ФІЗИКА ДЛЯ БАКАЛАВРІВ. ЕЛЕМЕНТИ ОПТИКИ
Лекція 5.2. ІНТЕРФЕРЕНЦІЯ СВІТЛА
4. ІНТЕНСИВНІСТЬ СВІТЛА ТА ШИРИНА ІНТЕРФЕРЕНЦІЙНИХ СМУГ
Інтенсивність та ширина інтерференційних смуг. Розглянемо тепер величину інтенсивностей у максимумах \(I_{max}\) та мінімумах \(I_{min}\) і їхнє положення на екрані при інтерференції від двох точкових когерентних джерел. Згідно з виразом (2.5) та умовами (2.7)
|
|
\(\begin{matrix} I_{max}=\left(\sqrt{I_1}+\sqrt{I_2}\right)^{2},\\I_{min}=\left(\sqrt{I_1}-\sqrt{I_2}\right)^2.\end{matrix}\) |
(2.12) |
Аби інтерференційні смуги на екрані були чіткими (контрастними), інтенсивність мінімумів має бути якнайменшою, в ідеалі – \(I_{min}-0\). В такому випадку \(I_2=I_1 \) і \(I_{max}=4I_1\). Тому на практиці завжди намагаються отримувати когерентні промені з максимально близькими інтенсивностями. При цьому формула (2.5) набуває вигляду:
|
|
\(I=2I_{1}(1+\cos\delta)=I_{0}\cos^2\frac{\delta}{2}\), де \(I_{0}=4I_1\). |
(2.13) |
Визначимо із цього виразу розподіл інтенсивностей на екрані \(I(x)\) при двопроменевій інтерференції у повітрі (n =1) від ідеальних точкових когерентних джерел \(S_1\) і \(S_2\) з однаковими інтенсивностями \(I_1=I_2\). Для цього спочатку знайдемо різницю ходу \(\Delta{(x)}\), а потім за допомогою формули (2.9а) – різницю фаз \(\delta(x)\) променів, які приходять у довільну точку Р, в залежності від її координати х, рис. 2.3.
 |
Задля спрощення викладок заздалегідь урахуємо, що інтерференційні смуги на екрані можна візуально спостерігати тільки при малих відстанях між джерелами (\(h\ll{1}\)) і в невеликій області біля центра картини О, тобто при \(x\ll{l}\). У такому разі показані на рис. 2.3 кути \(\theta\) дуже малі, практично однакові та мають величину \(\theta=x/l\). Тож, замінюючи відповідні тригонометричні функції самими кутами, різницю ходу \(\Delta\) і різницю фаз \(\delta\), можна з великою точністю виразити, як:
|
|
\(\Delta(x)=h\cdot\theta=h\frac{x}{l}\) \(\Rightarrow\) \(\delta(x)=\frac{2\pi{h}}{\lambda{l}}x\)\). |
(2.14) |
Підставивши цей вираз \(\delta(x)\) у формулу (2.13), для інтенсивності отримаємо:
|
|
\(I(x)=I_{0}\cos^{2}\left(\frac{\pi{h}}{\lambda{l}}\right)\). |
(2.15) |
Графік залежності \(I(x)\) показаний на рис.2.4.
 |
Інтерференційна картина складається системи світлих смуг з інтенсивністю в максимумах \(I_0=4I_1\) та темних смуг із нульовою інтенсивністю в мінімумах. Смуги розміщуються симетрично по обидва боки від центральної точки О, в якій знаходиться максимум порядку \(m=0\). Він називається центральним максимумом, а відповідна смуга – центральною інтерференційною смугою. Підставивши вираз \(\Delta(x)\) з (2.14) в умови (2.11) та (2.11а), отримаємо вирази для координат максимумів та мінімумів при інтерференції:
|
|
\(\begin{matrix} x_{m\mathrm{max}}=\pm{m}\frac{l\lambda}{h},\\x_{m\mathrm{min}}=\pm\left(m+\frac{1}{2}\right)\frac{l\lambda}{h}.\end{matrix}\) \(m=0,1,2…\) |
(2.16) |
З цих формул випливає, що відстань \(\Delta{x}=|x_{m+1}-x_{m}|\) між сусідніми максимумами чи мінімумами не залежить від порядку інтерференції, тобто смуги розташовані еквідистантно, тобто на однаковій відстані
|
|
\(\Delta{x}=\frac{l\lambda}{h}\)\), |
(2.17) |
або
|
|
\(\Delta{x}=\frac{\lambda}{\Psi}\), |
(2.17) |
де \(\Psi=h/l\) – кутова відстань між когерентними джерелами, тобто кут зору, під яким їх видно з центра інтерференційної картини (див. рис. 2.3).
Між сусідніми мінімумами розташовується інтерференційний максимум, тобто світла смуга. Тому величина називається шириною інтерференційної смуги.
Вираз (2.17) дозволяє зрозуміти, чому інтерференційні смуги можна спостерігати тільки при малих відстанях між когерентними джерелами. Причина полягає в обмеженій роздільній здатності ока (гостроті зору), що визначається найменшим кутом зору \(\Psi_{0}\), при якому дві близькі риски ще бачаться роздільно (не зливаються). Для нормального ока \(\Psi_{0}\approx{1}^{\prime}\approx{3}\cdot{10}^{-4}\) рад, тож при відстані до джерел \(l=1\) м інтерференцію можна візуально спостерігати, коли відстань між когерентними джерелами \(h\le{0,3}\) мм.