physics.zfftt.kpi.ua

У даному й наступному пунктах по замовчуванню прийнято таке.

1. Означення ''релятивістський'' без необхідності не використовується.

2. Система відліку, в якій тіло (стрижень, або частинка) перебуває в спокої називається ''власною'', а та, в якій воно рухається – ''лабораторною''. 

3. Параметри та характеристики руху тіла, що подано як ''власні'', або без означення,  відносяться до власної системи відліку.

4. Рухи тіл розглядаються в системах координат із співнапрямреними осями ординат та збіжними осями абсцис і здійснюються паралельно до останніх.

Задача 1.1. Рухомий стрижень довжиною $l$ = 100 см, який спрямовано під кутом \(\theta=45^{\circ}\) до напрямку руху, має швидкість $v=c/2$. Визначити довжину ${{l}_{0}}$ та орієнтацію (кут ${{\theta }_{0}}$) стрижня у власній системі відліку.

1.2. Визначити довжину вільного пробігу ${{l}}$ нестабільної частинки із часом життя \(\Delta{t}\) = 20 нс, якщо її власний час життя $\Delta {{t}_{0}}$ є вдвічі менший.

Задача1.3. Дві частинки рухаються назустріч одна одній зі швидкостями v₁ = 0,50c і v₂ = 0,75c. Визначити: А) відносну швидкість частинок v_в та Б) швидкість їхнього зближення u. 

1.4. Визначити, на скільки η (%) відрізняється від с швидкість протона з імпульсом $\tilde{p}$ = 10,0 ГеВ/с, якщо його енергія спокою E₀ = 938,3 МеВ.

1.5. Визначити імпульс p протона (енеогія спокою E₀ = 238,3 Мев) при кінетичній енергії T = 500 МеВ.

1.6. Без урахування втрат в атмосфері на одиницю площі перпендикулярної до сонячних променів поверхні Землі за одинцю часу падає енергія  I = 1,4 кДж/(м²·с). Взявши до уваги середній радіус земної орбіти R = 149,5·10⁶ км і масу Сонця M = 2·10³⁰ кг, визначити: А) щосекундну втрату Сонцем маси μ (кг/с) та Б) час T, за який воно мало би ''полегшати'' на η = 1 % при незмінній величині I.

Задача 1.1

Рухомий стрижень довжиною $l=100$ = 100 см, який спрямовано під кутом \(\theta=45^{\circ}\) до напрямку руху, має швидкість $v=c/2$.

Визначити 

довжину ${{l}_{0}}$ та орієнтацію (кут ${{\theta }_{0}}$) стрижня у власній системі відліку.

Розв’язання

Довжина стрижня l₀ у пов'язаній з ним власній системі відліку X′O′Y′ (рис.1а) визначається  його проєкцями, як

При цьому, внаслідок скорочення довжин у напрямку руху (п. 1.2), проєкції ${l_{{0x}'}}$, ${l_{{0y}'}}$ є пов'язані такими в лабораторній системі відліку  співвідношеннями (1.1):

де \(l_{x}=l\cos\theta\),   \(l_{y}=l\sin\theta\).

Отже,

У цьому виразі має сенс зробити підстановку ${{\cos }^{2}}\theta =1-{{\sin }^{2}}\theta $ й після  спрощень, записати відповідь у більш компактному й зручному для обчислень вигляді:

З урахуванням заданого значення β = 0,5, числова відповідь складає 

\(l_{0}\)  =  108 см.

Другу шукану величину ${{\theta }_{0}}$ знайдемо, взявши до уваги відсутність скорочення довжин у поперечному до руху стрижня напрямі. Тож

${{l}_{0y}}={{l}_{y}}=l\sin \theta$  $\Rightarrow $ $\sin {{\theta }_{0}}=\frac{l}{{{l}_{0}}}\sin \theta $,

звідки

$\sin {{\theta }_{0}}$ = 0,655    $\Rightarrow $    ${{\theta }_{0}}$ = 40,9°.

 Задача 1.2

Визначити

довжину вільного пробігу ${{l}}$ нестабільної частинки із часом життя $\Delta {{t}}$ = 20 нс, якщо її власний час життя $\Delta {{t}_{0}}$ є вдвічі менший.

Розв’язання

Довжина вільного пробігу нестабільної частинки – це відстань, яку вона встигає пройти в лабораторній системі відліку за час життяі з часом життя, рухаючись із певною швидкістю $v$:

${{l}}$ = $v$$\Delta {{t}}$ = $\beta c\cdot \Delta t$,

де \(\beta=v/c\).

Тож, аби отримати відповідь, треба визначити параметр $\beta$. Це легко зробити за допомогою співвідношення (1.2), з якого випливає, що

$1-{{\beta }^{2}}={{\left( \frac{\Delta {{t}_{0}}}{\Delta t} \right)}^{2}}\quad \Rightarrow \quad \beta =\sqrt{1-{{\left( \frac{\Delta {{t}_{0}}}{\Delta t} \right)}^{2}}}\quad $.

Відтак, підставивши це значення у вираз (1), дістанемо наступну відповідь:

$l=c\sqrt{\Delta {{t}^{2}}-\Delta t_{0}^{2}}$   =   5,2 м.

Задача 1.3

Дві частинки рухаються назустріч одна одній зі швидкостями v₁ = 0,50c і v₂ = 0,75c. 

Визначити: 

А) відносну швидкість частинок v_в та

Б) швидкість їхнього зближення u.

Розв’язання

Аби уникнути непорозумінь, уточнимо смисл величин, які належить визначити, а саме. Відносна швидкість є швидкістю руху одного тіла відносно іншого, нехай першого відносно другого. Тоді, якщо з тілом 2 пов'язати систему відліку K′ (рис. 4б), то вона матиме швидість $\vec{V}={{\vec{v}}_{2}}$, тіло 2 в ній перебуватиме в спокої, а тіло 1 рухатиметься із шуканою швидкістю ${{\vec{v}}_{в}}$:

${{{\vec{v}}'}_{1}}={{\vec{v}}_{в}}$.

Натомість швидкість зближення $u$ – то є швидкість зміни відстані між тілами для стороннього спостерігача в нерухомій системі відліку K, рис. 4а. З урахуванням сказаного визначення величин ${{v}_{в}}$ і $u$ не становить труднощів.

A)  Значення відносної  швидкості v_в дорівнює взятій із зворотнім знаком проєкції швидкості першої частинки в K′- системі відліку (рис. 4б) й визначається формулою (1.3а) при \(v_{x}^{{′}}=-{{v}_{в}}\) і $V={{v}_{2}}$:

${{v}_{в}}=\frac{{{v}_{1}}+{{v}_{2}}}{1+\left( {{v}_{1}}\cdot {{v}_{2}} \right)/{{с}^{2}}}=0,91c$

Зауважимо, що при v₁ = v₂ = c (частинки – фотони), їхня відносна швидкість складала б

${{v}_{в}}=\frac{c+c}{1+\left( c\cdot c \right)/{{с}^{2}}}=c$

у згоді з твердженням про існування в Природі граничної швидкості руху.

Б) У лабораторній системі відліку К частинки за час t проходять відстані l₁ = v₁t і l₂ = v₂t, наближаючись одна до одної на відстань l = v₁t + v₂t = (v₁ + v₂)t зі швидкістю

\(u=\frac{l}{t}=v_{1}+v_{2}=1,25c\).

Те, що вийшло u > с може видатися парадоксальним, але нічого  дивного в цьому результаті немає: адже величина u визначає швидкість зміни відстані між частинками для стороннього спостерігача й не є швидкістю руху однієї частинки відносно іншої.

 Задача 1.4

Визначити,

відрізняється від с швидкість протона з імпульсом $\tilde{p}$ = 10,0 ГеВ/с, якщо його енергія спокою E₀ = 938,3 МеВ.

Розв’язання

Перед розв'зуванням візьмемо до уваги таку довідку. Елементарні частинки мають гранично малу масу, тому для них, навіть при навколосвітлових швидкостях руху, основні одиниці енергії (Дж) й імпульсу (кг·м/с) є несумірно великі. Тож зазвичай вживають позасистемні одиниці енергії: електрон-вольт (1 еВ = \(1,6\cdot{10}^{-19}\) Дж), мега електрон-вольт (1 МеВ = \(10^{6}\) еВ, читається ''мев'', ) та гіга електрон-вольт ''гев'' (А1 ГеВ = \(10^{9}\) еВ). А для імпульсу використовують умовну одиницю 1 ГеВ/с, де с означає не секунду, а швидкість світла. Розмірністю такої одиниці, як і належить, є (кг·м/с), але числове значення $\tilde{p}$ заданого так імпульсу насправді дорівнює його добутку на швидкість світла: $\tilde{p}$ = (рс). 

Шукана відносна відміна швидкості частинки v від швидкості світла с складає

Отже, для отримання відповіді треба визначити параметр \(\beta\). Для цього використаємо вираз релятивістського імпульсу (1.5), зробивши в ньому заміну $v=c\beta $:

$p=\frac{{{m}_{0}}c\beta }{\sqrt{1-{{\beta }^{2}}}}$.

Далі домножимо обидві частини отрманої рівності на c та за формулою (1. 6б) зробимо підстановку ${{m}_{0}}=\left( {{E}_{0}}/{{c}^{2}} \right)$ і дістанемо:

$pc=\frac{{{E}_{0}}\beta }{\sqrt{1-{{\beta }^{2}}}}$,

або

$\frac{\beta }{\sqrt{1-{{\beta }^{2}}}}=\gamma $,    де   $\gamma =\frac{pc}{{{E}_{0}}}$.

Звідси отримаємо

$\beta =\frac{1}{\sqrt{1+{{\gamma }^{2}}}}$

і за виразом (1) знайдемо загальну відповідь

$\eta =1-\frac{1}{\sqrt{1+{{\gamma }^{2}}}}$

та після обрахунків (без округлення) числове значення:

$\eta$ $\approx $ 0,44%.

Задача 1.5

Визначити

імпульс p протона (енергія спокою E₀ = 238,3 Мев) при кінетичній енергії T = 500 МеВ. 

Розв’язання

Імпульс і кінетична енергія є взаємозумовленими характеристиками руху тіла, але для релятивістських (надшвидких) частинок прямого зв'язку між ними немає. Проте його можна встановити через вирази  енергії (1.6) і (1.6а), з яких випливає, що

Тож, якщо піднести отриманий вираз до квадрата, вийде:

\(m^{2}c^{4}=\frac{m_{0}^{2}c^{4}}{1-\beta^{2}}\)    \(\Rightarrow\)    \(m^{2}c^{4}-m^{2}v^{2}c^{2}=m_{0}^{2}c^{4}\).

В отриманій рівності \(m_{0}c^{2}=E_{0}\) – енергія спокою і mv = p – релятивістський імпульс, отже, маємо:

Відтак зробимо очевидну підстановку E² = (E₀ + T)², і, розкривши дужки, отримаємо загальну відповідь:

\(p=\frac{1}{c}\sqrt{T(T+2E_{0})}\).

Числове значення в одиницях СІ складає

p = 5,8·10^–19 кг·м/с,

а в (ГеВ/с)  (див. попередню задачу)

p = 1,09 ГеВ/с.

Задача 1.6

Без урахування втрат в атмосфері на одиницю площі перпендикулярної до сонячних променів поверхні Землі за одиницю часу падає енергія  I = 1,4 кДж/(м²·с). Взявши до уваги середній радіус земної орбіти R = 149,5·10⁶ км і масу Сонця M = 2·10³⁰ кг,

визначити:

А) щосекундну втрату Сонцем маси μ (кг/с) та

Б) час T,  за який воно мало би ''полегшати'' на η = 1 % при незмінній величині I.

Розв’язання

А) Згідно із співвідношенням (1.6б), маса Сонця зменшується з часом зі швидкістю

де W – інтенсивність, тобто, енергія, що випромінюється Сонцем за 1 c. 

Зрозуміло, що випромінювання Сонця є однакове по всіх напрямках, отож для спостерігача на Землі його енергія з  однаковою щільністю I розподіляється по поверхні сфери радіуса земної орбіти R. Отже,

$W=I\cdot 4\pi {{R}^{2}}$,

і щосекундна втрата маси Сонця складає

$\mu =\frac{4\pi {{R}^{2}}I}{{{c}^{2}}}$.

Відповідно, задана зміна маси Сонця на величину $\Delta M=\eta M$ відбулася б за час

$T=\frac{\eta M{{c}^{2}}}{4\pi {{R}^{2}}I}$.

Обчислення дають

\(\mu\approx4,3\cdot{10}^{9}\) кг/с

і

\(T=4,65\cdot{10}^{18}\) c,

що складає приблизно 150 мільярдів років.