physics.zfftt.kpi.ua

Задача 21.8. В урановій руді відношення кількості ядер \({}^{238}\mathrm{U}\) до кількості ядер \({}^{206}\mathrm{Pb}\) складає \(\eta=2,8\). Оцінити вік \(\tau\) уранової руди. Період піврозпаду \({}^{238}\mathrm{U}\)   \(T_{1/2}=4,5\cdot{10}^{9}\) років. Вважати, що весь Плюмбум \({}^{206}\mathrm{Pb}\) є кінцевим продуктом розпаду урану.

Задача 21.9. У калориметр вмістили \(\beta-\)радіоактивний препарат \({}^{24}\mathrm{Na}\) масою m = 1 мг.  Період піврозпаду препарату T = 15 годин. Оцінити кількість тепла Q, що виділяється в калориметрі за добу. Вважати, що всі частинки мають кінетичну енергію, рівну \(\eta=1/3\) максимально можливої в цій реакції.

Задача 21.8

В урановій руді відношення кількості ядер \({}^{238}\mathrm{U}\) до кількості ядер \({}^{206}\mathrm{Pb}\) складає \(\eta=2,8\).

Оцінити

вік \(\tau\) уранової руди.

Період піврозпаду \({}^{238}\mathrm{U}\)   \(T_{1/2}=4,5\cdot{10}^{9}\) років. Вважати, що весь Плюмбум \({}^{206}\mathrm{Pb}\) є кінцевим продуктом розпаду урану.

Розв’язання

Число радіоактивних ядер, що не розпалися на момент часу \(\tau\), визначається законом радіоактивного розпаду (21.11):

N_U = \(N_{0}e^{-\lambda\tau}\)

де N₀ – число вихідних ядер, \(\lambda\) – стала розпаду.

Із співвідношень (21.12) і (21.14) випливає, що

\(\lambda=\frac{\ln{2}}{T}\).

Тоді можна записати:

Число ядер, що розпалися, яке дорівнює числу ядер свинцю Pb, що утворилися:

Розділивши вирази (1) на (2), одержимо:

Із цього виразу після логарифмування отримуємо

\(\tau=T\cdot{}\frac{\ln\frac{\eta+1}{\eta}}{\ln{2}}\approx2\cdot{10}^{9}\) років.

Задача 21.9

У калориметр вмістили \(\beta-\)радіоактивний препарат \({}^{24}\mathrm{Na}\) масою m = 1 мг.  Період піврозпаду препарату T = 15 годин

Оцінити

кількість тепла Q, що виділяється в калориметрі за добу. Вважати, що всі частинки мають кінетичну енергію, рівну \(\eta=1/3\) максимально можливої в цій реакції.

Енергія зв'язку: ядра \({}^{24}\mathrm{Na}\)   E₁ = 193,5 МеВ ядра \({}^{24}\mathrm{Mg}\)   E₂ = 198,3 МеВ.

Розв’язання

Згідно з виразом (21.10) реакція \(\beta-\)розпаду \({}^{24}\mathrm{Na}\) має вигляд

\({}_{11}^{24}\mathrm{Na}\to{}_{12}^{24}\mathrm{Mg}+{}_{-1}^{0}e\).

Енергетичний вихід реакції Q₁ через енергії зв'язку визначається формулою (21.18):

\(Q_{1}=E_{2}-E_{1}=4,8\) MeВ.

В реакції \(\beta-\)розпаду крім електрона \({}_{-1}^{0}e\) утворюється ще одна елементарна частинка – антинейтрино, яка не показана в схемі реакції (21.10). Антинейтрино відносить енергію, що може мати величину від 0 і аж до \(Q_{1}\). Тому \(Q_{1}\) є максимально можливою енергією електрона, а її середнє значення набагато менше і, згідно з умовою, становить

\(Q^{\prime}=Q/3=1,6\) МеВ = \(2,56\cdot{10}^{-13}\) Дж.

Кінетичну енергію ядра \({}^{24}\mathrm{Mg}\) можна не брати до уваги. Справді, згідно з законом збереження імпульсу, імпульси ядра \({}^{24}\mathrm{Mg}\) та електрона за величиною однакові. Тому відношення їх кінетичних енергій (формула (4.3б)

\(T_{я}/T_{e}=m_{e}/m_{я}=0,00055/24=2\cdot{10}^{-5}\).

Загальна енергія, що виділяється в калориметрі, дорівнює енергії \(Q^{\prime}\), помноженій на кількість ядер \(N^{\prime}\), що розпалися:

Відповідно до закону розпаду (21.15) число ядер, що розпалися \(N^{\prime}=N-N_{0}\), визначається виразом:

Кількість ядер \({}^{24}\mathrm{Na}\) у початковий момент \(N_{0}\) знаходимо згідно з основними положеннями молекулярно-кінетичної теорії (формули (7.3) і (7.6)):

де \(M=24\cdot{10}^{-3}\) кг/моль – молярна маса ізотопу \({}^{24}\mathrm{Na}\), \(N_{A}=6,02\cdot{10}^{23}\) 1/моль – стала Авогадро.

Підставивши значення (3) у вираз (2), а його – у формулу (1), дістанемо:

\(Q=Q^{\prime}N^{\prime}=Q^{\prime}\frac{m}{M}N_{A}\left(1-2^{-\frac{\tau}{T}}\right)\) =

=\(2,56\cdot{10}^{-13}\cdot\frac{10^{-6}}{24\cdot{10}^{-3}}\cdot{6,02}\cdot{10}^{23}\left(1-2^{-\frac{24}{15}}\right)=4,3\cdot{10}^{6}\) Дж \(\approx{4,3}\) МДж.