physics.zfftt.kpi.ua

Накладання хвиль від декількох джерел створює у кожній точці простору відповідні результуючі коливання.

Нехай маємо два точкових джерела (рис.17.1) S₁ та S₂ в однорідному прозорому середовищі, що випромінюють монохроматичні світлові хвилі однієї частоти \(\omega\) (довжини хвилі \(\lambda\)). Приймемо, що в певній точці спостереження P кожна з хвиль збуджує коливання електричного поля вздовж одного напрямку і однакової амплітуди E_m. (саме такі умови створюються при реальному спостереженні інтерференції світла). В такому разі рівняння цих коливань мають вигляд

\(E_{1}=E_{m}\cos(\omega{t}-\varphi_{1})\);

\(E_{2}=E_{m}\cos(\omega{t}-\varphi_{2})\).

Початкові фази \(\varphi_{1}\) і \(\varphi_{2}\) залежать від початкових фаз кожної з хвиль \(\varphi_{01}\), \(\varphi_{02}\) і відстаней l₁, l₂ від джерел до даної точки P. Згідно з рівнянням монохроматичної хвилі (15.5)) і формулою (15.6))

де \(\lambda\) – довжина світлової хвилі.

За принципом суперпозиції результуюча напруженість

або

Отже, при накладанні двох монохроматичних хвиль однакової частоти створюються гармонічні коливання

\(E=E_{0}\cos(\omega{t}-\varphi)\)

з початковою фазою \(\varphi=(\varphi_{1}+\varphi_{2})/2\) і амплітудою

яка залежить від різниці фаз

хвиль, що накладаються.

Оскільки інтенсивність прямо пропорційна квадрату амплітуди \(I\sim{E}_{0}^{2}\), тому з виразу (17.2)) випливає, що

де \(I_{1}\) – інтенсивність, що створюється кожною з хвиль окремо.

Очевидно, що \(I\ne2I_{1}\). У цьому і полягає ефект інтерференції.

Інтерференцією називається таке накладання хвиль, при якому результуюча інтенсивність у точці накладання не дорівнює сумі інтенсивностей, створюваних кожною з хвиль окремо.

Зазначимо, що інтерференція не суперечить закону збереження енергії. Енергія не виникає (у точках, де \(I\gt{2}I_{1}\)) і не щезає (якщо \(I\lt{2}I_{1}\)), вона лише відповідним чином перерозподілюється у просторі.

З виразу (17.4) зрозуміло, що для спостереження інтерференції необхідно, щоб величина \(\delta\) не змінювалася з часом, тобто, щоб хвилі, що накладаються були узгодженими, або когерентними.

Когерентними називаються хвилі, різниця фаз яких \(\delta\) у даній точці простору не залежить від часу. Точно ця умова виконується лише для ідеальних монохроматичних хвиль однієї частоти. Для реальних хвиль когерентність означає достатньо повільну зміну \(\delta\) з часом.

Отже,

Світло від реальних джерел не є неперервною хвилею з заданою початковою фазою. Воно складається з безлічі елементарних порцій випромінення, що випускаються окремими атомами протягом дуже коротких проміжків часу. Фази таких порцій ніяк не узгоджені між собою. Тому при накладанні хвиль від двох незалежних джерел різниця фаз \(\delta\) швидко і невпорядковано змінюється. Як наслідок, світлові хвилі від незалежних джерел є некогерентними, і при їх накладанні інтерференція не спостерігається. Виняток становлять оптичні квантові генератори – лазери, – випромінення яких є високомонохроматичним і має стабільну фазу.

Отримати когерентні світлові хвилі і спостерігати інтерференцію можна, якщо поділити випромінювання від одного джерела на два промені і потім звести їх у просторі.

В такому випадку початкові фази в обох пучках у будь який момент однакові \(\varphi_{01}=\varphi_{02}=\varphi_{0}\), а різниця фаз \(\delta=\varphi_{2}-\varphi_{1}\), згідно з виразами (17.1), залежить тільки від відстаней l₁, l₂ і не залежить від часу.

Для такого поділу використовують різні способи, що базуються на відбиванні та заломленні світла. Зокрема, когерентні хвилі утворюються при відбиванні світла від поверхонь тонких прозорих плівок. Завдяки інтерференції таких хвиль спостерігається яскраве райдужне забарвлення плівок бензину в калюжах або мильних бульбашок, видуванням яких полюбляють бавитися діти.

З виразу (17.4) очевидно, що результат інтерференції (величина I) при накладанні двох заданих когерентних хвиль залежить від значення різниці фаз \(\delta=\varphi_{2}-\varphi_{1}\). Підставивши сюди вирази (17.1) і врахувавши, що в реальних умовах спостереження \(\varphi_{01}=\varphi_{02}\), отримаємо

Різниця відстаней від джерел до даної точки (див. рис.17.1)

\(\Delta_{0}=l_{2}-l_{1}\)

називається геометричною різницею ходу хвиль (або променів), що приходять у дану точку.

Таким чином, в однорідному середовищі різниця фаз пов'язана з різницею ходу співвідношенням

Якщо світлові хвилі від джерел до даної точки розповсюджуються у двох різних середовищах з показниками заломлення n₁ і n₂, тоді довжини хвиль не є однаковими (див. формулу (16.4)):

\(\lambda_{1}=\frac{\lambda_{0}}{n_{1}}\)   і   \(\lambda_{2}=\frac{\lambda_{0}}{n_{2}}\).

Тому фази коливань

\(\varphi_{1}=\frac{2\pi}{\lambda_{1}}\),    \(\varphi_{2}=\frac{2\pi}{\lambda_{2}}\), і

\(\delta=2\pi\left(\frac{l_{2}}{\lambda_{2}}-\frac{l_{1}}{\lambda_{1}}\right)=\frac{2\pi}{\lambda_{0}}(l_{2}n_{2}-l_{1}n_{1})\),

де \(\lambda_{0}\) – довжина світлової хвилі у вакуумі.

Величина

\(L=l\cdot{n}\)

називається оптичною довжиною шляху, а

оптичною різницею ходу.

Таким чином, для неоднорідних середовищ

При переході від точки до точки у певному напрямку різниця фаз \(\delta\), згідно з формулою (17.5), монотонно змінюється (зростає або спадає), а величина \(\cos^{2}(\delta/2)\) у формулі (17.4) періодично змінюється між значеннями 0 та 1.

З цієї причини у просторі створюється система інтерференційних смуг – зон з великою та з малою інтенсивністю. Максимальна інтенсивність спостерігається, якщо \(\cos^{2}(\delta/2)=1\), тобто при

Мінімумам інтенсивності відповідають точки зі значенням \(\cos^{2}(\delta/2)=0\), і

Підставивши ці значення \(\delta\) у вираз (17.6a), дістанемо зручні для розрахунків загальні умови максимумів та мінімумів при інтерференції двох хвиль.

Умова максимумів:

Умова минимумів:

Таким чином,