ФІЗИКА. Вчимося розв'язувати задачі. "СУЧАСНА ФІЗИКА". Компенсаційний курс

В основі спеціальної теорії відносності лежать два постулати.

(Постулати – вихідні твердження, що приймаються в даній теорії без формально-логічного доказу. У фізиці постулати встановлюються на основі експериментальних фактів. Приміром, у класичної механіці постулатами є встановлені дослідним шляхом закони Ньютона).

1. Принцип відносності Ейнштейна:

за однакових умов фізичні процеси в усіх інерціальних системах відліку проходять однаково.

Це означає, що

2. Постулат сталості швидкості світла:

Принцип відносності, встановлений для механіки ще Галілеєм, виявився чинним і для електродинаміки Максвелла. Це дало Ейнштейну підставу постулювати, що принцип відносності поширюється на всі фізичні явища, тобто, є абсолютним законом природи. Можна також сказати, що принцип відносності утверджує повну рівноправність усіх інерціальних систем відліку.

Що до другого постулату, то на перший погляд він суперечить здоровому глузду. Дійсно, уявімо, що в нерухомій відносно Землі системі відліку закріплено лампочку, тож для нерухомого спостерігача світло від неї поширюється по всіх напрямах із швидкістю с. Тоді за другим постулатом і для спостерігача в космічній ракеті, що пролітає повз, світло від указаної лампочки поширюється зі швидкістю с. І хоча таке твердження може видатися абсурдним, вимірювання  повністю підтверджують його істинність.

Той факт, що світло від одного джерела у всіх системах відліку поширюється у вакуумі з однаковою швидкістю, свідчить, що c є граничною швидкістю, тобто,  

Абсолютним вважається й час. А саме, хоча моменти часу, в які відбулася якась подія, в різних місцях (часових поясах) виражаються різними числами, видається самоочевидним, що проміжок часу між двома подіями є абсолютним, тобто однаковим для всього Всесвіту.

Такі уявлення лежать в основі класичної механіки й відповідають нашому життєвому досвіду. Але є несумісні з постулатами СТВ, з яких випливає, що

відстані між точками і проміжку часу між подіями є відносні,

залежніі від системи відліку.

Одним із проявів цього є ефект скорочення довжин, який полягає в тому, що поздовжня довжина l тіла – стрижня, що рухається в поздовжньому напрямі із швидкістю v (рис.18.1), дорівнює

де \(l_{0}\) – власна довжина стрижня, тобто, відстань \(\Delta{Δx′}\) між кінцями у власній системі відліку X′O′Y′, де він перебуває в спокої. Відповідно, систему  XOY, в якій стрижень рухається, називають лабораторною системою відліку, а l – лабораторною довжиною.

Указане скорочення стосується лише поздовжніх відстаней. Тож, при довільній орієнтації срижня відносно напрямку руху різниця поперечних координат його кінців в обох системах відліку однакова: \(\Delta{Δy}\) = \(\Delta{Δy′}\).

 Проміжки часу між двома подіями в деякій точці А, що виміряні в двох різних системах відліку, теж відрізняються й пов'язані співвідношенням:

де \(\Delta{t}_{0}\) – власний проміжок часу, тобто такий, що виміряний нерухомим відносно т. А годинником.  Відповідно, \(\Delta{t}\) – лабораторний проміжок часу, тобто такий, що виміряний спостерігачем (годинником) лабораторній системі відліку, яка рухається відносно т. А зі швидкістю v.

Згідно з формулою (18.2) \(\Delta{t}\ge\Delta{t}_{0}\), тобто проміжок часу (тривалість процесу) у власній системі відліку подій є менший, ніж у лабораторній, в якій ''події рухаються''. Це означає, що час  у різних системах відліку протікає не однаково. Приміром, для спостерігача на Землі він спливає швидше, ніж для космонавтів у міжзоряній ракеті. В цьому полягає ефект уповільнення часу в рухомих системах відліку.

Усе сказане означає відносність простору й часу, тобто, що

Окрім того, при \(v\ge{c}\) вирази (18.1) і (18.2) втрачають фізичний зміст, що  є формальним ознакою існування в природі граничної швидкості c.

Все сказане вище може справити враження, що класична механіка Ньютона та релятивістська механіка Ейнштейна є несумісні. Але це не так, і при \(v/c\to{0}\) з формул (18.1) і (18.2) випливає звичне l = l₀ і \(\Delta{t}=\Delta{t}_{0}\). Тож класична кінематика є граничним випадком релятивістської.

Варто також зауважити, що на практиці відміна між двома механіками стає помітною лише при неможливихдосяжних для макроскопічних тіл швидкостях. До прикладу, за співвідношеннями (18.1) і (18.2) навіть при швидкості v = 30000 км/с довжина рухомого тіла зменшується тільки на 0,5%. Тому в СТВ термін ''тіло'', реально означає ядра атомів та елементарні частинки, для яких субсвітлові швидкості є досяжні.

Однаковість швидкості світла у вакуумі в усіх системах відліку означає, що класична формула додавання швидкостей (1.9) принципово  є помилкова. При релятивістському рухові зв'язок між швидкостями тіла в двох довільних інерційних системах відліку є досить складний і на загал не може бути виражений прямо через вектори. Тому запишено релятивістський закон додавання швидкостей в проєкцях і лише для прямолінійного руху тіла паралельно до осей абсцис нерухомої ХOY та рухомої Х′O′Y′ систем відліку (рис.18.2), що так само рухаються одна відносно одної зі швидкістю V:

де \(v_{x}\),  \(v_{x}^{\prime}\) – проєкція швидкості у відповідній системі відліку.

В отриманих результатах варто зупинитися на двох моментах:

1. У виразах (18.3), (18.3а) при швидкостях(\(v_{x}\ll{c}\), \(V\ll{c}\)) виходить \(v_{x}V/c^{2}\ll{1}\), \(v_{x}^{\prime}V/c^{2}\ll{1}\), і релятивістські формули (18.3), (18.3а) переходять у  класичні (1.9) і (1.10):

\(v_{x}=v_{x}^{\prime}+V\),

\(v_{x}^{\prime}=v_{x}-V\).

2. За будь-якої швидкості тіла ${{v}_{x}}^{\prime }$ та системи відліку V виходить  \(v_{x}\le{c}\) (див. задачу 18.4). Зокрема, якщо ${{v}_{x}}^{\prime }=c$, то й \(v_{x}={c}\). Отже,  релятивістський закон додавання швидкостей узгоджується з постулатом сталості швидкості світла у вакуумі, тобто існуванням у Природі граничної швидкості c.

У динаміці кількісною характеристикою руху тіла є імпульс – добут0к  його маси на швидкість: 

де швидкість визначає інтенсивність руху, а маса – інертність тіла, тобто, природню здатність опиратися зміні швидкості при дії на нього сили. При цьому в класичній механіці  вважається, що маса визначається тільки кількістю та індивідуальними властивостями  речовини тіла, так що імпульс є прямопропорційний швидкості, а швидкість зміни імпульсу – прискоренню тіла, тож діючій на нього силі. Але виявляється, що при релятивістських (навколосвітлових) швидкостях прискорення тіла під дією сталої сили всупереч другому закону Ньютона поступово зменшується. Це означає, що маса (інертність) залежить не тільки від кількості речовини в тілі, а й від швидкості його руху і, як встановлено в релятивістській механіці (СТВ), визначається формулою:

де m₀ називається масою спокою,  а m – релятивістською масою тіла.

За такої умови загальний вираз імпульсу \(\vec{p}=m \vec{v}\) зберігає чинність і в релятивістській механіці, але m є функцією швидкості й визначається формулою (1.5). Тож релятивістський імпульс розгорнуто визначається як

З цього виразу випливає, що при (\(v\to{c}\)) інертність тіла необмежено зростає: (\(m\to\infty\)). Цим пояснюється постульована в СТВ неможливість руху тіл зі швидкістю, що не тільки перевищує, а й точно дорівнює швидкості світла у вакуумі.  Виняток становлять так звані безмасові (m₀ = 0) частинки, величина швидкості яких збігається із с. Такими, зокрема, є самі носії світла – фотони.

З іншого брку, при малих швидкостях руху (\(v/c\to{0}\)) формули (1.4) і (1.5) дають:

\(m=m_{0}\),  (const)

\(\vec{p}=m_{0}\vec{v}\),

тож СТВ не відкидає уявлення класичної механіки про пропорційність імпульсу та маси, а включає його як граничний випадок.

До величини Е, що називається релятивістською енергією, входять кінетична та всі види внутрішньї енергії тіла, але вона не включає енергію, зумовлену дією зовнішніх полів (гравітаційного й електромагнітного). Нерухоме тіло (v = 0) теж має певну енергію спокою

 Згідно з виразом (1.7) зміна енергії тягне за собою відповідну зміну маси:

Це, хоч і незвично, не викликає подиву, позаяк може бутибути віднесене на зміну швидкості, тож і маси, при зміні енергії. Але з виразу (1.8) у границі v → 0 виходить

тобто, що маса й енергія спокою можуть змінюватись. Такий висновок видається парадоксальним, але підтверджується на практиці. Про це свідчить ''дефект мас'' в ядерних процесах. До прикладу, добре відомо, що внаслідок виділення дуже великої енергії при об'єднанні нуклонів  ядрі атома, його маса спокою є завжди меншою за суму мас нуклонів, із яких воно складається.

Сказане свічить, що

так що будь-яка зміна енергії тіла супроводжується еквівалентною зміною його маси і навпаки.

Через залежність маси від швидкості для релятивістської механіки, поряд з імпульсом, є непридатною й класична формула кінетичної енергії, але її легко ''виправити'', спираючись на сказане вище. А саме, кінетична енергія T є енергією руху, тож дорівнюєрізниці повної енергії релятивістської частинки (1.7) та її енергії спокою (1.7a):

або, відповідно до виразу (1.4),

Зауважимо, що ця формула, як і інші формули СТВ, при нерелятивістських швидкостях $\left( v/c \right)\ll 1$ переходить у класичну:

\(T=\frac{m_{0}v^{2}}{2}\) = $\frac{{{p}^{2}}}{2{{m}_{0}}}$.

(У цьому можна переконатися, використавши у виразі (1.9а) відому з математики формулу наближених обчислень \((1+x)^{n}=1+nx\) при $x\ll 1$, де \(x=-v^{2}/c^{2}\), \(n=-1/2\)).

 \(η=\frac{c-v}{c}=1-\beta\),    де     $\beta =\left( v/c \right)$.

(1)

$m{{c}^{2}}\left( 1-\frac{{{v}^{2}}}{{{c}_{2}}} \right)={{m}_{0}}{{c}^{2}}$.

(1)

\(E^{2}-p^{2}c^{2}=E_{0}^{2}\)     \(\Rightarrow\)     \(p=\frac{1}{c}\sqrt{E^{2}-E_{0}^{2}}\).

(2)

$\mu =\frac{W}{{{c}^{2}}}$,

(1)

1.7

Стрижень пролітає повз мітку на стіні лабораторії за 20 нс. Визначити власну довжину стрижня l₀, якщо мітка проминає його кінці з інтервалом часу 25 нс. [4,5 м]

1.8

Визначити, як і у скільки разів довжина стрижня, що рухається у повздовжньому напрямі зі швидкістю 260 Мм/с, відрізняється від його власної довжини. [2]

1.9

При якій швидкості руху стрижня в повздовжньому напрямку його довжина буде на 0,5 % меншою за власну? [0,1c]

1.10

При якій швидкості руху власний час життя нестабільної частинки буде відрізнятися в 10 разів від часу, що зафіксовано спостерігачем? [0,99c]

1.11

Визначити швидкість альфа-частинки, релятивістська маса якої на 10% відрізняється від маси спокою . [0,42c]

1.12

У скільки разів релятивістська маса відрізняється від власної частинки при швидкості, що складає 99% швидкості світла? [70]

1.13

Обчислити у джоулях та електронвольтах енергію, що відповідає масі 1 а.о.м. та 1 кг. [\(1,48\cdot{10}^{-11}\) Дж;  \(931,5\) МеВ;  \(8,99\cdot{10}^{16}\) Дж;  \(5,61\cdot{10}^{29}\) МеВ]

1.14

Яка робота виконується в прискорювачі над електроном при зміні його швидкості від 0,6с до 0,8с? [391 MеВ]

1.15

Стрижень довжиною  1,00 м, орієнтований  під кутом 45° до напрямку руху, пролітає повз спостерігача зі швидкістю 0,8c. Яку довжину та орієнтацію стрижня зафіксує спостерігач? [0,93 м;  49,7°]

1.16

Визначити швидкість нестабільної частинки, якщо за час життя 2 мкс вона пролітає відстань 6 км.  [0,995c]

1.17

Визначити повну та кінетичну енергію протона, маса котрого в півтора рази відрізняється від маси спокою 1,67·10^–27 кг. [1,41 ГеВ;  470 МеВ]

1.18

Визначити швидкість електрона з кінетичною енергією 1,53 МеВ. [0,97с]

1.19

Визначити імпульс та кінетичну енергію електрона, що має швидкість 0,9c.[\(5,64\cdot{10}^{-22}\) кг·м/с;  \(1,06\cdot{10}^{-13}\) Дж]

1.20

1.21

Чому дорівнює кінетична енергія частинки із власною масою \(m_{0}\) й імпульсом \(p=m_{0}c\)? [\(0,414m_{0}c^2\)]

1.22

Яку швидкість має релятивістська частинка при кінетичній енергії \(T=500\) МеВ та імпульсі \(p=865/c\) де c – швидкість світла? [0,87c]

1.23

Визначити релятивістську масу електрона, що пройшов прискорювальну різницю потенціалів \(U=1\) МВ. [\(2,96m_{0}\),  \(m_{0}\) – маса спокою]

1.24

Яку прискорювальну різницю потенціалів має пройти протон, аби його маса зрівнялася з масою \(\alpha\)–частинки з кінетичною енергією \(T=1000\) МеВ? [\(3,78\) ГВ]

1.25

Частинки рухаються назустріч одна одній з однаковими швидкостями 0,9c. Чому дорівнює відносна швидкість частинок? $\approx 0,99c$

1.26

Електрон зі швидкістю \(0,8c\) перпендикулярно влітає в однорідне магнітне поле \(B=10\) мТл. Визначити радіус кривини траєкторії його подальшого руху. [\(\approx{23}\) см]

1.27

Електрон з початковою швидкістю  0,1c входить у смугу прискорювального електричного поля вздовж його напрямку. Визначити швидкість та імпульс електрона на виході зі смуги, якщо поле виконало роботу 515 кеВ. [0,87c; \(4,77\cdot{10}^{-22}\) кг·м/с]

Енергія фотона  E визначається формулою Планка

де \(\nu\) – лінійна частота випромінювання.

Величина

є фундаментальною фізичною константою, що називається сталою Планка.

У теорії зазвичай використовують циклічну частоту \(\omega=2\pi\nu\) і записують формулу (2.1) у вигляді

де величина

теж називається сталою Планка (читається "аш перекреслене" або "аш з рискою").

Енергію фотона можна виразити і через довжину хвилі випромінювання у вакуумі \(\lambda\):

де c – швидкість світла у вакуумі.

або

Оскільки швидкість фотона дорівнює c, то, у відповідності до формули (1.5), маса спокою фотона

\(\color{darkblue}{m_{0}=0}\).

Це означає, що фотон не може існувати в стані спокою. Єдиний можливий стан фотона – це рух зі швидкістю c. Тому при зіткненні з іншими частинками можливе тільки або поглинання фотона, або відбивання без втрати швидкості.

або

Отже, енергія й імпульс фотона є пов'язані співвідношенням

Одним із явищ, які доводять квантову природу світла, є фотоефект – звільнення електронів від зв'язку з атомами речовни під дією світла. Розрізняють зовнішній та внутрішній фотоефект. У першому випадку звільнені електрони виходять за межі тіла, а в другому лишаються всередині.

Закономірності фотоефекту можна встановити, досліджуючи вольт-амперні характеристики ВАХ (залежність струму від напруги I(U)) вакуумного фотодіода за різних умов опромінювання світлом.

Примітка. Вакуумний фотодіод – це електронна лампа, що має два електроди: анод А і світлочутливий холодний (неророзжарюваний) фотокатод ФК який опромінюється світлом. 

Для вимірювання ВАХ на фотодіод від регульованого джерела напруги (РДН) за схемою рис.19.1 подають напругу U, полярність і величину котрої можна змінювати й вимірювати вольтметром V.  Фотострум I, який з'явлється при опроміненні катода, реєструється гальванометром (чутливим амперметром) Г.

Загальний вигяд ВАХ фотоелемента показано на рис.19.2, на якому область \(U>0\) відповідає прямій (прискорювальній для електронів), а  \(U<0\) –  зворотній(гальмівній) напрузі для фотоелектронів.

Показаний графік залежності I(U) висвітлює головні властивості фотоефекту. А саме:

1. При підвищенні напруги на фотоелементі зростання струму з певного моменту починає вповільнюватись і припиняється взагалі при деякому струмі I = I_н, що називається ″струмом насичення″.

Описана форма ВАХ має наступне пояснення. Електрони вилітають з катода по всіх напрямах, тож при U = 0 лише частина з них потрапляє на анод, створючи невеликий струм  І₀. Коли ж на фотоелементі починає зростати пряма напруга \(U>0\), то все більша й більша частина фотоелектронів спрямовується електричним полем на анод, і струм істотно зростає. Але  електрони вириваються з катода не електричним полем, а світлом, тому з певного моменту починають потрапляти на анод, і настає ″насичення струму″. При цьому його величина

де n – кількість електронів, що вириваються світлом з фотокатода за одиницю часу, і \(e=1,6\cdot{10}^{-19}\) Кл – елементарний заряд.

2. При \(U\le{0}\) у фотоелементі теж тече струм \(I\le{I₀}\), для припинення котрого на фотоелемент треба подати гальмівну напругу найменшої необхідної величини U_з, яка називається  ″запірною напругою″.

Наявність струму при напрузі \(U\le{0}\) пояснюється тим, що фотоелектрони вилітають з катода з деякою початковою швидкістю та кінетичною енергією і, якщо вона є достатньою для виконання роботи (Ч. 3, (1.13а)) по подоланню гальмівного поля, потрапляють на анод.  Отож, запірна напруга задовольняє умову 

де v – найменша швидкість вильоту електронів із фотокатода, при якій вони здатні дістатися анода.

Із результатів дослідження ВАХ фотоелементів із катодами з різних металів і при різних умовах опромінення випливають наступні загальні закономірності зовнішнього фотоефекту:

1. Кількість електронів, що вилітають із металу за одиницю часу під дією світла, є прямо пропорційна його інтенсивності й не залежить частоти.

2. Максимальна кінетична енергія фотоелектронів лінійно залежить від частоти опромінювального світла й не залежить від його інтенсивності.

3. Для кожного металу існує своя червона межа фотоефекту – мінімальна частота \(\nu_{0}\) (або максимальна довжина хвилі \(\lambda_{0}\)) опромінювального світла, при якій є можливий фотоефект.

Окрім цього було встановлено безінерційність фотоефекту, тобто те, що фотострум з'являється практично одночасно з початком опромінювання (із затримкою \(\tau\sim{10}^{-9}\) с).

Прикметно, що жодну з наведених закономірностей неможливо пояснити на основі класичних уявлень. Приміром, якщо світло трактувати як неперервну хвилю, то кінетична енергія фотоелектронів, отож і запірна напруга фотоелемента (п. 2), має залежати від  інтенсивності світла, тоді як у дійсності вона визначається тільки його частотою. Так само кількість фотоелектронів і струм насичення (п. 1) мали би бути прямо пропорціні частоті світла, а насправді вона залежить тільки від його інтенсивност.

У той же час описані закономірності вичерпно пояснюються квантовою теорією фотоефекту, створеною Ейнштейном, згідно з якою в кожному елементарному акті фотоефекту

При цьому для виходу назовні електрон має подолати зв'язок із кисталічною ґраткою металу, витративши  для цього енергію, що називається роботою виходу A і є його табличною характеристикою. Тож, кінетична енергія фотоелектрона при вильоті складає

W = ε – A,

де ε – енергія поглинутого фотона.

Якщо в цьому співвідношенні вирази кінетичної енергії та енергії фотона запишемо розгорнуто, то отримаємо наступні вирази рівняння Ейнштейна для зовнішнього фотоефекту:

1. Через квантову природу світла при його поглинанні електрон потрібну для виконання роботи виходу енергію не поступово накопичує, а отримує одразу. Цим пояснюється безінерційність фотоефекту.

2. З рівнянь (2.7) і (2.7б) прямо випливає висновок про лінійну залежність кінетичної енергії фотоелектрона від частоти опромінюючого світла.

3. З рівнянь (2.7) і (2.7a) очевидно, що вихід електрона з металу є можливий тільки за умови \(h\nu\ge{A}\) або \(hc/\lambda\ge{A}\), тобто при частоті світла

$\nu =\frac{A}{h}$,     або      $\lambda \le \frac{hc}{A}$   

Це пояснює існування червоної межі фотоефекту – мінімальної частота (максимальної довжини хвилі) світла, що спроможне виривати електрони з металу.

І останнє. Відповідно до квантових уявлень, інтенсивність світла I (енергія, що переноситься за одиницю часу через одиницю площі) є прямо пропорційна відповідній кількості фотонів:

де ε – енергія одного фотона, \(\Delta{S}_{\perp}\) – площа опромінюваної поверхні, що є перпендикулярна до напрямку променів, \(\Delta{N}\) – кількість фотонів, які падають на поверхню \(\Delta{S}_{\perp}\) за час \(\Delta{t}\), n – те саме за 1с. Очевидно, що кількість електронів n_e, які вириваються світлом за одиницю часу, є так само прямо пропорційна величині n. Цим пояснюється перша з розглянутих на початку закономірностей зовнішнього фотоефекту – пряма пропорційна залежність між кількістю вирваних електронів та інтенсивністю опромінювального світла.

При зіткненні з поверхнею тіла фотони, подібно до молекул повітря, чинять на неї тиск, який визначається нормальною складовою сумарного імпульсу, що передається  одиниці площі освітлюваної  поверхні за одиницю часу. Відповідно, тиск паралельного пучка світла залежить від його  інтенсивності I, кута падіння α на поверхню, коефіцієнта відбивання R (відношення інтенсивностей відбитого та падаючого пучків) і визначається формулою:

де c – швидкість світла.

При нормальному падінні (\(\alpha=0\))

а для абсолютно чорної  (R = 0)

Отже, на дзеркальну поверхню світло чинить удвічі більший тиск, аніж на чорну.

Визначити довжину хвилі світла, квант якого має таку саму енергію, що й електрон, прискорений різницю потенціалів 4,1 В. [303 нм]

Визначити частоту та довжину хвилі  у вакуумі випромінювання, маса фотона якого дорівнює масі електрона \(9,1\cdot{10}^{-31}\) кг. [\(\approx{1,24}\cdot{10}^{20}\) Гц, \(2,43\cdot{10}^{-12}\) м]

У деякій речовині при довжині хвилі світла \(414\) нм енергія фотона складає ε = 2,0 еВ . Визначити показник  заломлення цієї речовини. [1.5]

2.10.

Визначити енергії фотона, що відповідають найбільшій  (\(\0,75\) мкм) і найменшій (\(0,4\) мкм) довжині хвилі видимого світла. [1,6 еВ, 3,1 еВ]

2.11.

Оцінити відношення маси фотона видимого світла (λ ~ 600 нм) до маси електрона. [~ 4·10^–6]

2.12.

При якій швидкості імпульс електрона  дорівнює імпульсу фотона з довжиною хвилі \(\555\) нм? [\(1,3\cdot{10}^{4}\) м/с]

2.13.

Визначити довжину хвилі випромінювання з масою фотона, що дорівнює подвоєній масі електрона. [1,2 пм]

2.14.

Скільки фотонів випускається в одному імпульсі лазерного випромінювання з довжиною хвилі \(\lambda=694\) нм при енергії імпульсу \(E=2\) Дж? [\(7\cdot{10}^{18}\)]

2.15.

Світловий потік з інтенсивністю 120 кВт/м², падає нормально на дзеркальну поверхню. Який тиск він спричинює? [0,8 мПа]

Імпульсний лазер випромінює в імпульсі 2·10¹⁹ фотонів з довжиною хвилі 694 нм. Визначити потужність випромінювання лазера в імпульсі із тривалістю  3 мс. [1,9 кВт]

Потужність  випромінювання  точкового джерела з довжиною хвилі 1 мкм дорівнює 1 Вт. Скільки фотонів від нього проходить у вакуумі за 1 с через перпендикулярну площинку 1 см² на відстані 10 км? [\(4\cdot{10}^{5}\)]

2.18.

Визначити показник заломлення прозорої речовини, якщо довжина світлової хвилі  в ній складає 400 нм при енергії фотона 2,07 еВ. [1,5]

2.19.

Визначити короткохвильову межу випромінювання peнтгенівської трубки при швидкості електронів на підльоті до антикатода (анода) дорівнює 0,85c (c – швидкість світла). [2,7 пм]

2.20.

При попаданні на антикатод (анод) рентгенівської трубки пучка швидких електронів внаслідок їхнього різкого гальмування виникає рентгенівське випромінювання. Визначити його мінімальну довжину хвилі при напрузі на трубці 50 кВ. [25 пм]

2.21.

Рентгенівська трубка, що працює при напрузі \(50\) кВ і струмі \(2\) мА, випромінює за \(1\) с \(5\cdot{10}^{13}\) фотонів довжиною хвилі \(0,1\) нм. Визначити ККД трубки, тобто відсоток споживаної енергії, що йде безпосередньо на випромінювання. [0,1 %]

2.22.

Лазер випромінює в імпульсі енергію \(10\) Дж за час \(0,13\) мс. Визначити середній тиск лазерного імпульсу, якщо його сфокусувати в цятку діаметром \(d=10\) мкм на перпендикулярній до пучка поверхні. Коефіцієнт відбивання поверхні \(\rho=0,5\). [5 МПа]

2. 23

Визначити тиск світла на чорну пластинку, котру розташовано на екваторі перпендикулярно до сонячних променів, якщо на 1 см² її поверхні щосекунди падає при їхній інтенсивності \(12\) Дж світлової енергії. [0,4 мПа]

2.24.

Об’ємна густина енергії світлового випромінювання \(10\) Дж/м³. Який тиск воно створює при нормальному падінні на поверхню з коефіцієнтом відбивання \(0,5\)? [15 Па]

2.25.

Лазерний промінь потужністю \(100\) Вт падає під кутом \(\60^{\circ}\)  на  гладку пластинку з коефіцієнтом поглинання 0,8. Визначити силу тиску променя на пластинку. [0,2  мкН]

20.1.

Побудувати з додержанням масштабу схему енергетичних рівнів електрона в атомі Гідрогену. Вказати на ній переходи, які утворюють перші три спектральні серії. Вказати переходи, які відповідають головній лінії та короткохвильовій межі видимої частини спектра (\(\lambda=0,4\) мкм) у серії Бальмера (\(n_2=2\)).

20.2.

При переході електрона в атомах Гідрогену з одного заданого енергетичного рівня на інший енергія атома зменшується на \(\Delta{E}=1,89\) еВ. Визначити довжину хвилі світла, що його випромінюють при цьому атоми. [0,66 мкм]

20.3.

Електрон в атомі Гідрогену переходить зі стану з \(n_1=4\) у стан з \(n_2=2\). Визначити довжину хвилі кванта світла, що його випромінює атом. [486 нм]

20.4.

Визначити мінімальну довжину хвилі світла в серії Бальмера (\(n_2=2\)). [365 нм]

20.5.

Для іонізації атома Оксигену необхідна енергія \(E\ge{14}\) еВ. Визначити мінімальну частоту випромінювання, що спроможне іонізувати атом. [\(3,4\cdot{10}^{15}\) Гц]

20.6.

Визначити швидкість та прискорення електрона на першій борівський орбіті в атомі Гідрогену. [\(2,2\) Мм/с;  \(9,3\cdot{10}^{22}\) м/с²]

20.7.

В теорії Бора вважалось, що електрон в атомі Гідрогену рухається по колових орбітах. Визначити частоту обертання електрона на другій орбіті. [\(8,19\cdot{10}^{14}\) c^-1]

20.8.

Визначити потенціальну, кінетичну і повну енергію електрона в основному (\(n=1\)) стані атома Гідрогену. [–27,2 еВ; 13,6 еВ;  -13,6 еВ]

20.9.

У скільки разів змінюється радіус боровської орбіти електрона в атомі Гідрогену при переході з п'ятого рівня на другий? [6,25]

20.10.

У скільки разів зміниться частота обертання електрона в атомі Гідрогену при його переході з першої борівської орбіти на другу? [Зменшиться у 8 разів]

20.11.

Енергія валентного електрона в основному стані атома \(E_0=-6,8\) еВ. Визначити потенціал іонізації атома. [6,8 В]

20.12.

Визначити: А) період обертання електрона в атомі Гідрогену по коловій борівській орбіті радіуса \(r=53\) пм; Б) силу еквівалентного струму, що створюється цим рухом. [\(1,5\cdot{10}^{-16}\) c; \(1,1\) мА]

20.13.

Найбільша довжина хвилі випромінювання у видимій частині спектра атома Гідрогену \(\lambda=0,66\) мкм. Визначити довжини хвиль найближчих трьох ліній у видимій частині спектра. [0,49 мкм; 0,43 мкм; 0,41 мкм]

20.14.

Визначити мінімальну та максимальну довжину хвилі спектральних ліній в першій серії спектра атома Гідрогену (\(n_1=1\)). [91,3 нм;  122 нм]

20.15.

Скільки ліній можна спостерігати в спектрі випромінювання атомів Гідрогену, якщо вони збуджуються світлом з енергією кванта \(E=12,1\) еВ? []

20.16.

Фотон з енергією \(E=15\) еВ вибиває електрон з атома Гідрогену, який перебував в основному стані. Яку швидкість матиме електрон далеко від атома? [0,7 Мм/с]

20.17.

Яку довжину хвилі мають фотони, що спроможні іонізувати атом Гідрогену, електрон якого знаходиться на другій борівській орбіті \(r=0,21\) нм? [365 нм]

20.18.

Визначити довжину хвилі лінії в спектрі атома Гідрогену, частота якої дорівнює різниці частот двох ліній серії Бальмера (\(n_1=2\)) з довжинами хвиль \(\lambda=486\) нм та \(\lambda_2=410,2\) нм. До якої серії належить ця лінія? [\(2,63\) мкм;  \(n_1=4\)]

20.19.

Видиме випромінювання атома Гідрогену падає нормально на дифракційну решітку з періодом \(d=5\)мкм. Певна спектральна лінія у дифракційному спектрі п’ятого порядку спостерігається під кутом \(\alpha=41^{\circ}\). Переходи між якими енергетичними рівнями атома дають цю лінію? [\(3\to{2}\)]

20.20.

Яку мінімальну кінетичну енергію повинен мати атом Гідрогену, щоб при лобовому непружному зіткненні з іншим атомом Гідрогену, що перебуває в стані спокою, один з них зміг випромінити фотон? Вважати, що до зіткнення обидва атоми перебували в основному стані. [20,4 еВ]

20.21.

Атом Гідрогену, що перебуває в стані спокою, випромінює фотон, який відповідає головній лінії серії Лаймана (\(n_1=1\)). Визначити швидкість атома після випромінювання. [3,25 м/с]

20.22.

При якій температурі атоми гелію матимуть кінетичну енергію, достатню для збудження нерухомого атома важкого елемента, якщо після збудження цей елемент випромінює фотон з довжиною хвилі \(\lambda=0,63\) мкм? [15 кК]

20.23.

Протон, що перебував в стані спокою, захоплює електрон, який на великій відстані від протона мав швидкість \(v=1,9\) Мм/с. Внаслідок цього утворюється збуджений атом Гідрогену. Визначити довжину хвилі фотона, що випромінюється при переході атома в основний стан. [52 нм]

20.24.

Електрон, який пройшов прискорюючу різницю потенціалів \(U=18\) В, налітає на нерухомий атом Гідрогену і переводить його у збуджений стан. Сам електрон після зіткнення рухається у зворотньому напрямку зі швидкістю \(v=1,65\) Мм/с. Визначити довжину хвилі фотона, що його випромінює атом Гідрогену при поверненні в основний стан. Імпульсом фотона знехтувати. Маса атома Гідрогену \(m=1,67\cdot{10}^{-27}\) кг. [121 нм]

Існує два види нуклонів - протони і нейтрони. (Термін "нуклон" перекладається як "ядерна частинка)

Протон – це позитивно заряджена елементарна частинка, що має електричний заряд  і масу спокою  (нагадаємо, що 1 а.о.м. = \(1,66\cdot{10}^{-27}\) кг). Відношення мас спокою протона й електрона \(m_{p}/m_{e}\approx{1836}\). Протон є найпростішим ядром – ядром атома звичайного Гідрогену. (термін "протон" у перекладі означає "найпростіший").

Нейтрон – це електрично нейтральна частинка. Маса спокою нейтрона \(m_{n}=1,00867\) а.о.м. (відношення мас спокою нейтрона й електрона \(m_{n}/m_{e}\approx{1839}\).

Найважливішими характеристиками атомного ядра є електричний заряд і маса.

Заряд ядра q_я визначається визначається кількістю протонів, що входять до складу ядра і описується зарядовим числом ядра Z:

де \(e=1,6\cdot{10}^{-19}\) Кл – елементарний заряд.

Зарядове число визначає також кількість електронів у нейтральному атомі, від якої залежать його хімічні властивості та положення даного елемента в періодичній системі Д.І. Менделєєва:

Маси нуклонів (в а.о.м.) близькі до 1, тому округлена маса ядра в а.о.м. чисельно дорівнює загальній кількості нуклонів.

Загальна кількість нуклонів A, що входять до складу ядра, називається масовим числом ядра.

Оскільки маса атома практично збігається з масою ядра, то масові числа ядер визначають і відносні атомні маси елементів, що також вказані в періодичній таблиці хімічних елементів.

Число нейтронів N у ядрі

У ядерній фізиці використовують умовні позначення ядер, що включають символ хімічного елемента X, масове A і зарядове Z число ядра:

\({}_{Z}^{A}\mathrm{X}\).

Наприклад: Гелій \({}_{2}^{4}\mathrm{He}\), Нітроген \({}_{7}^{14}\mathrm{N}\) тощо. У літературі можна зустріти і таке позначення: \({}_{Z}X^{A}\)

Так само роблять і з елементарними частинками. Наприклад: протон \({}_{1}^{1}{p}\), нейтрон \({}_{1}^{0}{n}\), електрон \({}_{-1}^{0}{e}\) та ін. (Оскільки протон – це ядро Гідрогену, тому для нього використовують також позначення  \({}_{1}^{1}\mathrm{H}\)).

Складною будовою атомного ядра пояснюється існування ізотопів.

Ізотопами називаються різновиди атомів одного й того ж хімічного елемента, які відрізняються за масою.

Ядра ізотопів хімічного елемента складаються з однакової кількості протонів і займають те ж саме місце у періодичній системі елементів, але відрізняються за кількістю нейтронів N і загальною кількістю нуклонів A. (термін "ізотоп" перекладається як "той, що займає те ж саме місце)

Усі хімічні елементи мають ізотопи. Ізотопи одного елемента мають однакові хімічні і дуже близькі фізичні властивості.

У ядерній фізиці для розрізнення ядер використовують термін "нуклід".

Нуклід – це ядро (або сукупність ядер) із заданими значеннями масового і зарядового чисел, тобто із заданою кількістю протонів і нейтронів.

Термін "нуклід" використовують і як синонім терміна "ізотоп".

Ядерні сили є проявом так званої сильної взаємодії. Сильна взаємодія – це фундаментальна взаємодія, тобто вона не зводиться ні до яким іншої.

Ядерні сили мають різноманітні і складні властивості. Вкажемо тільки на деякі з них:

1. Ядерні сили є "найсильнішими" з усіх відомих сил. Зокрема, сили ядерного зчеплення між нуклонами в ядрі набагато переважають сили електричного відштовхування між протонами.

2. Ядерні сили є "зарядосиметричними" - вони не залежать від наявності або відсутності у частинок електричного заряду.

3. Ядерні сили є короткодіючими. Вони виявляються тільки на відстанях \(r\le{10}^{-15}\) м, тобто діють лише всередині атомного ядра.

4. Ядерні сили мають властивість насичення. Це означає, що кожен нуклон у ядрі може взаємодіяти тільки з обмеженою кількістю інших нуклонів.

Останні дві властивості ядерних сил принципово відмінні  від електромагнітних. Електромагнітні сили є дальнодіючими і не насичуються. Це означає, що у системі електрично заряджених частинок кожна з них взаємодіє з усіма іншими незалежно від кількості частинок і розмірів системи.

Енергією зв'язку атомного ядра називається мінімальна енергія, яку необхідно витратити, щоб розділити ядро на окремі не взаємодіючі між собою нуклони. (Поняття енергії зв'язку стосується не тільки ядра, але й інших зв'язаних систем. Наприклад, енергія дисоціації молекули є не що інше, як енергія зв'язку).

Енергія зв'язку є мірою міцності атомного ядра: чим міцніше ядро, тим більша енергія необхідна для його "руйнування" на окремі нуклони.

Ядерні сили настільки великі, що в ядерних процесах стає помітним взаємозв'язок між масою та енергією (формула (18.6)). Це дозволяє розрахувати енергію зв'язку будь-якого атомного ядра за точними значеннями мас нуклонів і ядра.

Відповідно до закону збереження енергії для гіпотетичного процесу поділу ядра на нуклони має місце очевидний енергетичний баланс:

де \(E_{я}\) – енергія спокою ядра, \(E_{зв}\) – енергія зв'язку, \(E_{нукл}\) – сумарна енергія спокою вільних нуклонів, що утворилися.

Так як \(E_{нукл}>E_{я}\), то відповідно до закону Ейнштейна (формула (18.6)), сумарна маса нуклонів, що входять до складу ядра, більше за масу самого ядра. Цей висновок цілком підтверджується результатами точних вимірювань мас нуклідів за допомогою приладу, який називається мас-спектрометром . Підставивши в рівняння (21.3) співвідношення \(E=mc^{2}\), одержимо

де величина

називається дефектом маси ядра. У даному значенні цей термін використовується в елементарній фізиці. У ядерній фізиці дефектом маси називають іншу, але близьку за змістом, величину.

З виразів (21.5) і (21.4) легко одержати розрахункові формули для енергії зв'язку ядра.

Очевидно, що сумарна маса нуклонів, що входять у задане ядро

де Z – зарядове число ядра (кількість протонів), A – масове число (загальна кількість нуклонів), m_p і m_n – маси вільних протона і нейтрона.

З урахуванням виразів (21.5) і (21.6) формула (21.4) набуває вигляду

У довідкових таблицях наводяться не маси ядер, а маси нейтральних атомів. Тому замість формули (21.7) використовують модифіковану формулу

де \(m_{н}\) – маса нейтрального атома Гідрогену \({}_{1}^{1}\mathrm{H}\)  – маса нейтрального атома розглянутого ізотопу.

У ядерній фізиці масу визначають в а.о.м (1 а.о.м. = 1,66\(\cdot{10}^{-27}\) кг), а енергію – в мегаелектронвольтах (МеВ) (1 МеВ = 10⁶ еВ = \(1,6\cdot{10}^{-13}\) Дж). При цьому масі m₁ = 1 а.о.м. відповідає енергія (енергетичний еквівалент) \(E_{1}=m_{1}c^{2}=931,5\) МеВ. Тому для практичних розрахунків замість формули (21.7а) зручно використовувати числову формулу

в якій маси виражені в а.о.м.

Зчеплення (зв'язок) окремого нуклона з усіма іншими нуклонами в ядрі характеризується усередненою величиною, що називається питомою енергією зв'язку нуклонів.

Питома енергія зв'язку нуклонів \(E_{пит}\) – це відношення енергії зв'язку ядра \(E_{зв}\) до загальної кількості нуклонів A:

Величина E_пит складно залежить від багатьох факторів і не може бути виражена формулою, але існує чітка закономірність, показана умовним графіком на рис.21.1 (графік є умовним у тому сенсі, що масові числа ядер не формують безперервну послідовність). При збільшенні кількості нуклонів у ядрі A питома енергія \(E_{пит}\) спочатку різко зростає, досягаючи максимуму 8,8 МеВ/нукл при \(A=40\sim{50}\), а потім повільно монотонно спадає до \(\approx{7,6}\) Мев/нукл для нуклідів, розташованих у кінці періодичної системи (\(A=240\sim{250}\)).

Зростання \(E_{пит}\) на початковій ділянці пояснюється збільшенням кількості партнерів, з якими взаємодіє кожен нуклон у ядрі. Подальший хід залежності \(E_{пит}(A)\) пов'язаний із властивістю насичення ядерних сил. При значенні \(A\approx{40}\) кожний нуклон у ядрі вже має максимально можливу кількість партнерів, з якими може взаємодіяти. Тому подальше збільшення A ніяк не впливає на питому енергію ядерної взаємодії нуклонів.

Однак між протонами діють сили електричного відштовхування, які послаблюють зчеплення між протонами і, відповідно, зменшують питому енергію зв'язку. Для електричних сил ефект насичення відсутній, тому зменшення питомої енергії зв'язку спостерігається до самого кінця періодичної системи. З цим же зв'язана і закономірна зміна співвідношення між кількістю нейтронів N і кількістю протонів Z при збільшенні загальної кількості нуклонів A, що показано умовним графіком на рис.21.2.

Відношення N/Z поступово збільшується від значення 1, типового для легких нуклідів, до значення 1,6 наприкінці періодичної системи. Ядра поступово нібито "розбавляються" нейтронами. Це призводить до збільшення відстані між протонами та послабленню електричного відштовхування між ними, а отже, й до підвищення міцності ядра.

У випадку природної радіоактивності спостерігається три види радіоактивного випромінювання: \(\alpha-\), \(\beta-\) і \(\gamma-\)випромінювання.

\(\color{green}{\mathbf{\alpha-}}\)випромінювання – це потік \(\alpha-\)частинок, що являють собою ядра нукліду Гелію \({}_{2}^{4}\mathrm{He}\). Таким чином, \(\alpha-\)частинка має позитивний електричний заряд \(q_{\alpha}=Ze=3,2\cdot{10}^{-19}\) Кл і масу \(m_{\alpha}=4,00260\) а.о.м. (точніше, це маса нейтрального атома)

\(\color{green}{\mathbf{\beta-}}\)випромінювання – це потік \(\beta-\)частинок, які являють собою не що інше, як електрони. Тому \(\beta-\)частинки позначають ще, як \(e^{-}\) або \({}_{-1}^{0}e\).

\(\color{green}{\gamma-}\)випромінювання – дуже жорстке електромагнітне випромінювання, яке є потоком \(\gamma-\)квантів, тобто фотонів з дуже великою енергією (> 10⁵ еВ) і дуже малою довжиною хвилі (\(<5\cdot{10}^{-12}\) м).

Кінетичні енергії \(\alpha-\), \(\beta-\)частинок і енергія \(\gamma-\)квантів дуже великі. Тому радіоактивному випромінюванню властива сильна біологічна дія, і воно небезпечне для життя. Особливо це стосується \(\gamma-\)випромінювання, що має високу проникаючу здатність. Висока проникаюча здатність \(\gamma-\)випромінювання пояснюється тим, що \(\gamma-\)кванти (фотони) є нейтральними частинками.

Відповідно до видів і назв частинок, що випускаються, розрізняють види і схеми радіоактивного розпаду.

Перетворення ядер з випромінюванням \(\alpha-\)частинок називається \(\alpha-\)розпадом, а з випромінюванням \(\beta-\)частинок – \(\beta-\)розпадом.

Ядерні процеси, як і будь-які інші, підпорядковані універсальним законам збереження імпульсу, енергії, електричного заряду. Крім того існує ще низка специфічних законів збереження, що діють у світі елементарних частинок. Зокрема, це закон збереження кількості нуклонів, відповідно до якого при різних перетвореннях ядер загальна кількість нуклонів не змінюється.

Закони збереження заряду і кількості нуклонів означають, що

Цим визначаються схеми \(\alpha-\) і \(\beta-\)розпаду заданого нукліда X з утворенням нового нукліда Y:

1. \(\alpha-\)розпад:

1. \(\beta-\)розпад:

Зарядове і масове числа нукліда  Y, що утворюється, визначається зазначеними законами збереження.

Зарядове число ядра визначає місце елемента в періодичній системі. Тому зі схем (21.9) і (21.10) випливають так звані правила зміщення:

Як при \(\alpha-\)розпаді, так і при \(\beta-\)розпаді ядро, що утворилося звичайно перебуває в збудженому стані. Переходячи в основний стан, воно випускає один або декілька \(\gamma-\)квантів. Тому обидва види розпаду супроводжуються \(\gamma-\)випромінюванням. При \(\beta-\)розпаді випускається ще одна частинка, яка називається антинейтрино. Але в задачах елементарної фізики це не враховується.

З часом кількість радіоактивного нукліда зменшується відповідно до закону радіоактивного розпаду:

де N – кількість радіоактивних ядер, що не розпалися на даний момент часу t, N₀ – їх кількість у момент початку відліку, e = 2,718… – основа натуральних логарифмів.

Коефіцієнт \(\lambda\) (1/с) називається сталою розпаду, яка є індивідуальною характеристикою кожного радіоактивного нукліду. Замість \(\lambda\) часто використовують обернену величину

яка називається тривалістю життя нукліду.

З урахуванням виразу (21.12) закон радіоактивного розпаду записується так:

Величина \(\tau\) має простий зміст. При \(t=\tau\)

тобто можна сказати, що тривалість життя – це проміжок часу протягом якого кількість радіоактивних ядер зменшується в \(e\approx{2,72}\) рази. (див. рис.21.3).

На практиці швидкість розпаду радіоактивного нукліду характеризують періодом піврозпаду T – проміжком часу, протягом якого розпадається половина вихідної кількості радіоактивного нукліду (див. рис.21.3)

Період піврозпаду T пов'язаний з тривалістю життя  співвідношенням

Закон розпаду через T записується у вигляді

Оскільки ядерні сили дуже великі, в ядерних реакціях спостерігається помітна зміна маси спокою частинок, що беруть участь у реакції. Це означає, що відбувається помітне перетворення енергії спокою в інші види енергії, або навпаки. При цьому повна енергія зберігається:

\(E_{п1}=E_{п2}\),

де \(E_{п1}\) – повна енергія вихідних учасників реакції, \(E_{п2}\) – повна енергія продуктів реакції.

Повна енергія частинки \(E_{п}\) дорівнює сумі енергії спокою E і кінетичної енергії E_к. Тому можна записати:

Строго кажучи, в енергетичний баланс входить і енергія електромагнітного випромінювання (\(\gamma\)-випромінювання), яким супроводжується реакція. Але ця енергія порівняно незначна, і нею можна знехтувати.

Величина

називається енергетичним виходом ядерної реакції.

З рівняння (21.16) випливає, що енергетичний вихід дорівнює різниці початкової і кінцевої енергій спокою системи:

або відповідно до формули (18.6 б),

де \(\Delta{m}=m_{1}-m_{2}\) – "дефект маси" реакції.

При \(\Delta{m}>0\) (маса спокою в результаті зменшується) \(Q>0\) і реакція відбувається з виділенням енергії. Якщо ж \(\Delta{m}<0\) (маса спокою збільшується), то реакція супроводжується поглинанням енергії.

При відомих точних значеннях мас усіх вихідних учасників і продуктів реакції формулою розрахунку енергетичного виходу є вираз (21.17а).

Але енергетичний вихід можна розрахувати і через енергію зв'язку. Відповідно до співвідношення (21.3), для енергії спокою системи E та енергетичного виходу реакції Q можна записати:

Загальна кількість нуклонів, а отже їхня енергія спокою, у ядерних процесах зберігаються: E_н1 = E_н2. Тому

Отже,

Зокрема, якщо енергія зв'язку в результаті реакції збільшується, то така реакція відбувається з виділенням енергії.

Однією з ядерних реакцій, підчас якої виділяється енергія, є реакція поділу масивних ядер.

Нехай, наприклад, ядро із загальною кількістю нуклонів A₁ розщеплюється на два однакових "осколки поділу", тобто на два інших ядра з A₂ = A₁/2 кожне. Тоді початкове і кінцеве значення енергії зв'язку системи можна виразити як

\(E_{зв1}=A_{1}E_{пит1}\)    і    \(E_{зв2}=2A_{2}E_{пит2}=A_{1}E_{пит2}\),

де \(E_{пит1}\), \(E_{пит2}\) – питомі енергії зв'язку нуклонів у вихідному ядрі та ядрах – продуктах розпаду. Відповідно до формули (21.18) енергетичний вихід

\(Q=A_{1}(E_{пит2}- E_{пит1})\).

Оскільки \(E_{пит2}> E_{пит1}\) (див. рис.21.1), то \(Q>0\), тобто енергія виділяється.

Якщо взяти A₁ = 240, то E_пит1 \(\approx{7,6}\) МеВ/нукл і. Тоді

\(Q\approx{220}\) МеВ/ядро.

(На практиці використовують розпад ядер урану \({}^{235}\mathrm{U}\) і плутонію \({}^{239}\mathrm{Pu}\). При цьому енергія, що виділяється трохи менша: \(\approx{200}\) МеВ/ядро. Це пов'язано з тим, що ймовірність розпаду ядра на осколки однакової маси порівняно невелика, і реальна зміна енергії зв'язку буде в середньому менше, ніж прийнято в даному розрахунку).

Енергія, що виділяється при поділі ядер величезна. Для порівняння, підчас хімічної реакції горіння на кожен атом реагуючих речовин виділяється у \(\sim{10}^{8}\) менша енергія.

Іншим типом реакцій з виділенням енергії є реакції синтезу легких ядер, тобто злиття двох легких ядер з утворенням більш масивного ядра.

Прикладом може слугувати реакція синтезу важких ізотопів Гідрогену – дейтерію \({}_{1}^{2}\mathrm{H}\) і тритію \({}_{1}^{3}\mathrm{H}\) – з утворенням гелію і нейтрона:

\({}_{1}^{2}\mathrm{H}+{}_{1}^{3}\mathrm{H}\longrightarrow{}_{2}^{4}\mathrm{He}+{}_{0}^{1}n\).

У цій реакції виділяється енергія 17,6 МеВ що в перерахунку на один нуклон набагато більше, ніж у реакціях розпаду.

Для здійснення реакції синтезу вихідні ядра повинні наблизиться "впритул" так щоб між ними почали діяти ядерні сили зчеплення. Але для цього ядра повинні мати дуже велику кінетичну енергію, достатню для подолання кулонівского відштовхування між ними. Необхідна енергія відповідає температурі \(\sim{10}^{8}\) К Тому реакції синтезу ядер називають термоядерними реакціями. Досягнення і підтримка таких температур являє собою дуже складну технічну проблему. У даний час проблема керованої термоядерної реакції поки що не розв'язана. Технічно реалізована тільки некерована вибухова реакція цього типу.

\(E_{зв}=(N(m_{p}+m_{n})-m)\cdot{931,5}\),

(1)

\(\frac{m}{V}=\frac{m_{Al}}{V_{Al}}\)    \(\Rightarrow\)    \(\frac{m}{m_{Al}}=\frac{V}{V_{Al}}\).

(2)

\(m=\frac{8}{27}m_{Al}\).

(3)

m_Li = 7,01601

m_Be = 7,01693

m_O = 15,99491

m_H = 2,01410

m_He = 4,00260

m_N = 14,00307

m_p = 1,00728

m_n = 1,00867

а) \({}_{13}^{27}\mathrm{Al}+{}_{0}^{1}n\to{X}+ {}_{2}^{4}\mathrm{He}\)

\({}_{11}^{24}\mathrm{X}={}_{11}^{24}\mathrm{Na}\)

б) \({}_{6}^{12}\mathrm{C}+{X}\to{}_{6}^{13}\mathrm{C}\)

\({}_{0}^{1}\mathrm{X}={}_{0}^{1}n\)

в) \({}_{25}^{56}\mathrm{Mn}\to\mathrm{X}+{}_{-1}^{0}e\)

\({}_{26}^{56}\mathrm{X}={}_{26}^{56}\mathrm{Fe}\)

m_Li = 7,01601

m_Be = 7,01693

m_O = 15,99491

m_H = 2,01410

m_He = 4,00260

m_N = 14,00307

m_p = 1,00728

m_n = 1,00867

W = N·E,

(1)

\(\nu=\frac{m_{U}}{M}=\frac{N}{N_{0}}\)    \(\Rightarrow\)     \(N=\frac{m_{U}}{M}N_{0}\),

(2)

Q = (T_p + T_O) – (T_N + \(T_{\alpha}\)) = T_p + T_O - \(T_{\alpha}\).

(1)

\(\vec{p}_{\alpha}=\vec{p}_{p}+\vec{p}_{O}\),

(2)

\(N_{U}=N_{0}e^{-\frac{\tau\ln{2}}{T}}=N_{0}\cdot{2}^{-\frac{\tau}{T}}\).

(1)

N_Pb = \(N_{0}-N=N_{0}(1-2^{-\frac{\tau}{T}})\).

(2)

\(\eta=\frac{N_{\mathrm{U}}}{ N_{\mathrm{Pb}}}=\frac{1}{2^{-\frac{\tau}{T}}-1}\)    \(\Rightarrow\)    \(2^{\frac{\tau}{T}}=\frac{\eta+1}{\eta}\).

\(Q=Q^{\prime}N^{\prime}\).

(1)

\(N^{\prime}=N_{0}\left(1-e^{-\lambda\tau}\right)=N_{0}\left(1-2^{-\frac{\tau}{T}}\right)\).

(2)

\(N_{0}\frac{m}{M}N_{A}\),

(3)

21.1.

Визначити кількість протонів і нейтронів в ядрах \({}_{13}^{23}\mathrm{Na}\); \({}_{47}^{107}\mathrm{Ag}\); {}_{92}^{238}\mathrm{U}\)? [Na: p -13, n – 10;  Ag: p -47, n – 60;  U: p -92, n – 146]

21.2.

Визначити енергію зв'язку, що припадає на один нуклон, в ядрах: \({}_{3}^{7}\mathrm{Li}\); \({}_{3}^{16}\mathrm{O}\); \({}_{26}^{56}\mathrm{Fe}\); \({}_{92}^{235}\mathrm{U}\).    [\(5,387\) МеВ; \(7,46\) МеВ; \(8,554\) МеВ; \(7,39\) МеВ]

21.3.

Атомна маса хлору прийнята рівною 35,5. Хлор має два стабільних ізотопи \({}_{}^{35}\mathrm{Cl}\) і \({}_{}^{37}\mathrm{Cl}\). Визначити їх процентне співвідношення у природній суміші.  [\({}_{}^{35}\mathrm{Cl}\) – \(75\) %; \({}_{}^{37}\mathrm{Cl}\) – \(25\) %]