ФІЗИКА ДЛЯ БАКАЛАВРІВ. МЕХАНІКА
ІV. РОБОТА ТА ЕНЕРГІЯ
4. Зіткнення
Закон збереження механічної енергії має не тільки теоретичне, а й велике практичне значення. Разом із законом збереження імпульсу він дозволяє досліджувати складні процеси, в яких неможливо застосувати закони динаміки. Прикладом таких процесів є зіткнення. Процеси зіткнення частинок доводиться розглядати в різних розділах фізики – механіці, молекулярній фізиці, теорії електричного струму, фізиці атомного ядра та елементарних частинок, тощо. Далі розглядається:
4.1. Імпульс і кінетична енергія в системі відліку центра мас
4.1. Імпульс і кінетична енергія в системі відліку центра мас
Раніше (Розділ ІІІ, п. 2) відмічалося, що процеси зіткнень зручно розглядати в системі відліку центра мас (Ц-системі). Тому спочатку з’ясуємо, як визначаються імпульс та кінетична енергія частинок у Ц-системі відліку.
Нехай частинки масами m1 і m2, рухаються в певній К-системі відліку зі швидкостями \(\vec{v}_1 \) і \(\vec{v}_2 \). Згідно з формулами перетворення швидкостей (розділ І, формула (1.33)), швидкості частинок відносно їхнього центра мас (в Ц-системі відліку ) дорівнюють[1]:
|
\(\tilde{\vec{v}}_1=\vec{v}_1-\vec{V}\), \( \tilde{\vec{v}}_2=\vec{v}_1-\vec{V}\), |
(4.1) |
де \(\vec{V}\) – швидкість центра мас частинок в К-системі відліку. Відповідно, їхні імпульси в Ц-системівідліку
\(\tilde{\vec{p}}_1=m_1(\vec{v}_1-\vec{V})\) і \(\tilde{\vec{p}}_2=m_1(\vec{v}_2-\vec{V}) \).
Підставивши сюди вираз \(\vec{V}\) (розділ ІІІ, формула (2.3)), після нескладних перетворень одержимо
|
\(\tilde{\vec{p}}_1=\frac{m_1 m_2}{m_1+m_2}(\vec{v}_1-\vec{v}_2) \), \( \tilde{\vec{p}}_2=\frac{m_1 m_2}{m_1+m_2}(\vec{v}_2-\vec{v}_1) \). |
(4.2) |
Величина
|
\(\mu=\left(\frac{1}{m_1}+\frac{1}{m_2}\right)^{-1}=\frac{m_1 m_2}{m_1+m_2}\) |
(4.3) |
називається зведеною масою двох частинок, тому
|
\(\tilde{\vec{p}}_1=\mu(\vec{v}_1-\vec{v}_2) \), \( \tilde{\vec{p}}_2=\mu (\vec{v}_2-\vec{v}_1) \) |
(4.4) |
Величина
|
\( v_r = |\vec{v}_1-\vec{v}_2| \) |
(4.5) |
– то є відносна швидкість частинок. Отже, імпульси частинок у Ц-системі відліку є протилежні за напрямом і мають однаковий модуль
|
\( p=\mu v_r \). |
(4.6) |
Відносною швидкістю та зведеною масою визначається й кінетична енергія двох частинок у Ц-системі відліку:
|
\(\tilde{K}=\tilde{K}_1+\tilde{K}_2=\frac{\tilde{p}_1^2}{2m_1}+\frac{\tilde{p}_2^2}{2m_2}=\frac{\tilde{p}^2}{2\mu}=\frac{\mu v_r^2}{2}\). |
(4.7) |
Тут і далі будемо вважати, що на частинки не діють зовнішні сили (або вони є компенсованими), тому їхній сумарний імпульс зберігається (див. п. 5.2).
Спочатку розглянемо абсолютно непружне зіткнення двох частинок, при якому вони далі рухаються, як одне ціле. Розглянемо таке зіткнення двох частинок із масами m1 і m2, швидкостями \(\vec{v}_1 \) і \(\vec{v}_2 \) та сумарним іспульсом \(\vec{P}\) = \({{m}_{1}}{{\vec{v}}_{1}}+{{m}_{2}}{{\vec{v}}_{2}}\) в заданій К-системі відліку. Відносно центра мас частинки мають протилежно спрямовані імпульси однакової величини й після зткнення зупиняються. А в К-системі відліку вони починають рухатись із швидкістю центра мас. Отже, швидкість частинок після абсолютно непружного зіткнення дорівнює:
|
\(\vec{v}=\frac{m_1\vec{v}_1+m_2\vec{v}_2}{m_1+m_2}\). |
(4.8) |
Абсолютно непружне зіткнення супроводжується втратами кінетичної енергії, частина якої переходить у внутрішню (теплову) енергію тіл. Кількість теплоти, що віділяється легко знайти, позаяк у Ц-системі відліку тіла внаслідок непружного зіткнення зупиняються, отже втрачають усю кінетичну енергію. Тому кількість теплоти, що виділяється при абсолютно непружному зіткненні, дорівнює початковій кінетичній енергії частинок у Ц-системі відліку:
|
\( Q=\tilde{K}=\frac{\mu v_r^2}{2}\). |
(4.9) |
У К-системі відліку ця величина складає лише частину кінетичної енергії тіл і, відповідно до (4.7), визначається виразом
|
\( Q=K_1-K_2=\frac{m_1 m_2}{2(m_1+m_2)}(v_1-v_2)^2 \). |
(4.10) |
При цьому не втрачена частина кінетичної енергії – то є енергія руху системи частинок як цілого.
Існують два різновиди абсолютно пружного зіткнення: центральне (лобове, пряме) та нецентральне (нелобове, косе). При лобовому зіткненні швидкості частинок як до, так і після зіткнення напрямлені вздовж прямої, що з’єднує частинки. При нелобовому зіткненні частинки розлітаються в різних напрямах.
Розглянемо лобове абсолютно пружне зіткнення двох частинок. В Ц-системі відліку вони завжди мають однакові за величиною і протилежні за напрямом імпульси (див. формули (4.4 – (4.6)), тому при центральному пружному зіткненні напрям імпульсу кожної частинки змінюється на протилежний. А оскільки при цьому кінетична енергія системи зберігається, то модулі імпульсу та швидкості частинок лишаються незмінними. Отже,
\(\vec{\tilde{v'}}_i=-\vec{\tilde{v}}_i \), де i = 1, 2.
Урахувавши це й, скориставшись формулами (4.29), знайдемо швидкості частинок після зіткнення в К-системі відліку:
\(\vec{v'}_i=\vec{\tilde{v'}}_i+\vec{V}=\vec{V}-\vec{\tilde{v}}_i=\vec{V}-\left(\vec{v}_i-\vec{V}\right)=2\vec{V}-\vec{v}_i \),
де \(\vec{V}\) – швидкість центра мас частинок, яка визначається формулою (2.3), розділ ІІІ. Отже,
\( \vec{v}_{i}^{\prime}=2\cdot\frac{\sum_{i}m_{i}\vec{v}_{i}}{\sum_{i}m_{i}}-\vec{v}_{i}\) = \( \frac{2\sum_{i}m_{i}\vec{v}_{i}-\vec{v}_{i}\sum_{i}m_{i}}{\sum_{i}m_{i}}\).
Підставивши значення індексів, одержимо вираз швидкості для кожної частинки:
|
\(\vec{v}_1^{\prime}=\frac{(m_1-m_2)\vec{v}_2+2m_1\vec{v}_1}{m_1+m_2}\) \( \vec{v'}_2=\frac{(m_2-m_1)\vec{v}_2+2m_1\vec{v}_1}{m_1+m_2}\). |
(4.11) |
Для зіткнення частинок однакової маси ці формули дають \( \vec{v}_1^{\prime}=\vec{v}_2 \) і \(\vec{v}_2^{\prime}=\vec{v}_1 \) , тобто, частинки обмінюються швидкостями. Зокрема, якщо друга частинка перед зіткненням перебувала у спокої, то після зіткнення вона почне рухатись із швидкістю першої, а перша зупиниться. У загальному ж випадку для обчислень формули (4.15) треба записати в проекціях на осі вибраної системи координат.
[1] Величини, що визначені в Ц-системі відліку, будемо помічати позначкою ~ (тильда) над символом величини.