physics.zfftt.kpi.ua

Задача 21.1. Визначити питому енергію зв'язку Eпит нуклонів в ядрах ${}_{3}^{7}\mathrm{Li}$, ${}_{27}^{58}\mathrm{Co}$, ${}_{92}^{235}\mathrm{U}$ за заданими масами протона, нейтрона та нейтральних атомів. 

Задача 21.2. Визначити енергію зв'язку  ядра, яке має однакову кількість протонів і нейтронів, а його радіус у k = 1,5 разів менший, ніж у ядра ${}^{27}\mathrm{Al}$. Вважати середню густину ядерної речовини однаковою для всіх ядер.

Задача 21.1

Визначити

питому енергію зв'язку E_пит нуклонів в ядрах ${}_{3}^{7}\mathrm{Li}$, ${}_{27}^{58}\mathrm{Co}$, ${}_{92}^{235}\mathrm{U}$ за заданими масами протона, нейтрона та нейтральних атомів:

m_p = 1,00728 а.о.м.,

m_n = 1,00867 а.о.м.,

m_Li = 7,01601 а.о.м.,

  m_Co = 57,93575 а.о.м.,

  m_U = 235,04394 а.о.м.

Розв’язання

Питома енергія зв'язку нуклонів визначається співвідношенням (21.8):

$E_{пит}=\frac{E_{зв}}{A}$,

де $E_{зв}$ – енергія зв'язку ядра, A – число нуклонів в ядрі, рівне масовому числу ізотопа.

Маси задані в а.о.м. тому для енергії зв'язку $E_{зв}$ зручно використати формулу (21.7б).

Згідно з заданими величинами обчислюємо:

${}_{3}^{7}\mathrm{Li}$:   $E_{зв}=\frac{3\cdot{1,00728}+4\cdot{1,00867}-7,01601}{7}\cdot{931,5}=5,36$ МеВ/нукл;

${}_{27}^{58}\mathrm{Co}$:   $E_{зв}=\frac{27\cdot{1,00728}+31\cdot{1,00867}-57,93575}{58}\cdot{931,5}=8,51$ МеВ/нукл;

${}_{92}^{235}\mathrm{U}$:   $E_{зв}=\frac{92\cdot{1,00728}+143\cdot{1,00867}-235,04394}{235}\cdot{931,5}=7,39$ МеВ/нукл;

Задача 21.2

Визначити

енергію зв'язку  ядра, яке має однакову кількість протонів і нейтронів, а його радіус у k = 1,5 разів менший, ніж у ядра ${}^{27}\mathrm{Al}$. Вважати середню густину ядерної речовини однаковою для всіх ядер.

Маси:

протона    m_p = 1,00867 а.о.м.,

нейтрона    m_n = 1,00728 а.о.м.,

ядра ${}^{27}\mathrm{Al}$   m_Al = 26,96661 а.о.м.

Розв’язання

З урахуванням рівності кількості протонів і нейтронів (Z = N A – Z), формула (21.7 б) для енергії зв'язку ядра набуває вигляду:

де m_p, m_n, m – маса протона, нейтрона і ядра, виражена в а.о.м. 

Таким чином, розв'язування задачі зводиться до визначення m і N. Обидві величини знайдемо з умови незмінності середньої густини ядерної речовини $\rho=m/V$ (V – об'єм ядра):

Будемо вважати ядра кулями, тоді $V=\frac{4}{3}\pi{R}^{3}$ і $V_{Al}=\frac{4}{3}\pi{(kR)^{3}}$. Врахувавши, що за умовою k = 3/2, із співвідношення (2) отримуємо:

Маса ядра приблизно дорівнює добутку маси одного нуклона m_н на їх кількість у ядрі A. Тому m = 2Nm_н, m_Al = 27m_н (27 – масове число для ${}^{27}\mathrm{Al}$). Підставивши ці значення у вираз (2), знаходимо

$2Nm_{н}=\frac{8}{27}27m_{н}$    $\Rightarrow$    N = 4.

Знайдені значення N і  m (формула (3)) підставляємо у формулу (1) і остаточно одержуємо:

$E_{зв}=\left(4(m_{p}+m_{n})-\frac{8}{27}m_{Al}\right)\cdot{931,5}$.

Виконаємо обчислення:

$E_{зв}=\left(4(1,00728+1,00867)-\frac{8}{27}\cdot{26,96661}\right)\cdot{931,5}=68,6$ МеВ.