physics.zfftt.kpi.ua

Задача 19.1. Визначити частоту \(\nu\) та довжину хвилі \(\lambda\) у вакуумі випромінювання, маса фотонів якого дорівнює масі електрона \(m_{e}=9,1\cdot{10}^{-31}\) кг.

Задача 19.2. У деякій речовині довжина хвилі світла становить \(\lambda=414\) нм при енергії фотонів E = 2,0 еВ (1 еВ = 1,6·10^-19 Дж). Визначити показник заломлення n цієї речовини.

Задача 19.3. Лазер випромінює в імпульсі \(N=2\cdot{10}^{19}\)  фотонів з довжиною хвилі \(\lambda=694\) нм. Визначити середню потужність випромінювання лазера P, якщо тривалість імпульсу \(\tau=2\) мс.

Задача 19.4. Лазер випромінює імпульси з енергією E = 10 Дж і тривалістю \(\tau=10\) мкс. Промінь від цього лазера, що нормально падає на дзеркальну поверхню, сфокусований в цятку діаметром d = 5 мкм. Визначити середній тиск P, що його створює лазерний імпульс на поверхню.

Задача 19.1

Визначити

частоту \(\nu\) та довжину хвилі \(\lambda\) у вакуумі випромінювання, маса фотонів якого дорівнює масі електрона \(m_{e}=9,1\cdot{10}^{-31}\) кг.

Розв’язання

Відповідь дають формули (19.2) і (19.2a), згідно з якими

\(\nu=\frac{mc^{2}}{h}\),    \(\lambda=\frac{h}{mc}\).

Підставивши задане значення m та табличні константи c = 3·10⁸ м/с, h = 6,63·10^-34 Дж·с, отримаємо:

\(\nu=\frac{9,1\cdot{10}^{-31}\cdot{9}\cdot{10}^{16}}{6,62\cdot{10}^{-34}}\approx{1,24}\cdot{10}^{20}\) Гц,

\(\lambda=\frac{6,63\cdot{10}^{-34}}{9,1\cdot{10}^{-31}\cdot{3}\cdot{10}^{8}}=2,42\cdot{10}^{-12}\) м = 2,42 пм.

Отримані числа відповідають найбільш високочастотній (короткохвилевій) ділянці електромагнітного спектра – гамма-випромінюванню.

Задача 19.2

У деякій речовині довжина хвилі світла становить \(\lambda=414\) нм при енергії фотонів E = 2,0 еВ (1 еВ = 1,6·10^-19 Дж).

Визначити

показник заломлення n цієї речовини.

Розв’язання

Енергія фотона визначає довжину світлової хвилі \(\lambda_{0}\) у вакуумі (формула (19.1б)):

У середовищі довжина світлової хвилі зменшується згідно з формулою (16.4), отже

\(n=\frac{\lambda_{0}}{\lambda}\).

Підставивши сюди вираз (1), дістанемо відповідь:

\(n=\frac{hc}{\lambda{e}}=\frac{6,63\cdot{10}^{-34}\cdot{3}\cdot{10}^{8}}{4,14\cdot{10}^{-7}\cdot{3,2}\cdot{10}^{-19}}\) = 1,5.

Задача 19.3

Лазер випромінює в імпульсі \(N=2\cdot{10}^{19}\)  фотонів з довжиною хвилі \(\lambda=694\) нм.

Визначити

середню потужність випромінювання лазера P, якщо тривалість імпульсу \(\tau=2\) мс.

Розв’язання

Енергія одного фотона, випроміненого лазером (формула (19.1б)),

\(\varepsilon=\frac{hc}{\lambda}\),

де h = 6,63·10^-34 Дж·с – стала Планка, с = 3·10⁸ м/с – швидкість світла.

Загальна енергія лазерного імпульсу

\(W=N\varepsilon=N\frac{hc}{\lambda}\).

Середня потужність імпульсу

\(P=\frac{W}{\tau}=\frac{Nhc}{\tau\lambda}\).

Підставивши у цю формулу числові значення величин, одержимо відповідь:

\(P=2,86\cdot{10}^{-3}\) Вт = 2,86 мВт.

Задача 19.4

Лазер випромінює імпульси з енергією E = 10 Дж і тривалістю \(\tau=10\) мкс. Промінь від цього лазера, що нормально падає на дзеркальну поверхню, сфокусований в цятку діаметром d = 5 мкм.

Визначити

середній тиск P, що його створює лазерний імпульс на поверхню.

Розв’язання

Згідно з умовою задачі шуканий тиск визначається формулою (19.10б):

де I – середня інтенсивність лазерного імпульсу, c – швидкість світла.

Відповідно до означення (15.11)

\(I=\frac{E}{\tau{S}}\frac{4I}{\pi{d}^{2}\tau}\),

де \(S=\pi{d}^{2}/4\) – площа поверхні, на яку сфокусоване випромінювання.

Підставивши вираз I у формулу (1), дістанемо

\(P=\frac{8E}{\pi{c}d^{2}\tau}\).

Обчислення дають:

\(P=3,4\cdot{10}^{8}\) Па.

Отримана величина \(n\approx3000\) разів перевищує атмосферний тиск. Тому за допомогою сфокусованого лазерного променя можна робити отвори у найтвердіших матеріалах, а також використовувати його як «лазерний скальпель» у хірургії.