physics.zfftt.kpi.ua

У Лекції 5.1 (п. 1.1) було показано, що строго монохроматична хвиля поширюється із швидкістю, яка співпадає з фазовою швидкістю

\(v=\frac{\omega}{k}\).

При цьому частота монохроматичної хвилі \(\omega\) визначається тільки джерелом хвилі, а швидкість \(v\) – тільки властивостями середовища, в якому вона поширюється. Отже, на перший погляд фазова швидкість хвилі не повинна залежати від її частоти. Але насправді властивості середовища, які визначають швидкість поширення хвилі, залежать від її частоти. Тому між фазовою швидкістю та частотою хвилі існує опосередкований функціональний зв’язок: \(v=v(\omega)\).

Залежність фазової швидкості хвилі від її частоти називається дисперсією.

У випадку світлових хвиль на практиці замість швидкості \(v\) використовують показник заломлення \(n=(c/v)\), а замість частоти – довжину хвилі \(\lambda\). Відтак, явище дисперсії світла розглядають як залежність показника заломлення (оптичної густини) середовища від довжини світлової хвилі: \(n=n(\lambda)\). Кількісною мірою цієї залежності є величина \(\mathrm{d}n/\mathrm{d}\lambda\), яка називається дисперсією речовини.

Закон дисперсії світла \(n(\lambda)\) є складним і не може бути виражений точними формулами. Для ізотропних прозорих речовин характер залежності \(n(\lambda)\) якісно показаний на рис. 6.1а кривою, що складається з трьох характерних ділянок. Ділянки 1 і 3, на яких \((\mathrm{d}n/\mathrm{d}\lambda)\lt{0}\) називаються областями нормальної дисперсії, а ділянка 2, де \((\mathrm{d}n/\mathrm{d}\lambda)\gt{0}\)  – областю аномальної дисперсії. В безбарвних речовинах ділянка аномальної дисперсії потрапляє в ультрафіолетову область спектра. Тому у видимому діапазоні спостерігається тільки ділянка 3, як показано на рис. 6.1б. Примітка. Кількісно зміни \(n\) є набагато меншими, ніж показано на рисунку для виразності. Для більшості речовин вони складають всього біля 1%.

Завдяки дисперсії світлові промені з різними довжинами хвиль по-різному заломлюються на межі поділу середовищ з різними показниками заломлення – фіолетові сильніше, а червоні слабше. Саме це дозволило Ньютону, пропускаючи вузький пучок сонячного світла крізь призму, розкласти його у спектр і довести, що біле світло є складним і містить промені різних кольорів.

Елементарне пояснення дисперсії світла можна отримати на основі електромагнітної теорії, згідно з якою показник заломлення прозорої речовини визначається її діелектричною проникністю:

\(n=\sqrt{\varepsilon}\).

Величина \(\varepsilon\), згідно з класичною теорією діелектриків, залежить від зміщення електронів в атомах під дією електричного поля. У випадку світла це зміщення визначається амплітудою \(A\) вимушених коливань електронів під дією електричного поля світлової хвилі \(E=E_{0}\cos\omega{t}\). При цьому теорія доводить, що

де константа \(\eta\) залежить від індивідуальних властивостей діелектрика.

У класичній теорії вважається, що електрон зв’язаний з ядром атома квазіпружно, так, немов прикріплений пружинкою. Тому в речовині без поглинання електрони атомів розглядаються як гармонічні осцилятори з певною частотою \(\omega_0\). Отже, згідно з теорією вимушених коливань, для амплітуди \(A\) за відсутності загасання можна записати

\(A\sim\frac{1}{\omega_{0}^2-\omega^2}\)

і подати вираз (6.1) у вигляді:

де \(a\) – коефіцієнт пропорційності, який, згідно з розрахунками, визначається зарядом і масою електрона та концентрацією електронів у даному діелектрику.

Записана функція \(\varepsilon(\omega)\) при \(\omega=\omega_0\) має розрив \(\varepsilon\to\pm\infty\) , показаний штриховими відрізками на рис. 6.2. Але цей розрив є фіктивним. Він зумовлений тим, що у виразі (6.2) не враховано загасання коливань, яке завжди існує. Тому насправді залежність \(\varepsilon(\omega)\) виглядає, як суцільна крива на рис. 6.2. Подібною є й залежність \(n(\omega)=\sqrt{\varepsilon(\omega)}\), що відповідає вигляду дисперсійної кривої \(n(\lambda)\) на рис. 6.1. При цьому ділянка аномальної дисперсії потрапляє в окіл власної (резонансної) частоти \(\omega_0\), де амплітуда вимушених коливань електронів у речовині різко зростає за рахунок енергії світлової хвилі.  (В атомі зв’язок різних груп електронів з ядром не однаковий. Тому може існувати декілька резонансних частот і відрізків типу рис. 6.1 на дисперсійній кривій). Тому області аномальної дисперсії відповідають смугам поглинання світла у речовині. Цей теоретичний висновок також підтверджується на досліді.