ФІЗИКА. Вчимося розв'язувати задачі. "СУЧАСНА ФІЗИКА". Компенсаційний курс
Розділ 21. Атомне ядро
Склад ядра; енергія зв'язку
|
При розв'язуванні задач на склад ядра кількість протонів визначається з періодичної таблиці елементів (таблиці Д.І. Менделєєва) за порядковим номером елемента. Якщо в умові задачі на обчислення енергії зв'язку ядра не вказані точні значення мас необхідних частинок і нуклідів, їх беруть з довідкових таблиць. Увага! У таких розрахунках неприпустиме округлення вихідних даних. Необхідно використовувати всі значущі цифри, зазначені в довідкових даних. Необхідно також звертати увагу на те, що саме подано в довідковій таблиці: маси ядер чи маси нейтральних атомів. У першому випадку для розрахунку використовується формула (21.7), а в другому – (21.7a) або (21.7б). |
Задача 21.1. Визначити питому енергію зв'язку Eпит нуклонів в ядрах \({}_{3}^{7}\mathrm{Li}\), \({}_{27}^{58}\mathrm{Co}\), \({}_{92}^{235}\mathrm{U}\) за заданими масами протона, нейтрона та нейтральних атомів.
Задача 21.2. Визначити енергію зв'язку ядра, яке має однакову кількість протонів і нейтронів, а його радіус у k = 1,5 разів менший, ніж у ядра \({}^{27}\mathrm{Al}\). Вважати середню густину ядерної речовини однаковою для всіх ядер.
Задача 21.1
Визначити
питому енергію зв'язку Eпит нуклонів в ядрах \({}_{3}^{7}\mathrm{Li}\), \({}_{27}^{58}\mathrm{Co}\), \({}_{92}^{235}\mathrm{U}\) за заданими масами протона, нейтрона та нейтральних атомів:
mp = 1,00728 а.о.м.,
mn = 1,00867 а.о.м.,
mLi = 7,01601 а.о.м.,
mCo = 57,93575 а.о.м.,
mU = 235,04394 а.о.м.
Розв’язання
Питома енергія зв'язку нуклонів визначається співвідношенням (21.8):
\(E_{пит}=\frac{E_{зв}}{A}\),
де \(E_{зв}\) – енергія зв'язку ядра, A – число нуклонів в ядрі, рівне масовому числу ізотопа.
Маси задані в а.о.м. тому для енергії зв'язку \(E_{зв}\) зручно використати формулу (21.7б).
Згідно з заданими величинами обчислюємо:
\({}_{3}^{7}\mathrm{Li}\): \(E_{зв}=\frac{3\cdot{1,00728}+4\cdot{1,00867}-7,01601}{7}\cdot{931,5}=5,36\) МеВ/нукл;
\({}_{27}^{58}\mathrm{Co}\): \( E_{зв}=\frac{27\cdot{1,00728}+31\cdot{1,00867}-57,93575}{58}\cdot{931,5}=8,51\) МеВ/нукл;
\({}_{92}^{235}\mathrm{U}\): \( E_{зв}=\frac{92\cdot{1,00728}+143\cdot{1,00867}-235,04394}{235}\cdot{931,5}=7,39\) МеВ/нукл;
Задача 21.2
Визначити
енергію зв'язку ядра, яке має однакову кількість протонів і нейтронів, а його радіус у k = 1,5 разів менший, ніж у ядра \({}^{27}\mathrm{Al}\). Вважати середню густину ядерної речовини однаковою для всіх ядер.
Маси:
протона mp = 1,00867 а.о.м.,
нейтрона mn = 1,00728 а.о.м.,
ядра \({}^{27}\mathrm{Al}\) mAl = 26,96661 а.о.м.
|
Дано: k = 1,5
mAl = 26,96661 а.о.м.
|
|
\(E_{зв}\) - ?
|
Розв’язання
З урахуванням рівності кількості протонів і нейтронів (Z = N A – Z), формула (21.7 б) для енергії зв'язку ядра набуває вигляду:
|
\(E_{зв}=(N(m_{p}+m_{n})-m)\cdot{931,5}\), |
(1) |
де mp, mn, m – маса протона, нейтрона і ядра, виражена в а.о.м.
Таким чином, розв'язування задачі зводиться до визначення m і N. Обидві величини знайдемо з умови незмінності середньої густини ядерної речовини \(\rho=m/V\) (V – об'єм ядра):
|
\(\frac{m}{V}=\frac{m_{Al}}{V_{Al}}\) \(\Rightarrow\) \(\frac{m}{m_{Al}}=\frac{V}{V_{Al}}\). |
(2) |
Будемо вважати ядра кулями, тоді \(V=\frac{4}{3}\pi{R}^{3}\) і \(V_{Al}=\frac{4}{3}\pi{(kR)^{3}}\). Врахувавши, що за умовою k = 3/2, із співвідношення (2) отримуємо:
|
\(m=\frac{8}{27}m_{Al}\). |
(3) |
Маса ядра приблизно дорівнює добутку маси одного нуклона mн на їх кількість у ядрі A. Тому m = 2Nmн, mAl = 27mн (27 – масове число для \({}^{27}\mathrm{Al}\)). Підставивши ці значення у вираз (2), знаходимо
\(2Nm_{н}=\frac{8}{27}27m_{н}\) \(\Rightarrow\) N = 4.
Знайдені значення N і m (формула (3)) підставляємо у формулу (1) і остаточно одержуємо:
\(E_{зв}=\left(4(m_{p}+m_{n})-\frac{8}{27}m_{Al}\right)\cdot{931,5}\).
Виконаємо обчислення:
\(E_{зв}=\left(4(1,00728+1,00867)-\frac{8}{27}\cdot{26,96661}\right)\cdot{931,5}=68,6\) МеВ.