ФІЗИКА. Вчимося розв'язувати задачі. "СУЧАСНА ФІЗИКА". Компенсаційний курс

◄ Предыдущая: 1.4. Релятивістська маса та імпульс Следующая: Розділ 19. Квантові властивості випромінювання ►

Розділ I. Спеціальна теорія відносності

1.5. Взаємозв'язок енергії і маси

У теорії відносності також установлено, що, маса тіла є не лише залежною від швидкості руху v, а ще й прямо пов'язана з енергією універсальним співвідношенням

\(E=mc^{2}\),

(18.6)

або

 

$E=\frac{{{m}_{0}}{{c}^{2}}}{\sqrt{1-{{v}^{2}}/{{c}^{2}}}}=\frac{{{m}_{0}}{{c}^{2}}}{\sqrt{1-{{\beta }^{2}}}}$,

(18.6а)

У цих виразах m0 і m називають масою спокою та релятивістською масою (формула . Відповідно, величина Е називається релятивістською енергією і включає всі види енергії тіла, крім його енергії в зовнішніх силових полях (гравітаційному й електричному) та енергії взаємодії з іншими тілами. Аналогічно, й нерухоме тіло має відповідну енергію спокою, що визначається його масою спокою:

\(E_{0}=m_{0}c^{2}\).

(18.6б)

Згідно з виразами (18.6), (18.6б), так само пов'язані між собою й зміни цих величин, а саме:

\(\Delta{E}=c^{2}\Delta{m}\),

(18.7)

$\Delta {{E}_{0}}={{c}^{2}}\Delta {{m}_{0}}$.

(18.7а)

На перший погляд ці вирази не викликають подиву. А саме, перший є формальним наслідком залежності релятивістської маси (інертності) тіла від швидкості, а другий, як можна подумати, стосується двох тіл і є тривіальним. Насправді ж співвідношення  (18.7а) стосується одного тіла, а це означає, що будь-яка масивна (\(m_{0}\) ≠ 0) частинка має енергію сама по собі, тобто, незалежно ні від чого. Інакше кажучи,

енергія є невід'ємною характеристикою матерії,

тож будь-яка зміна енергії тіла супроводжується еквівалентною зміною його маси та навпаки.

Сказане стосується й енергії та маси спокою (формула (18.6а)): при зміні енергії має  змінюватися й маса нерухомого тіла. Це може здатися неймовірним, але так і є в дійсності, про що свідчить ''дефект маси'' атомного ядра. А саме, через виділення дуже великої енергії при утворенні, маса спокою ядра є завжди меншою за сумарну масу нуклонів, із яких воно складається.

 

Закон взаємозв'язку маси і енергії дозволяє одержати вираз для кінетичної енергії релятивістської частинки.

Кінетична енергія T – це енергія руху. Тому вона дорівнює різниці повної енергії (формула (18.6)) і енергії спокою (18.6a) частинки:

\(T=(m-m_{0})c^{2}\),

(18.8)

або, відповідно до формули (18.4),

$T={{m}_{0}}{{c}^{2}}\left( \frac{1}{\sqrt{1-{{v}^{2}}/{{c}^{2}}}}-1 \right)={{m}_{0}}{{c}^{2}}\left( \frac{1}{\sqrt{1-{{\beta }^{2}}}}-1 \right)$.

(18.9)

Ця формула теж суттєво відрізняється від класичної, але при \(v/c\ll{1}\) перетворюється на неї:

\(T=\frac{m_{0}v^{2}}{2}\).

(У цьому можна переконатися, використавши у виразі (18.9) відому з математики формулу наближених обчислень \((1+x)^{n}=1+nx\) при \(x\ll{1}\). (Тут \(x=-v^{2}/c^{2}\), \(n=-1/2\)).
◄ Предыдущая: 1.4. Релятивістська маса та імпульс Следующая: Розділ 19. Квантові властивості випромінювання ►