physics.zfftt.kpi.ua

Інтерференція. Інтерференція – це явище, що спостерігається при накладання декількох хвиль. Сутність явища розглянемо на прикладі двопроменевої інтерференції, що за певних умов спостерігається при накладанні двох світлових хвиль.

Нехай в якусь точку приходять дві хвилі із світловими векторами \(\vec{E}_{1}(\vec{r},t)\) і \(\vec{E}_{2}(\vec{r},t)\). За принципом суперпозиції результуюча напруженість електричного поля у цій «точці спостереження» \(\vec{E}=\vec{E}_{1}+\vec{E}_{2}\), тож

\(E^{2}=(\vec{E}_{1}+\vec{E}_{2})^{2}=E_{1}^{2}+E_{2}^{2}+2\vec{E}_{1}\vec{E}_{2}\).

Інтенсивність хвилі \(I\) прямо пропорційною середній величині квадрата напруженості електричного поля \(I\sim{E}^2\), тому провівши усереднення,

\(\langle{E}^{2}\rangle=\langle{E}_{1}^{2}\rangle+\langle{E}_{2}^{2}\rangle+2\langle\vec{E}_{1}\vec{E}_{2}\rangle\),

для результуючої інтенсивності маємо

\(I+I_{1}+I_{2}+2\langle\vec{E}_{1}\vec{E}_{2}\rangle\). 

Якщо коливання світлових векторів у точці накладання у взаємно перпендикулярних напрямках, то \(\vec{E}_{1}\vec{E}_{2}=0\) і результуюча інтенсивність \(I=I_{1}+I_{2}\). Але при інших напрямках коливань може виявитися, що середнє значення добутку функцій \(\langle\vec{E}_{1}(\vec{r},t)\cdot\vec{E}_{2}(\vec{r},t)\rangle\ne(0)\). Тоді

\(I\ne{I}_{1}+I_{2}\).

У цьому і полягає явище інтерференції, тобто

На перший погляд отриманий всновок суперечить закону збереження енергії, але це, звісно, не так. Інтенсивність є локальною величиною, що характеризує птік енергії лише крізь нескінчено маслу площадку в околі даної точки. Якщо ж підрахувати потік енергії крізь якусь поверхню помітої величини, то він завжди виявляється рівним сумі потоків, які створюються джерелами окремо. Отже при інтерференції світлова енергія не змінюється, а лише перерозподіляєтся у просторі. При цьому в одних точках результуюча інтенсиваність виявляється більшою, а в інших – меншою за суму інтенсивностей хвиль, які накладаються

Інтерференційна фомула. Детальний аналіз явища інтерференції почнемо з аналізу накладання ідеальних монохроматичних світлових хвиль від двох точкових (або лінійних) джерел S₁ та S₂ (рис. 2.1), які мають однакову частоту \(\omega\) і напям коливань світлового вектора. Для загальності будемо також уважати, що промені від джерел до точки накладання поширюються в середовищах з різним показниками заломлення, отже швидкості світла в цих середовищах різні. За таких умов світлові коливання, що збуджуються кожним джерелом у вибраній точці спостереження P, визначаються (див. рівняння (1.10) з лекції 5.1) як:

де \(l_{1}\), \(l_{2}\) – відстані від джерел до точки спостереження, \(k_1\),  \(k_2\) – хвильові числа, що визначаються частотою \(\omega\), швидкостями поширення \(v_{1}\), \(v_{2}\) та довжинами хвиль \(\lambda_{1}\),  \(\lambda_{2}\) як

Величини \(\varphi_{01}\), \(\varphi_{02}\) – це початкові фази коливань у джерелах (при відстані \(l = 0\), а \(\alpha_{1}=\varphi_{01}-k_{1}l_{1}\),  \(\alpha_{2}=\varphi_{02}-k_{2}l_{2}\)  – початкові фази коливань у точці спостереження.

Результуючу напруженість поля світлових хвиль \(\vec{E}=\vec{E}_{1}+\vec{E}_{2}\) у точці спостереження найпростіше визначити за допомогою векторної діаграми, зображуючи кожне коливаня відповідним вектором, що обертається з кутовою швидкістю \(\omega\), а довжина якого дорівнює модулю відповідного вектра. Миттеве положення вектрів показано на рис. 2.2. За теоремою коснусів визначаємо модуль вектора результуючої напруженості поля в точці спостереження:

де \(\delta=\alpha_{1}-\alpha_{2}\) – різниця фаз коливань, яка за рівнянням (2.1) складає

Відтак, замінивши в (2.3) квадрати амплітуд на інтенсивності, отримаємо:

З виразу (2.5), який називають інтерференційною формулою, видно, що при накладанні двох ідеальних монохроматичних хвиль результуюча інтенсивність \(I\ne{I}_{1}+I_{2}\), тобто – маємо інтерференцію.

Неважко збагнути, що такий результат вийшов тому, що хвилі мають однакову частоту. Через це в кожній точці простору різниця фаз \(\delta\) падаючих хвиль не залежть від часу, тож вони є жорстко узгодженими. Але в реальних хвилях із різних причин повної узгодженості коливань бути не може і різниця фаз \(\delta\), отже і \(\cos\delta\), в різні моменти часу мають різну величину. Тому інтенсивність, яку ми сприймаємо візуально або реєструємо приладами, визначається середнім значенням \(\langle\cos\delta\rangle\) за час спостереження.

Отже, для можливості реального спостереження інтерференції ведичина \(\langle\cos\delta\rangle\) має лишатися незмінною впродовж проміжку часу, який є достатнім для реєстрації ефекту. Інакше кажучи, коливання, що збуджуються хвилями в точці накладання, мають бути в достатній мірі узгодженими. Узгодженість хвильових та коливальних процесів відображається поняттям когерентності:

Таким чином,

інтерференцію можна спостерігати лише при накладанні когерентних хвиль.

При цьому ідеальні монохроматичні хвилі однакової частоти, для яких \(\cos\delta=const\), є повністю когерентними. Що до реальних хвиль, в яких \(\cos\delta\ne{const}\) але \(\langle\cos\delta\rangle\ne{0}\), то їх трактують як частково когерентні.

Із виразів (2.4), (2.5) та рис. 2.1 зрозуміло, що при переміщенні точки спостереження P у певному напрямі змінюються: різниця фаз \(\delta\) – монотонно, а \(\cos\delta\) і результуюча інтенсивність I – періодично. Це означає, що при накладанні когерентних хвиль утворюється система упорядковано розташованих областей підвищеної та пониженої інтенсивності світла. Тому на екрані, встановленому в області накладання (зоні інтерференції), спостерігається «інтерференційна картина» у вигляді сукупності світлих і темних смуг – інтерференційних максимумів та мінімумів. Отже, можна дати таке коротке формулювання:

інтерференцією називається утворення максимумів та мінімумів інтенсивності при накладанні когерентних хвиль.