physics.zfftt.kpi.ua

Наступні приклади ілюструють  застосування основних положень квантової оптики при розв'язуванні типових задач.

Задача 2.1. Лазер випускає світлові імпульси з довжиною хвилі \(\lambda=694\) нм, тривалістю  \(\tau=2\) мс і прогальністю k = 2. Визначити середню потужність P випромінювання лазера, якщо один імпульс містить \(N=2\cdot{10}^{19}\) фотонів.

Задача 2.2. На дзеркало по нормалі падає сфокусоване в цятку діаметром d = 5 мкм випромінювання від імпульсного лазера. Визначити тиск P, який воно створює при  енергії імпульсу W =10 Дж і тривалості \(\tau=10\) мкс.

Задача 2.3. Кінетична енергія електронів, які вилітають із металу під дією  світла, дорівнює W = 2,0 еВ. Визначити, яку частку η% енергії фотона складає робота виходу електрона з цього металу, якщо червона межа фотоефекту для нього складає \(\lambda_{0}=278\) нм.

Задача 2.4. При опроміненні фотоелемента світлом один раз із довжиною хвилі \(\lambda_{1}\) = \(\lambda\), а другий – \(n\lambda\), виявилося, що відношення запірних напруг складає (U₁/U₂) = n². Визначити червону межу фотоефекту \(\lambda_{0}\) в цьому фотоелементі.

Задача 2.5. За певних умов опромінення струм у фотоелементі припиняється при зворотній напрузі U_з = 2 В. Визначити максимальну швидкість v, з якою електрони потраплятимуть на анод фотоелемента при такій самій прямій напрузі U_п = U_з.

Задача 2.6. Визначити, до якого максимального потенціалу \(\varphi_{m}\) зарядиться відокремлена металева кулька з роботою виходу електронів A = 4 еВ при опроміненні  світлом із довжиною хвилі \(\lambda=140\) нм.

Задача  2.1

Лазер випускає світлові імпульси з довжиною хвилі \(\lambda=694\) нм, тривалістю  \(\tau=2\) мс і прогальністю k = 2

Визначити

середню потужність P випромінювання лазера, якщо один імпульс містить \(N=2\cdot{10}^{19}\) фотонів.

Розв’язання

Перш за все зауважимо, що прогальність k (інколи говорять ''шпаруватість'') – то є число, що визначає ступінь заповнення часу даними імпульсами й дорівнює відношенню періоду їхнього повторення T до тривалості \(\tau\). Отже,

$T=k\tau $,

і середня потужність випромінювання (відношення енергії одного імпульсу до періоду повторення) складає

$P=\frac{N\varepsilon }{k\tau }$,                      (1)                 

де $\varepsilon $ – енергія фотона, що за формулою (2.1б) дорівнює

$\varepsilon =\frac{hc}{\lambda }$.

Тож, зробивши таку заміну у виразі (1), знайдемо загальну відповідь

\(P=\frac{Nhc}{\tau\lambda}\)

і числове значення середньої потужності лазерного пучка:

\(P=2,86\cdot{10}^{-3}\) Вт = 2,86 мВт.

Задача 2.2

На дзеркало по нормалі падає  сфокусоване в цятку діаметром d = 5 мкм випромінювання від імпульсного лазера.

Визначити 

тиск P, який воно створює при енергії імпульсу W = 10 Дж і тривалості \(\tau=10\) мкс.

Розв’язання

Тиск світла на дзеркальну поверхню визначається формулою (2.10б):

де I – інтенсивність випромінювання і c – швидкість світла.

Відповідно до означення (2.9),

$I=\frac{W}{\tau S}=\frac{4W}{\pi {{d}^{2}}\tau }$,

де \(S=\pi{d}^{2}/4\) – площа поверхні, на яку падає випромінювання лазера.

Підставивши цей вираз I у формулу (1), дістанемо відповідь:

$P=\frac{8W}{\pi {{d}^{2}}c\tau }$.

Обчислення дають

P = 0,34 ГПа.

Отримана величина є майже в 3,4 тисяч разів більша за атмосферний тиск. Тож на практиці за допомогою сфокусованого потужного лазерного пучка робять отвори в найтвердіших матеріалах, а також використовують його в хірургії як ''лазерний скальпель''.

Задача 2.3

Кінетична енергія електронів, які вилітають із металу під дією  світла, дорівнює W = 2,0 еВ. 

Визначити,

яку частку η% енергії фотона складає робота виходу електрона з цього металу, якщо червона межа фотоефекту для нього складає \(\lambda_{0}=278\) нм.

Розв’язання

Енергія поглинутого фотона ε розподіляється між роботою виходу A та кінетичною енергією фотоелектрона W у відповідності до закону збереження енергії: ε = A + W. Отже, шукана частка енергії η складає:

Згідно з формулою (2.8а) робота виходу дорівнює

\(A=\frac{hc}{\lambda_{0}}\),

тож, підставивши це значення у вираз (1), дістанемо загальну:

$\eta =\frac{1}{1+\left( \lambda W/hc \right)}$

та числову відповідь задачі:

η = 0,69 = 69 %.

Задача 2.4

При опроміненні фотоелемента світлом один раз із довжиною хвилі \(\lambda_{1}\) = \(\lambda\), а другий – \(n\lambda\), виявилося, що відношення запірних напруг складає (U₁/U₂) = n².  

Визначити

червону межу фотоефекту \(\lambda_{0}\) в цьому фотоелементі.

Розв’язання

Спочатку, попередньо виразивши в рівнянні  (2.7а) 1) роботу виходу через червону межу λ₀ фотоефекту (2.8) і 2) кінетичну енергію через запірну напругу U  (2.6), дістанемо для першого випадку:

$\frac{hc}{{{\lambda }_{1}}}=\frac{hc}{{{\lambda }_{0}}}+e{{U}_{1}}$   $\Rightarrow \text{ }$   $\frac{1}{{{\lambda }_{1}}}-\frac{1}{{{\lambda }_{0}}}=\frac{e{{U}_{1}}}{hc}$  $\Rightarrow \text{ }$ $\frac{{{\lambda }_{0}}-\lambda_{1} }{\lambda_{1} {{\lambda }_{0}}}=\frac{eU_{1}}{hc}$          (1)

Аналогічно для другого випадку:

$\frac{{{\lambda }_{0}}-\lambda_{2} }{\lambda_{2} {{\lambda }_{0}}}=\frac{eU_{2}}{hc}$          (2)

Відтак, почленно поділивши рівняння (1) і (2), після елементарних викладок отримаємо наступну відповідь:

\(\lambda_{0}=(n+1)\lambda\).

Задача 2.5

За певних умов опромінення струм у фотоелементі припиняється при зворотній напрузі U_з = 2 В.

Визначити

максимальну швидкість v, з якою електрони потраплятимуть на анод фотоелемента при такій самій прямій напрузі U = U_з.

Розв’язання

За прямої напруги U на фотоелементі кінетична енергія електрона W на момент потрапляння на анод перевищує значення W₀ на виході з катода на величину роботи eU прискорювального поля анода:

Відповідно, кінетична енергія електрона W₀ при вильоті з катода дорівнює роботі гальмівного поля при запірній напрузі U_з на аноді:

W₀  =  eU_з.

Отже, враховуючи, що за умовою у виразі (1) U = U_з, знайдемо кінетичну енергію

W  =  2eU_з,

та швидкість фотоелектронів при потраплянні на анод:

\(\frac{mv^{2}}{2}=2eU_{з}\)     \(\Rightarrow\)     \(v=2\sqrt{\frac{eU_{з}}{m}}\).

Відтак, узявши з таблиць масу електрона m = 9,1·10^-31 кг, отримаємо наступну числову відповідь:

\(v\approx1,2\cdot{10}^{6}\) м/с.

Задача 2.6

Визначити,

до якого максимального потенціалу \(\varphi_{m}\) зарядиться відокремлена металева кулька з роботою виходу електронів A = 4 еВ при опроміненні світлом із довжиною хвилі \(\lambda=140\) нм.

Розв’язання

При заданій довжині хвилі опромінювального світла енергія фотона (2.1б) перевищує роботу виходу електрона з кульки, тож  вона через вихід електронів буде заряджатися позитивно і створювати для них гальмівне електричне поле. Напочатку опромінення, коли це поле ще буде слабке, фотоелектрони будуть легко його долати й покидати кульку без вороття. Але, при підсиленні гальмівного поля через збільшення кількості втрачених кулькою електронів,  вони з якогось моменту почнуть повертатися назад. Відтак позитивний заряд кульки перестане зростати, й вона набуде  сталого потенціалу φ_m, який підлягає визначенню.

Аби знайти величину φ_m, розглянемо описаний процес конкретніше. При переміщенні  до точки з певним потенціалом φ′ кінетична енергія фотоелектрона зменшується на величину роботи проти гальмівного поля ${A}'=e\left( \varphi -{\varphi }' \right)$ (ч. 3, ф-ла (1.13)), отже

$W-{W}'=e\left( \varphi -{\varphi }' \right)$,

де  φ – потенціал кульки, W – початкова кінетична енергія фотоелектрона і W′ – його кінетична енергія в зазначеній точці.

Як відомо з електрики, при віддаленні від зарядженої кульки її поле монотонно послаблюється. Тож, аби подолати гальмівне поле при потенціалі кульки φ (дістатися точи, де  φ′ = 0), початкова кінетична енергія електрона має складати

$W\ge e\varphi $.

Але в нашому випадку завдання полягає не у визначенні кінетичної енергії фотоелектрона, що необхідна для подолання поля кульки із заданим потенціалом, а у з'ясуванні, при якому потенціалі кульки на подолання її поля піде вся кінетична енергія фотоелектрона. Тож записану  нерівність варто обернути:

  $\varphi \le \frac{W}{e}$.

У такому разі стає очевидно, що нижня границя

${{\varphi }_{m}}=\frac{W}{e}$

визначає граничний потенціал кульки, при якому вона вже не здатна (або, рівнозначно, ще здатна) втрачати електрони при заданій кінетичній енергії вильоту з кульки.

Отож, урахувавши, що за рівнянням (2.7а)

$W=\frac{hc}{\lambda }-A$,

отримаємо загальну

${{\varphi }_{m}}=\frac{1}{e}\left( \frac{hc}{\lambda }-A \right)$

і після обчислень – кількісну відповідь задачі:

${{\varphi }_{m}}$ = 4,87 В.