physics.zfftt.kpi.ua

Наведені в прикладах ядерні реакції можуть бути позірними й розглядаються за спрощеними схемами.

Задача 4.1. Вважаючи, що всі хімічні елементи мають однакову густину ρ ядерної речовини, знайти склад і питому енергію зв'язку w нуклонів у ядрі, що має на 4 нейтрони більше, ніж протонів, і в k = 2 рази більший за нуклід ⁶Li діаметр d.

Задача 4.2. Знайти масу M кам'яного вугілля із теплотворною здатністю Q = 50 МДж/кг, яка потрібна для отримання такої самої енергії, що й при удаваному синтезі m = 1 г ядер Карбону ¹²С із парами ядер Оксигену ¹⁶O.

Задача 4.3. При бомбардуванні ядра Нітрогену $_{7}^{14}\text{N}$ (азот) \(\alpha\)-частинкою з кінетичною енергією \(T_{\alpha}=4,0\) МеВ утворилося нове ядро та протон, який відлетів із кінетичною енергією T_p = 2,09 МеВ під кутом θ = 60⁰ до напрямку руху \(\alpha\)-частинки. Визначити народжений нуклід $_{Z}^{A}X$ та величину v й напрям φ його швидкості.

Задача 4.4. В урановій руді разом із радіоактивним Ураном \({}^{238}\mathrm{U}\)  є й кінцевий продукт низки його перетворень – Плюмбум \({}^{206}\mathrm{Pb}\) (свинець). Оцінити вік руди T₀, якщо Уран має період піврозпаду \(T=4,5\cdot{10}^{9}\) років і за вмістом у руді в η = 2,8 раза перевищує Плюмбум.

Задача 4.5. У теплоізольовану посудину поклали препарат, який містить m = 1 мг \(\beta\)-активного ізотопу Натрію $_{11}^{24}Na$ з періодом піврозпаду T = 15 годин. Прийнявши, що при розпаді ядер утворювані\(\beta\)-частинки мають середню кінетичну енергію рівну \(\eta=1/3\) максимально можливого значення, оцінити кількість теплоти Q, що виділиться в посудині за добу (t = 24 год.)

Задача 4.1

Вважаючи, що всі хімічні елементи мають однакову густину ρ ядерної речовини,

знайти

склад і питому енергію зв'язку w нуклонів у ядрі, що має на 4 нейтрони більше, ніж протонів, і в k = 2 рази більший за нуклід ⁶Li діаметр d.

Знайти

Знайти масу M кам'яного вугілля із теплотворною здатністю Q = 50 МДж/кг, яка потрібна для отримання такої самої енергії, що й при удаваному синтезі m = 1 г ядер Карбону ¹²С із парами ядер Оксигену ¹⁶O.

Розв'язання

За умовою енергія згоряння шуканої маси M вугілля

дорівнює енергії E₂, що має виділятися при синтезі маси m ядер $^{12}C$ :

де m_c – маса одного ядра ¹²C і E_вих – енергія, що виділяється при його злитті (синтезі) з двома ядрами ¹⁶O за схемою:

${{E}_{вих}}=\left( {{m}_{c}}+2{{m}_{o}}-{{m}_{Ti}} \right){{c}^{2}}$

і є неявно заданою через табличні значення мас нуклідів: m_О = 15,995 а.о.м., m_Тi = 43,960 а.о.м. і m_с =  12 а.о.м.. Отож, із урахуванням співвідношення 1 а.о.м. = (1/12 )m_с = 1,66·10^–27 кг

${{E}_{вих}}$ ≈ 4,5·10^–12 Дж

і за виразом (4)

$M$ ≈ 4,5·10³ кг.

Отримана відповідь означає, що при масі ядер m′ = 1 кг шукана маса вугілля мала би складати M′ = 4,5·10⁶ кг. Тож, узагальнюючи отриманий результат, можна констатувати, що вихід енергії при ядерному синтезі є в мільйони разів більший, ніж при хімічному синтезі – об'єднанні атомів у молекули, що дає наочне уявлення про співвідношення між ядерними та електромагнітними силами.

Задача 4.3

При бомбардуванні нукліду ядра Нітрогену $_{7}^{14}\text{N}$ (азот) \(\alpha\)-частинкою з кінетичною енергією \(T_{\alpha}=4,0\) МеВ утворилося нове ядро та протон, який відлетів із кінетичною енергією T_p = 2,09 МеВ під кутом θ = 60⁰ до напрямку руху \(\alpha\)-частинки.

Визначити

народжений нуклід $_{Z}^{A}X$ та величину v й напрям φ його швидкості.

Розв'язання

Передовсім зауважимо, що при кінетичній енергії 4 МеВ швидкість \(\alpha\)-частинки складає тільки близько 5% швидкості світла c, тож кінетична енергія та імпульс частинок визначаються співвідношеннями класичної механіки.

Ядерні реакції відбуваються зі збереженням заряду та кількості нуклонів. Тому, враховуючи, що \(\alpha\)-частинка є ядром ізотопу Гелію $_{2}^{4}He$, для утвореного нукліду маємо Z = 8 і A = 17, тобто він є ізотопом Оксигену  $_{8}^{17}\text{O}$  (кисню).

Отже, описане перетворення відбувається за схемою:

і з виконанням закону збереженням власної mc² і кінетичної T енергії та імпульсу $\vec{p}$:

Із векторної діаграми (рис. 1), яка відображає рівняння (2), зрозуміло, що поперечні складові імпульсу протона та кисню однакові:

Звідси, врахувавши, що $p=\sqrt{2mT}$, виразимо кут відльоту як

і через означення імпульсу  –  швидкість $v=\left( p/m \right)$ ядра кисню:

В отриманих виразах кінетична енергія протона є задана, а маси за таблицями складають (а.о.м.):

m_p = 1,oo73,   m_α = 4,oo26,   m_N = 14,oo31   i   m_O = 16,9991.

Отже, для отримання числових значень φ і α не вистачає кінетичної енергії кисню T_O, яка, згідно з  рівнянням (1) й енергетичним еквівалентом атомної одиниці маси 931,5 МеВ/а.о.м., для ядра $_{8}^{17}\text{O}$ складає

T_O = 1,258 МеВ.

Відтак після обчислень за  виразами (3) і (4) отримаємо:

$\sin \varphi =0,283$     $\Rightarrow $     φ = 16,4^о

і, враховуючи співвідношення 1 МеВ = 1,6·10^–13 Дж,

v = 3,3·10⁶ м/с ≈ 0,01 с.
 

Задача 4.4

В урановій руді разом із радіоактивним Ураном \({}^{238}\mathrm{U}\)  є й кінцевий продукт низки його перетворень – Плюмбум \({}^{206}\mathrm{Pb}\) (свинець).

Оцінити

вік руди T₀, якщо Уран має період піврозпаду \(T=4,5\cdot{10}^{9}\) років і за вмістом у руді в η = 2,8 раза перевищує Плюмбум.

Розв’язання

Шуканий вік руди – то є час T₀, протягом якого в ній існує уран. Отже, згідно із  законом радіоактивного розпаду (4.11),

де N_U – наявна кількість атомів урану в руді і N₀ – їхня кількість на час виникнення руди. Відповідно, кількість утворених атомів свинцю N_Pb = N₀ – N_U складає

Відтак, поділивши вирази (1) і (2), дістанемо

і, прологарифмувавши отримане співвідношення, знайдемо відповідь:

${{T}_{0}}=T\left( \frac{\ln \frac{\eta +1}{\eta }}{\ln 2} \right)$= 2·10⁹ років.

Задача 4.5

У теплоізольовану посудину поклали препарат, який містить m = 1 мг \(\beta\)-активного ізотопу натрію $_{11}^{24}Na$ з періодом піврозпаду T = 15 годин.

Прийнявши,

що при розпаді ядер утворювані \(\beta\)-частинки мають середню кінетичну енергію рівну \(\eta=1/3\) максимально можливого значення, оцінити кількість теплоти Q, що виділиться в посудині за добу (t = 24 год.)

Розв’язання

Схема \(\beta\)-розпаду ядра $_{11}^{24}Na$ 

$\left\langle T \right\rangle =\eta {{E}_{вих}}$.

Тож у посудині за заданий час виділяється кількість теплоти   

$Q=\left( {{N}_{0}}-N \right)\eta {{E}_{вих}}$,

де N₀ – початкова кількість радіоактивних ядер у препараті й N – їхня кількість через час t, що за законом розпаду (4.9) дорівнює 

$N={{N}_{0}}\cdot {{2}^{-\frac{t}{T}}}$.

Отже, шукана величина Q визначається загальним виразом

в якому, згідно з основними положеннями молекулярно-кінетичної теорії (ФІЗИКА2, формули (1.3), (1.7)) початкова кількість ядер N₀ визначається їхньою загальною m = 1 г і молярною M = 24 г/моль масою та сталою Авогадро N_А = 6,025· 10²³ 1/моль і дорівнює

\(N_{0}=\frac{m}{M}N_{A}\) = 2,51·10¹⁹.

Відповідно, енергія виходу  E_вих реакції (1) визначається дефектом мас (формула (4.4)):

${{E}_{вих}}=\left( {{m}_{Na}}-{{m}_{Mg}} \right){{c}^{2}}$,

де, згідно з таблицями, m_Na = 23,991 а.о.м. і m_Mg = 23,985 а.о.м.. Тож, ураховуючи енергетичний еквівалент атомної одиниці маси 931, 5 МеВ/(а.о.м.), виходить

 E_вих = 5,59 МеВ.

Відтак, згідно із співвідношенням 1 еВ  = 1,6·10^–19 Дж, із виразу (2) знайдемо числову відповідь задачі:

Q = 5 МДж.

Задля наочності отриманого результату варто зауважити, що такою кількістю теплоти можна нагріти від 20 до 100^оС 15 літрів води.