physics.zfftt.kpi.ua

Некогерентність природнього світла. Дослід свідчить, що при накладанні світлових пучків від двох звичайних джерел світла (маються на увазі всі природні та штучні джерела, крім оптичних квантових генераторів - лазерів) інтерференція ніколи не спостерігається. Це означає, що хвилі від двох незалежних джерел світла є некогерентними. Причина цього лежить у самому механізмі випромінювання. Світло випромінюється атомами тіла не у вигляді неперервної хвилі, а окремими «порціями»  (причини цього пояснюються в квантовій механіці), які у хвильовій теорії називаються цугами.

Кожен цуг являє собою «відрізок хвилі» тривалістю \(\tau\sim{10}^{-8}\) c і протяжністю \(l\sim{3}\) м, який має задані початкову фазу та напрям коливань світлового вектора, але характеризується не заданою частотою \(\omega\), а спектром – неперервним набором частот у деякому інтервалі \(\Delta\omega\) в околі заданого значення \(\omega\). Тож хвильовий цуг не є строго монохроматичним. Тому на практиці монохроматичним називають випромінювання не з однією частотою, а з вузькою спектральною шириною \(\Delta\omega\ll\omega\). Іншою особливістю цугів є те, що їхні початкові фази, так само, як і напрямки коливань світлового вектора, ніяк не узгоджені: у кожного наступного цугу вони можуть як завгодно відрізнятися від попереднього. Тому в світловому промені від реального джерела початкова фаза та напрям коливань дуже швидко і хаотично змінюються. Відповідно так само швидко і невпорядковано змінюється різниця фаз і взаємна орієнтація напрямків коливань променів, які приходять у дану точку від двох незалежних джерел. Тому світлові пучки від незалежних джерел є повністю некогерентними і при накладанні не інтерферують. Проте руйнівний вплив нестабільності початкової фази на інтерференцію можна виключити, використовуючи для отримання когерентних пучків не два незалежних джерела, а одне. (Як це робиться, розглянемо в наступній лекції). Але через принципову немонохроматичність випромінювання та наявність у джерел скінченних лінійних розмірів добитися повної когерентності реальних світлових пучків все одно неможливо, що суттєво обмежує умови спостереження інтерференції світла. Проаналізуємо вплив кожного із указаних двох факторів окремо.

Часова когерентність. Розглянемо спочатку спрощену ситуацію, коли кожне з двох точкових джерел випромінює монохроматичну хвилю з початковою фазою \(\varphi_{0}\) і з тільки двома близькими частотами \(\omega\) та \(\omega+\Delta\omega\) та довжинами хвилі \(\lambda\) і \(\lambda+\Delta\lambda\). Тоді розподіл інтенсивностей на екрані можна змоделювати як суперпозицію двох інтерференційних картин, одна з яких створюється променями з довжиною хвилі \(\lambda\) а інша – \(\lambda+\Delta\lambda\). Ці картини характеризуються різною шириною смуги (формула (2.17)) і поступово «розповзаються», як показано на рис. 2.5а. Як наслідок, результуюча інтенсивність у максимумах буде поступово зменшуватись, а в мінімумах – збільшуватись аж до зникнення смуг (рис. 2.5б). Це станеться тоді, коли максимум якогось порядку \(m^{\prime}\) для довжини хвилі \(\lambda+\Delta\lambda\) співпаде з відповідним мінімумом для довжини хвилі \(\lambda\). Отже, згідно з формулами (2.16):

де \(m^{\prime}\) – порядок інтерференції в місці, де зникають смуги.

Формально число \(m^{\prime}\) можна трактувати як максимальний порядок інтерференції при накладанні умовних променів, кожен із яких включає дві довжини хвилі. Насправді ж у випромінювання присутні всі можливі довжини хвилі в інтервалі від \(\lambda\) до \(\lambda+\Delta\lambda\), тож можна вважати, що весь спектр складається з безлічі пар променів з різницею довжин хвилі \(\Delta\lambda/2\) кожна. Тому, підставивши цю величину в (2.18) замість \(\Delta\lambda\), отримаємо більш коректний вираз:

в якому величина

є мірою наближеності світла до строго монохроматичного.

Таким чином, неповна монохроматичність світла обмежує кількість інтерференційних смуг, які можна реально спостерігати, величиною \(N\approx{2}m_{max}\). Наприклад, при використанні білого світла і скляних світлофільтрів \(m_{max}\sim{10}\), тому інтерференція спостерігається на екрані тільки в невеликій центральній зоні, про що говорилося в п. 2.2. При цьому різниця ходу променів не повинна перевищувати максимальної допустимої величини \(\Delta_{max}=m_{max}\lambda\), яка називається довжиною когерентності: \(l_{ког}=\Delta_{max}\). Згідно з умовами (2.10) і (2.19),

Поняття довжини когерентності дозволяє сформулювати наступний критерій:

інтерференцію світла можна спостерігати лише, коли різниця ходу променів не перевищує довжину когерентності цього світла, тобто за умови:

Таким чином, випромінювання не сповна монохроматичних джерел є когерентним не скрізь, а тільки в обмеженій області простору, в якій різниця ходу променів задовольняє умову (2.21). Але це питання можна розглядати і з іншої точки зору. Якщо хвилі від точкових джерел \(S_1\) і \(S_2\) (рис.2.1.) є монохроматичними, але мають дещо різні частоти \(\omega_1=\omega\) і \(\omega_2=\omega+\Delta\omega\), то різниця фаз променів у точці накладання змінюється з часом:

Тому при накладанні таких двох хвиль інтерференція буде спостерігатися лише протягом часу

за який різниця фаз змінюється на \(\pi\), і умова підсилення інтенсивності переходить в умову послаблення, чи навпаки. Величина \(\tau^{\prime}\) визначає граничний проміжок часу, протягом якого дані дві хвилі можна вважати когерентними, і тому називається часом когерентності.

Для не повністю монохроматичних світлових пучків з частотами в усьому інтервалі від \(omega\) до \(\omega+\Delta\omega\) умови спостереження інтерференції покращуються, оскільки в них присутні промені з різницею частот не лише \(\Delta\omega\), а й з усіма меншими значеннями аж до 0. Тому, поставивши у вираз \(\tau^{\prime}\) замість \(\Delta\omega\) середню величину \(\Delta\omega/2\), отримаємо більш коректний вираз для часу когерентності \(\tau_{ког}\) не повністю монохроматичних хвиль:

Звідси випливає, що чим меншою є величина \(\Delta\omega\), тобто чим вищий ступінь монохроматичності хвиль, тим довше вони лишаються когерентними. Тому

когерентність хвиль, зумовлену близькістю їхніх частот, називають часовою когерентністю.

Відповідно, величина \(\tau_{ког}\) є мірою часової когерентності не повністю монохроматичних хвиль.

Час когерентності можна виразити й через інтервал довжин хвиль \(\Delta\lambda\) присутніх у випромінюванні. Для цього досить взяти до уваги, що \(\omega=2\pi{c}/\lambda\) і що за умови \(\Delta\omega\ll\omega\) величина \(\Delta\omega=(\mathrm{d}\omega)/\mathrm{d}\lambda)\Delta\lambda\). Тоді виходить:

і зі співвідношень (2.22) і (2.20) виходить:

Отже, між часом і довжиною когерентності є прямий зв’язок: довжина когерентності дорівнює відстані, на яку поширюється хвиля за час когерентності. Тому часову когерентність не сповна монохроматичних хвиль можна характеризувати як часом \(\tau_{ког}\), так і довжиною когерентності \(l_{ког}\). Але слід зауважити, що обидві ці величини є лишень оціночними, бо чіткої межі між можливістю та неможливістю спостерігати інтерференцію не існує.

Підводячи загальний підсумок, зазначимо, що причиною неповної часової когерентності є не повна визначеність частоти випромінювання реальних джерел світла, а наслідком – обмежена кількість інтерференційних смуг область простору, де їх можна спостерігати.

Просторова когерентність. На можливість спостерігати інтерференцію негативно впливають і лінійні розміри джерел світла, наявність яких зумовлює неоднозначність різниці ходу когерентних променів, які приходять у точку спостереження від різних точок джерел. У променів, які виходять із близьких точок джерел різниця ходу менша, а в променів від віддалених точок вона більша. Це погіршує умови спостереження та якість інтерференційних смуг. Може навіть статися, що промені від одних ділянок джерел підсилюються, а від інших – послаблюються й інтерференційні смуги взагалі не спостерігаються. Це можна трактувати як те, що випромінювання може бути більш або менш когерентним залежно від розмірів джерела. Тому когерентність, обумовлену лінійними розмірами джерел, називають просторовою когерентністю.

Зрозуміло, що за будь-яких умов просторова когерентність випромінювання погіршується при збільшені розмірів джерел. Але якоїсь єдиної формули-критерію тут немає, бо просторова когерентність залежить не тільки від розмірів джерел, а й від взаємного розташування джерел і точки спостереження. Як приклад розглянемо вплив неповної просторової когерентності на інтерференційну картину від двох джерел у вигляді однакових щілин ширини \(b\) розміщених на відстані \(h\) одна від одної (рис. 2.6 ), які випромінюють монохроматичне світло з довжиною хвилі \(\lambda\). Будемо вважати, що ці джерела складаються з безлічі пар гранично вузьких щілин – від \(1-1^{\prime}\) до \(2-2^{\prime}\), які розміщені на відстані \(h\) одна від одної. Всі вони утворюють на екрані однакові елементарні смуги з шириною \(\Delta{x}\) (формула (2.17)). Але центри інтерференційних картин від кожної пари цих віртуальних щілин зміщені одна відносно одної й розташовані між точками О₁ і О₂ всередині області шириною \(b\), рис.2.7а.

Через це результуюча інтенсивність у максимумах зменшується, а в мінімумах збільшується, що зменшує чіткість смуг, як схематично показано на рис. 2.7 б. Тому при поступовому збільшенні ширини щілин \(b\) інтерференційні смуги по всьому полю зору будуть менш і менш виразними і в решті зовсім зникнуть. (Оскільки око може розрізняти смуги за яскравістю лише при певній мінімальній різниці інтенсивностей, при збільшенні ширини щілин буде зменшуватись не тільки чіткість, а й кількість смуг, які спостерігаються)/ Так станеться, коли відстань О₁О₂ =  зрівняється із шириною інтерференційної смуги \(\Delta{x}\), тож інтерференція буде спостерігатися тільки за умови \(b\le\Delta{x}\). Цю умову можна розглядати як критерій просторової когерентності у схемі рис. 2.6. Відповідно до формул (2.17) і (2.17а), його можна записати, як:

де \(\Psi=h/l\) – кутова відстань між когерентними джерелами (див. рис. 2.3), тобто кут зору, під яким їх видно із зони інтерференції на екрані.

На завершення ще раз наголосимо, що від неповної просторової та часової когерентності принципово неможливо позбутися. Тому практично за будь-яких умов можна спостерігати тільки досить обмежену кількість інтерференційних смуг.