physics.zfftt.kpi.ua

При розв'язуванні задач на атом Гідрогену треба врахувати наступне.

Задача 20.1. Згідно з теорією Бора, електрон в атомі Гідрогену може рухатися тільки по таких колових орбітах, для яких добуток імпульсу електрона на довжину орбіти кратний сталій Планка: \(mv\cdot{2}\pi{r}=nh\),  n = 1, 2, 3,… Виходячи з цього, визначити кутову швидкість електрона \(\omega\) на другій орбіті (n = 2).

Задача 20.2. У спектрі випромінювання атомарного Гідрогену при заданих умовах збудження спостерігається тільки три спектральні лінії. Визначити довжини хвиль цих ліній \(\lambda_{1}\), \(\lambda_{2}\), \(\lambda_{3}\).

Задача 20.3. Збуджені атоми Гідрогену знаходяться на n-ому енергетичному рівні. Визначити повну кількість ліній N, що спостерігаються у спектрі випромінювання цих атомів.

Задача 20.4. Електрон в нерухомому атомі Гідрогену знаходиться на енергетичному рівні n₂ = 2. Визначити швидкість v руху атома після випромінювання фотона.

Задача 20.5. На нерухомий атом Гідрогену налітає інший атом Гідрогену. До зіткнення обидва атоми знаходилися в основному стані (n₁ = 1). Визначити мінімальну кінетичну енергію W₁, яку повинен мати рухомий атом, щоб при прямому непружному зіткненні один з атомів випустив фотон.

Задача 20.1

Згідно з теорією Бора, електрон в атомі Гідрогену може рухатися тільки по таких колових орбітах, для яких добуток імпульсу електрона на довжину орбіти кратний сталій Планка:

\(mv\cdot{2}\pi{r}=nh\), n = 1, 2, 3,…

Виходячи з цього,

визначити

кутову швидкість електрона \(\omega\) на другій орбіті (n = 2).

Розв’язання

В теорії Бора рух електрона в атомі Гідрогену навколо ядра розглядається як рух точкового заряду під дією кулонівської сили, яка створює доцентрове прискорення. Тому згідно з рівнянням (2.5) та формулами (10.3) і (2.17) можна записати

де \(\omega\) – шукана кутова швидкість електрона, \(m=9,1\cdot{10}^{-31}\) кг – його маса,

\(k=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}=9\cdot{10}^{9}\) м/Ф.

Крім того враховано, що заряди електрона та ядра атома Гідрогену по модулю рівні \(e=1,6\cdot{10}^{-19}\) Кл. Зробимо в заданій у тексті задачі умові стаціонарності заміни \(v=\omega\cdot{r}\), \(h=h/2\pi=\hbar\), і об’єднаємо її з рівнянням (1):

\(\left\{ \begin{matrix} n\hbar=m\omega{r}^{2} \\ m\omega^{2}r^{3}=ke^{2} \\ \end{matrix} \right.\).

Розв’язавши отриману систему відносно , дістанемо

\(\omega=\frac{k^{2}e^{4}m}{\hbar^{3}n^{3}}=\frac{(9\cdot{10}^{9})^{2}\dot(1,6\cdot{10}^{-19})^{4}\cdot{9,1}\cdot{10}^{-31}}{(1,05\cdot{10}^{-34})^{3}2^{3}}=5,2\cdot{10}^{15}\) c^-1.

Задача 20.2

У спектрі випромінювання атомарного Гідрогену при заданих умовах збудження спостерігається тільки три спектральні лінії.

Визначити

довжини хвиль цих ліній \(\lambda_{1}\), \(\lambda_{2}\), \(\lambda_{3}\).

Розв’язання

Згідно з квантовим механізмом випромінювання і умовою (20.1) атом Гідрогену випромінює фотон при переході електрона з будь-якого збудженого енергетичного рівня на будь-який з більш низьких рівнів.

Якщо нижчий рівень сам є збудженим, то через короткий час (час життя збудженого стану) електрон знову переходить на один з більш низьких рівнів. Так продовжується, доки електрон не опиниться в основному стані. З наведених міркувань і схеми енергетичних рівнів (рис.2) неважко збагнути, що найвищий рівень, на якому знаходяться електрони в умовах задачі, відповідає головному квантовому числу n₃ = 3. Тільки в цьому випадку можливі лише три переходи, показані стрілками на рис.2, і відповідно - три спектральні лінії з енергіями фотонів \(h\nu_{1}\), \(h\nu_{2}\), \(h\nu_{3}\). Частоти \(\nu_{1}\), \(\nu_{2}\), \(\nu_{3}\) визначаються формулою Бальмера (20.4). Врахувавши значення R = 3,29·10¹⁵ Гц, отримаємо

\(\nu_{1}=3,29\cdot{10}^{15}\left(1-\frac{1}{9}\right)=2,93\cdot{10}^{15}\) Гц,

\(\nu_{2}=3,29\cdot{10}^{15}\left(\frac{1}{4}-\frac{1}{9}\right)=4,58\cdot{10}^{14}\) Гц ,

\(\nu_{3}=3,29\cdot{10}^{15}\left(1-\frac{1}{4}\right)=2,47\cdot{10}^{15}\) Гц.

Довжини хвиль визначаються формулою (15.4a), отже

\(\lambda_{1}=\frac{c}{\nu_{1}}=\frac{3\cdot{10}^{8}}{2,93\cdot{10}^{15}}=102,7\) нм;

\(\lambda_{1}=\frac{c}{\nu_{1}}=\frac{3\cdot{10}^{8}}{4,58\cdot{10}^{14}}=656\) нм;

\(\lambda_{1}=\frac{c}{\nu_{1}}=\frac{3\cdot{10}^{8}}{2,47\cdot{10}^{15}}=121\) нм;

Задача 20.3

Збуджені атоми Гідрогену знаходяться на n-ому енергетичному рівні.

Визначити

повну кількість ліній N, що спостерігаються у спектрі випромінювання цих атомів.

Розв’язання

На рис. 3 схематично показані всі енергетичні рівні, на яких можуть перебувати електрони за умовою задачі.

Відповідь на поставлене запитання можна отримати прямим підрахунком, взявши до уваги, що шукане число N дорівнює сумі кількостей всіх можливих переходів електронів на кожен з рівнів від першого до (n –1)-го. Очевидно, що таких можливих переходів є:

на перший рівень – n - 1,

на другий рівень – n – 2,

на третій рівень – n – 3,

………………………………………….

на (n - 1)-й рівень – 1.

Отримана числова послідовність є арифметичною прогресією з (n - 1) членів, причому a₁ = n - 1, a_n-1 = 1. Сума арифметичної прогресії дорівнює добутку півсуми першого та останнього членів на їх кількість:

\(N=\frac{(n-1)+1}{2}(n-1)\)    \(\Rightarrow\)    \(N=\frac{n(n-1)}{2}\).

Примітка. Той, хто знає основи комбінаторики, може отримати відповідь коротше. У кожному переході беруть участь 2 з n рівнів. Тому кількість переходів дорівнює кількості комбінацій з n по 2:

\(N=C_{n}^{2}=\frac{n!}{2!{(n-2)!}}=\frac{(n-1)n}{2}\).

Задача 20.4

Електрон в нерухомому атомі Гідрогену знаходиться на енергетичному рівні n₂ = 2.

Визначити

швидкість v руху атома після випромінювання фотона.

Розв’язання

Фотон випромінюється при переході електрона зі збудженого рівня n₂ = 2 на основний рівень n₁ = 1. Енергія фотона W визначається співвідношенням (20.1) і формулою (20.3a):

де E₀ = 13,6 еВ.

Система атом – фотон є ізольованою, тому в ній зберігається імпульс. Оскільки до випромінювання імпульс системи дорівнював нулю, то

\(0=\vec{p}_{ф}+\vec{p}_{а}\)     \(\Rightarrow\)     \(\vec{p}_{а}=-\vec{p}_{ф}\),

де \(\vec{p}_{а}\), \(\vec{p}_{ф}\) – імпульси атома та випроміненого фотона. Таким чином, атом отримує імпульс "віддачі", рівний за величиною та протилежний за напрямком імпульсу фотона, що випромінюється. Імпульс фотона p_ф визначається через його енергію W співвідношенням (19.4):

\(p_{ф}=\frac{W}{c}\),

де c – швидкість світла.

В такому разі для модулів маємо:

\(\frac{W}{c}=mv_{а}\)     \(\Rightarrow\)     \(v=\frac{W}{m_{а}c}\),

де \(m_{а}=1,67\cdot{10}^{-27}\) кг – маса атома Гідрогену. Підставивши в цей вираз значення W з виразу (1), отримаємо

\(v=\frac{3E_{0}}{4m_{а}c}\).

Виразивши величину E0 = 13,6 еВ у джоулях і виконавши обчислення, дістанемо відповідь:

\(v=\frac{3\cdot{13,6}\cdot{1,6}\cdot{10}^{-19}}{4\cdot{1,67}\cdot{10}^{-27}\cdot{3}\cdot{10}^{8}}\approx\) 3,26 м/с.

Примітка. Внаслідок віддачі атом отримує не тільки імпульс, а й деяку кінетичну енергію W_а. Тому, строго говорячи, енергія фотона менша від значення (1) на величину W_а. Але підрахунок показує, що це абсолютно нехтовний ефект:

\(W_{а}=\frac{m_{а}v^{2}}{2}=8,87\cdot{10}^{27}\) Дж = \(5,5\cdot{10}^{-8}\) еВ.

В той же час енергія фотона

\(W=\frac{3\cdot{13,6}}{4}=10,2\) еВ.

Отже W_а << W.

Задача 20.5

На нерухомий атом Гідрогену налітає інший атом Гідрогену. До зіткнення обидва атоми знаходилися в основному стані (n₁ = 1).

Визначити

мінімальну кінетичну енергію W₁, яку повинен мати рухомий атом, щоб при прямому непружному зіткненні один з атомів випустив фотон.

Розв’язання

Зіткнення атомів відбувається з виконанням законів збереження енергії та імпульсу. При непружному зіткненні частина кінетичної енергії налітаючого атома перетворюється на внутрішню енергію, що означає перехід одного або двох атомів у збуджений стан. Мінімальна необхідна енергія очевидно відповідає переходу одного атома з основного стану (n₁ = 1) у перший збуджений (n₂ = 2). При зворотному переході цей атом випускає фотон.

За законом збереження енергії

де W₁ – кінетична енергія атома, що налітає, W₂ – кінетична енергія атомів після непружного зіткнення, \(\Delta{W}\) – зміна внутрішньої енергії, тобто енергія збудження.

Згідно виразами (20.1) і (20.3a)

За законом збереження імпульсу

де p₁ – імпульс атома, що налітає, p₂ – імпульс атомів після непружного удару.

Імпульс і кінетична енергія зв'язані співвідношенням (4.3б)

\(W=\frac{p^{2}}{2m}\)     \(\Rightarrow\)     \(p=\sqrt{2mW}\).

Тому вираз (3) можна записати у вигляді

де враховано, що після непружного удару атоми рухаються разом, як одна частинка з масою 2m (m – маса одного атома). З огляду на вирази (2) і (4), формула (1) набуває вигляду

\(W_{1}=\frac{W_{1}}{2}+E_{0}\left(\frac{1}{n_{1}^{2}}-\frac{1}{n_{2}^{2}}\right)\)     \(\Rightarrow\)     \(W_{1}=E_{0}\left(\frac{1}{n_{1}^{2}}-\frac{1}{n_{2}^{2}}\right)\).

Підставивши сюди значення E₀ = 13,6 еВ, n₁ = 1, n₂ = 2, дістанемо:

\(W_{1}=2\cdot13,6\cdot\left(1-\frac{1}{4}\right)\) = 20,4 еВ.