau^{\prime}=\frac{\pi}{\Delta\omega}\), |
|
за який різниця фаз змінюється на \(\pi\), і умова підсилення інтенсивності переходить в умову послаблення, чи навпаки. Величина \(\tau^{\prime}\) визначає граничний проміжок часу, протягом якого дані дві хвилі можна вважати когерентними, і тому називається часом когерентності.
Для не повністю монохроматичних світлових пучків з частотами в усьому інтервалі від \(omega\) до \(\omega+\Delta\omega\) умови спостереження інтерференції покращуються, оскільки в них присутні промені з різницею частот не лише \(\Delta\omega\), а й з усіма меншими значеннями аж до 0. Тому, поставивши у вираз \(\tau^{\prime}\) замість \(\Delta\omega\) середню величину \(\Delta\omega/2\), отримаємо більш коректний вираз для часу когерентності \(\tau_{ког}\) не повністю монохроматичних хвиль:
|
\(\tau_{ког}=\frac{2\pi}{\Delta\omega}\). |
(2.22) |
Звідси випливає, що чим меншою є величина \(\Delta\omega\), тобто чим вищий ступінь монохроматичності хвиль, тим довше вони лишаються когерентними. Тому
когерентність хвиль, зумовлену близькістю їхніх частот, називають часовою когерентністю.
Відповідно, величина \(\tau_{ког}\) є мірою часової когерентності не повністю монохроматичних хвиль.
Час когерентності можна виразити й через інтервал довжин хвиль \(\Delta\lambda\) присутніх у випромінюванні. Для цього досить взяти до уваги, що \(\omega=2\pi{c}/\lambda\) і що за умови \(\Delta\omega\ll\omega\) величина \(\Delta\omega=(\mathrm{d}\omega)/\mathrm{d}\lambda)\Delta\lambda\). Тоді виходить:
|
\(\Delta\omega=\frac{2\pi{c}}{\lambda^{2}}\Delta\lambda\). |
(2.23) |
і зі співвідношень (2.22) і (2.20) виходить:
|
\(\tau=\frac{1}{c}\cdot\frac{\lambda^2}{\Delta\lambda}\) \(\Rightarrow\) \(l_{ког}=c\tau_{ког}\). |
(2.24) |
Отже, між часом і довжиною когерентності є прямий зв’язок: довжина когерентності дорівнює відстані, на яку поширюється хвиля за час когерентності. Тому часову когерентність не сповна монохроматичних хвиль можна характеризувати як часом \(\tau_{ког}\), так і довжиною когерентності \(l_{ког}\). Але слід зауважити, що обидві ці величини є лишень оціночними, бо чіткої межі між можливістю та неможливістю спостерігати інтерференцію не існує.
Підводячи загальний підсумок, зазначимо, що причиною неповної часової когерентності є не повна визначеність частоти випромінювання реальних джерел світла, а наслідком – обмежена кількість інтерференційних смуг область простору, де їх можна спостерігати.
Просторова когерентність. На можливість спостерігати інтерференцію негативно впливають і лінійні розміри джерел світла, наявність яких зумовлює неоднозначність різниці ходу когерентних променів, які приходять у точку спостереження від різних точок джерел. У променів, які виходять із близьких точок джерел різниця ходу менша, а в променів від віддалених точок вона більша. Це погіршує умови спостереження та якість інтерференційних смуг. Може навіть статися, що промені від одних ділянок джерел підсилюються, а від інших – послаблюються й інтерференційні смуги взагалі не спостерігаються. Це можна трактувати як те, що випромінювання може бути більш або менш когерентним залежно від розмірів джерела. Тому когерентність, обумовлену лінійними розмірами джерел, називають просторовою когерентністю.
Зрозуміло, що за будь-яких умов просторова когерентність випромінювання погіршується при збільшені розмірів джерел. Але якоїсь єдиної формули-критерію тут немає, бо просторова когерентність залежить не тільки від розмірів джерел, а й від взаємного розташування джерел і точки спостереження. Як приклад розглянемо вплив неповної просторової когерентності на інтерференційну картину від двох джерел у вигляді однакових щілин ширини \(b\) розміщених на відстані \(h\) одна від одної (рис. 2.6 ), які випромінюють монохроматичне світло з довжиною хвилі \(\lambda\). Будемо вважати, що ці джерела складаються з безлічі пар гранично вузьких щілин – від \(1-1^{\prime}\) до \(2-2^{\prime}\), які розміщені на відстані \(h\) одна від одної. Всі вони утворюють на екрані однакові елементарні смуги з шириною \(\Delta{x}\) (формула (2.17)). Але центри інтерференційних картин від кожної пари цих віртуальних щілин зміщені одна відносно одної й розташовані між точками О1 і О2 всередині області шириною \(b\), рис.2.7а.
Через це результуюча інтенсивність у максимумах зменшується, а в мінімумах збільшується, що зменшує чіткість смуг, як схематично показано на рис. 2.7 б. Тому при поступовому збільшенні ширини щілин \(b\) інтерференційні смуги по всьому полю зору будуть менш і менш виразними і в решті зовсім зникнуть. (Оскільки око може розрізняти смуги за яскравістю лише при певній мінімальній різниці інтенсивностей, при збільшенні ширини щілин буде зменшуватись не тільки чіткість, а й кількість смуг, які спостерігаються)/ Так станеться, коли відстань О1О2 = зрівняється із шириною інтерференційної смуги \(\Delta{x}\), тож інтерференція буде спостерігатися тільки за умови \(b\le\Delta{x}\). Цю умову можна розглядати як критерій просторової когерентності у схемі рис. 2.6. Відповідно до формул (2.17) і (2.17а), його можна записати, як:
|
\(\Delta{x}=\frac{l\lambda}{h}\) або \(\Delta{x}=\frac{\lambda}{\Psi}\), |
(2.25) |
де \(\Psi=h/l\) – кутова відстань між когерентними джерелами (див. рис. 2.3), тобто кут зору, під яким їх видно із зони інтерференції на екрані.
На завершення ще раз наголосимо, що від неповної просторової та часової когерентності принципово неможливо позбутися. Тому практично за будь-яких умов можна спостерігати тільки досить обмежену кількість інтерференційних смуг.
6. КОНТРОЛЬНІ ЗАПИТАННЯ ДО ЛЕКЦІЇ 5.2
- У чому полягає явище інтерференції? Чому воно є можливим?
- За якої умови можлива інтерференція двох ідеальних гармонічних світлових хвиль однакової частоти?
- Чи можлива інтерференція двох монохроматичних світлових хвиль, якщо їхні частоти відрізняються?
- Якою може бути максимальна та мінімальна інтенсивності світла при накладанні двох когерентних променів, що мають інтенсивності \(I_{0}\) та \(4I_{0}\)?
- За якої умови інтерференційні смуги від двох когерентних джерел будуть найбільш контрастними?
- Що називають різницею ходу променів? Визначте різницю ходу променів, які проходять до точки спостереження однакову відстань \(l\): один у повітрі, а інший – в однорідному середовищі з показником заломлення \(n\).
- Який зв'язок існує між різницею фаз і різницею ходу двох когерентних променів? Некогерентних?
- Запишіть умови інтерференційних максимумів та мінімумів при двопроменевій інтерференції якщо промені поширюються: а) в різних середовищах; б) в одному середовищі.
- Чому умови інтерференційних максимумів і мінімумів формулюють не через різницю фаз, а через різницю ходу?
- Чому при визначенні різниці ходу променів не враховують їхні початкові фази? Як наявність різниці початкових фаз \(\delta_0=\varphi_{02}-\varphi_{01}\ne{0}\) не вплинула б на інтерференційні смуги, показані на рис2.5б?
- Чому інтерференційні смуги спостерігаються тільки при малій відстані між монохроматичними когерентними джерелами?
- Як зміниться ширина інтерференційної смуги при двопроменевій інтерференції, якщо одночасно змінити відстань між когерентними джерелами та відстань між джерелами й екраном в \(n\) разів? Розгляньте всі можливі варіанти.
- Яку кількість інтерференційних смуг можна було б теоретично спостерігати на екрані при накладанні двох ідеальних когерентних хвиль% Чим би відрізнялися у такому випадку смуги від тих, що визначаються формулами (2.16) та (2.17)?
- Чому в реальних дослідах спостерігається обмежена кількість інтерференційних смуг? Поясніть зміст поняття часової когерентності.
- Що таке довжина та час когерентності? Як вони пов’язані між собою?
- Виразіть граничну кількість інтерференційних смуг, яку можна спостерігати при двопроменевій інтерференції, з довжиною когерентності світла та кутовою відстанню між точковими когерентними джерелами.
- Поясніть зміст поняття просторової когерентності та її вплив на інтерференційну картину.
- Дві паралельні світні щілини шириною \(b\) розміщені на відстані \(h\) одна від одної і випромінюють когерентне світло з довжиною хвилі \(\lambda\). На якій найменшій відстані від щілин можна поставити екран, аби спостерігати інтерференційні смуги?
Лекція 5.3. СПОСТЕРЕЖЕННЯ ІНТЕРФЕРЕНЦІЇ СВІТЛА
У цій лекції розглянуті такі питання: