ФІЗИКА. Вчимося розв'язувати задачі. "ОПТИКА". Компенсаційний курс

Site:	physics.zfftt.kpi.ua
Course:	physics.zfftt.kpi.ua
Book:	ФІЗИКА. Вчимося розв'язувати задачі. "ОПТИКА". Компенсаційний курс
Printed by:
Date:	Thursday, 22 May 2025, 3:33 AM

СВІТЛО (Вступ)
Розділ I. Геометрична оптика
2. Приклади розв’язування задач
3. Задачі для самостійної роботи
- Відбивання та заломлення світла
Розділ II. Хвильова оптика
1. Теоретичні відомості
- Теоретичні відомості. Дифракція світла
Приклади розв'язування задач
- Інтерференція світла
- Дифракція світла
Задачі для самостійної роботи
- Інтерференція світла
- Дифракція світла

СВІТЛО (Вступ)

Оптика – це наука про світло – електромагнітне випромінювання, котре створює зорове відчуття в оці людини та інших живих істот.

Світло має двоїсту природу й залежно від умов виявляє себе або як хвиля, або як потік елементарних частинок – фотонів (світлових квантів).

Деякі хвильові прояви світла розглянуто в розділах:

I. Геометрична оптика

II. Хвильова оптика

кожний з яких включає:

1. Теоретичні відомості

2. Приклади розв’язування задач

3. Задачі для самостійної роботи

Як говорилося раніше (Частина [5]), у природі, крім механічних, спостерігаються електромагнітні хвилі (ЕМХ), тобто, розповсюдження взаємозалежних коливань електричного та магнітного полів. На відміну від механічних, електромагнітні хвилі можуть існувати у вакуумі й поширюються в ньому зі швидкістю

$c=3\cdot{10^{8}}$ м/с,

яка ні від чого не залежить і є однією з фундаментальних фізичних констант.

У речовині швидкість ЕМХ зменшується й визначається її електричними та магнітними властивостями. При цьому прозорими для світла є тільки деякі немагнітні діелектрики, тож швидкість світла практично залежить тільки від їхньої діелектричної проникності ε (див [3], п. ...), як

$v=\frac{c}{\sqrt{\varepsilon}}$,

де величина

$n=\sqrt{\varepsilon}$

називається оптичною густиною або абсолютним показником заломлення і є табличною величиною, котра визначає швидкість світла в заданій речовині співвідношенням

$v=\frac{c}{n}$.

(1.1)

Електромагнітні хвилі створюють зорове відчуття в вузькому спектральному інтервалі, який для людини усереднено складає:

$\nu=(0,75\div{0,4})\cdot{10^{15}}$ Гц,

в частотах і

$\lambda=(0,4\div{0,75})\cdot{10^{-6}}$ м.

в довжинах хвилі у вакуумі (або повітрі).

(На практиці використовують мікрометри (1 мкм = 10^-6 м) і нанометри (1 нм = 10^-9 м)).

Але випромінювання в прилеглих діапазонах має близькі властивості, досліджується тими самими методами, тож теж називається світлом: ультрафіолетовим (при $\nu\gt{0,75\cdot{10^{15}}}$ Гц; $\lambda_{0}\lt{10^{-6}}$ м) та інфрачервоним (при $\nu\lt{0,4}\cdot{10^{15}}$ Гц; $\lambda_{0}\gt{0,75}\cdot{10^{15}}$ м). Відповідно, ультрафіолетове, видиме та інфрачервоне випромінювання разом утворюють оптичний діапазон електромагнітного спектра.

Подібно до звуку, що суб'єктивно сприймається через гучність і висоту тону, світло при потраплянні в око характеризується яскравістю, мірою якої є інтенсивність ([3], ф-ла (3.8)), і кольором, який визначається частотою світлової хвилі й при її збільшенні неперервно змінюється від червоного до фіолетового. Тож усю гаму кольорів умовно поділяють на сім "кольорів веселки": червоний, помаранчевий, жовтий, зелений, блакитний, синій і фіолетовий. Зрозуміло, загальна кількість кольорів, як і частот, є нескінченна й для ока не доступна. Одначе, попри недосконалість ока, людина, крім основних кольорів, розрізняє безліч різних відтінків.

Розділ I. Геометрична оптика

Дослід свідчить, що в однорідному середовищі світло, як і інші хвилі, розповсюджується прямолінійно, а на межі різних середовищ змінює напрям поширення у згоді із простими законами геометричної оптики, на яких ґрунтується робота різноманітних оптичних приладів.

Далі розглянуто:

1. Теоретичні відомості

1.1. Основні поняття геометричної оптики

1.2. Закони відбивання і заломлення світла; повне відбивання

1.3. Дзеркала і лінзи

2. Приклади розв'язування задач

3. Задачі для самостійної роботи

1. Теоретичні відомості.

Далі розглянуто положення та закони, що визначають поширення світла в однорідних ізотропних середовищах і на межі поділу таких середовищ із різними властивостями:

1.1. Основні поняття

1.2. Відбивання та заломлення світла

1.3. Дзеркала та лінзи

1.1. Основні поняття

Напрям поширення світла визначає промінь – лінія, вздовж якої світлова енергія від джерела приходить у дану точку. Промені уособлюють світлові пучки, який утворюються при проходженні світла від джерела крізь малі отвори (діафрагми). Але реально через дифракцію (див. п. 1.3) при проходженні крізь дуже малий отвір світловий пучок розходиться по різних напрямках, що обмежує застосовність законів геометричної оптики.

На межі поділу прозорих середовищ світловий потік частково відбивається і частково проходить (заломлюється) так, що в кожній точці падаючий, відбитий і заломлений промені лежать в одній площині падіння з нормаллю (перпендикуляром) до межі поділу середовищ. Кути між указаними променями та нормаллю (рис.16.1) теж мають відповідні назви:

кут падіння ($\alpha$),

кут відбивання ($\alpha^{\prime}$),

кут заломлення ($\beta$).

1.2. Закони відбивання і заломлення

В однорідних ізотропних середовищах напрямки падаючого (1), відбитого (1′) і заломленого (1″) променів (рис. 16.2) пов'язані наступними законами.

Рис. 16.2

Рис.16.2

$\frac{\sin \alpha }{\sin \beta }=\frac{{{n}_{2}}}{{{n}_{1}}}$ або $n_{1}\sin\alpha=n_{2}\sin\beta$

(1.3)

Зауваження. В багатьох задачах на заломлення світла йдеться про візуальні спостереження. В такому разі, через малі розміри зіниці ока, слід використовувати наближення $\sin \alpha =\operatorname{tg}\alpha =\alpha $ і записувати закон заломлення у вигляді:

$\frac{\alpha}{\beta}=\frac{n_{2}} {n_{1}}$ або $n_{1}\alpha=n_{2}\beta$.

(1.3а)

Із співвідношення (1.3) випливає, що при переході світла із оптично менш густого (n₁ < n₂) середовища в більш густе (рис.16.2а) заломлений промінь відхиляється в напрямку нормалі до межі поділу середовищ, а у випадку n₁ > n₂ (рис.16.2б) — від неї. В останньому випадку поступовому збільшенні кута падіння до деякій величині $\alpha_{0}$ кут заломлення набуває максимально можливого значення $90^{\circ}$ (рис.16.3). Відповідно, величина $\alpha_{0}$ називається граничним кутом для даних двох середовищ і за законом (1.3), визначається співвідношенням

$\sin\alpha_{0}=\frac{n_{2}}{n_{1}}$, $n_{1}\gt{n}_{2}$.

(1.4)

Теорія й практика свідчать, що за вказаних умов при поступовому збільшенні кута падіння до величини $\alpha_{0}$ інтенсивність заломленого променя зменшується до нуля, а відбитого променя збільшується від нуля до інтенсивності падаючого. Це означає, що при падінні з оптично більш густого середовища на межу з менш густи під кутом $\alpha\ge\alpha_{0}$ світло далі не проходить, тобто відбувається повне внутрішнє відбивання. Прикладом цього, зокрема, є всім знайоме сліпуче виблискування на сонці дощових крапель на траві.

1.3. Дзеркала і лінзи

На законах геометричної оптики ґрунтується дія різних оптичних приладів, які ”озброюють“ око. Їхніми основними функціональними елементами є дзеркала та лінзи, котрі створюють зображення на екрані, чи безпосередньо на сітківці ока.

Строга теорія зображень є складною. Тому в елементарній оптиці світлові промені, що потрапляють на дзеркало чи лінзу, по замовчуванню вважаються параксіальними (такими, що падають в околі центра і під малим кутом).

Дія оптичних пристроїв (ОП) ґрунтується на тому, що промені, котрі виходять з однієї точки S (рис. 16.4), після проходження крізь пристрій самі (рис. 16.4а), або їхні продовження (рис. 16.4б), збираються теж в одній точці S′, яка є зображенням точки S.

В першому випадку на поставленому в точці S′ екрані відбувається концентрація світлової енергії й утворюється дійсне зображення точки S. А в другому сходяться не самі промені, а їхні продовження, тож точка S′ є уявним зображенням точки S. Таке зображення можна побачити, пропустивши розбіжні промені, що пройшли, через додаткову збиральну лінзу, або, розглядаючи їх безпосередньо оком, кришталик якого править за додаткову лінзу, а сітківка – за екран.

Нагадаємо також, що створювані зображення, на загал, класифікують за такими ознаками:

тип (дійсне чи уявне);
розмір (збільшене або зменшене);
орієнтація (пряме або перевернуте).

Далі розглядається утворення та характеристики зображень у найпростіших оптичних приладах, якими є плоскі та сферичні дзеркала й тонкі лінзи.

Плоске дзеркало. Це найпростіший оптичний прилад, що являє собою гладку плоску поверхню, котра повністю відбиває падаючі промені.

Рис. 16.5 ілюструє утворення зображення точки S і ”предмета“ SN у плоскому дзеркалі M. Ураховуючи закон відбивання (1.2) легко збагнути, що продовження відбитих дзеркалом променів, які вийшли з точки S, перетинаються в симетричній до неї точці $S^{\prime}$. Те саме стосується й будь-якої іншої точки. Отже,

плоске дзеркало дає уявне пряме зображення предмета в натуральну величину,

котре відносно дзеркала є розташоване симетрично до самого предмета .

Сферичні дзеркала мають робочу поверхню у формі вгнутого, або опуклого сферичного сегмента (рис. 16.6) і характеризуються наступними геометричними параметрами:

оптичний центр С – центр кривини робочої поверхні дзеркала;
полюс O – вершина сферичного сегмента, що утворює дзеркало;
головна оптична вісь CO – пряма, що проходить через центр і полюс дзеркала;
побічна оптична вісь – будь-яка пряма, що проходить через оптичний центр дзеркала;
фокус F – точка, в якій перетинаються відбиті промені у вгнутому та їхні продовження в опуклому дзеркалі при падінні паралельно до головної оптичній осі. Фокус знаходиться на головній оптичній осі й у вгнутому дзеркала є дійсний, а в опуклому – уявний.
головна фокусна відстань F – відстань OF між полюсом і фокусом дзеркала – дорівнює половині радіуса кривини його поверхні:

$F=\frac{R}{2}$

(1.5)

фокальна площина – площина, що проходить через фокус перпендикулярно до головної оптичної осі. Фокальна площина вгнутого дзеркала є дійсна, а опуклого – уявна.

Сферичне дзеркало є здатним до формування зображень, дякуючи наступній фокусувальній властивості:

будь-які паралельні між собою промені після відбивання від дзеркала самі, або їхні продовження перетинаються в одній точці фокальної площини.

На рис. 16.7, відповідно до сказаного, наведено побудову зображення (стрілка A′B′) предмета (стрілка АВ) у вгнутому а) та опуклому б) дзеркалі, з якої можна встановити наступну формулу сферичного дзеркала:

$\frac{1}{d}+\frac{1}{f}=\frac{1}{F}$,

(1.6)

де d = OA – відстань від предмета до дзеркала; f = OA′ – відстань від дзеркала до зображення; F = OF – головна фокусна відстань дзеркала. Ця формула охоплює всі можливі ситуації, якщо величини d, f, F розглядати як алгебраїчні у відповідності з наступним правилом знаків:

відстань між полюсом дзеркала і дійсною точкою береться зі знаком "+", а між полюсом і уявною точкою – зі знаком "–".

(Нагадаємо, що в дійсних точках сходяться самі промені, а в уявних – їхні продовження).

Висота зображення H = A′B′ при заданій висоті предмета h = AB визначається поперечним збільшенням Г = (H/h), котре, як видно з рис. 16.7, складає

$\Gamma =\frac{f}{d}$.

(1.7)

Величина f задовольняє формулу (1.6), тож після елементарних перетворень отримаємо вираз

$\Gamma=\frac{F}{d-F}$,

(1.7а)

в якому знак Г визначає тип зображення – при Г > 0 воно є дійсне, а при Г < 0 – уявне.

Поперечне збільшення зображення залежить від положення предмета d, фокусної відстані F та типу дзеркала. Зокрема, позаяк фокус опуклого дзеркала є уявний (F < 0), то Г < 1, тож за будь-яких умов

опукле дзеркало дає зменшене уявне зображення предмета.

У вгнутому дзеркалі (F > 0) можливі різні випадки, а саме.

1. d > 2F : 0 < Г < 1 — зображення дійсне зменшене;

2. d = 2F : Г = 1 — зображення дійсне в натуральну величину;

3. F < d < 2F: Г > 1 — зображення дійсне збільшене;

4. d < F : Г < 1, — зображення уявне зменшене;

5. d = F: $\Gamma\to\infty$ і, відповідно до формули (1.7), $f\to\infty$. Це означає, що відбиті промені ніде не перетинаються, й зображення не існує.

Сферичні лінзи являють собою прозорі тіла з двома сферичними поверхнями. (Одна з поверхонь може бути й плоскою). На рис.16.8 показано в розрізі різні типи лінз: двоопукла (а), плоско-опукла (б), двовгнута (в), плоско-вгнута (г), опукло-вгнута, інакше меніск (д, е).

За дією на світлові пучки лінзи є подібні до дзеркал із тією відміною, що формують пучки не відбитих променів, а тих, що проходять крізь лінзу. Зокрема, лінзи теж поділяються на збиральні та розсіювальні. Перші перетворюють паралельний пучок променів на збіжний, а другі – на розбіжний. При цьому дія лінзи на хід променів визначається кривиною поверхонь і співвідношенням показників заломлення речовини лінзи та навколишнього середовища. До прикладу, у повітрі лінзи з профілем а), б), є збиральними, а типів в), г), – розсіювальними. Що до менісків, то їхня фокусувальна дія залежить від співвідношення кривин поверхонь, так на рис. 16.8 меніск д) є збиральним, а е) — розсіювальним.

Для ілюстрації та кількісної характеристики впливу лінзи на світлові промені використовують наступні геометричні параметри (рис.16.9):

радіуси кривини R₁, R₂ поверхонь;
головна оптична вісь C₁C₂ – пряма, що проходить через центри кривини поверхонь;
у тонкій лінзі можна вважати, що полюси O₁і O₂ сферичних сегментів розташовані практично в одній точці O, що називається оптичним центром лінзи;
побічна вісь – будь-яка пряма, що проходить через оптичний центр лінзи;
площина лінзи O′O″ – площина, що проходить через оптичний центр лінзи перпендикулярно до головної оптичній осі;
фокуси F₁, F₂ – точки на головній оптичній осі, у яких перетинаються заломлені промені (збиральна) або їхні продовження (розсіювальна лінза), котрі падають на лінзу паралельно до головної оптичної осі. У збиральній лінзі фокуси є дійсні, а в розсіювальній – уявні. Крім того можна вважати, що в тонкій лінзі фокуси розташовані на однаковій відстані від оптичного центра;
фокусна відстань F = OF₁ = OF₂ – відстань між фокусом і оптичним центром лінзи;
оптична сила лінзи D – величина, обернена до фокусній відстані:

$D=\frac{1}{ F}$.

(1.8)

Оптична сила вимірюється в діоптріях (дптр): 1 дптр = 1 м^–1 – це оптична сила лінзи з фокусною відстанню 1 м. Для збиральної лінзи оптична сила D > 0, для рзсювальної D < 0 і визначається формулою:.

$D=\left(\frac{n}{n_{0}}-1\right)\left(\frac{1}{R_{1}}-\frac{1}{R_{2}}\right)$.

(1.9)

де n, n₀ – показники заломлення речовини лінзи та навколишнього середовища; R₁, R₂, – відповідно, радіуси кривини передньої та задньої відносно падаючого променя поверхні лінзи. При цьому величини R₁, R₂ розглядаються як алгебраїчні: радіус опуклої поверхні береться зі знаком "+", а вгнутої – зі знаком "–".

Зазвичай середовищем є повітря. В такому разі

$D=\left({n}-1\right)\left(\frac{1}{R_{1}}-\frac{1}{R_{2}}\right)$.

(1.9а)

фокальна площина – площина, що проходить через фокус перпендикулярно до головної оптичної осі. Фокальна площина збиральної лінзи є дійсною, а розсіювальної – уявною й має наступну збиральну властивість:

будь–які паралельні між собою промені після проходження крізь лінзу перетинаються (самі або їхні продовження) в одній точці фокальної площини.

Розташування предмета AB та його зображення A′B′ у лінзі (рис. 16.10) є пов'язані формулою тонкої лінзи:

$\frac{1}{d}+\frac{1}{f}=\frac{1}{F}$,

(1.10)

що по формі й суті збігається з формулою сферичного дзеркала (1.6) із таким самим правилом знаків.

Те саме стосується й формул поперечного збільшення:

$\Gamma=\frac{f}{d}$,

(1.11)

$\Gamma=\frac{F}{d-F}$.

(1.11а)

Формули (1.10), (1.11), (1.11а) та (1.6), (1.7) і (1.7a) є ідентичні. Це означає, що проведений для дзеркал аналіз зображень і встановлені співвідношення є чинними й для тонких лінз.

На завершення зауважимо, що на практиці в різних оптичних приладах часто використовують не поодинокі лінзи, а системи, з яких найпростішою є дві тонкі лінзи із спільною головною оптичною віссю. Зокрема, такою є око людини, "озброєне" окулярами.

Оптична сила системи лінз, розташованих впритул одна до одної, дорівнює алгебраїчній сумі оптичних сил з'єднаних лінз. Для двох лінз

D = D₁ + D₂.

(1.12)

1.4. Загальні рекомендації з розв'язування задач

Побудова зображень

Задачі цього типу вимагають копіткої роботи й передбачають наступні "правила гри":

незалежно від кутів і відстаней на кресленнях, промені вважаються параксіальними (див. п. 1.3);
аби відобразити на кресленні тип і тонкість лінзи, її зображують у вигляді відрізка із стрілками, або "вилками" на кінцях (рис.16.13) для збиральної та розсіювальної лінзи, відповідно;
зображуваним предметом теж є стрілка (рис .16. 7, 16.10), отже побудова зображення полягає у графічному визначенні положення її кінців.
при побудові зображення, предмета, що дотикається до головної оптичної осі лінзи (дзеркала) й розташований перпендикулярно, дозволено не будувати зображення точки дотику;
при побудові зображення точки, що лежить на головній оптичній осі, заборонено додавати перпендикулярний допоміжний відрізок, зводячи задачу до визначення зображення точки, що не лежить на осі;
побудова ходу променів виконується за допомогою тільки лінійки без використання шкали.
усі промені, що виходять з однієї точки, після проходження через лінзу (дзеркало) самі, чи їхні продовження, теж перетинаються в одній точці. Тож для отримання зображення точки достатньо двох променів, що виходять з неї.

При розв'язуванні задач на побудову зображень корисно керуватись такими порадами.

1.	Для побудови зображення А′ точки А без вимірювань (рис.16.12 (на б) поставити 2), рис.16.13(2 і 3 поміняти місцями)) слід користатися трьома "зручними" променями, хід яких є заздалегідь відомий, а саме, промінь 1, який іде паралельно до головної оптичної осі приладу; промінь 2, який проходить через фокус; промінь 3, який проходить через оптичний центр приладу.

2.	В деяких задачах за умовою можна використати тільки один з названих зручних променів (як, приміром, при побудові зображення точки, що лежить на головній оптичній осі (рис.16.11б). У такому разі за другий приймають довільний промінь і будують його хід, як показано на рис. 16.14 і рис.16.15.( перенести А′, як на 16.14) Побудову слід виконувати в такій послідовності: а) показати фокальну площина MN; б) паралельно до заданого променя АА' провести один із ”зручних“ допоміжних променів і знайти точку його перетину В з фокальною площиною; в) через точки А' і В провести шуканий допоміжний промінь.

3.	Однією з типових задач на побудову є визначення розташування та характеристик лінзи за заданими положеннями якоїсь точки та її зображення. При цьому пряма, що проходить через точку A та її зображення A', перетинає головну оптичну вісь в центрі лінзи (дзеркала) С, рис.16.12, 16.13; точка A та її дійсне зображення A' розташовуються по різні боки від головної оптичної осі (рис.16.12а, 16.13а), а при уявному зображенні – по один бік (рис.16.12б, 16.13б).

Розрахункові задачі

А. Відбивання і заломлення світла. Розв'язуючи задачі такої тематики, варто пам'ятати наступне.


1)	Коли світло падає на межу поділу з оптично більш густого середовища, то, перш ніж приступати до викладок, корисно знайти граничний кут і пересвідчитися, чи проходять промені крізь межу поділу середовищ, чи зазнають повного відбивання.

2)	Якщо за умовою кути падіння і заломлення малі (як це завжди є при візуальних спостереженнях), то при розв'язуванні задачі слід користуватися наближенням малих кутів $\sin\alpha\approx\mathrm{tg}\alpha\approx\alpha$, і виражати їх у радіанах. Це значно спрощує викладки й обчислення, а інколи є й необхідною умовою отримання розв'язку.

В. Формула дзеркала й лінзи. Формули дзеркала (1.6) і тонкої лінзи (1.10) є ідентичні. Тому в обох випадках задачі на визначення характеристик зображень розв'язуються за однаковою схемою. А саме, необхідно

1)	На ескізному рисунку показати орієнтовні положення лінзи (дзеркала), предмета і його зображення без ходу променів та позначити відповідні відстані. (У найпростіших ситуаціях цього можна не робити).

2)	Скласти робочі рівняння: записати формулу лінзи (дзеркала) з урахуванням додаткових умов задачі, таких, як задана відстань між предметом та екраном, збільшення, тощо. При цьому слід ураховувати правило знаків, зокрема те, що фокусні відстані (або оптичні сили) вгнутого дзеркала і збиральної лінзи є завжди додатні, а опуклого дзеркала та розсіювальної лінзи – від'ємні. При цьому коли знак шуканої відстані не є очевидним, вона при викладках уважається додатньою. Істину покаже знак відповіді: "+" означатиме дійсну, а "–" уявну величину.

3)	У деяких задачах складання рівнянь і розв'язування задачі полегшується, якщо скористатись оборотністю світлових променів, яка полягає в тому, що предмет та його зображення можна міняти ролями. Це випливає із законів відбивання та заломлення світла.

4)	Розв'язати отримане рівняння (або систему рівнянь) і знайти аналітичну відповідь (формулу), яка показує положення, розміри та характер зображення. Відтак за допомогою лінійки виконати креслення з побудовою ходу променів. Це потрібно для ілюстрації та перевірки правильності відповіді. (До прикладу, чи часом не вийшло, що за розрахунками зображення є уявне, а хід променів засвідчує протилежне).

2. Приклади розв’язування задач

Приклади розв'язування задач цього розділу поділені на теми:

2.1. Закони відбивання та заломлення

2.2. Побудова зображень у дзеркалах і лінзах

2.3. Формули дзеркала і лінзи

2.1. Закони відбивання і заломлення

Розв'язуючи задачі на відбивання і заломлення світла, варто пам'ятати таке.
1)	При зображенні ходу променів треба слідкувати, щоби відбитий промінь був симетричний до падаючого, а заломлений відхилявся в потрібний бік – до нормалі при переході в оптично більш густе середовище і від нормалі при переході в менш густе.
2)	Якщо за умовою чи в процесі розв'язування виявляється, що промінь світла падає на межу поділу з оптично більш густого середовища, то, перш ніж записувати і використовувати закон заломлення, варто знайти граничний кут і переконатися, пройде промінь крізь межу, чи зазнає повного відбивання.
3)	Якщо за умовою задачі кути падіння й заломлення, як буває при візуальному спостереженні, через малий розмір зіниці, то при алгебраїчних перетвореннях слід використовувати наближення малих кутів: $\sin\alpha\approx\mathrm{tg}\alpha\approx\alpha$ (рад). Це не лише спрощує викладки, а й може виявитися єдиним способом отримати розв'язок.

Увага. Тут і далі по замовчуванню прийнято наступні умови:

– світлові пучки є параксіальні, тобто тонкі й не розбіжні;

– показники заломлення води й скла, відповідно, дорівнюють 1,33 і 1,5 .

Задача 2.1. Визначити кут відхилення $\vartheta$ променя двогранним плоским дзеркалом із кутом між гранями $\varphi$ при відбиванні в перпендикулярній до ребра площині.

Задача 2.2. Визначити, під яким кутом падає світло на межу поділу двох середовищ із відношенням показників заломлення k = 1,5, якщо відбитий та заломлений промені є взаємно перпендикулярні.

Задача 2.3. Спостерігач розглядає порожню непрозору кубічну посудину з кулькою на дні так, що повністю бачить стінку посудини, але не бачить дна (див. рис. 3 в розв'язку). Визначити, до якого найменшого рівня h слід наповнити посудину водою, аби спостерігач побачив кульку, якщо вона знаходиться на відстані S = 10 см від видимого краю дна.

Задача 2.4. На поверхні дотику двох пластин з показниками заломлення n₁ = 1,35 i n₂ = 1,95 та товщиною по h = 2 см зафарбовано круг радіусом r = h. Визначити радіус тіні R, яку відкидатиме круг на поверхню іншої пластини, якщо над його центром розмістити точкове джерело світла S на: А) першій пластині; В) другій пластині.

Задача 2.5. Промінь світла під кутом $\alpha=60^{\circ}$ падає з повітря на скляну плоскопаралельну пластину товщиною d = 3 см. Визначити зміщення x променя внаслідок проходження пластини.

Задача 2.6. Пучок променів падає на аркуш паперу під кутом $\alpha=60^{\circ}$. Визначити, на яку відстань S зміститься світна цятка на папері, якщо на нього покласти скляну пластину товщиною d = 5 см.

Задача 2.7. Рибалці в човні, котрий прямо під собою розглядає камінець на дні ставка, здається, що він знаходиться на глибині h = 3 м. Визначити справжню глибину ставка H.

Задача 2.8. Промінь, який падає на трикутну призму під кутом $\alpha=30^{\circ}$ і виходить під кутом $\beta=60^{\circ}$, відхиляється на кут $\delta=45^{\circ}$. Визначити заломний кут призми $\varphi$.

Задача 2.9. Промінь світла під малим кутом падає на бічну грань скляної призми із заломним кутом $\varphi=0,1$ рад. Визначити кут відхилення $\delta$ променя призмою.

Задача 2.10. Промінь світла падає на бічну грань скляної призми із заломним кутом $\varphi=60^{\circ}$ і непрозорою основою. Визначити мінімальне значення кута падіння $\alpha_{m}$, при якому світло проходитиме крізь призму.

Задача 2.1

Визначити

кут відхилення $\vartheta$ променя двогранним плоским дзеркалом із кутом між гранями $\varphi$ при відбиванні в перпендикулярній до ребра площині.

Дано:

$\varphi$

$\vartheta$ - ?

Розв’язання

На рис. 1 з урахуванням закону відбивання (2.2) показано хід променя, що падає й відбивається на першій грані дзеркала під якимось кутом $\alpha_{1}$, а на другій – під відповідним кутом $\alpha_{2}$, та шуканий кут відхилення $\vartheta$, тобто кут між напрямами променя, що падає на першу грань дзеркала, та того, що відбивається від другої.

Показані також усі інші кути, що потрібні для розв’язування задачі.

Із рис. 1 видно, що кут відхилення $\vartheta$ є зовнішнім кутом трикутника PO₁O₂, отже

$\vartheta=2\beta_{1}+2\beta_{2}=2(\beta_{1}+\beta_{2})$.

А з трикутника O₁OO₂ маємо

$\beta_{1}+\beta_{2}=180^{\circ}-\varphi$,

Отже шуканий кут відхилення

$\vartheta=360^{\circ}-2\varphi$.

В отриманій відповіді заслуговує на увагу те, що цей кут не залежить від напрямку падаючого променя й визначається тільки величиною двогранного кута $varphi$. Зокрема, якщо $\varphi=90^{\circ}$, то $\vartheta=180^{\circ}$. Тобто, прямокутне двогранне дзеркало будь-які промені, що падають у перпендикулярній до його ребра площині, відбиває у зворотньому напрямі. А тригранне прямокутне дзеркало, як можна довести, має таку властивість узагалі незалежно від напрямку падаючих променів. Це використовується у так званих кутових відбивачах, якими, зокрема, є катафоти автомобілів і велосипедів, а також рефлектори на ранцях школярів.

Задача 2.2

Визначити,

під яким кутом $\alpha$ падає світло на межу поділу двох середовищ із відношенням показників заломлення k = 1,5, якщо відбитий та заломлений промені є взаємно перпендикулярні.

Дано:

k = 1,5

$\varphi=90^{\circ}$

$\alpha$ - ?

Розв’язання

Із рис. 2, на якому показано хід довільного променя при падінні світла на межу поділу з оптично менш густого середовища (n₁< n₂), видно, що $\alpha+\varphi+\beta=180^{\circ}$. Отже, при $\varphi=90^{\circ}$ кут заломлення $\beta=90^{\circ}-\alpha$, і $\sin \beta =\cos \alpha $. Тож за заоном заломлення (2.3)

$\frac{{{n}_{2}}}{{{n}_{1}}}=\operatorname{tg}\alpha $,

і шуканий кут

$\alpha=\mathrm{arctg}\left(\frac{n_{2}}{n_{1}}\right)$.

Числова відповідь залежить послідовності проходження світлом середовищ, тож є два випадки:

1) $\frac{n_{2}}{n_{1}}=k$ і $\alpha_{1}=\mathrm{arctg}{1,5}=56,3^{\circ}$;

2) $\frac{n_{2}}{n_{1}}=\frac{1}{k}$ і $\alpha_{2}=\mathrm{arctg}\frac{1}{1,5}=33,7^{\circ}$.

Корисно звернути увагу на те, що одне з цих значень є кутом падіння, а інше – кутом заломлення, незалежно від послідовності проходження світлом середовищ.

Задача 2.3

Спостерігач розглядає порожню непрозору кубічну посудину з кулькою на дні так, що повністюбачить стінку посудини, але не бачить дна (рис. 3).

Визначити,

до якого найменшого рівня h слід наповнити посудину водою, аби спостерігач побачив кульку, якщо вона знаходиться на відстані S = 10 см від видимого краю дна .

Дано:

n = 1,33

S = 10 см

h - ?

Розв’язання

З умови випливає, що, аби спостерігач бачив кульку, відбите нею світло має заломлюватися на поверхні води під заданим кутом β = 45° (див. рис 3-1) і падати на неї під відповідним кутом α, що за законом заломлення (2.3) задовольняє умову:

$\sin\alpha=\frac{1}{n\sqrt{2}}$.

(1)

Отже, при заданому положенні кульки величина α по суті теж є відомою. Це дозволяє визначити потрібну висоту рівня води h з рис. 3-1, на якому довжина відрізка KN = S, враховуючи кут зору, PN = h, і

PK = h – S.

У той же час

PK = htg$\alpha$,

тож, прирівнявши праві частини наведених виразів, отримаємо:

$h=\frac{S}{1-\operatorname{tg}\alpha }$

Відтак, виразивши тангенс через синус і врахувавши значення (1), після нескладних викладок дістанемо відповідь:

$h=\frac{S}{1-\sqrt{2{{n}^{2}}-1}}$ $=26,9$ см.

В отриманій відповіді може здивувати, що потрібна висота рівня води не залежить від розмірів посудини. Але це пояснюєься кубічною формою посудини, через що при змінїї її розмірів кут зору, тож і кут падіння променя на поверхню води, не змінюються.

Задача 2.4

На поверхні дотику двох пластин з показниками заломлення n₁ = 1,35 i n₂ = 1,95 і товщиною по h = 2 см зафарбовано круг радіусом r = h.

Визначити

радіус тіні R, яку відкидатиме круг на поверхню іншої пластини, якщо над його центром розмістити точкове джерело світла S на:

А) першій пластині;

В) другій пластині.

Дано:

h = 2 см

$n_{1}$ = 1,35

$n_{2}$ = 1,95

R - ?

Розв’язання

А) У цьому випадку світло переходить з оптично менш густого середовища в більш густе, й заломлюється,як показано на рис. 4-1а (позн. R, виділити тінь). За законом заломлення (1.3) радіус тіні

$R=r+h\mathrm{tg}\beta$.

При цьому за умовою r = h,

$R=h(1+\operatorname{tg}\beta )$,

тож, виразивши тангенс через синус, як

$\operatorname{tg}\beta =\frac{\sin \beta }{\sqrt{1-{{\sin }^{2}}\beta }}=\frac{1}{\sqrt{\left( 1/{{\sin }^{2}}\beta \right)-1}}$,

дістанемо

$R=\left( 1+\frac{1}{\sqrt{\left( 1/{{\sin }^{2}}\beta \right)-1}} \right)$.

За умовою α = 45°, отже величина $1/\sin^{2}\beta$ за законом заломлення (2.4) складає

$\frac{1}{\sin^{2}\beta}=\frac{2n_{2}^{2}}{n_{1}^{2}}$,

і шуканий радіус тіні

$R=h\left(1+\frac{1}{\sqrt{2(n_{2}/n_{1})^{2}-1}}\right)\approx3,1$ см.

Б) В цьому випадку світло падає на межу поділу з більш густого середовища, тому, перш ніж виконувати обчислення, слід з'ясувати, чи зможе світло взагалі пройти через межу поділу. Для цього за допомогою формули (1.4) знаходимо граничний кут для заданих речовин речовин:

$\alpha_{0}=\mathrm{arcsin}\left(\frac{n_{1}}{n_{2}}\right)=43,8^{\circ}$.

Так що кут падіння ($45^{\circ}$)крізь межу дотику пластин не пройде жоден промінь (див. п. 2.2), і вся вона буде затінена. Тож формально відповідь записується як

$R\to\infty$.

Задача 2.5

Промінь світла під кутом $\alpha=60^{\circ}$ падає з повітря на скляну плоскопаралельну пластину товщиною d = 3 см.

Визначити

зміщення x променя внаслідок проходження пластини.

Дано:

$\alpha$ = $60^{\circ}$

n = 1,5

d = 3 см

x - ?

Розв’язання

На рис. 5-1 із необхідними позначеннями показано хід променя крізь плоскопаралельну пластинку. Тож на основі закону заломлення світла (1.3) для верхньої та нижньої граней можна записати:

$\frac{\sin\alpha}{\sin\beta}=n$, $\frac{\sin\beta}{\sin\alpha^{\prime}}=\frac{1}{n}$.

З цих виразів випливає, що $\alpha^{\prime}=\alpha$, тобто промінь, не змінюючи напрякму, зміщується на певну відстань x = BC, яку треба визначити.

Для отримання відповіді скористаємося рисунком 5.1, на якому трикутник ΔАВС є прямокутним із гіпотенузою АВ = (d/cosβ). тож

$x=AB·sinφ =\frac{d\sin \varphi }{\cos \beta }$,

де

$\varphi =\alpha -\beta $.

Далі, скориставшся формулою синуса різниці кутів, дістанемо:

$x=\frac{d\sin \left( \alpha -\beta \right)}{\cos \alpha }$ = $d\frac{\sin \alpha \cos \beta -\cos \alpha \sin \beta }{\cos \beta }$ =

= $d\left( \sin \alpha -\cos \alpha \operatorname{tg}\beta \right)$

У цьому виразі кут $\beta$ задовольняє закон заломлення світла. Тож, виразивши $\operatorname{tg}\beta $ через $\sin \beta $, відповідно до закону заломлення (1.3), отримаємо остаточну відповідь:

$x=d\sin \alpha \left( 1-\frac{\cos \alpha }{\sqrt{{{n}^{2}}-{{\sin }^{2}}\alpha }} \right)$ =$1,53$ см.

Задача 2.6

Вузький паралельний пучок променів падає на аркуш паперу під кутом $\alpha=60^{\circ}$ і створює світлову пляму (рис. 6).

Визначити

відстань S на яку зміститься цятка, якщо на папір покласти скляну (n = 1,5) пластину товщиною d = 5 см.

Дано:

α = 60°

n = 1,5

d = 5 см

S - ?

Розв’язання

Нехай спочатку світна цятка розміщена в точці M (рис. 6-1.а). Після того як на папір поклали пластину, цятка внаслідок заломлення переміститься в точку N.

Шукана відстань S = MN. З рисунка видно, що

S = PM – PN = $d(\mathrm{tg}\alpha-\mathrm{tg}\beta)$.

(1)

Величину $\mathrm{tg}\beta$ легко визначити через відомі тригонометричні співвідношення та закон заломлення (1.3), згідно з яким $\sin\beta=\sin\alpha/n$

$d(\mathrm{tg}\beta=\frac{\sin\beta}{\cos\beta}=\frac{\sin\beta}{\sqrt{1-\sin^{2}\beta}}=\frac{\sin\alpha}{\sqrt{n^{2}-\sin^{2}\alpha}}$.

Підставивши цей вираз у формулу (1), дістанемо відповідь:

$S=d\left(\mathrm{tg}\alpha-\frac{\sin\alpha}{\sqrt{n^{2}-\sin^{2}\alpha}}\right)$.

Обчислення дають:

$S=5\cdot\left(\sqrt{3}-\frac{\sqrt{3}}{2\cdot\sqrt{1,5^{2}-3/4}}\right)\approx$ 5,1 см.

Одержати відповідь у цій задачі також можна інакше.

Дійсно, якщо з точки N опустити перпендикуляр на лінію OM (рис. 16-2.б), то з трикутника NKM: NM = NK/$\cos\alpha$. Відрізок NK = x був визначений у задачі 2.5 формула (4).

Отже маємо:

$S=d\mathrm{tg}\alpha\left(1-\frac{\cos\alpha}{\sqrt{n^{2}-\sin^{2}\alpha}}\right)=d\left(\mathrm{tg}\alpha-\frac{\sin\alpha}{\sqrt{n^{2}-\sin^{2}\alpha}}\right)$.

Задача 2.7.

Рибалці в човні, котрий прямо під собою розглядає камінець на дні ставка, здається, що він знаходиться на глибині 3 м.

Визначити

справжню глибину ставка H.

Дано:

h= 3 м

n = 1,33

H - ?

Розв’язання

Відповідно до закону заломлення світла (2.3), відбиті від камінця промені світла на виході з води заломлюються під більшим кутом, аніж падають, як показано на рис. 7-2. Тому при потраплянні в око рибалки вони створюють хибне враження, що камінець знаходиться в т. А на глибині h, меншій ніж справжня глибина H. При цьому, як зрозуміло з рисунка,

$\frac{H}{h}=\frac{\operatorname{tg}\beta }{\operatorname{tg}\alpha }$

або, беручи до уваги малість кутів,

$\frac{H}{h}=\frac{\beta }{\alpha }$ $\Rightarrow $ $H=h\frac{\beta }{\alpha }$

де відношення кутів, згідно із законом заломлення (1.3а), дорівнює відношенню показників заломлення води n та повітря n₀ = 2. Отже, справжня глибина ставка

$H=nh=4$ м.

Задача 2.8

Промінь, який падає на призму під кутом $\alpha=30^{\circ}$ і виходить під кутом $\beta=60^{\circ}$, відхиляється на кут $\delta=45^{\circ}$.

Визначити

заломний кут призми $\varphi$.

Дано:

α₁ = 30°

α₂ = 60°

δ = 45°

φ - ?

Розв’язання

Позначимо кут заломлення на першій грані $\beta_{1}$, а кут падіння на другу грань $\beta_{2}$ (рис.8-1).

Кут відхилення променя $\delta$ – то є кут між напрямками променя, що вийшов з призми та променя, що падає на призму. Він є зовнішнім кутом трикутника ΔABC, отже

$\delta=\pi-\gamma$ $\Rightarrow$ $\gamma=\pi-\delta$.

(1)

В цьому трикутнику $\angle$BAC = $\alpha_{1}-\beta_{1}$ і $\angle$ABC = $\alpha_{2}-\beta_{2}$. Тому

$\gamma=\pi-(\alpha_{1}-\beta_{1})-(\alpha_{2}-\beta_{2})=\pi-(\alpha_{1}+\alpha_{2})+(\beta_{1}+\beta_{2})$.

(2)

Прирівнюючи праві частини виразів (1) і (2), отримаємо:

$\delta=(\alpha_{1}+\alpha_{2})-(\beta_{1}+\beta_{2})$.

(3)

Зовнішній кут $\angle$ADQ трикутника ABD дорівнює заломному кутові призми $\varphi$, оскільки він утворений перпендикулярами до бічних граней призми. Отже

$\varphi=\beta{1}+\beta_{2}$.

(4)

Підставивши цей вираз у формулу (3), дістанемо відповідь:

$\delta=\alpha_{1}+\alpha_{2}-\varphi$ $\Rightarrow$ $\varphi=\alpha_{1}+\alpha_{2}-\delta=30^{\circ}+60^{\circ}-45^{\circ}$

Задача 2.9

Промінь світла під малим кутом падає на бічну грань скляної призми із заломним кутом $\varphi=0,1$ рад.

Визначити

кут відхилення $\delta$ променя призмою.

Дано:

φ = 0,1 рад

n = 1,5

δ - ?

Розв’язання

Скористаємося результатами задачі 2.8 (формули (3) і (4)):

	$\delta=(\alpha_{1}+\alpha_{2})-(\beta_{1}+\beta_{2})$;	(1)
	$\varphi=\beta_{1}+\beta_{2}$.	(2)

Відтак залишається визначити суму кутів $\alpha_{1}$ та $\alpha_{2}$. При малих кутах $\sin\alpha\approx\alpha$, отже, за законом заломлення (1.3) можна наближено записати

$\frac{\alpha_{1}}{\beta_{1}}=n$ $\Rightarrow$ $\alpha_{1}=n\beta_{1}$,

$\frac{\beta_{2}}{\alpha_{2}}=\frac{1}{n}$ $\Rightarrow$ $\alpha_{2}=n\beta_{2}$.

(3)

де n – показник заломлення призми. Підставивши вирази (3) у формулу (1) і врахувавши співвідношення, (2) отримаємо:

$\delta=n(\beta_{1}+\beta_{2})-(\beta_{1}+\beta_{2})=(n-1)\varphi$.

Таким чином, при малих кутах падіння кут відхилення променя в призмі з малим заломним кутом залежить тільки від показника заломлення та заломного кута.

Виконаємо обчислення:

$\delta=(1,5-1)\cdot{0,1}=0,05$ рад = $2,86^{\circ}$.

Задача 2.10

Промінь світла падає на бічну грань скляної призми із заломним кутом $\varphi=60^{\circ}$ і непрозорою основою. Визначити мінімальне значення кута падіння $\alpha_{m}$, при якому світло проходитиме крізь призму.

Дано:

n = 1,5

φ = 60°

α_m - ?

Розв’язання

На рис.10 показаний хід граничного променя крізь призму і відповідні кути.

Світло буде проходити крізь призму за умови

$\beta_{2}\le\beta_{г}$,

(1)

де $\beta_{г}$ – граничний кут, для якого відповідно до формули (2.7), умову (1) можна записати, як

$\sin\beta_{2}\le\frac{1}{n}$.

З іншого боку (див. задачу 2.8, формула (4))

$\varphi=\beta_{1}+\beta_{2}$ $\Rightarrow$ $\beta_{2}=\varphi-\beta_{1}$.

(2)

відповідно до цього світло проходить крізь призму за умови

$\sin(\varphi-\beta_{1})\le\frac{1}{n}$.

З виразів (1) і (2) слідує, що найбільшій величині $\beta_{1}=\beta_{г}$ відповідає таке значення $\beta_{1}=\beta_{m}$, при якому

$\sin(\varphi-\beta_{m})=\frac{1}{n}$.

(3)

За законом заломлення (1.3) найменшому значенню $\beta_{1}=\beta_{m}$ відповідає шуканий найменший кут падіння $\alpha_{1}=\alpha_{m}$, причому

$\sin\beta_{m}=\frac{\sin\alpha_{m}}{n}$.

Підставляючи цей вираз в рівність (3) і використовуючи відому тригонометричну формулу, одержимо

$\frac{1}{n}=\sin\varphi\cdot\frac{1}{n}\sqrt{n^{2}-\sin^{2}\alpha_{m}}-\frac{1}{n}\sin\alpha_{m}\cos\varphi$ $\Rightarrow$

$\Rightarrow$ $1+\sin\alpha_{m}\cos\varphi=\sin\varphi\sqrt{n^{2}-\sin^{2}\alpha_{m}}$.

Зведемо останній вираз в квадрат і виконаємо перетворення:

$\sin^{2}\alpha_{m}+2\sin\alpha_{m}\cos\varphi+1-n^{2}\sin^{2}\varphi=0$.

Рішення цього квадратного рівняння відносно $\sin\alpha_{m}$ дає

$\sin\alpha_{m}=-\cos\varphi+\sqrt{\cos^{2}\varphi-1+n^{2}\sin\varphi}=-\cos\varphi+\sin\varphi\sqrt{n^{2}-1}$.

(Другий корінь не має фізичного змісту).

Виконаємо обчислення:

$\sin\alpha{m}=-\cos{60^{\circ}}+\sin{60^{\circ}}\sqrt{1,5^{2}-1}$ $\Rightarrow$ $\alpha_{m}=27,9^{\circ}$.

2.2. Побудова зображень у дзеркалах і лінзах

Наступні приклади, відповідно до наведених загальних рекомендацій (п. 1.4), ілюструють порядок побудови зображення предмета та ходу заданого променя в дзеркалах і лінзах. ”Предметом“ по замовчуванню є стрілка АВ, яка по замовчуванню спрямована перпендикулярно до горизонтальної головної оптичної осі дзеркала чи лінзи й спирається на неї. Тому для побудови зображення ”предмета“ достатньо визначати положення тільки верхнього кінця стрілки.

Задача 2.11. Побудувати та дати характеристику зображення предмета, що розташований між фокусом F і полюсом P вгнутого сферичного дзеркала.

Задача 2.12. За заданим ходом променя крізь збиральну лінзу визначити положення її фокусів.

Задача 2.13. Визначити хід променя 2 після заломлення в розсіювальній лінзі за заданим ходом променя 1.

Задача 2.14. Побудувати та дати характеристику зображення предмета, котрий похило розташовано між фокусом F і подвійним фокусом 2F збиральної лінзи.

Задача 2.15. За заданим положенням точки S і її зображення S′ відносно головної оптичної осі O′O″ лінзи визначити її тип та положення оптичного центра й фокусів.

Задача 2.11

Побудувати та дати характеристику зображення предмета АВ, що розташований між фокусом F і полюсом P вгнутого сферичного дзеркала, рис. 11.

Побудувати

зображення $\mathrm{A^{\prime}B^{\prime}}$ предмета.

Розв’язання

Згідно з прийнятими домовленостями, для отримання відповіді треба побудувати зображення точки B. Будемо робити це в такій послідовності:

1. Із точки B паралельно до головної оптичній осі OP проведемо падаючий промінь 1 і відбитий промінь 1′, що проходить через фокус дзеркала F;

2. Із фокуса F через точку B спрямуємо на дзеркало промінь 2 і паралельно до осі OP відбитий промінь 2′;

3. Продовживши промені 1′ і 2′ до перетину, знаходимо положення B′ уявного зображення точки B;

4. Опускаємо з точки B′ перпендикуляр на головну оптичну вісь дзеркала OP і визначаємо положення A′ зображення точки A , тож і предмета (стрілка A′B′).

Отже, при розташовані предмета між полюсом і фокусом вгнуте дзеркало дає його уявне, пряме і збільшене зображення. (Завдяки цьому, вгнуті дзеркала використовуються чоловіками при голінні).

Задача 2.12

За заданим ходом променя крізь збиральну лінзу (рис. 13)

визначити

положення її фокусів.

Розв’язання

Відомо (див. п. 1.3), що будь-які паралельні промені після заломлення в лінзі перетинаються в одній точці фокальної площини. Тож, якщо через оптичний центр лінзи О паралельно до падаючого променя 1 провести допоміжний промінь 2 (рис. 13-1), то на його перетині із заломленим променем 1′ отримаємо точку В, яка лежить у фокальній площині лінзи. Відтак, опустивши перпендикуляр на вісь О′О″, знайдемо положення фокуса F₁ і симетрично по інший бік – F₂.

Задача 2.13

Визначити

хід променя 2 після заломлення в розсівній лінзі за заданим ходом променя 1 (рис. 14).

Розв’язання

Побудова ходу променя 2, яку ілюструє рис. 14-1, виконуємо в такій послідовності.

1. Як у попередній задачі, паралельно до променя 1 проводимо побічну оптичну вісь (”допоміжний промінь“), і на її перетині з продовженням променя 1′ дістаємо точку С, яка визначає положення фокальної площини, тож і фокуса F лінзи;

2. Так само проводимо другу побічну оптичну вісь паралельно до променя 2 і відмічаємо точку D її перетину з фокальною площиною;

3. Оскільки через точку D проходить і продовження шуканого заломленого променя 2′, його напрям DB є такий, як показано на рисунку.

Задача 2.14

Побудувати та дати характеристику

зображення предмета, котрий похило розташовано між фокусом F і подвійним фокусом 2F збиральної лінзи (рис. 12).

Розв’язання

Задача полягає в побудові зображення А′ і В′ кінців стрілки АВ, яку ілюструє рис. 12-1.

Точка A′. Для побудови використаємо промені: 1, який збігається з головною оптичною віссю, і 2, що є спрямований уздовж відрізка AB. Далі паралельно до АВ проведемо побічну оптичну вісь ОD, яка перетинає фокальну площину лінзи в точці D. І, позаяк через цю точку проходить і заломлений промінь 2′, на його перетині з променем 1′ (головна оптична вісь) дістанемо зображення А′ нижнього кінця стрілки АВ.

Точка B′. Для побудови зображення верхнього кінця стрілки теж треба визначити хід крізь лінзу двох променів, що виходять з точки B. Тож у якості одного зручно взяти використаний вище промінь 2. Далі без заломлення проведемо через оптичний центр лінзи промінь 3 і на його перетині з продовженням променя 2′ отримаємо зображення верхнього кінця B′, тож і всієї стрілки A′B′. Як видно, воно воно є дійсне, збільшене і перевернуте.

Зауваження. При побудові можна було би взяти й інші промені, приміром ті, що показано на рисунку штриховими лініями прибрати позначення.

Задача 2.15

За заданим положенням точки S і її зображення S′ відносно головної оптичної осі лінзи О′О″ (рис. 15а,б)

Визначити

її тип і положення оптичного центра та фокусів.

Розв’язання

Ключем до розв’язування задачі є той факт, що точка та її зображення лежать на одній прямій, що проходить через оптичний центр лінзи (див. п. 1.4).

Побудову виконаємо паралельно для обох випадків у наступній послідовності (рис. 15-1а для розсіювальної й 15-1,б для збиральної лінзи).

1. Проводимо промінь 1 через точки S і S′ і на його перетині з оптичною віссю O′O″ одержуємо положення оптичного центра O та площини лінзи.

2. Із точки S на лінзу паралельно до O′O″ (в точку A) напрямляємо промінь 2, який після заломлення (сам чи його продовження) має проходити через точку S′ – зображення S.

3. Відтак на перетині променя 2′ або його продовження з віссю O′O″ знаходимо положення одного і симетрично по інший бік – другого фокуса лінзи.

Отож, як видно з виконаної побудови, у випадку а) лінза є розсіювальною, а у випадку б) – збиральною.

2.3. Формули дзеркала і лінзи

Задача 2.16. Рефлектор прожектора являє собою вгнуте сферичне дзеркало з радіусом кривини R = 30 см. Визначити на якій відстані l від його фокуса на головній оптичній осі слід розмістити точкове джерело світла, аби одержати конічний пучок променів із точкою сходження на відстані L = 10 м від полюса.

Задача 2.17. Промені збіжного конічного пучка, що проходять крізь розсіювальну лінзу з фокусною відстанню F = 30 см, перетинаються на головній оптичній осі на відстані L = 60 см від лінзи. Визначити, на яку відстань l зміститься точка сходження променів, якщо лінзу прибрати.

Задача 2.18. Мураха повзе вздовж головної оптичної осі опуклого дзеркала із фокусною відстанню F зі швидкістю v = 5 мм/с. Побудувати зображення мурахи та визначити швидкість його руху u на момент знаходження мурахи на відстані d = 1,5F від дзеркала.

Задача 2.19. Малий предмет розглядають крізь лупу із фокусною відстанню F = 5 см так, що зображення утворюється на відстані найкращого зору L = 25 см. Визначити, на якій відстані d від предмета розташовано лупу, та яке збільшення $\Gamma$ вона дає.

Задача 2.20. Визначити: а) при якій відстані d₀ від предмета до лінзи з фокусною відстанню F відстань L між ним і його зображенням на екрані буде мінімальною та б) її величину L₀.

Задача 2.21. Лінза дає чітке зображення джерела світла на екрані в двох положеннях на відстані l = 60 см одне від одного. Визначити фокусну відстань лінзи F, якщо відстань від неї до екрана L = 1 м.

Задача 2.22. Короткозора людина читає книжку, тримаючи її на відстані d = 16 см від очей, тоді як відстань найкращого зору складає d₀ = 25 см. Визначити оптичну силу D_c окулярів, які їй потрібні для корекції зору.

Задача 2.23. На одній осі зі збиральною лінзою Л₁ із заданою фокусною відстанню F₁ встановлено розсіювальну лінзу Л₂. Визначити її фокусну відстань F₂, якщо система створює збільшене в $\Gamma=2$ рази дійсне зображення предмета, котрий розміщено перед збиральною лінзою на відстані d₁ = 3F₁.

Задача 2.16

Рефлектор прожектора являє собою вгнуте сферичне дзеркало з радіусом кривини R = 30 см.

Визначити,

на якій відстані l від фокуса дзеркала на головній оптичній осі слід розмістити точкове джерело світла, аби одержати конічний пучок променів із точкою сходження на відстані L = 10 м від полюса.

Дано:

R = 30 см = 0,3 м

L = 10 м

l - ?

Розв’язання

Положення джерела S і точки сходження S′ відбитого пучка схематично (без дотримання співвідношеь між відстанями) показані на рис. 17, з якого зрозуміло, що точка S′ є дійсним зображенням джерела S (див. п.1.3), котре є віддалене від полюса дзеркала на відстань f = L, а відстань d від самого джерела S до полюса перевищує фокусну відстань F на шукану величину l: d = F + l. Отже, згідно з формулою дзеркала (1.6),

$\frac{1}{F+l}+\frac{1}{L}=\frac{1}{F}$.

Звідси після елементарних викладок одержимо

$l=\frac{F^{2}}{L-F}$,

і, відтак урахувавши формулу (1.5), дістанемо наступну точну відповідь:

$l=\frac{R^{2}}{2(2L-R)}$.

Але, позаяк за умовою R << L, обчислення доцільно виконувати за наближеним виразом:

$f\approx \frac{{{R}^{2}}}{4L}$ = 4 мм

Отже, джерело має бути розташоване за полюсом на 4 мм далі від дзеркала, як це разом із побудовою зображення точки S′ показано на рис. 17-1.

Задача 2.17

Промені збіжного конічного пучка, що проходять крізь розсіювальну лінзу з фокусною відстанню F = 30 см, перетинаються на головній оптичній осі на відстані L = 60 см від лінзи.

Визначити,

на яку відстань l зміститься точка сходження променів, якщо лінзу прибрати.

Дано:

F = 30 см

L = 60 см

l - ?

Розв’язання

Збіжні промені, що падають на лінзу, йдуть від не точкового джерела. Тож може здатися, що формула лінзи (1.6) є недійсною через невизначеність відстані d. Але завдяки оборотності світлових променів задачу можна "обернути", розглядаючи точку точку сходження самих променів як джерело, а точку сходження продовжень – як його уявне зображення (рис. 23-1), та покласти у формулі (1.6) d = L і f = L – l. Тоді, врахувавши правило знаків, після елементарних перетворень отримаємо відповідь задачі:

$\frac{1}{L}-\frac{1}{L-l}=-\frac{1}{F}$ $\Rightarrow$ $l=\frac{L^{2}}{L+F}=40$ см.

(1)

На завершення зауважимо, що, позаяк порядок доданків у рівнянні (1) не має значення, точку сходження продовжень променів можна формально трактувати як уявний "предмет", а точку сходження самих променів — як його дійсне зображення. Тоді у формулі лінзи –(L – l)= d′ і L = f′.

Задача 2.18

Мураха повзе вздовж головної оптичної осі опуклого дзеркала із фокусною відстанню F зі швидкістю v = 5 мм/с.

1) побудувати зображення мурахи та

2) визначити швидкість його руху u на момент знаходження мурахи на відстані d = 1,5F від дзеркала.

Дано:

v = 5 мм/с

d = 1,5F

u - ?

Розв’язання

1. Зображення (рис. 18) будуємо в такій послідовності за рекомендаціями (п.1.4, рис. 2.15б):
1) показуємо положення фокальної площини F′F″, яка перетинає головну оптичну вісь ОО′ в точці F на середині радіуса кривини PС дзеркала (ф-ла (1.5));

2) проводимо допоміжний промінь KC у напрямі до центра кривини C дзеркала, і відмічаємо точку перетину D його продовження з фокальною площиною.

3) будуємо хід паралельного до KC допоміжного променя АВ, продовження якого після відбивання теж проходить через точку D;

4) другий необхідний для побудови зображення промінь AP напрямляємо вздовж головної оптичної осі ОО′, тож у точці P він відбивається в протилежному напрямі;

5) у точці перетину A′ продовжень BD і РC указаних ”робочих“ променів отримуємо уявне зображення точки A.

2. Для визначення швидкості зображення u спочатку за формулою (1.10) виразимо зв'язок між координатами (відстанями від дзеркала) f і d, врахувавши, що для опуклого дзеркала f < 0 і d < 0 :

$-\frac{1}{F}=\frac{1}{{{d}}}-\frac{1}{f}\quad \Rightarrow \quad f=\frac{Fd}{{{d}}+F}$.

(1)

З цього виразу видно, що величина f не є прямо пропорційна до d, отже, на відміну від мурахи, її зображення рухається нерівномірно. Через це шукана швидкість u визначається похідною по часу f′ величини f : u = f′ (див. [І], розділ І, п.1.1). Тож, із виразу (1) за правилом диференціювання частки, отримаємо:

$u=F\frac{\left( {d}'\left( d+F \right)-d{{\left( d+F \right)}^{\prime }} \right)}{{{\left( d+F \right)}^{2}}}={{\left( \frac{F}{d+F} \right)}^{2}}{d}'$,

(2)

Відтак, урахувавши, щоде d′ = $v$ і d = 1,5F, дістанемо наступну відповідь:

$u=\frac{v}{{{2,5}^{2}}}=0,8$ мм/с

(3)

Отриманий результат показує, що опукле дзеркало дає зменшені не лише розміри зображення, а й швидкісь його руху.

Покажемо також, як можна розв'язати задачу без вищої математики.

Задля цього спочатку за допомогою виразу (1) запишемо наближений вираз шуканої швидкості u ≈ (Δf/Δt) при невеликому переміщенні мурахи відносно дзеркала з відстані d до d + $\Delta d$:

$u\approx \frac{F}{\Delta t}\left( \frac{d+v\Delta t}{d+v\Delta t+F}-\frac{d}{d+F} \right)$.

Відтак, звівши вираз у дужках до спільного знаменника й узявши до уваги, що $\Delta d=v\Delta t$, після спрощень отримаємо

$u\approx \frac{{{F}^{2}}v}{\left( d+F \right)\left( d+v\Delta t+F \right)}$

Зрозуміло, що точність цього виразу при зменшенні проміжку часу, для якого його отрмано, зростатає. Тож у границі $\Delta t\to 0$ він дає точну відповідь, яка збігається з (3).

Задача 2.19

Малий предмет розглядають крізь лупу із фокусною відстанню F = 5 см так, що зображення утворюється на відстані найкращого зору L = 25 см.

Визначити,

на якій відстані d від предмета розташовано лупу, та яке збільшення $\Gamma$ вона дає.

Дано:

F = 5 см

L = 25 см

d, $\Gamma$ - ?

Розв’язання

Лупа – то є збирвльна лінза, котра "озброює" око, тобто створює збільшене пряме (неперевернуте) зображення предмета, що розглядається. Таке зображення є уявним (див. п. 1. 3), тому лупа має бути розміщена біля ока на відстані від предмета d < F , аби відстань до зображення складала f = L, як показано на рис. 19. Тож, із формули лінзи (1.6) з урахуванням правила знаків (див. п. 1. 3) отримуємо:

$\frac{1}{d}-\frac{1}{L}=\frac{1}{F}$ $\Rightarrow$ $d=\frac{LF}{L+F}$ $\approx $4,2 см.

(1)

Відповідно, для збільшення Γ= (L/d) виходить

$\Gamma=\frac{L+F}{F}$ = 6

Задача 2.20

Визначити:

а) при якій відстані d₀ від предмета до лінзи з фокусною відстанню F відстань L між ним і його зображенням на екрані буде мінімальною та

б) її величину L₀.

Дано:

d₀ - ?

L₀- ?

Розв’язання

Найперше зауважимо, що побачити на екрані можна тільки дійсне зображення. Отже, лінза є збиральною, а предмет розташовано за фокусом, як показано на рис. 21.

Аби знайти загальну відповідь, спочатку встановимо зв'язок між відстанями від предмета до лінзиі d та до зображення (екрана) L, виразивши у формулі лінзи (1.6) відстань f від лінзи до зображення, як

f = L – d.

Тоді

$\frac{1}{d}+\frac{1}{L-d}=\frac{1}{F}$ $\Rightarrow$ $L=\frac{d^{2}}{d-F}$.

(1)

Подальший розв'язок можна провести в два способи, використавши:

1. Вищу математику;

2. Алгебру.

Спосіб 1.

а). У точці мінімуму функція переходить від спаду до зростання, тому швидкість її зміни, що визначається похідною, дорівнює нулю. Отже, аби отримати відповіді, треба знайти похідну L′(d) функції (1) і прирівняти її до нуля. А саме.

Вираз (1) є часткою функцій φ₁ = d² і φ₂ = (F – d). Тож за правилом диференціювання частки

${{\left( \frac{{{\varphi }_{1}}}{{{\varphi }_{2}}} \right)}^{\prime }}=\frac{{{\varphi }_{1}}^{\prime }{{\varphi }_{2}}-{{\varphi }_{1}}{{\varphi }_{2}}^{\prime }}{\varphi _{2}^{2}}$,

і, враховуючи, що ${{\varphi }_{1}}^{\prime }=2d$ i ${{\varphi }_{2}}^{\prime }=1$,

$L^{\prime}=\frac{2d(d-F)-d^{2}}{(d-F)^{2}}=\frac{d(d-2F)}{(d-F)^{2}}$.

Відтак, прирівнявши отриманий вираз до нуля при d = d₀, знайдемо першу відповідь:

$\frac{d_{0}( d_{0}-2F)}{( d_{0}-F)}=0$ $\Rightarrow$ $d_{0}=2F$.

б). Другу відповідь (величину L₀) знайдемо підстановкою $d = d_{0}=2F$ у вираз (1):

$L_{0}=\frac{4F^{2}}{2F-F}=4F$.

Принагідно зауважимо, що при отриманих відстанях L₀ = 4F (1) і d₀ = 2F також і відстань f = 2F. Отже, мінімальна відстань між предметом і його дійсним зображенням спостерігається при їхньому симетричному розташуванню на подвійній фокусній відстані від лінзи.

Спосіб 2.

Перепишемо вираз (1) у вигляді квадратного рівняння

$d^{2}-Ld+LF=0$,

корені якого

$d_{1,2}=\frac{L}{2}\left(1\pm\sqrt{1-\frac{4F}{L}}\right)$

(2)

мають бути дійсними бо визначають положення дійсного зображення. Тому лише за умови

$1-\frac{4F}{L}\ge{0}$ $\Rightarrow$ $L\ge{4F}$.

Отже, мінімальна можлива відстань між предметом та його зображенням на екрані (відповідь б)) складає

$L_{0}=4F$

і залежить тільки від фокусної відстані лінзи.

Підставивши це значення у вираз (2), дістанемо відповідь а):

$d_{0}=\frac{L_{0}}{2}=2F$.

Задача 2.21

Лінза дає чітке зображення джерела світла на екрані в двох положеннях на відстані l = 60 см одне від одного.

Визначити

фокусну відстань лінзи F, якщо відстань від неї до екрана L = 1 м.

Дано:

L = 1 м

l = 60 см

F - ?

Розв’язання

Одразу візьмемо до уваги, що на екрані може утворюватися тільки дійсне зображення, тож лінза є збиральною.

На рис. 22-1 схематично показані точка S, її зображення S′, відповідні положення лінзи та позначені всі потрібні відстані.

Для отримання відповіді простіше за все для кожного випадку записати з урахуванням знаків формулу лінзи (1.6) та відповідно до умови – співвідношеня між величинами, що входять до неї:

	$\frac{1}{d_{1}}+\frac{1}{f_{1}}=\frac{1}{F}$	(1)
	$\frac{1}{d_{2}}+\frac{2}{f_{2}}=\frac{1}{F}$	(2)
	${{f}_{1}}+{{d}_{1}}=L$	(3)
	${{f}_{2}}+{{d}_{2}}=L$	(4)
	${{d}_{2}}-{{d}_{1}}=l$	(5)

В отриманій системі рівнянь кількість невідомих (d₁, f₁, d₂, f₂, F) збігається із кількістю рівнянь, отже вона є повною. Тож, розв'язавши її, можна серед інших отримати й шукану величину F. Але такий підхід вимагає громіздких викладок і є нераціональним. Натомість доцільно скористатись одним із застосованих у попередній задачі способів, а саме.

I спосіб. Завдяки оборотності світлових променів (п. 1.3), зробивши в рівнянні (5) заміну d₂ = f₁, f₂ = d₁, отримаємо:

$f_{1}-d_{1}=l$,

(5′)

і почленно додавши та віднявши рівняння (5′) та (3), дістанемо

$d_{1}=\frac{L-l}{2}$, $f_{1}=\frac{L+l}{2}$.

Відтак, підставивши ці вирази в рівняння (1), після нескладних викладок знайдемо відповідь:

$\frac{2}{L-l}+\frac{2}{L+l}=\frac{1}{F}$ $\Rightarrow$ $F=\frac{L^{2}-l^{2}}{4l}=16$ см.

II спосіб. Скористаємось виразами d₁ і d₂ із задачі 2.19 (формула (6)):

$d_{1}=\frac{L}{2}\left(1-\sqrt{1-\frac{4F}{L}}\right)$,

$d_{2}=\frac{L}{2}\left(1+\sqrt{1-\frac{4F}{L}}\right)$.

В такому разі, згідно з співвідношенням (3)

$l=L\sqrt{1-\frac{4F}{L}}$ $\Rightarrow$ $F=\frac{L^{2}-l^{2}}{4L}$ = 16 см.

Задача 2.22

Короткозора людина читає книжку, тримаючи її на відстані d = 16 см від ока, тоді як відстань найкращого зору складає d₀ = 25 см.

Визначити

оптичну силу D_c окулярів, які їй потрібні для корекції зору.

Дано:

d = 16 см

d₀ = 25 см

D_c - ?

Розв’язання

Із фізичної точки зору око являє собою збиральну лінзу (кришталик), котра розташована на приблизно однаковій для всіх людей відстані від ″екрана″ (сітківки) такій, що чітке зображення на ній утворюється при відстані від кришталика до предмета d₀ = 25 см, яка називається відстанню найкращого зору. Але в людей з дефектами зору ця відстань інша, й це створює великі незручності та перевтомлює око. Тож задля корекції зору поблизу ока розміщують окуляри – допоміжні лінзи, що разом з кришталиком утворюють систему з необхідною для нормального зору оптичною силою (оберненою фокусною відстанню (1.12)), котра дорівнює

D₀ = D + D_c,

де D і D_c – оптичні сили кришталика та коригуючих лінз (окулярів) нарізно.

Ясна річ, при читанні й з окулярами, і без них, чітке зображення утворюється на одній і тій самій відстані f від кришталика до сітківки ока. Отже, за формулою лінзи (1.6) маємо

$\frac{1}{{{d}_{0}}}+\frac{1}{f}=D+{{D}_{c}}$,

$\frac{1}{d}+\frac{1}{f}=D$,

звідки випливає така відповідь:

$D_{c}=\frac{1}{d}-\frac{1}{d_{0}}=-2,25$ дптр.

Знак ″–″ означає, що для короткозорих людей окуляри виготовляються із розсіювальних лінз.

Задача 2.23

На одній осі зі збиральною лінзою Л₁ із заданою фокусною відстанню F₁ у фокальній площині встановлено розсіювальну лінзу Л₂.

Визначити

її фокусну відстань F₂, якщо система створює збільшене в $\Gamma=2$ рази дійсне зображення предмета, котрий розміщено перед збиральною лінзою на відстані d₁ = 3F₁.

Дано:

d₁ = 3F₁

$\Gamma=2$

F₂ - ?

Розв’язання

На рис. 25 показано взаємне розташування предмета й лінз, а на на рис. 25-1 — хід променів і необхідні для розрахунку величини F₂ відстані.

Ключовою при розрахунку оптичної системи є оборотність променів (див. п. 1.3), що дозволяє віртуальне зображення від одного елемента системи трактувати як зображуваний предмет для наступного. Тому в даній задачі дійсне зображення A₂B₂можна розглядати як предмет, а стрілку A₁B₁ – як його уявне зображення в розсіювальній лінзі Л₂. Тож величину F₂ будемо шукати за формулою (1.10) із відповідним урахуваням правила знаків (п. 1.3):

$-\frac{1}{{{d}_{2}}}+\frac{1}{{{f}_{2}}}=-\frac{1}{{{F}_{2}}}$.

(1)

Потрібні для цього величини d₂, f₂знайдемо, розглянувши хід променів, рис. 25-1. А саме, з подібності трикутників O₂A₂B₂ і O₂O₁C випливає, що

$\frac{{{f}_{2}}}{{{F}_{1}}}=\frac{H}{h}\quad \Rightarrow \quad {{f}_{2}}=\Gamma {{F}_{1}}$.

А для визначення величини d₂ спочатку за формулою (1.10) знайдемо значення f₁, урахувавши, що d₁ = 3F₁:

$\frac{1}{3F_{1}}+\frac{1}{f_{1}}=\frac{1}{F_{1}}$ $\Rightarrow$ $f_{1}=\frac{3}{2}F_{1}$.

Отже, позаяк d₂ = f₁ – F₁,

${{d}_{2}}=\frac{1}{2}{{F}_{1}}$.

Відтак підставимо цю величину та знайдене раніше значення ${{f}_{2}}=\Gamma {{F}_{1}}$ у вираз (1) й отримаємо наступну відповідь:

$-\frac{2}{{{F}_{1}}}+\frac{1}{\Gamma {{F}_{1}}}=-\frac{1}{{{F}_{2}}}\quad \Rightarrow \quad {{F}_{2}}=\frac{2}{3}{{F}_{1}}$

3. Задачі для самостійної роботи

1. Закони відбивання та заломлення

2. Лінзи: побудова зображення та формула лінзи

Відбивання та заломлення світла

У наведених задачах по замовчуванню для показників заломлення води та скла прийнято значення 1,33 і 1,5, відповідно.

Рівень А

2.24.	Що відбудеться з кольором світлового променя при переході з повітря у скло, якщо його довжина змінилася від $600$ нм до $420$ нм? Відповідь пояснити. [Нічого]
2.25.	Довжина хвилі червоного світла у воді дорівнює довжині зеленого світла у повітрі. Вода опромінюється червоним світлом. Який колір побачить людина, яка розплющила очі під водою? Відповідь поясніть. [Червоне]
2.26.	Якою має бути найменша висота вертикального дзеркала, аби людина, стоячи могла бачити себе на повний зріст? [Половина зросту]
2.27.	Сонячний промінь, який проходить крізь малий отвір у шторі, падає під кутом $48^{\circ}$ до поверхні стола. Як необхідно розташувати на шляху променя плоске дзеркало, аби він відбивався горизонтально? [під кутом $24^{\circ}$ до поверхні стола]
2.28.	Дно колодязя освітлюють сонячними променями за допомогою плоского дзеркала. Як воно має бути розташоване при висоті Сонця над горизонтом $45^{\circ}$? [Під кутом $67,5^{\circ }$ до горизонту]
2.29.	Предмет, який знаходиться перед плоским дзеркалом, перемістили на 40 см під кутом $30^{\circ }$ до площини дзеркала. На скільки при цьому змінилася відстань між предметом та його зображенням у дзеркалі? [$40$ cм]
2.30.	Світловий промінь падає на плоске дзеркало під кутом $45^{\circ}$. На який кут повернеться відбитий промінь при повороті дзеркала на $15^{\circ}$ навколо осі, що лежить у його площині? [$30^{\circ}$]
2.31.	На підлозі під маленькою лампочкою, котру підвішено на висоті 2,5 м, лежить плоске дзеркальце діаметром 5 см. Якого діаметра «зайчик» утвориться на стелі при її висоті 4 м? [$13$ см]
2.32.	Визначити довжину хвилі світла з частотою $\nu=4\cdot{10}^{14}$ Гц у речовині з показником заломлення $n=1,2$. [$624$ нм]
2.33.	Чому дорівнює рівень води у склянці з товщиною дна 5 мм і показником заломлення 1,73, якщо час проходження світла через воду й дно склянки є однаковий? [$6,5$ мм]
2.34.	Кут падіння променя на поверхню скла складає $60^{\circ}$. Під яким кутом має падати промінь на поверхню води, аби заломлюватися під таким самим кутом? [$50^{\circ}$]
2.35.	На скільки зміниться кут заломлення світла в скляній пластині при зміні кута падіння від початкового значення $40^{\circ}$ на $20^{\circ}$ ? [$9,9^{\circ}$; $12,2^{\circ}$]
2.36.	Зігнутий посередині прут занурено у воду так, що людина, котра дивиться на нього, не бачить згину. Чому дорівнює кут згину прута, якщо його надводна частина утворює кут $\varphi$ з горизонтом? $\left[ \frac{\pi }{2}-\varphi =\arcsin \left( \cos \frac{\varphi }{n} \right) \right]$
2.37.	Відносний показник заломлення на межі повітря-пластик складає $0,8$, а на межі рідина-повітря$1,75$. Чому дорівнює відносний показник заломлення на межі рідина-пластик? [1,4]
2.38.	Промінь світла падає на занурену у воду прозору пластинку під кутом $20^{\circ}$ до поверхні. Який показник заломлення має пластинка, якщо в ній кут заломлений променя дорівнює $[44^{\circ}$ $1,8]$
2.39.	При якому куті падіння світла на поверхню дотику прозорих пластин із відносним показником заломлення $n=1,2$ відбитий та заломлені промені будуть взаємно перпендикулярні? [$50^{\circ}$]
2.40.	Водолаз на дні водойми бачить сонячні промені під кутом $45^{\circ}$. Визначити висоту Сонця над горизонтом. [$56,5^{\circ}$]
2.41.	Світло під кутом $70^{\circ}$ падає на стос занурених у воду плоскопаралельних пластин, показник заломлення котрих поступово змінюється від 1,4 до 1,9. Під яким кутом світло вийде з пластин? $[40^{\circ}$]

Рівень Б

2.42.	Туристи, що наближаються до гори, бачать її вершину під кутом $5^{\circ}$ до горизонту. Визначити висоту гори, якщо на шляху $5$ км указаний кут збільшився на $1^{\circ}$. [2,6 км]
2.43.	Під світильником у формі матової кулі радіусом $20$ см, яку підвішено на висоті $5$ м над підлогою, на підставці висотою $1$ м лежить м'яч радіусом $10$ см. Визначити радіуси тіні та півтіні від м'яча на підлозі. [$7,5$ см; $17,5$ см]
2.44.	На якій висоті завис аеростат, якщо із спостережної башти висотою $H$ його видно під кутом $\varphi_1$ до горизонту, а під кутом $\varphi_2$ спостерігається його зображення на гладкій поверхні озера? $\left[ \frac{\sin \left( {{\varphi }_{1}}+{{\varphi }_{2}} \right)}{\sin \left( {{\varphi }_{1}}-{{\varphi }_{2}} \right)}H \right]$
2.45.	Скільки утворюється зображень точкового джерело світла, що розташоване між двома взаємно перпендикулярними плоскими дзеркалами. [3]
2.46.	Два плоскі дзеркала утворюють двогранний кут $\vartheta=178^{\circ}$. Визначити відстань між зображеннями точкового джерела, яке є рівновіддалене від дзеркал і розташоване на відстані 7 см від лінії їхнього перетину. [1,4 см]
2.47.	Два плоских дзеркала утворюють двогранний кут $\alpha=60^{\circ}$. У площині, яка перпендикулярна до ребра кута, на них падає промінь світла. Який кут між собою утворюють падаючий та відбитий від обох дзеркал промені? [$120^{\circ}$]
2.48.	На середині дна непрозорої кубічної коробочки з ребром $10$ см лежить дробинка. Людині, що дивиться на коробочку, видно її нижнє ребро, але не видно дна. Чи побачить людина дробинку, не змінюючи свого положення, якщо коробочку вщент заповнити водою? [Ні]
2.49.	При переході з повітря у скло довжина світлової хвилі змінюється від $600$ нм до $420$ нм. Під яким кутом світло падає на плоску межу поділу цих середовищ, якщо відбитий і заломлений промені є взаємно перпендикулярними? [55°]
2.50.	Вертикальний стовп вбито у дно водойми так, що $1$ м його довжини виступає над водою. Визначити довжину тіні стовпа на поверхні води та на дні ріки, якщо висота Сонця над горизонтом складає $30^{\circ}$, а глибина водойми $2$ м. [1,73 м; 3,44 м]
2.51	Висота Сонця над горизонтом $20^{\circ}$. Під яким кутом потрібно до горизонту слід розташувати дзеркало у воді, аби світло відбивалося від нього під кутом $\beta=20^{\circ}$ до вертикалі? [$47^{\circ}$]
2.52.	Два взаємно перпендикулярні промені падають з повітря на поверхню рідини так, що кути їхнього заломлення дорівнюють $20^{\circ}$ і $39^{\circ}$. Визначити показник заломлення рідини. [1,4]
2.53.	На горизонтальне дзеркало на дні озера глибиною h = 4,5 м потрапляє світловий промінь, який падає на поверхню води під кутом $30^{\circ}$. На якій відстані від точки падіння промінь вийде з води? [3,65 м]
2.54	Людина, що розглядає під собою камінь на дні річки, оцінює її глибину як $2$ м. Чому дорівнює дійсна глибина річки? [1,5м]
2.55.	Людина розглядає своє зображення у дзеркалі на дні посудини глибиною $8$ см, яку вщент заповнено водою. На яку відстань є акомодоване око людини, якщо воно розташоване на висоті $10$ см над поверхнею води? [32 см]
2.56.	Спостерігач перпендикулярно до плоскопаралельної скляної пластинки завтовшки $4,5$ см розглядає предмет, який знаходиться за нею на відстані $15$ см від дальньої поверхні Якою спостерігач побачить відстань до предмета? [18 см]
2.57.	У посудину налито дві незмішувані рідини з показником заломлення $n_1=1,4$, $n_2=1,8$ і товщиною шару $h_1=4,2$ см, $h_2=2,7$ см, відповідно. На якій відстані від верхньої поверхні побачить розташованим дно посудини спостерігач, розглядаючи його вертикально? [4,5 см]
2.58	Пучок світла шириною $5$ см падає на скляну пластинку під кутом $50^{\circ}$. Чому дорівнює ширина пучка у склі? [7,7 см]
2.59.	Промінь, який падає під кутом \70^{\circ}\), створює світну цятку на аркуші паперу. На скільки вона зміститься, якщо на папір на шляху променя покласти скляну пластину товщиною $3$ см? [$19,5$ мм]
2.60.	Вузький світловий пучок проходить крізь прозорий брусок товщиною $10$ см. Визначити його показник заломлення, якщо при куті падіння $45^{\circ}$ відстань між променями на вході та виході з пластини дорівнює $3$ см. [1,42]
2.61.	На скляну прозору пластину з показником заломлення $n$, товщиною $d$ і посрібленою нижньою поверхнею під кутом $\varphi$ падає світловий промінь. Визначити довжину його шляху в пластині. $\left[ 2d/\sqrt{{{n}^{2}}-{{\sin }^{2}}\varphi } \right]$
2.62.	Над центром фанерного диска радіусом $1$ м, який стоїть на плаву в озері глибиною $3$ м, знаходиться точкове джерело світла. На якій відстані над поверхнею води воно розташоване, якщо площа тіні від диска на дні вдвічі перевищує його власну площу? [≈ 1,9 м]
2.63.	На дні озера глибиною 3 м знаходиться точкове джерело світла. Який мінімальний радіус має мати непрозорий плавучий диск, аби джерело було невидиме з гелікоптера? [3,4 м]
2.64.	Спостерігач розглядає порожню посудину з квадратним дном (10×10) см² і з покладеною посередині дробинкою так, що лінія зору проходить через верхній край та ребро посудини. Визначити висоту стінки поудини, якщо при її повному заповненні водою дробинка з'явилася в полі зору спостерігача. [h = 7,25 см]
2.65.	На якій глибині перебуває водолаз зростом $178$ см, якщо він бачить відбиті від поверхні води частини горизонтального дна, що віддалені від нього на $15$ м і більше? [7,5 м]
2.66.	У склі є заповнена водою сферична порожнина радіусом $R=3$ см, на яку падає широкий паралельний пучок світла. Визначити радіус світлового пучка, що потрапляє в порожнину. [2,66 см]
2.67.	Визначити кут відхилення скляним клином з кутом $5^{\circ}$ променя, що падає на клин по нормалі. [$2,5^{\circ}$]
2.68.	Промінь виходить із призми із заломним кутом $45^{\circ}$ під тим самим кутом, що входить. Визначити показник заломлення призми, якщо за такої умови кут відхилення променя склдає $15^{\circ}$. [1,3]
2.69.	На тонкий прозорий клин із кутом $\alpha$ і показником заломлення n перпендикулярно до поверхні падає світловий промінь. Довести, що кут відхилення променя клином складає $(n-1)\alpha$.
2.70.	Довести, що довільний промінь, який падає на основу тригранної рівнобедреної призми із посрібленими бічними гранями, вийде з неї у зворотньому напрямі.
2.71.	Промінь світла входить в скляну призму під кутом $\pi/6$, а виходить під кутом $\pi/3$, відхилившись на кут $\pi/4$. Визначити заломний кут призми. [$45^{\circ}$]
2.72.	У товстій скляній пластині роблено отвір у вигляді призми з гладкими гранями й основою у формі правильного трикутника. На який кут відхилиться після проходження крізь отвір світловий промінь, який падає зі скла на поверхню отвору під кутом $30^{\circ}$ і перпендикулярно до його осі? [$≈23^{\circ}$]

Рівень В

2.73.	Людина $170$ см на зріст зі швидкістю $1$ м/с віддаляється з-попід вуличного ліхтаря так, що в певний момент довжина її тіні становить $1,3$ м, а через $2$ с — $1,8$ м. На якій висоті підвішено ліхтар? [$8,5$ м]
2.74 .	Світловий промінь, який проходить крізь отвір у вертикальному екрані, падає на шестигранне дзеркало, що обертається зі швидкістю 0,6 рад/с навколо вертикальної власної осі. Відстань між екраном і гранями дзеркала 1 м. З яким розмахом рухається «зайчик» на екрані та в яких межах змінюється його швидкість? [± 1,73 м від отвору; (0,5 ÷ 2) м/с]
2.75.	На одне з двох з'єднаних дзеркал, які утворюють гострий двогранний кут, перпендикулярно до його ребра падає світловий промінь. Як зміниться кут між ним і відбитим від дзеркал променем при їхньому невеликому повороті навколо ребра двогранного кута? [не зміниться]
2.76.	N плоскопаралельних прозорих пластин утворюють стопу, в якій показник заломлення кожної наступної є в k разів менший, ніж попередньої. При якому найменшому куті падіння $\alpha $ світло не пройде крізь стопу, якщо показник заломлення верхньої пластини складає n? $\left[ \sin \alpha =\left( n/{{k}^{N-1}} \right) \right]$
2.77.	Тонкий паралельний світловий пучок падає в напрямку центра сферичної порожнини в прозорій речовині. Чому дорівнює її показник заломлення, якщо площа світлової плями на передній поверхні порожнини є в $4$ рази менша, ніж на задній? [1,5]
2.78.	Промінь світла падає перпендикулярно на бічну грань рівнобічної трикутної призми з заломним кутом $40^{\circ}$ і, зазнавши повного відбивання на другої бічної грані, виходить через основу призми під кутом $30^{\circ}$ до основи. Визначити показник заломлення речовини призми. [1,73]

Розділ II. Хвильова оптика

Хвильова оптика досліджує явища суто хвильової природи, що виходять за рамки геометричної оптики. Тож у процесі роботи за потреби варто звертатися до теоретичного матеріалу з попередньої частини посібника (ч. [3] Коливання та хвилі).

Далі подано:

1. Теоретичні відомості

2. Приклади розв’язування задач

3. Задачі для самостійної роботи

1. Теоретичні відомості

У даному посібнику із згаданих вище явищ розглянуто:

1.1. Інтерференція світла

1.2. Дифракція світла

Теоретичні відомості. Дифракція світла

Якщо на шляху поширення хвиль трапляються різкі неоднорідності, то спостерігається дифракція. На явищі дифракції світла заснована дія оптичного приладу, що зветься дифракційною граткою. Дифракційна гратка має важливі практичні застосування.

Дифракцією називаються явища, зумовлені здатністю хвиль змінювати напрям поширення при зустрічі з різкими неоднорідностями – невеликими непрозорими перешкодами або з отворами у непрозорому екрані.

Можливість практичного спостереження дифракції залежить від розмірів перешкод: вони повинні бути співвимірними з довжиною хвилі (оптимально – (10 – 100)$\lambda$.

Дифракційні явища можна аналізувати на основі принципу Гюйгенса-Френеля, згідно з яким

кожну точку відкритої хвильової поверхні можна розглядати як точкове джерело елементарних когерентних вторинних хвиль, які розповсюджуються під усіма можливими кутами в бік поширення падаючої на перешкоду хвилі.

Оскільки вторинні хвилі когерентні, то при накладанні вони інтерферують з утворенням максимумів і мінімумів інтенсивності. З цієї причини при проходженні світла крізь малий отвір (рис.17.2а) на поставленому за ним екрані спостерігається не просто розмите зображення отвору, а сукупність світлих і темних смуг (кілець) – дифракційних максимумів і мінімумів (рис.17.2б).

Дифракційні смуги від одного отвору через його малі розміри дуже слабкі. Але інтенсивність дифракційних максимумів різко збільшується у дифракційній гратці.

Найпростіша дифракційна гратка являє собою плоску прозору пластинку, на поверхні якої створена система однакових вузьких прозорих смуг (щілин), розділених однаковими непрозорими проміжками (рис.17.3). Відстань d між сусідніми щілинами називається періодом гратки, і є одним з її основних параметрів. Часто замість d використовують сталу дифракційної гратки n = 1/d – кількість щілин на одиницю довжини гратки. Ще одним параметром гратки є загальна кількість щілин N. Для дифракційних граток високого класу d ~ 1 мкм (10^-6 м) і N ~ 10⁵.

При опроміненні гратки паралельним пучком променів внаслідок дифракції після неї під будь-яким кутом $\varphi$ поширюється N когерентних пучків від усіх щілин. Кут, під яким поширюється певний пучок, називають кутом дифракції. В результаті інтерференції цих пучків на розташованому за ґраткою екрані виникає складна дифракційна картина, що складається з великої кількості мінімумів та максимумів різної інтенсивності. Серед них вирізняються дуже інтенсивні головні максимуми. Вони визначаться умовою головних максимумів ґратки:

$d\sin\varphi=\pm{m}\lambda$,

m = 0, 1, 2, …

(17.9)

У цій формулі d – період гратки, $\varphi$ – кут дифракції (див. рис.17.3), $\lambda$ – довжина хвилі світла, яким опромінюється гратка, m – ціле число, що називається порядком дифракційного спектра.

Умова (17.9) і велика інтенсивність головних максимумів мають просте пояснення. З рис.17.3 можна зрозуміти, що величина $\Delta=d\sin\varphi $ – то є різниця ходу променів, які йдуть під кутом $\varphi$ від двох сусідніх щілин. Це означає, що при виконанні умови (17.9) фази коливань електричного поля від усіх N щілин кратні $2\pi$. Тому результуюча амплітуда $E=NE_{1}$, а результуюча інтенсивність

$I=N^{2}I_{1}$,

(17.10)

де $I_{1}$ – інтенсивність світла, що створюється однією щілиною, N – загальна кількість щілин гратки.

З формули (17.10) випливає, що в головних максимумах спостерігається дуже велика концентрація світлової енергії. Це визначає практичні застосування дифракційної гратки.

Згідно з умовою (17.9), кожній довжині хвилі $\lambda$ відповідає свій власний кут дифракції $\varphi$, а отже своє власне положення головного максимума при заданому m.

Тому, якщо на гратку P з відомим періодом напрямити пучок білого світла (рис.17.4), то на екрані E для всіх $m\ne{0}$ замість вузьких яскравих смуг утворюються спектри – широкі смуги, що забарвлені у кольори веселки. У центрі екрана m = 0, $\sin\varphi=0$ і умова (17.9) виконується для будь-якої довжини хвилі. Тому в центрі екрана спостерігається вузька незабарвлена смуга.

Вимірявши кут дифракції $\varphi$ (або координату відповідної точки на екрані), можна визначити довжину хвилі $\lambda$ світла, що дає дифракційний максимум у даній точці екрана:

$\lambda=\frac{d\sin\varphi}{m}$.

Властивість дифракційної гратки розгортати світло у спектр використовується в оптичних приладах для отримання монохроматичного світла та для визначення спектрального складу невідомого випромінення.

Приклади розв'язування задач

1. Інтерференція світла

2. Дифракція світла

Інтерференція світла

Задача 17.1. Два точкові когерентні джерела світла розташовані на відстані l = 0,5 м від екрана. Довжина хвилі світла $\lambda=620$ нм. Відстань між джерелами d = 0,4 мм. Визначити відстань $\Delta{x}$ між інтерференційними максимумами на екрані.

Задача 17.2. На тонку плівку з показником заломлення n = 1,33 падає паралельний пучок білого світла під кутом $\alpha=30^{\circ}$. Визначити мінімальну товщину плівки d, при якій відбите світло з довжиною хвилі $\lambda_{1}=0,64$ мкм максимально підсилене внаслідок інтерференції, а з довжиною хвилі $\lambda_{2}=0,40$ мкм – зовсім не відбивається. Врахувати, що при відбиванні від оптично більш густого середовища фаза відбитої хвилі стрибком змінюється на $\delta=\pi$.

Задача 17.3. Скляний клин (показник заломлення n = 1,5) має кут при вершині $\varphi=2^{\prime}$. На клин падає нормально монохроматичне світло з довжиною хвилі $\lambda=600$ нм. Визначити відстань x між сусідніми темними інтерференційними смугами, що спостерігаються у відбитих променях.

Задача 17.1.

Два точкові когерентні джерела світла розташовані на відстані l = 0,5 м від екрана. Довжина хвилі світла $\lambda=620$ нм. Відстань між джерелами d = 0,4 мм.

Визначити

відстань $\Delta{x}$ між інтерференційними максимумами на екрані.

Дано:

l = 0,5 м

$\lambda=620$ нм = 6,2·10^-7 м

d = 0,4 мм = 0,4·10^-3 м

$\Delta{x}$ - ?

Розв’язання

Припустимо, що в точці А на екрані (рис.1) спостерігається максимум інтерференції. Це можливо, якщо різниця ходу $\Delta$ двох променів S₁A та S₂A задовольняє умові (17.8a):

$\Delta=\pm{m}\lambda$,

(1)

де m – цілі числа. Знайдемо різницю ходу, скориставшись геометричною побудовою на рис.1. З трикутників S₁AB та S₂AC за теоремою Піфагора маємо:

S₁A² = S₁B² + AB²; S₂A² = S₂C² + AC².

Відрізки AB та AC відповідно дорівнюють

AB = AD - $\frac{1}{2}$BC; AC = AD + $\frac{1}{2}$BC.

Позначимо AD = x. Оскільки S₁B = S₂C = l, BC = d, маємо:

S₁A² = l² + (x – d/2)²; S₂A² = l² +(x + d/2)².

(2)

Різницю квадратів (S₂A² – S₁A²) запишемо у вигляді:

S₂A² – S₁A² = (S₂A – S₁A)(S₂A + S₁A).

Інтерференційна картина в таких випадках завжди спостерігається поблизу центра екрана (точка D на рис.1), тобто $x\ll{l}$. За цих умов S₂A + S₁A $\approx$ 2l, S₂A – S₁A = $\Delta$отже

S₂A² – S₁A² = $\Delta\cdot{2l}$.

Підставимо сюди вирази (2) і дістанемо:

$l^{2}+(x+d/2)^{2}-l^{2}-(x-d/2)^{2}=\Delta{2l}$ $\Rightarrow$ $x=\frac{\Delta\cdot{l}}{d}$.

Врахувавши умову (1), знаходимо, що точка A, в якій спостерігається максимум інтерференції з номером m, віддалена від точки D на відстань

$x_{m}=\frac{m\lambda{l}}{d}$.

Точка А₁, в якій спостерігається максимум з номером (m + 1), віддалена від точки О на відстань

$x_{m+1}=\frac{(m+1)\lambda{l}}{d}$,

отже відстань між максимумами

$\Delta{x}=x_{m+1}-x_{m}=\frac{\lambda{l}}{d}$.

З останнього виразу зрозуміло, що для покращення умов спостереження інтерференції необхідно збільшувати відстань від джерел до екрана l і зменшувати відстань між джерелами d.

Виконаємо обчислення:

$\Delta{x}=\frac{6,2\cdot{10^{-7}}\cdot{0,5}}{0,4\cdot{10^{-3}}}=7,75\cdot{10}^{-4}$ м $\approx{0,8}$ мм.

Задача 17.2

На тонку плівку з показником заломлення n = 1,33 падає паралельний пучок білого світла під кутом $\alpha=30^{\circ}$.

Визначити

мінімальну товщину плівки d, при якій відбите світло з довжиною хвилі $\lambda_{1}=0,64$ мкм максимально підсилене внаслідок інтерференції, а з довжиною хвилі $\lambda_{2}=0,40$ мкм – зовсім не відбивається. Врахувати, що при відбиванні від оптично більш густого середовища фаза відбитої хвилі стрибком змінюється на $\delta=\pi$.

Дано:

n = 1,33

$\alpha=30^{\circ}$

$\lambda_{1}=0,64$ мкм

$\lambda_{2}=0,40$ мкм

d - ?

Розв’язання

Світло, що падає на плівку, частково відбивається від її верхньої поверхні, частково входить у плівку, відбивається від її нижньої поверхні та виходить назовні. Хід одного з падаючих променів показаний на рис.2. Промені 1 та 2 є когерентними, оскільки утворені поділом одного падаючого променя. Якщо на шляху променів поставити лінзу, що збере їх в одну точку (такою лінзою може бути кришталик ока), то буде спостерігатись інтерференція. Як наслідок, інтенсивність відбитого світла в залежності від різниці фаз $\delta$ може підсилюватися (при виконанні умови (17.7а)), або послаблятися (при виконанні умови (17.7б)).

Різниця фаз залежить від різниці ходу променів (формула (17.5)). Визначимо геометричні довжини шляху променів 1 та 2 від точки падіння А до точок D та С (подальші шляхи променів до екрана однакові, тому їх не треба враховувати). Шлях променя 1 l₁ = AD. З трикутника ACD:

l₁ = AC$\cdot\sin\alpha$=2AE$cdot\sin\alpha$.

З трикутника ABE: AE = $d\cdot\mathrm{tg}\beta$, отже $l_{1}=2d\cdot\frac{\sin\alpha\cdot\sin\beta}{\sqrt{1-\sin^{2}\beta}}$

Підставивши вираз $\sin\beta=\sin\alpha/n$ з закону заломлення світла (16.6), дістанемо:

$l_{1}=2d\frac{\sin^{2}\alpha}{n\sqrt{1-\sin^{2}\alpha/n}}=\frac{2d\sin^{2}\alpha}{\sqrt{n^{2}-sin^{2}\alpha}}$.

(1)

Аналогічно визначаємо шлях променя 2 (див. рис.2):

$l_{2}=AB+BC=2AB=\frac{2d}{\cos\beta}=\frac{2d}{\sqrt{1-\sin^{2}\beta}}=\frac{2dn}{\sqrt{n^{2}-\sin^{2}\alpha}}$.

(2)

В однорідному середовищі різниця фаз пов’язана з шляхами променів співвідношенням (17.5). Але в даній задачі промені поширюються в різних середовищах: промінь 1 у повітрі (n = 1), а промінь 2 у плівці (n = 1,33). Тоді довжини хвиль цих променів різні: у променя 1 задане в умові значення $\lambda_{0}$, а у променя 2 $\lambda=\lambda_{0}/n$ (див. формулу (16.4)), і формула (17.5) набуває вигляду:

$\delta=\frac{2\pi{l_{2}}}{\lambda}-\frac{2\pi{l_{1}}}{\lambda_{0}}$ $\Rightarrow$ $\delta=\frac{2\pi}{\lambda}(l_{2}n-l_{1})$.

Підставивши в це співвідношення вирази (2) і (1), після спрощення отримаємо:

$\delta=\frac{2\pi}{\lambda_{0}}\cdot{2d}\sqrt{1-\sin^{2}\alpha}$.

(3)

Для визначення результату інтерференції цих променів слід урахувати вказаний в умові ефект зміни фази на $\delta_{0}=\pi$ променя 1, який відбивається від плівки (оптично більш густої, ніж повітря). Промінь 2 в точці В відбивається від повітря, тому його фаза не змінюється. Тому повна різниця фаз променів 1 і 2 $\delta_{n}=\delta-\delta_{0}=\delta-\pi$. З урахуванням виразу (3), маємо:

$\delta=\frac{2\pi}{\lambda_{0}}\cdot\left(2d\sqrt{n^{2}-\sin^{2}\alpha}-\frac{\lambda_{0}}{2}\right)$.

(4)

Максимум інтерференції для довжини хвилі \)\lambda_{0}=\lambda_{1}\) спостерігається при виконанні умови (17.7a), тобто

$\frac{2\pi}{\lambda_{0}}\left(2d\sqrt{n^{2}-\sin^{2}\alpha}-\frac{\lambda_{0}}{2}\right)=2m_{1}\pi$ $\Rightarrow$

$\Rightarrow$ $2d\sqrt{n^{2}-\sin^{2}\alpha}=(2m+1)\frac{\lambda_{0}}{2}$.

(5)

Мінімум інтерференції для довжини хвилі $\lambda_{0}=\lambda$ спостерігається при виконанні умови (17.7б), тобто

$\frac{2\pi}{\lambda_{0}}\left(2d\sqrt{n^{2}-\sin^{2}\alpha}-\frac{\lambda_{0}}{2}\right)=(2m_{2}+1)\pi$ $\Rightarrow$

$\Rightarrow$ $2d\sqrt{n^{2}-\sin^{2}\alpha}=(m_{2}+1)\lambda_{0}$.

(6)

Порядки інтерференції (числа m₁, m₂) у формулах (5) та (6) є незалежними і, звичайно, можуть бути різними.

Оскільки умови (5) і (6) повинні виконуватись одночасно, то, прирівнюючи праві частини, дістанемо

$(2m_{1}+1)\frac{\lambda_{1}}{2}=(m_{2}+1)\lambda_{2}$ $\Rightarrow$ $\frac{2m_{2}+2}{2m_{1}+1}=\frac{\lambda_{1}}{\lambda_{2}}$

Мінімальній можливій товщині плівки відповідають мінімальні значення цілих чисел m₂ та m₁, що з урахуванням значень $\lambda_{1}$ та $\lambda_{2}$ дає

$\frac{2m_{2}+2}{2m_{1}+1}=\frac{8}{5}$ $\Rightarrow$ $\frac{m_{2}+1}{2m_{1}+1}=\frac{4}{5}$.

Звідси: m₂ + 1 = 4; 2m₁ + 1 =5.

Підставивши будь-яке з цих чисел у відповідну формулу ((6) або (5)), отримаємо відповідь. Наприклад:

$d=\frac{(2m+1)\lambda}{4\sqrt{n^{2}-sin^{2}\alpha}}=\frac{5\cdot{0,64}\cdot{10^{-6}}}{4\sqrt{1,33^{2}-\sin^{2}30^{\circ}}}=6,49\cdot{10}^{-7}$ м $\approx$ 0,65 мкм.

*********************************

Задача 17.3

Скляний клин (показник заломлення n = 1,5) має кут при вершині $\varphi=2^{\prime}$. На клин падає нормально монохроматичне світло з довжиною хвилі $\lambda=600$ нм

Визначити

відстань x між сусідніми темними інтерференційними смугами, що спостерігаються у відбитих променях.

Дано:

n = 1,5

φ = 2′

λ = 600 нм = 6·10^-7 м

x - ?

Розв’язання

Промінь світла, який падає на клин, частково відбивається, а частково проходить у скло. Оскільки кут клина дуже малий, можна вважати, що кут заломлення практично дорівнює куту падіння, тобто $\alpha=\beta=0$ Промінь, що зайшов у скло, відбивається від нижньої грані клина і після виходу зі скла інтерферує з променем, відбитим від верхньої грані. Умови утворення темних смуг (мінімумів інтерференції) цих променів такі ж, як у попередній задачі. Слід тільки врахувати, що в даній задачі $\alpha=0$. Отже, згідно з виразом (6) з задачі 17.2 маємо таку умову мінімумів:

$2dn=\lambda$,

(1)

де m – порядок (номер) мінімуму.

Припустимо, що в точці A (рис.3) спостерігається (m + 1)-й мінімум. Тоді, позначивши товщину клина в цій точці d₁, можемо записати:

$2d_{1}n=(m+1)\lambda$.

(2)

Аналогічно для точки B де спостерігається наступний інтерференційний мінімум порядку m +2 і товщина клина дорівнює d₂:

$2d_{2}n=(m+2)\lambda$.

(3)

Віднявши ліві та праві частини виразів (3) та (2), дістанемо:

$2(d_{2}-d_{1})n=\lambda$ $\Rightarrow$ $d_{2}-d_{1}=\frac{\lambda}{2n}$.

Різниця d₂ – d₁ = s дуже мала. Тому з трикутника ABC, враховуючи малість кута $\varphi$ (звичайно, вираженого в радіанах), маємо

$\frac{S}{\varphi}=\frac{\lambda}{2n\varphi}=\frac{6\cdot{10^{-7}}}{2\cdot{1,5}\cdot{5,82}\cdot{10}^{-4}}=0,00034$ м = 0,34 мм.

Дифракція світла

Задача 17.4. При опроміненні дифракційної гратки білим світлом спектри другого та третього порядків частково перекриваються. Визначити довжину хвилі $\lambda_{2}$ у спектрі другого порядку (m2 = 2), на яку накладається фіолетова ($\lambda_{3}=400$ нм) межа спектра третього порядку (m3 = 3).

Задача 17.5. При опроміненні дифракційної гратки білим світлом спектри другого та третього порядків частково перекриваються. Визначити довжину хвилі $\lambda_{2}$ у спектрі другого порядку (m2 = 2), на яку накладається фіолетова ($\lambda_{3}=400$ нм) межа спектра третього порядку (m3 = 3).

Задача 17.4

При опроміненні дифракційної гратки білим світлом спектри другого та третього порядків частково перекриваються.

Визначити

довжину хвилі $\lambda_{2}$ у спектрі другого порядку (m₂ = 2), на яку накладається фіолетова ($\lambda_{3}=400$ нм) межа спектра третього порядку (m₃ = 3).

Дано:

m₂ = 2

m₃ = 3

λ₃ = 400 нм

λ₃ - ?

Розв’язання

З умови задачі зрозуміло, що кути дифракції $\varphi$ для хвиль $\lambda_{2}$ та $\lambda_{3}$ однакові. Тому, згідно з умовою (17.9), маємо:

$d\sin\varphi=m_{2}\lambda_{2}$; $d\sin\varphi=m_{3}\lambda_{3}$

Прирівнюючи праві частини цих виразів, одержимо

$m_{2}\lambda_{2}= m_{3}\lambda_{3}$ $\Rightarrow$ $\lambda_{2}=\frac{m_{3}}{m_{2}}\lambda_{3}=\frac{3}{2}\cdot{400}=600$ нм.

Задача 17.5

Монохроматичне світло нормально падає на дифракційну гратку, яка має 45 штрихів на кожний міліметр довжини. Кут між напрямками на максимуми другого (m₁ = 2) та третього (m₂ = 3) порядків $\Theta=1,6^{\circ}$.

Визначити

довжину хвилі світла $\lambda$.

Дано:

N = 45 1/мм

m₁ = 2

m₂ = 3

Θ = 1,6°

λ - ?

Розв’язання

Відповідно до умови головних максимумів дифракційної гратки (формула (17.9)), і з урахуванням умови задачі для максимумів порядку m₁ і m₂ можна записати:

	$\d\sin\varphi=m_{1}\lambda$,	(1)
	$\d\sin(\varphi+\Theta)=m_{2}\lambda$,	(2)

де $\varphi$ – кут між нормаллю до ґратки і напрямком на максимум порядку m₁ (рис.1), d – період гратки, що зв'язаний з числом штрихів на одиницю довжини співвідношенням

$d=\frac{1}{N}$.

Представимо вираз (2) у вигляді

$\frac{m_{2}\lambda}{d}=\sin\varphi\cos\Theta+\sin\Theta\cos\varphi$.

(3)

Оскільки кут $\Theta\ll{1}$ (1,6° = 0,028 рад), то можна прийняти $\cos\Theta=1$ та $\sin\Theta=\Theta$ (рад). Крім того

$\cos\varphi=\sqrt{1-\sin^{2}\varphi}$.

Зробивши ці підстановки у вираз (3), одержимо

$\frac{m_{2}\lambda}{d}=\sin\varphi+\Theta\sqrt{1-\sin^{2}\varphi}$.

Підставивши вираз $\sin\varphi=m_{1}\lambda/d$ з формули (1) в останній вираз, після перетворень знаходимо:

$\lambda=\frac{\Theta}{N\sqrt{(m_{2}-m_{1})^{2}+m_{1}^{2}\Theta}}=\frac{\Theta}{N\sqrt{1+\Theta^{2}}}\approx\frac{\Theta}{N}$.

Обчислення дають:

$\lambda=\frac{0,028}{45}\approx{620}$ нм.

Задачі для самостійної роботи

1. Інтерференція світла

2. Дифракція світла

Інтерференція світла

Рівень 1

17.1	Джерело випромінює монохроматичне світло з частотою $\nu=4,84\cdot{10}^{14}$ Гц. Скільки довжин хвиль вкладається на відстані $l=1$ м а) у вакуумі; б) у воді; в) у сірковуглецю? [1613, 2151, 2629]
17.2	За який час світло із частотою $\nu=0,6\cdot{10}^{15}$ Гц, яке падає нормально на скляну пластинку товщиною $d=0,5$ мм, пройде крізь неї? [2,5 пс]
17.3	Різниця ходу двох когерентних хвиль у вакуумі $\Delta=0.4\lambda$. Чому дорівнює різниця фаз цих хвиль? [$0,8\pi$]
17.4	Якщо дві хвилі інтерферують між собою, то чи впливає одна хвиля на поширення іншої? Чи змінюється енергія хвиль під час інтерференції? [Ні]
17.5	Різниця ходу двох когерентних променів світла $\Delta=2$ мкм. Визначити довжини всіх хвиль, які можуть бути: а) максимально підсилені; б) максимально послаблені в результаті інтерференції. Граничні довжини хвиль, які сприймає людське око, становлять 400 – 760 нм. [а) ~0,67 мкм; 0,5 мкм; 0,4 мкм б) 0,571 мкм, 0,444 мкм]
17.6	На рис. 17.6 подана схема інтерференційного досвіду Ллойда. Точкове джерело монохроматичного світла S розташоване на деякій висоті над плоским дзеркалом AB. Які промені дають у цьому досліді інтерференцію? Визначити побудовою область на екрані E, де спостерігається інтерференція.

Рівень 2

17.7	На скляній плоскопаралельній пластині лежить плоскоопукла лінза. При опроміненні лінзи монохроматичним світлом на її поверхні можна спостерігати концентричні кола більшої і меншої інтенсивності. Пояснити це явище.
17.8	На мильну плівку ($n=1,3$), яка знаходиться в повітрі, падає нормально біле світло. При якій мінімальній товщині плівки відбиті промені з довжиною хвилі $\lambda=0,55$ мкм будуть мати максимальну інтенсивність у результаті інтерференції ? [0,1 мкм]
17.9	На шляху одного з паралельних променів розміщена посудина з газом довжиною $l=10$ см. Показник заломлення газу $n=1,002$. Яку оптичну різницю ходу будуть мати промені? [$0,2$ мм]
17.10	Два точкових когерентних джерела світла (довжиною хвилі $\lambda=620$ нм) розташовані на відстані $L=0,5$ м від екрана. Чому дорівнює відстань між інтерференційними максимумами, якщо відстань між джерелами $d=0,4$ мм? [$0,775$ мм]

17.11	Святий Миколай дивиться крізь вікно вкрите льодом на різдвяну ялинку. Йому здається, що всі іграшки мають зеленуватий ($\lambda=550$ нм) відтінок. Оцінити силу додаткового тиску на віконну раму внаслідок наявності шару льоду на склі, якщо площа вікна $S=1$ м². Густина льоду $\rho=900$ кг/м³, показник переломлення $n=1,3$. [$\approx{1}$ мН]
17.12	На скляний клин з показником переломлення $n=1,55$ нормально падає монохроматичне світло. Кут між гранями клина $\varphi=2^{\prime}$. Яку довжину хвилі має світло, якщо відстань між сусідніми інтерференційними смугами у відбитому світлі $x=0,3$ мм? [541 нм]
17.13	Плоско-опукла лінза лежить опуклою стороною на плоскопаралельній скляній пластині. Яку товщину має шар повітря між лінзою і пластиною в тім місці, де у відбитому світлі (довжина хвилі $\lambda=0,6$ мкм) можна бачити перше підсилення світла внаслідок інтерференції? Який вид має геометричне місце точок, де світло підсилене? [0,15 мкм; коло]
17.14	Розсіяне світло з довжиною хвилі $\lambda=580$ нм падає на мильну плівку товщиною $d=0,15$ мкм. Під яким максимальним кутом треба дивитися на плівку, щоб відбите від її світло було максимально підсилене в наслідок інтерференції?
17.15	Визначити масу гасу, що був розлитий на поверхні води, якщо при спостереженні під кутом $\alpha=60^{\circ}$ людина бачить посиленим світло з довжиною хвилі $\lambda=580$ нм. Площа плями $S=0,5$ м². [52 мг]

Дифракція світла

Рівень 1

17.16

Період дифракційної ґратки в п'ять разів більше за довжину хвилі світла. Визначити кути, під якими спостерігаються перші три максимуми дифракційної картини. [11,5°; 23,5°; 36,8°]

17.17

Скільки штрихів на кожний міліметр має дифракційна ґратка, якщо при спостереженні у монохроматичному світлі з довжиною хвилі $\lambda=0,6$ мкм, максимум п'ятого порядку відхилений на кут $\varphi=18^{\circ}$ від початкового напрямку? [$10^3$]

Рівень 2

17.18	Визначити мінімальне значення періоду дифракційної ґратки, на якій можна спостерігати весь спектр світла, що сприймає людське око (від 400 до 780 нм)? [0,78 мкм]
17.19	Чи можуть перекриватися дифракційні спектри першого і другого порядків у видимій частині спектра? Відповідь підтвердити розрахунком. [Ні]
17.20	На дифракційну ґратку нормально падає монохроматичне світло з довжиною хвилі $\lambda=590$ нм. На скільки відрізняються кути спостереження максимумів першого і другого порядків, якщо дифракційна гратка має $N=500$ штрихів на 1 см? [$1^{\circ}41^{\prime}$]
17.21	Дифракційна гратка, яка має $N=100$ штрихів/мм, опромінюється білим світлом. Визначити кут між напрямками лінії $\lambda_1=400$ нм і $\lambda_2=750$ мм у спектрі першого порядку. [2°]
17.22	Дифракційна ґратка, яка має $N=500$ штрихів на , опромінюється білим світлом. Визначити довжину хвилі в дифракційному спектрі 4-го порядку, що накладається на довжину хвилі $\lambda=750$ нм в спектрі 3-го порядку. [562,5 нм]
17.23	Період дифракційної ґратки $d=3$ мкм. Визначити загальну кількість дифракційних максимумів, які можна спостерігати за допомогою цієї ґратки при її освітленні світлом з довжиною хвилі $\lambda=650$ нм. Під яким кутом спостерігається максимум найбільшого порядку? [9; 60°]

17.24	Дифракційна ґратка опромінюється монохроматичним світлом з довжиною хвилі $\lambda=620$ нм. Чому дорівнює період цієї ґратки, якщо на екрані, який розташований на відстані $a=60$ см, відстань між максимумами першого порядку $x=1,48$ мм? [50 мкм]
17.25	Дифракційна ґратка має $N=2000$ штрихів на 1 см. На її поверхню нормально падає монохроматичне світло з довжиною хвилі $\lambda=694$ нм. На який кут від початкового напрямку відхилиться світло в максимумі першого порядку? Який максимальний порядок максимуму можна спостерігати за допомогою цієї ґратки? [8°; 7]
17.26	На дифракційну ґратку, що має $x=45$ штрихів на , падає монохроматичне світло. Визначити довжину хвилі світла, якщо кут між напрямками на другий і третій дифракційні максимуми $\Delta\varphi=1,6^{\circ}$. [620 нм]
17.27	При опроміненні дифракційної ґратки білим світлом спектри другого і третього порядків частково перекриваються. На яку довжину хвилі в спектрі другого порядку припадає фіолетова границя ($\lambda=400$ нм) спектра третього порядку? [600 нм]
17.28	Біле світло нормально падає на дифракційну гратку. Кут, при якому співпадають дифракційні максимуми ліній $\lambda_1=656$ нм і $\lambda_2=410$ нм у спектрах різних порядків становить $\varphi=41^{\circ}$. Визначити період цієї гратки. [5 мкм]

ФІЗИКА. Вчимося розв'язувати задачі. "ОПТИКА". Компенсаційний курс

Table of contents

СВІТЛО (Вступ)

Розділ I. Геометрична оптика

1. Теоретичні відомості.

1.1. Основні поняття

1.2. Закони відбивання і заломлення

1.3. Дзеркала і лінзи

5. d = F: \(\Gamma\to\infty\) і, відповідно до формули (1.7), \(f\to\infty\). Це означає, що відбиті промені ніде не перетинаються, й зображення не існує.

1.4. Загальні рекомендації з розв'язування задач

2. Приклади розв’язування задач

2.1. Закони відбивання і заломлення

2.2. Побудова зображень у дзеркалах і лінзах

2.3. Формули дзеркала і лінзи

3. Задачі для самостійної роботи

Відбивання та заломлення світла

Розділ II. Хвильова оптика

1. Теоретичні відомості

Теоретичні відомості. Дифракція світла

Приклади розв'язування задач

Інтерференція світла

Дифракція світла

Задачі для самостійної роботи

Інтерференція світла

Дифракція світла

	\(\delta=(\alpha_{1}+\alpha_{2})-(\beta_{1}+\beta_{2})\);	(1)
	\(\varphi=\beta_{1}+\beta_{2}\).	(2)

	\(\frac{1}{d_{1}}+\frac{1}{f_{1}}=\frac{1}{F}\)	(1)
	\(\frac{1}{d_{2}}+\frac{2}{f_{2}}=\frac{1}{F}\)	(2)
	${{f}_{1}}+{{d}_{1}}=L$	(3)
	${{f}_{2}}+{{d}_{2}}=L$	(4)
	${{d}_{2}}-{{d}_{1}}=l$	(5)

2.73.	Людина \(170\) см на зріст зі швидкістю \(1\) м/с віддаляється з-попід вуличного ліхтаря так, що в певний момент довжина її тіні становить \(1,3\) м, а через \(2\) с — \(1,8\) м. На якій висоті підвішено ліхтар? [\(8,5\) м]
2.74 .	Світловий промінь, який проходить крізь отвір у вертикальному екрані, падає на шестигранне дзеркало, що обертається зі швидкістю 0,6 рад/с навколо вертикальної власної осі. Відстань між екраном і гранями дзеркала 1 м. З яким розмахом рухається «зайчик» на екрані та в яких межах змінюється його швидкість? [± 1,73 м від отвору; (0,5 ÷ 2) м/с]
2.75.	На одне з двох з'єднаних дзеркал, які утворюють гострий двогранний кут, перпендикулярно до його ребра падає світловий промінь. Як зміниться кут між ним і відбитим від дзеркал променем при їхньому невеликому повороті навколо ребра двогранного кута? [не зміниться]
2.76.	N плоскопаралельних прозорих пластин утворюють стопу, в якій показник заломлення кожної наступної є в k разів менший, ніж попередньої. При якому найменшому куті падіння $\alpha $ світло не пройде крізь стопу, якщо показник заломлення верхньої пластини складає n? $\left[ \sin \alpha =\left( n/{{k}^{N-1}} \right) \right]$
2.77.	Тонкий паралельний світловий пучок падає в напрямку центра сферичної порожнини в прозорій речовині. Чому дорівнює її показник заломлення, якщо площа світлової плями на передній поверхні порожнини є в \(4\) рази менша, ніж на задній? [1,5]
2.78.	Промінь світла падає перпендикулярно на бічну грань рівнобічної трикутної призми з заломним кутом \(40^{\circ}\) і, зазнавши повного відбивання на другої бічної грані, виходить через основу призми під кутом \(30^{\circ}\) до основи. Визначити показник заломлення речовини призми. [1,73]

	\(\d\sin\varphi=m_{1}\lambda\),	(1)
	\(\d\sin(\varphi+\Theta)=m_{2}\lambda\),	(2)