physics.zfftt.kpi.ua

Таким чином, імпульс нелінійно залежить від швидкості частинки, але, як і в кінематиці, це стає помітним лише при релятивістських (сумірних із с) швидкостях. Тому, за необхідності, величину (2.1) називають релятивістським імпульсом. При малих швидкостях цей вираз переходить у класичну формулу \( \vec{p}=m\vec{v}\).

Релятивістська маса. Інколи вираз імпульсу релятивістської частинки записують у “звичному” вигляді, як

і число

називають релятивістською масою частинки. В такому контексті власну масу частинки m називають масою спокою^[1].

Це часто спрощує проміжні викладки, але слід одразу зазначити, що поняття релятивістської маси, яке збереглося історично, є формальним і не має визначеного фізичного змісту. Зокрема, величину m_r не можна розглядати як міру інертності рухомого тіла.

2.2. Основне рівняння релятивістської динаміки

Це рівняння називається основним рівнянням релятивістської динаміки і, природньо, оперує релятивістським імпульсом (2.1). Розгорнуто воно записується так:

Рівняння (2.3) можна подати й через релятивістську масу:

Рівняння (2.3) і (2.3б), начебто, такі самі, як і в класичній механіці, але це є лише видимість. Насправді для релятивістської частинки немає прямого зв’язку між величиною сили та прискоренням. В цьому легко переконатись, якщо виконати диференціювання в (2.3б), взявши до уваги, що m_r теж залежить від часу:

де \( \vec{a}=\frac{\mathrm{d}\vec{v}}{\mathrm{d}t}\) – прискорення частинки. При цьому, позаяк другий доданок у лівій частині рівняння (2.4) за напрямом не збігається з \( \vec{F}\) (див. рис. 6.6), то напрям прискорення частинки \(\vec{a}\) відрізняється від напрямку сили, що діє на неї.

Але є два винятки з такої неординарної поведінки релятивістської частинки.

1. Діюча сила поперечна: \(\vec{F}\bot \vec{v}\). Така сила не виконує роботи, тож рух є рівномірним і m_r = const. У такому разі

2. Діюча сила поздовжня: \(\vec{F}\parallel \vec{v}\). У такому випадку рух частинки є прямолінійним і після диференціювання рівняння (2.3а) набуває вигляду:

У кожному цих двох випадків прискорення частинки має напрям діючої на неї сили, а рівняння (2.4а) і (2.4б) нагадують рівняння другого закону Ньютона \(m\vec{a}=\vec{F}\). Тому в них множники при прискоренні іноді називають поперечною \({{m}_{\bot }}\) та поздовжньою \({{m}_{\parallel }}\) масами і записують \(m{{a}_{\bot }}={{F}_{\bot }}\) і \(m{{a}_{\parallel }}={{F}_{\parallel }}\). В цьоиу сенсі можна говорити, що сила дорівнює добутку маси на прискорення. Проте це не означає, що виконується другий закон Ньютона, бо все одно прискорення не є прямо пропорційним діючій на частинку силі. Зокрема, з рівняння (2.4б) видно, що при дії сталої сили прискорення, через зростання поздовжньої “маси” частинки, невпинно зменшуватиметься, простуючи до нуля при наближенні швидкості до значення v = с. Отже, основне рівняння релятивістської динаміки теж доводить граничний характер швидкості с, який раніше було отримано в кінематиці СТВ.

Наостанок відмітимо, що при малих швидкостях руху релятивістські рівняння (2.3а), (2.4а) і (2.4б), як завжди, автоматично переходять у рівняння другого закону Ньютона.

Відповідно до (2.3б), \(\vec{F}{d}t={d}({{m}_{r}}\vec{v})={{m}_{r}}{d}\vec{v}+\vec{v}{d}{{m}_{r}}\), де m_r – релятивістська маса. Тому

де враховано, що \({{\vec{v}}^{2}}={{v}^{2}}\) і \(\delta A=\vec{v}\left( \vec{v}{d}{{m}_{r}}+{{m}_{r}}{d}\vec{v} \right)={{v}^{2}}{d}{{m}_{r}}+{{m}_{r}}v{d}v\), (див. рис. 6.7).

Для визначення dm_r спочатку перетворимо вираз (2.2):

Відтак продиференцюємо отриманий результат:

Звідси після ділення на 2m одразу дістанемо вираз усієї правої частини (2.5):

Отже, з урахуванням (6.8), можна записати:

Звідси випливає, що приріст кінетичної енергії частинки визначається приростом її релятивістської маси. Якщо частинка перебуває у спокої, то К = 0 і m_r = m. Тому, інтегруючи (2.7) у границях від 0 до К і від m до m_r, знаходимо:

Нарешті, врахувавши (2.2), одержимо формулу кінетичної енергії релятивістської частинки:

При малих швидкостях (v << c) формула (2.8) теж переходить у формулу кінетичної енергії ньютонівської механіки. Щоб у цьому переконатися, розкладемо перший доданок (2.8) у степеневий ряд за формулою бінома Ньютона:

\( \frac{1}{\sqrt{1-(v/c)^{2}}}=\left(1+(v/c)^{2}\right)^{-1/2}=1+\frac{1}{2}\cdot\frac{v^{2}}{c^{2}}+\frac{3}{8}\cdot\frac{v^{4}}{c^{4}}+{...}\).

При \( {v}<< {c}\) можна обмежитися першими двома доданками, і тоді вираз (2.8) трансформується в класичну формулу

\( {K}=\frac{mv^{2}}{2}\).

(Застереження. При розв’язуванні задач інколи припускаються грубої помилки, думаючи що ця формула годиться й для релятивістської частинки, якщо під m розуміти релятивістську масу).

Із формули (2.8) випливає, що в релятивістській області при збільшенні швидкості частинки її кінетична енергія стрімко сростає так, що при v → с К → ∞. Це ще одне свідчення того, що жодну частинку неможливо розігнати до швидості с.

Перша з них

стосується частинки, що рухається, і називається повною (релятивістською) енергією. Друга

відноситься до тієї ж частинки в стані спокою і, відповідно, називається енергією спокою. При цьому можна подумати, що E₀, подібно до релятивістської маси, є формальною величиною. Але з її уведенням кінетична енергія релятивістської частинки відповідно до (2.9) виражається дуже прозоро та природньо. А саме, кінетична енергія, як енергія руху, є різницею енергій частинки в стані руху E та в стані спокою E₀:

Відтак Ейнштейн дійшов висновку, що енергія спокою є реальною фізичною величиною, котра визначає узагальнену внутрішню енергію частинки (тіла). Якщо частинка є складною, приміром, як ядро атома, то енергія спокою включає енергію взаємодії складових частинок ядра – нуклонів. Але не тільки це! Згідно з Ейнштейном, будь-яка частинка, навіть така, котра “ні з чого не складається”, теж має відповідну реальну енергію спокою, що здатна перетворюватися на інші види. При цьому зміна енергії спокою частинки супроводжується відповідною зміною її маси спокою:

Наприклад, при окисленні вуглецю (горінні) виділяється енергія, через що енергія молекули вуглекислого газу є менша, ніж сумарна енергія частинок, які беруть участь у реакції. Тому й маса спокою молекули вуглекислоти повинна бути менша, ніж сума мас спокою атома вуглецю та молекули кисню. Але в хімічних реакціях і взаємодіях макроскопічних тіл зміна маси спокою є настільки мізерною, що її неможливо виявити. Інша річ ядерні реакції, в яких взаємодіють ядра атомів або елементарні частинки надвисоких енергій. В таких процесах енергії, що виділяються та поглинаються, дозволяють не лише виявити, а й визначити на досліді різницю мас ядра та його складових частинок (так званий “дефект мас”). Зокрема, встановлено, що маса ядра будь-якого хімічного елемента менша за сумарну масу складових нуклонів у згоді з формулою (2.13). При цьому ефект є настільки значним, що дозволяє отримувати промислову енергію на атомних електростанціях. Тож формула (2.11) виражає  фундаментальний закон природи – органічний зв’язок енергії з масою. Його глибинний зміст полягає в тому, що енергія є невід’ємною характеристикою матерії – будь-яка частинка чи тіло має відповідний (і дуже великий) запас енергії завдяки самому факту свого існування.

Зауважимо також, що завдяки співвідношенню (2.11), в ядерній фізиці та фізиці елементарних частинок масу прийнято вимірювати в одиницях енергії (МеВ).

Помноживши цей вираз на c² і врахувавши (2.10) і (2.1а), одержимо:

Оскільки в правій частині цього виразу стоять величини, що не залежать від системи відліку, ліва частина є релятивістським інваріантом, тобто, не змінюється при переході від однієї ІСВ до іншої:

Із співвідношення (2.14) безпосередньо випливає корисна формула для обчислення повної енергії релятивістської частинки із заданим імпульсом:

а з (2.14) і (2.12) можна знайти зв’язок між імпульсом і кінетичною енергією релятивістської частинки:

звідки

Зауважимо, що, відповідно до цього виразу, в ядерній фізиці та фізиці елементарних частинок імпульс прийнято вимірювати в одиницях енергії (МеВ), поділених на швидкість світла c, тобто – в МеВ/с.

Укажемо також, що з формул (2.1а) і (2.10) безпосередньо випливає співвідношення, яке визначає імпульс релятивістської частинки через її енергію та швидкість:

\( \vec{p}=\frac{E\vec{v}}{c^{2}}\).

(2.18)

Для безмасової частинки т = 0, і з (2.16) випливає, що

Ця формула узгоджується з (2.18) тільки за умови, що v = c. Отже, єдиним можливим станом безмасової частинки є рух із граничною швидкістю. Тому, стикаючись з іншими частинками, безмасові частинки або відбиваються без зміни величини швидкості, або поглинаються, тобто, припиняють своє існування. При цьому вони передають свій імпульс тілу, з яким стикаються, згідно з (2.3), створюють відповідну силу тиску. Тиск світла вперше виміряв учений Лебедєв. Отримані ним у дослідах значення тиску світла узгоджуються з теоретичними величинами, розрахованими на основі механізму зіткнень фотонів з частинками опромінюваного тіла. Це є одним із експериментальних підтверджень розглянутої концепції безмасових частинок і їхніх властивостей.