ФІЗИКА. Вчимося розв'язувати задачі. "ОПТИКА". Компенсаційний курс

Сайт:	physics.zfftt.kpi.ua
Курс:	physics.zfftt.kpi.ua
Книга:	ФІЗИКА. Вчимося розв'язувати задачі. "ОПТИКА". Компенсаційний курс
Напечатано::
Дата:	Четверг, 3 апреля 2025, 05:23

СВІТЛО (Вступ)
Розділ I. Геометрична оптика
2. Приклади розв’язування задач
3. Задачі для самостійної роботи
- Відбивання та заломлення світла
Розділ 17. Хвильова оптика
- Теоретичні відомості. Інтерференція світла
- Теоретичні відомості. Дифракція світла
Приклади розв'язування задач
- Інтерференція світла
- Дифракція світла
Задачі для самостійної роботи
- Інтерференція світла
- Дифракція світла

СВІТЛО (Вступ)

Оптика – це наука про світло – електромагнітне випромінювання, котре створює зорове відчуття в оці людини та інших живих істот.

Світло має двоїсту природу й залежно від умов виявляє себе або як хвиля, або як потік елементарних частинок – фотонів (світлових квантів).

Деякі хвильові прояви світла розглянуто в розділах:

I. Геометрична оптика

II. Хвильова оптика

кожний з яких включає:

1. Теоретичні відомості

2. Приклади розв’язування задач

3. Задачі для самостійної роботи

Як говорилося раніше (Частина [5]), у природі, крім механічних, спостерігаються електромагнітні хвилі (ЕМХ), тобто, розповсюдження взаємозалежних коливань електричного та магнітного полів. На відміну від механічних, електромагнітні хвилі можуть існувати у вакуумі й поширюються в ньому зі швидкістю

$c=3\cdot{10^{8}}$ м/с,

яка ні від чого не залежить і є однією з фундаментальних фізичних констант.

У речовині швидкість ЕМХ є меншою й визначається електричними та магнітними властивостями середовища. При цьому прозорими для світла є тільки деякі немагнітні діелектрики, тож швидкість світла практично залежить тільки від їхньої діелектричної проникності ε (див [3], п. ...), як

$v=\frac{c}{\sqrt{\varepsilon}}$,

де величина

$n=\sqrt{\varepsilon}$

називається оптичною густиною або абсолютним показником заломлення і є табличною величиною, котра визначає швидкість світла в заданій речовині співвідношенням

$v=\frac{c}{n}$.

(1.1)

Електромагнітні хвилі створюють зорове відчуття в вузькому спектральному інтервалі, який для людини усереднено складає:

$\nu=(0,75\div{0,4})\cdot{10^{15}}$ Гц,

в частотах і

$\lambda=(0,4\div{0,75})\cdot{10^{-6}}$ м.

в довжинах хвилі у вакуумі (або повітрі).

(На практиці використовують мікрометри (1 мкм = 10^-6 м) і нанометри (1 нм = 10^-9 м)).

Але випромінювання в прилеглих діапазонах має близькі властивості, досліджується тими самими методами, тож теж називається світлом: ультрафіолетовим (при $\nu\gt{0,75\cdot{10^{15}}}$ Гц; $\lambda_{0}\lt{10^{-6}}$ м) та інфрачервоним (при $\nu\lt{0,4}\cdot{10^{15}}$ Гц; $\lambda_{0}\gt{0,75}\cdot{10^{15}}$ м). Відповідно, ультрафіолетове, видиме та інфрачервоне випромінювання разом утворюють оптичний діапазон електромагнітного спектра.

Подібно до звуку, що суб'єктивно сприймається через гучність і висоту тону, світло при потраплянні в око характеризується яскравістю, мірою якої є інтенсивність ([3], ф-ла (3.8)), і кольором, який визначається частотою світлової хвилі й при її збільшенні неперервно змінюється від червоного до фіолетового. Тож усю гаму кольорів умовно поділяють на сім "кольорів веселки": червоний, помаранчевий, жовтий, зелений, блакитний, синій і фіолетовий. Зрозуміло, загальна кількість кольорів, як і частот, є нескінченна й для ока не доступна. Одначе, попри недосконалість ока, людина, крім основних кольорів, розрізняє безліч різних відтінків.

Розділ I. Геометрична оптика

Зміна напрямку світлових променів при падінні на межу поділу двох різних середовищ є підпорядкована простим співвідношенням – законам геометричної оптики, – на яких ґрунтується робота низки оптичних приладів.

Далі розглянуто

1. Теоретичні відомості

1.1. основні поняття геометричної оптики

1.2. закони відбивання і заломлення світла; повне відбивання

1.3. дзеркала і лінзи

2. Приклади розв’язування задач

3. Задачі для самостійної роботи

1. Теоретичні відомості.

Основні положення геометричної оптики є чинними тільки в оптично однорідних середовищах.

Далі розглянуто:

1.1. Основні поняття

1.2. Відбивання та заломлення світла

1.3. Дзеркала та лінзи

1.1. Основні поняття

Промінь – лінія, вздовж якої світло від джерела поширюється в дану точку. Промінь є геометричним поняттям і відображує вузький світловий пучок, який утворюються при проходженні світла від джерела крізь маленький отвір (діафрагму). Але реально при проходженні світлового пучка крізь дуже малий отвір він розширюється внаслідок дифракції, що обмежує застосовність законів геометричної оптики.

У кожній точці падаючий, відбитий та заломлений промені разом із перпендикуляром у точку падіння лежать в одній площині що зветься площиною падіння.

Напрямки перерахованих променів визначається кутами, що відраховуються від нормалі до межі поділу в точці падіння (рис.16.1) і мають відповідні назви:

$\alpha$ – кут падіння;

$\alpha^{\prime}$ – кут відбивання;

$\beta$ – кут заломлення.

1.2. Закони відбивання і заломлення

При потраплянні На межі поділу двох ізотропних середовищ із різною оптичною густиною світлова хвиля відбивається та проходить далі так, що падаючий 1, відбитий 1′ і заломлений 1″ промені що падаючий, відбитий і заломлений промені (рис. 16.2) лежать в одній площині і задовольняють наступні закони відбивання та заломлення.

Закон відбивання: кут відбивання $\alpha^{\prime}$ дорівнює кутові падіння $\alpha$ (рис. 16.2а):
$\alpha^{\prime}=\alpha$.			(1.2)
Закон заломлення: відношення синуса кута падіння $\alpha^{\prime}$ до синуса кута заломлення $\beta$ дорівнює оберненому відношенню показників заломлення даних середовищ:
$\frac{\sin\alpha}{\sin\beta}=\frac{n_{2}}{n_{1}}$	або	$n_{1}\sin\alpha=n_{2}\sin\beta$.	(1.3)

Із співвідношення (1.3) випливає, що при переході світла із оптично менш густого (n₁ < n₂) середовища в більш густе (рис.16.2а) заломлений промінь відхиляється в напрямку нормалі до межі поділу середовищ, а у випадку n₁ > n₂ (рис.16.2б) — від неї. Тож при поступовому збільшенні кута падіння, так що при деякій величині $\alpha_{0}$ кут заломлення набуває максимально можливого значення $90^{\circ}$ (рис.16.3). Згідно із законом заломлення (1.3), це станеться за умови

$\sin\alpha_{0}=\frac{n_{2}}{n_{1}}$, $n_{1}\gt{n}_{2}$,

(1.4)

де кут $\alpha_{0}$ називається граничним кутом для даних двох середовищ.

Теорія й практика свідчать, що за вказаної умови при збільшенні кута падіння до величини $\alpha_{0}$ інтенсивність заломленого променя зменшується до нуля, а відбитого – зрівнюється з інтенсивністю падаючого. Це означає, що при падінні з оптично більш густого середовища під кутами $\alpha\gt\alpha_{0}$ світло не проходить крізь прозору поверхню його дотику з прозорим менш густим середовищем, тобто, спостерігається явище повного відбивання.

1.3. Дзеркала і лінзи

На законах геометричної оптики ґрунтується дія різних оптичних приладів, які ”озброюють“ око. Їхніми основними функціональними елементами є дзеркала та лінзи, котрі створюють зображення на екрані, чи безпосередньо в оці.

Строга теорія зображень є складною. Тому в елементарній оптиці світлові промені, що потрапляють на дзеркало чи лінзу, вважаються параксіальними (такими, що падають в околі центра і під малим кутом).

Дія оптичних пристроїв (ОП) ґрунтується на тому, що промені, котрі виходять з однієї точки S (рис. 16.4), після проходження крізь пристрій самі (рис. 16.4а), або їхні продовження (рис. 16.4б), збираються теж в одній точці S′, яка є зображенням точки S.

В першому випадку на поставленому в точці S′ екрані відбувається концентрація світлової енергії й утворюється дійсне зображення точки S. А в другому сходяться не самі промені, а їхні продовження, тож точка S′ є уявним зображенням точки S. Таке зображення можна побачити, пропустивши розбіжні промені, що пройшли, через додаткову збиральну лінзу, або, розглядаючи їх безпосередньо оком, кришталик якого править за додаткову лінзу, а сітківка – за екран.

Нагадаємо також, що створювані зображення, на загал, класифікують за такими ознаками:

тип (дійсне чи уявне);
розмір (збільшене або зменшене);
орієнтація (пряме або перевернуте).

Далі розглядається утворення та характеристики зображень у простих оптичних приладах, якими є сферичні дзеркала й тонкі лінзи.

Плоске дзеркало. Це найпростіший оптичний прилад, що являє собою гладку плоску поверхню, котра повністю відбиває падаючі промені.

Рис.16.5 ілюструє утворення зображення точки S і ”предмета“ SN у плоскому дзеркалі M. Ураховуючи закон відбивання (1.2) легко збагнути, що продовження відбитих дзеркалом променів, які вийшли з точки S, перетинаються в симетричній до неї точці $S^{\prime}$. Те саме стосується й будь-якої іншої точки. Отже, плоске дзеркало дає уявне пряме зображення $S^{\prime}N^{\prime}$ в натуральну величину, котре відносно дзеркала розташовано симетрично до самого предмета SN .

Сферичні дзеркала мають робочу поверхню у формі угнутого, або опуклого сферичного сегмента (рис.16.6) і характеризуються наступними геометричними параметрами:

оптичний центр С – центр кривини робочої поверхні дзеркала;
полюс O – вершина сферичного сегмента, що утворює дзеркало;
головна оптична вісь CO – пряма, що проходить через центр і полюс дзеркала;
побічна оптична вісь – будь-яка пряма, що проходить через оптичний центр дзеркала;
фокус F – точка, в якій перетинаються відбиті промені в угнутому, або їхні продовження в опуклому дзеркалі при падінні паралельно до головної оптичній осі . Фокус розміщений на головній оптичній осі і для угнутого дзеркала є дійсний, а для опуклого – уявний.
головна фокусна відстань F – відстань OF між полюсом і фокусом дзеркала. Вона дорівнює половині радіуса кривини поверхні дзеркала:

$F=\frac{R}{2}$

(1.5)

фокальна площина – площина, що проходить через головний фокус перпендикулярно до головній оптичній осі. Фокальна площина угнутого дзеркала є дійсна, а опуклого – уявна.

Сферичне дзеркало є здатним до формування зображень, дякуючи наступній фокусуючій властивості:

будь-які паралельні між собою промені після відбивання від дзеркала самі, або їхні продовження перетинаються в одній точці фокальної площини.

На рис.16.7 відповідно до сказаного наведено побудову зображення (стрілка A′B′) предмета (стрілка АВ) в угнутому а) та опуклому б) дзеркалі, звідки не важко встановити формулу сферичного дзеркала:

$\frac{1}{d}+\frac{1}{f}=\frac{1}{F}$,

(1.6)

де d = OA – відстань від предмета до дзеркала; f = OA′ – відстань від дзеркала до зображення; F = OF – головна фокусна відстань дзеркала. Ця формула охоплює всі можливі ситуації, якщо величини d, f, F розглядати як алгебраїчні у відповідності з наступним правилом знаків:

відстань між полюсом дзеркала і дійсною точкою береться зі знаком "+", а між полюсом і уявною точкою – зі знаком "–".

(Нагадаємо, що в дійсних точках сходяться самі промені, а в уявних – їхні продовження).

Висота зображення H = A′B′ відносно висоти предмета h = AB визначається поперечним збільшенням Г = (H/h), котре, як видно з рис. 16.7, складає

$\Gamma =\frac{f}{d}$.

(1.7)

Величина f задовольняє формулу (1.6), тож після елементарних перетворень отримаємо вираз

$\Gamma=\frac{F}{d-F}$,

(1.7а)

в якому знак Г визначає тип зображення – при Г > 0 воно є дійсне, а при Г < 0 – уявне.

Поперечне збільшення зображення залежить від положення предмета d, фокусної відстані F та типу дзеркала. Зокрема, позаяк фокус опуклого дзеркала є уявний (F < 0), то Г < –1, й за будь-яких умов

опукле дзеркало дає зменшене уявне зображення предмета.

В угнутому дзеркалі (F > 0) зображення може бути різним, а саме.

1. d > 2F : 0 < Г < 1 — зображення дійсне зменшене;

2. d = 2F : Г = 1 — зображення дійсне в натуральну величину;

3. F < d < 2F: Г > 1 — зображення дійсне збільшене;

4. d < F : Г < – 1, — зображення уявне збільшене;

5. При d = F маємо особливий випадок: $\Gamma\to\infty$ і, відповідно до формули (1.7), $f\to\infty$. Це означає, що відбиті промені ніде не перетинаються, й зображення не існує.

Сферичні лінзи являють собою прозорі тіла, що обмежені двома сферичними поверхнями. (Одна з поверхонь може бути й плоскою). На рис.16.8 показано в розрізі різні типи лінз: двоопукла (а), плоско-опукла (б), двовгнута (в), плоско-вгнута (г), опукло-вгнута або меніск (д, е).

За дією на світлові пучки лінзи є подібні до дзеркал із тією відміною, що формують пучки не відбитих променів, а тих, що проходять крізь лінзу. Зокрема лінзи теж поділяються на збиральні та розсіювальні. Перші перетворюють паралельний пучок променів на збіжний, а другі – на розбіжний. При цьому дія лінзи на хід променів визначається кривиною поверхонь і співвідношенням показників заломлення речовини лінзи та навколишнього середовища. До прикладу, у повітрі лінзи з профілем а), б), є збиральними, а типів в), г), – розсіювальними. Що до менісків, то їхня фокусуюча дія залежить від співвідношення кривин поверхонь, так на рис. 16.8 меніск д) є збиральним, а е) — розсіювальним.

Спроможність лінзи впливати на світлові промені визначається наступними геометричними параметрами (див. рис.16.9):

радіуси кривини R₁, R₂ поверхонь;
головна оптична вісь C₁C₂ – пряма, що проходить через центри кривини поверхонь;
у тонкій лінзі можна вважати, що полюси O₁і O₂ сферичних сегментів розташовані практично в одній точці O, що називається оптичним центром лінзи;
побічна вісь – будь-яка пряма, що проходить через оптичний центр лінзи;
площина лінзи O′O″ – площина, що проходить через оптичний центр лінзи перпендикулярно до головної оптичній осі;
фокуси F₁, F₂ – точки на головній оптичній осі, у яких перетинаються заломлені промені (збиральна) або їхні продовження (розсіювальна лінза), котрі в тому, чи іншому напрямі падають на лінзу паралельно до головної оптичної осі. У збиральній лінзі фокуси є дійсні, а в розсіювальній – уявні. Крім того можна вважати, що в тонкій лінзі фокуси розташовані на однаковій відстані від оптичного центра;
фокусна відстань F = OF₁ = OF₂ – відстань між фокусом і оптичним центром лінзи;
оптична сила лінзи D – величина, обернена до фокусній відстані:

$D=\frac{1}{ F}$.

(1.8)

Оптична сила вимірюється в діоптріях (дптр): 1 дптр = 1 м^–1 – це оптична сила лінзи з фокусною відстанню 1 м. Для збиральної лінзи оптична сила D > 0, для рзсівної D < 0 і визначається формулою:.

$D=\left(\frac{n}{n_{0}}-1\right)\left(\frac{1}{R_{1}}-\frac{1}{R_{2}}\right)$.

(1.9)

де n, n₀ – показники заломлення речовини лінзи та навколишнього середовища; R₁, R₂, – відповідно, радіуси кривини передньої та задньої відносно падаючого променя поверхні лінзи. При цьому величини R₁, R₂ розглядаються як алгебраїчні: радіус опуклої поверхні береться зі знаком "+", а вгнутої – зі знаком "–".

Зазвичай середовищем є повітря. В такому разі

$D=\left({n}-1\right)\left(\frac{1}{R_{1}}-\frac{1}{R_{2}}\right)$.

(1.9а)

фокальна площина – площина, що проходить через фокус перпендикулярно до головної оптичної осі. Фокальна площина збиральної лінзи є дійсною, а розсіювальної – уявною й має наступну збиральну властивість:

будь–які паралельні між собою промені після проходження крізь лінзу перетинаються (самі або їхні продовження) в одній точці фокальної площини.

Розташування предмета AB та його зображення A′B′ у лінзі (рис. 16.10) є пов'язані формулою тонкої лінзи:

$\frac{1}{d}+\frac{1}{f}=\frac{1}{F}$,

(1.10)

що по формі й суті збігається з формулою сферичного дзеркала (1.6) із таким самим правилом знаків.

Те ж саме стосується й поперечного збільшення:

$\Gamma=\frac{f}{d}$,

(1.11)

$\Gamma=\frac{F}{d-F}$.

(1.11а)

Формули (1.10), (1.11), (1.11а) та (1.6), (1.7) і (1.7a) є ідентичні. Це означає, що проведений для дзеркал аналіз зображень і встановлені співвідношення є чинними й для тонких лінз.

На завершення зауважимо, що на практиці в різних оптичних приладах часто використовують не поодинокі лінзи, а системи, з яких найпростішою є дві тонкі лінзи із спільною головною оптичною віссю. Зокрема, такою є око людини, "озброєне" окулярами.

Оптична сила системи лінз, розташованих впритул одна до одної, дорівнює алгебраїчній сумі оптичних сил з'єднаних лінз. Для двох лінз

D = D₁ + D₂.

(1.12)

1.4. Загальні рекомендації з розв'язування задач

Побудова зображень

Задачі цього типу вимагають копіткої роботи й передбачають наступні "правила гри":

незалежно від кутів і відстаней на кресленнях, промені вважаються параксіальними (див. п. 1.3);
аби відобразити на кресленні тип і тонкість лінзи, її зображують у вигляді відрізка із стрілками, або "вилками" на кінцях (рис.16.13) для збиральної та розсіювальної лінзи, відповідно;
зображуваним предметом теж є стрілка (рис .16. 7, 16.10), отже побудова зображення полягає у графічному визначенні положення її кінців.
при побудові зображення, предмета, що дотикається до головної оптичної осі лінзи (дзеркала) й розташований перпендикулярно, дозволено не будувати зображення точки дотику;
при побудові зображення точки, що лежить на головній оптичній осі, заборонено додавати перпендикулярний допоміжний відрізок, зводячи задачу до визначення зображення точки, що не лежить на осі;
побудова ходу променів виконується за допомогою тільки лінійки без використання шкали.
усі промені, що виходять з однієї точки, після проходження через лінзу (дзеркало) самі, чи їхні продовження, теж перетинаються в одній точці. Тож для отримання зображення точки достатньо двох променів, що виходять з неї.

При розв'язуванні задач на побудову зображень корисно керуватись такими порадами.

1.	Для побудови зображення А′ точки А без вимірювань (рис.16.12 (на б) поставити 2), рис.16.13(2 і 3 поміняти місцями)) слід користатися трьома "зручними" променями, хід яких є заздалегідь відомий, а саме, промінь 1, який іде паралельно до головної оптичної осі приладу; промінь 2, який проходить через фокус; промінь 3, який проходить через оптичний центр приладу.

2.	В деяких задачах відповідно до умови є можливе використання тільки одного з названих зручних променів (як, приміром, при побудові зображення точки, що лежить на головній оптичній осі (рис.16.11б). У такому разі за другий приймають довільний промінь і будують його хід, як показано на рис. 16.14( перенести А′, як на 16.15) і рис.16.15. Побудову слід вести в такій послідовності: а) показати фокальну площина MN; б) паралельно до заданого променя АА' провести один із ”зручних“ допоміжних променів і знайти точку його перетину В з фокальною площиною; в) через точки А' і В провести шуканий допоміжний промінь.

3.	Однією з типових задач на побудову є визначення розташування та характеристик лінзи за заданими положеннями якоїсь точки та її зображення. При цьому пряма, що проходить через точку A та її зображення A', перетинає головну оптичну вісь в центрі лінзи (дзеркала) С, рис.16.12, 16.13; точка A та її дійсне зображення A' розташовуються по різні боки від головної оптичної осі (рис.16.12а, 16.13а), а при уявному зображенні – по один бік (рис.16.12б, 16.13б).

4.	Для більшої виразності розв'язку (креслення) слід: а) дійсні промені проводити суцільними, а уявні – штриховими лініями; б) допоміжні промені показувати тонкішими лініями.

Розрахункові задачі

А. Відбивання і заломлення світла. Розв'язуючи задачі такої тематики, варто пам'ятати наступне.


1)	Коли світло падає на межу поділу з оптично більш густого середовища, то, перш ніж приступати до викладок, корисно знайти граничний кут і пересвідчитися, чи проходять промені крізь межу поділу середовищ, чи зазнають повного відбивання.

2)	Якщо за умовою кути падіння і заломлення малі (як це завжди є при візуальних спостереженнях), то при розв'язуванні задачі слід користуватися наближенням малих кутів $\sin\alpha\approx\mathrm{tg}\alpha\approx\alpha$, і виражати їх у радіанах. Це значно спрощує викладки й обчислення, а інколи є й необхідною умовою отримання розв'язку.

В. Формула дзеркала й лінзи. Формули дзеркала (1.6) і тонкої лінзи (1.10) є ідентичні. Тому в обох випадках задачі на визначення характеристик зображень розв'язуються за однаковою схемою. А саме, необхідно

1)	показати на ескізному рисунку орієнтовні положення лінзи (дзеркала), предмета і його зображення без ходу променів та позначити відповідні відстані. (У найпростіших ситуаціях цього можна не робити).

2)	Скласти робочі рівняння: записати формулу лінзи (дзеркала) з урахуванням додаткових умов задачі, приміром, задану відстань між предметом та екраном, збільшення, тощо. При цьому слід ураховувати правило знаків, зокрема, що фокусні відстані (або оптичні сили) вгнутого дзеркала і збиральної лінзи є завжди додатні, а опуклого дзеркала та розсіювальної лінзи – від'ємні. При цьому коли знак шуканої відстані не є очевидним, вона вважається додатньою. Істину покаже знак відповіді: "+" означатиме дійсне, а "–" уявне зображення.

3)	У деяких задачах складання рівнянь і розв'язування задачі полегшується, якщо скористатись оборотністю світлових променів, яка полягає втому, що ”предмет“ та його зображення можна міняти місцями. Це випливає із законів відбивання та заломлення світла.

4)	Розв'язати отримане рівняння (або систему рівнянь) і знайти аналітичну відповідь (формулу), яка показує положення, розміри та характер зображення. Відтак за допомогою лінійки виконати креслення з побудовою ходу променів. Це потрібно для ілюстрації та перевірки правильності відповіді. (До прикладу, чи не виявилось бува, що за розрахунками зображення є уявне, а хід променів засвідчує протилежне).

2. Приклади розв’язування задач

Приклади розв'язування задач цього розділу поділені на теми:

2.1. Закони відбивання та заломлення

2.2. Побудова зображень у дзеркалах і лінзах

2.3. Формули дзеркала і лінзи

2.1. Закони відбивання і заломлення

Розв'язуючи задачі на відбивання і заломлення світла, варто пам'ятати таке.
1)	При побудові ходу променів треба слідкувати за тим, щоб відбитий промінь був симетричний падаючому, а заломлений відхилявся в потрібний бік - до нормалі при переході в оптично більш густе середовище і від нормалі при переході в менш густе.

2)	Якщо за умовою або в процесі розв'язування виявляється, що промінь світла падає на межу поділу з оптично більш густого середовища, то, перш ніж записувати і використовувати закон заломлення, корисно знайти граничний кут і переконатися, пройде промінь крізь межу, чи зазнає повного відбивання.

3)	Якщо за умовою задачі кути падіння і заломлення малі (так буває при візуальних спостереженнях внаслідок малих розмірів зіниці ока), то при розв'язуванні слід використовувати наближення малих кутів, коли $\sin\alpha\approx\mathrm{tg}\alpha\approx\alpha$, де кут $\alpha$ обов'язково виражають у радіанах. Це не тільки значно спрощує викладки та обчислення, а й може виявитися єдиним способом отримати розв'язок.

Задача 16.1. Визначити кут $\vartheta$ відхилення променя світла, відбитого від двох плоских дзеркал, що утворять двогранний кут $\varphi$. Площина, у якій лежить падаючий промінь, перпендикулярна ребру двогранного кута.

Задача 16.2. При падінні променя світла на межу поділу двох середовищ відбитий та заломлений промені виявились взаємно перпендикулярними. Визначити кут падіння, якщо відношення показників заломлення середовищ k = 1,5.

Задача 16.3. У точці K на дні непрозорої кубічної посудини лежить маленька важка кулька. Око спостерігача розташоване так, що дно невидиме. У посудину починають наливати воду (n = 1,33). Визначити висоту рівня води h, при якій спостерігач зможе побачити кульку, не змінюючи положення ока, якщо відстань між точками K і N S = 10 см (див. рис.3).

Задача 16.4. Дві пластини товщиною по h = 2 см кожна з показниками заломлення n₁ = 1,35 i n₂ = 1,95 складені впритул. На поверхні дотику на одній з пластин зафарбовано диск радіусом r = h. На зовнішній поверхні однієї з пластин прямо над центром диска O розміщене точкове джерело світла S (рис.4). Визначити радіус тіні R від диска на зовнішній поверхні іншої пластини у випадку, коли джерело знаходиться на поверхні: А) першої пластини; В) другої пластини.

Задача 16.5. Промінь світла падає під кутом $\alpha=60^{\circ}$ на скляну (n = 1,5) плоскопаралельну пластину товщиною d = 3 см, що знаходиться в повітрі. Визначити зміщення x променя відносно його початкового напрямку після проходження крізь пластину.

Задача 16.6. Вузький паралельний пучок променів падає на аркуш паперу під кутом $\alpha=60^{\circ}$ і створює світлову пляму (рис.6). Визначити відстань S на яку зміститься цятка, якщо на папір покласти скляну (n = 1,5) пластину товщиною d = 5 см.

Задача 16.7. Рибалка, що сидить у човні, розглядає камінчик на дні озера безпосередньо під човном. Рибалці здається, що камінчик знаходиться на глибині h = 3 м. Визначити істину глибину озера H. Показник заломлення води n = 1,33.

Задача 16.8. Хід променя крізь скляну трикутну призму показаний на рис., на якому $\alpha_{1}=30^{\circ}$, $\alpha_{2}=60^{\circ}$, $\delta=45^{\circ}$. Визначити заломний кут призми $\varphi$.

Задача 16.9. На бічну грань скляної (n = 1,5) призми, що має заломний кут $\varphi=0,1$ рад, під малим кутом падає промінь світла. Визначити кут відхилення $\delta$ променя призмою.

Задача 16.10. Промінь світла падає на бічну грань тригранної скляної (n = 1,5) призми з кутом заломлення $\varphi=60^{\circ}$. Визначити мінімальне значення кута падіння $\alpha_{m}$, при якому світло буде проходити крізь призму.

Задача 16.1

Визначити кут $\vartheta$ відхилення променя світла, відбитого від двох плоских дзеркал, що утворять двогранний кут $\varphi$. Площина, у якій лежить падаючий промінь, перпендикулярна ребру двогранного кута.

Дано:

$\varphi$

$\vartheta$ - ?

Розв’язання

На рис.1 ребро двогранного кута є перпендикулярним площині рисунка і проходить через точку O. Промінь світла, що падає на одне з дзеркал під кутом $\alpha_{1}$ (у точці o₁), після відбивання падає на друге дзеркало під кутом $\alpha_{2}$ (у точці O₂).

На рис.1 також показані всі кути, необхідні для подальшого розв’язування. Рівність відповідних кутів випливає із закону відбивання (16.5) і очевидних геометричних співвідношень. Кут відхилення $\vartheta$ – це кут між напрямками променя, відбитого від другого дзеркала в точці O₂ і променя, який падає на перше дзеркало в точку O₁ (див. рис.1). Цей кут є зовнішнім кутом трикутника PO₁O₂, тому

$\vartheta=2\beta_{1}+2\beta_{2}=2(\beta_{1}+\beta_{2})$.

З трикутника O₁OO₂ маємо

$\beta_{1}+\beta_{2}=180^{\circ}-\varphi$,

Отже шуканий кут відхилення

$\vartheta=360^{\circ}-2\varphi$.

Зверніть увагу на те, що цей кут визначається тільки двогранним кутом $varphi$ і не залежить від напрямку падаючого променя. Зокрема, при $\varphi=90^{\circ}$ $\vartheta=180^{\circ}$. Це означає, що будь-який промінь відбивається у зворотному напрямку. Таку ж властивість має і тригранне прямокутне дзеркало. Воно використовується у так званих кутових відбивачах, якими, зокрема, є катофоти автомобілів і велосипедів, а також рефлектори на ранцях школярів.

Задача 16.2

При падінні променя світла на межу поділу двох середовищ відбитий та заломлений промені виявились взаємно перпендикулярними.

Визначити

кут падіння, якщо відношення показників заломлення середовищ k = 1,5.

Дано:

k = 1,5

$\varphi=90^{\circ}$

$\alpha$ - ?

Розв’язання

На рис.2 показано хід променів для випадку n₁ < n₂. З рисунка видно, що $\alpha+\varphi+\beta=17=80^{\circ}$ отже при $\varphi=90^{\circ}$, $\beta=90^{\circ}-\alpha$, і згідно із законом заломлення (16.6)

$\frac{\sin\alpha}{\sin(90^{\circ}-\alpha)}$ $\Rightarrow$ $\mathrm{tg}\alpha=\frac{n_{2}}{n_{1}}$.

Таким чином шуканий кут падіння

$\alpha=\mathrm{arctg}\left(\frac{n_{2}}{n_{1}}\right)$.

Числове значення $\alpha$ залежить від того, яке з середовищ більш оптично густе. Є дві можливості:

1) $\frac{n_{2}}{n_{1}}=k$

2) $\frac{n_{2}}{n_{1}}=\frac{1}{k}$.

Відповідно задача має дві числові відповіді:

$\alpha_{1}=\mathrm{arctg}_{2}{1,5}=56,3^{\circ}$;

$\alpha_{1}=\mathrm{arctg}_{2}\frac{1}{1,5}=33,7^{\circ}$

Корисно звернути увагу на те, що за умов задачі незалежно від послідовності розміщення середовищ одне з отриманих значень є кутом падіння, а інше - кутом заломлення.

Задача 16.3

У точці K на дні непрозорої кубічної посудини лежить маленька важка кулька. Око спостерігача розташоване так, що дно невидиме (рис.3). У посудину починають наливати воду (n = 1,33).

Визначити

висоту рівня води h, при якій спостерігач зможе побачити кульку, не змінюючи положення ока, якщо відстань між точками K і N S = 10 см (див. рис.3).

Дано:

n = 1,33

S = 10 см

h - ?

Розв’язання

Аби спостерігач зміг бачити кульку, частина відбитих нею променів повинна потрапляти в око, як показано на рис.3-1.

Це можливо лише при такій висоті рівня води h, при якій промені KO та OM задовольняють закону заломлення світла (16.6)

$\frac{\sin\alpha}{\sin\beta}=\frac{1}{n}$.

(1)

(Тут враховано, що показник заломлення повітря практично дорівнює одиниці).

За умовою $\beta=45^{\circ}$ (посудина - куб), отже

$\sin\alpha=\frac{1}{2\sqrt{2}}$.

(2)

З рис.3-1 видно, що висота рівня води

$h=\frac{\mathrm{PK}}{\mathrm{tg}\alpha}$,

(3)

а PK = htg$\alpha$, PN = htg$\beta$, S = KN = PN - PK. Отже

$S=h(\mathrm{tg}\alpha-\mathrm{tg}\beta)$ $\Rightarrow$ $h=\frac{S}{\mathrm{tg}\alpha-\mathrm{tg}\beta}$.

Враховуючи співвідношення

$\mathrm{tg}\alpha=\frac{\sin\alpha}{\sqrt{1-\sin^{2}\alpha}}=\frac{1}{\sqrt{1/\sin^{2}\alpha-1}}$

та формулу (1), маємо

$\mathrm{tg}\alpha=\frac{1}{\sqrt{n^{2}/\sin^{2}\beta-1}}$.

Отже

$h=\frac{S}{\mathrm{tg}\beta-\sqrt{n^{2}/\sin^{2}\beta-1}}$.

Оскільки посудина куб, то $\beta=45^{\circ}$ і

$h=\frac{S}{1-1/\sqrt{2n^{2}-1}}=\frac{10}{1-1/\sqrt{2\cdot{1,33}^{2}-1}}=26,9$ см.

Задача 16.4

Дві пластини товщиною по h = 2 см кожна з показниками заломлення n₁ = 1,35 i n₂ = 1,95 складені впритул. На поверхні дотику на одній з пластин зафарбовано диск радіусом r = h. На зовнішній поверхні однієї з пластин прямо над центром диска O розміщене точкове джерело світла S (рис.4).

Визначити

радіус тіні R від диска на зовнішній поверхні іншої пластини у випадку, коли джерело знаходиться на поверхні:

А) першої пластини;

В) другої пластини.

Дано:

h = 2 см

$n_{1}$ = 1,35

$n_{2}$ = 1,95

R - ?

Розв’язання

А) У цьому випадку світло переходить з оптично менш густого середовища n₁ в більш густе n₂. За законом заломлення (16.6) маємо:

$R=r+h\mathrm{tg}\beta$.

За умовою r = h, отже

$R= h(1+\mathrm{tg}\beta)=h\left(1+\frac{1}{\sqrt{1/\sin^{2}\beta-1}}\right)$.

Величину $1/\sin^{2}\beta$ знайдемо через співвідношення (16.7), врахувавши, що за умовою задачі (r = h) $\alpha=45^{\circ}$, отже $\sin\alpha=1/\sqrt{2}$:

$\frac{1}{\sin^{2}\beta}=\frac{2n_{2}^{2}}{n_{1}^{2}}$.

Тепер

$R=h\left(1+\frac{1}{\sqrt{2(n_{2}/n_{1})^{2}-1}}\right)\approx3,1$ см.

Б) В цьому випадку світло падає на межу поділу з більш густого середовища, тому, перш ніж виконувати обчислення, слід з'ясувати, чи зможе світло взагалі пройти через межу поділу. Для цього визначимо граничний кут, для межі заданих речовин (формула (16.7)):

$\alpha_{0}=\mathrm{arcsin}\left(\frac{n_{1}}{n_{2}}\right)=43,8^{\circ}$.

Згідно з умовою r = h кут падіння $\alpha=45^{\circ}$, тобто $\alpha\gt\alpha_{0}$. Отже на межі пластин здійснюється повне відбивання і жоден падаючий на поверхню дотику промінь не пройде в іншу пластину. Тому формальна відповідь

$R\to\infty$.

Задача 16.5

Промінь світла падає під кутом $\alpha=60^{\circ}$ на скляну (n = 1,5) плоскопаралельну пластину товщиною d = 3 см, що знаходиться в повітрі.

Визначити

зміщення x променя відносно його початкового напрямку після проходження крізь пластину.

Дано:

$\alpha$ = $60^{\circ}$

n = 1,5

d = 3 см

x - ?

Розв’язання

Розглянемо хід променя крізь плоскопаралельну пластинку (рис.5-1) для цього запишемо закон заломлення світла (формула (16.6)), на верхній і на нижній гранях:

$\frac{\sin\alpha}{\sin\beta}=n$, $\frac{\sin\beta}{\sin\alpha^{\prime}}=\frac{1}{n}$.

З цих виразів випливає, що $\alpha^{\prime}=\alpha$. Це значить, що після проходження промінь не змінює напрямку, а тільки зміщується відносно падаючого на відстань x рівну довжині спільного перпендикуляра до цих променів: x = BC.

З прямокутного трикутника ABC:

$x=\mathrm{AB}\cdot\sin\varphi=\mathrm{AB}\cdot\sin(\alpha-\beta)=$

$=\mathrm{AB}(\sin\alpha\cos\beta-\sin\beta\cos\alpha)=$

$=\mathrm{AB}\sin\alpha\cos\beta\left(1-\frac{\sin\beta}{\sin\alpha}\cdot\frac{\cos\alpha}{\cos\beta}\right)$,

(1)

де $\beta$ – кут заломлення. За законом заломлення

$\frac{\sin\alpha}{\sin\beta}=n$ $\Rightarrow$ $\sin\beta=\frac{\sin\alpha}{n}$, $\cos\beta=\sqrt{1-\sin^{2}\beta}=\sqrt{1-(\sin\alpha/n)^{2}}$.

(2)

З прямокутного трикутника AB:

$\mathrm{AB}=\frac{\mathrm{AD}}{\cos\alpha}=\frac{d}{\cos\alpha }$.

(3)

Підставивши вирази (2) і (3) у формулу (1), після нескладних перетворень одержимо:

$x=d\sin\alpha\left(1-\frac{\cos\alpha}{\sqrt{n^{2}-\sin^{2}\alpha}}\right)$.

(4)

Виконаємо обчислення:

$x=3\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot\left(1-\frac{1/2}{\sqrt{1,5^{2}-3/4}}\right)=1,53$ см.

Задача 16.6

Вузький паралельний пучок променів падає на аркуш паперу під кутом $\alpha=60^{\circ}$ і створює світлову пляму (рис.6).

Визначити

відстань S на яку зміститься цятка, якщо на папір покласти скляну (n = 1,5) пластину товщиною d = 5 см.

Дано:

α = 60°

n = 1,5

d = 5 см

S - ?

Розв’язання

Нехай спочатку світна цятка розміщена в точці M (рис.6-1.а). Після того як на папір поклали пластину, цятка внаслідок заломлення переміститься в точку N.

Шукана відстань S = MN. З рисунка видно, що

S = PM – PN = $d(\mathrm{tg}\alpha-\mathrm{tg}\beta)$.

(1)

Величину $\mathrm{tg}\beta$ легко визначити через відомі тригонометричні співвідношення та закон заломлення (16.6), згідно з яким $\sin\beta=\sin\alpha/n$

$d(\mathrm{tg}\beta=\frac{\sin\beta}{\cos\beta}=\frac{\sin\beta}{\sqrt{1-\sin^{2}\beta}}=\frac{\sin\alpha}{\sqrt{n^{2}-\sin^{2}\alpha}}$.

Підставивши цей вираз у формулу (1), дістанемо відповідь:

$S=d\left(\mathrm{tg}\alpha-\frac{\sin\alpha}{\sqrt{n^{2}-\sin^{2}\alpha}}\right)$.

Обчислення дають:

$S=5\cdot\left(\sqrt{3}-\frac{\sqrt{3}}{2\cdot\sqrt{1,5^{2}-3/4}}\right)\approx$ 5,1 см.

Одержати відповідь у цій задачі також можна інакше.

Дійсно, якщо з точки N опустити перпендикуляр на лінію OM (рис. 16-1.б), то з трикутника NKM: NM = NK/$\cos\alpha$. Відрізок NK = x був визначений у задачі 16.5 формула (4).

Отже маємо:

$S=d\mathrm{tg}\alpha\left(1-\frac{\cos\alpha}{\sqrt{n^{2}-\sin^{2}\alpha}}\right)=d\left(\mathrm{tg}\alpha-\frac{\sin\alpha}{\sqrt{n^{2}-\sin^{2}\alpha}}\right)$.

Задача 16.7

Рибалка, що сидить у човні, розглядає камінчик на дні озера безпосередньо під човном. Рибалці здається, що камінчик знаходиться на глибині h = 3 м.

Визначити

істину глибину озера H. Показник заломлення води n = 1,33.

Дано:

h = 3 м

n = 1,33

H - ?

Розв’язання

Рибалка бачить камінчик завдяки тим відбитим від нього променям світла, що попадають в око. На рис.7-1 показані два таких промені, що виходять з точки розташування камінчика на дні A. Ці промені розходяться, тому рибалці буде здаватися, що вони виходять з точки A, розташованої на глибині h. Так виникає оптичний обман: удавана глибина водойми h виявляється меншою, ніж істинна глибина H.

Для розрахунків позначимо $\alpha$ кут падіння променя на межу вода-повітря і $\beta$ кут заломлення (рис.7-1). За законом заломлення (16.6)

$\frac{\sin\alpha}{\sin\beta}=\frac{1}{n}$,

(1)

де враховано, що показник заломлення повітря n₀ = 1. Трикутники ABC і A¢BC мають спільний катет BC, тому

$\frac{H}{h}=\frac{\mathrm{tg}\beta}{\mathrm{tg}\alpha}$.

(2)

Розв’язавши сумісно рівняння (1) і (2), одержимо:

$H=nh\sqrt{\frac{1-\sin^{2}\alpha}{1-(n\sin\alpha)^{2}}}$.

(3)

З цього результату може здатися, що глибина озера H залежить від кута \)\alpha\). Звичайно це не так. Від кута $\alpha$ залежить не H, а h, тобто положення точки A¢. Це означає, що продовження заломлених променів, що виходять з точки A під різними кутами, перетинаються в різних точках, і, отже, не створюють її зображення. Чому ж тоді ми чітко бачимо предмети на дні (звичайно, якщо вода прозора)? Відповідь така: тому що розміри зіниці дуже малі, в око попадають тільки промені, що виходять з води під дуже малими кутами ($\alpha\ll{1}$). У такому випадку величини $\sin\alpha$ і $n\sin\alpha$ у формулі (3) нехтовно малі і відповідь задачі фактично має вигляд:

$H=nh=1,33\cdot{3}=4$ м.

Зверніть увагу на наступне. Подібна ситуація зустрічається в усіх задачах, зв'язаних з візуальними спостереженнями. Тому малість кутів необхідно враховувати із самого початку. Наприклад, у даній задачі необхідно було б одразу врахувати, що для малих кутів $\sin\alpha=\mathrm{tg}\alpha=\alpha$ і записати закон заломлення у вигляді.

$\frac{\alpha}{\beta}=\frac{1}{n}$.

Тоді відразу і набагато простіше була б отримана правильна відповідь:

$\frac{H}{h}=n$ $\Rightarrow$ $H=nh$.

Задача 16.8

Хід променя крізь скляну трикутну призму показаний на рис.8, на якому $\alpha_{1}=30^{\circ}$, $\alpha_{2}=60^{\circ}$, $\delta=45^{\circ}$.

Визначити заломний кут призми $\varphi$.

Дано:

α₁ = 30°

α₂ = 60°

δ = 45°

φ - ?

Розв’язання

Позначимо кут заломлення на першій грані $\beta_{1}$, а кут падіння на другу грань $\beta_{2}$ (рис.8-1).

Кут відхилення променя $\delta$ – то є кут між напрямками променя, що вийшов з призми та променя, що падає на призму. Він є зовнішнім кутом трикутника ABC, отже

$\delta=\pi-\gamma$ $\Rightarrow$ $\gamma=\pi-\delta$.

(1)

В цьому трикутнику $\angle$BAC = $\alpha_{1}-\beta_{1}$ і $\angle$ABC = $\alpha_{2}-\beta_{2}$. Тому

$\gamma=\pi-(\alpha_{1}-\beta_{1})-(\alpha_{2}-\beta_{2})=\pi-(\alpha_{1}+\alpha_{2})+(\beta_{1}+\beta_{2})$.

(2)

Прирівнюючи праві частини виразів (1) і (2), отримаємо:

$\delta=(\alpha_{1}+\alpha_{2})-(\beta_{1}+\beta_{2})$.

(3)

Зовнішній кут $\angle$ADQ трикутника ABD дорівнює заломному кутові призми $\varphi$, оскільки він утворений перпендикулярами до бічних граней призми. Отже

$\varphi=\beta{1}+\beta_{2}$.

(4)

Підставивши цей вираз у формулу (3), дістанемо відповідь:

$\delta=\alpha_{1}+\alpha_{2}-\varphi$ $\Rightarrow$ $\varphi=\alpha_{1}+\alpha_{2}-\delta=30^{\circ}+60^{\circ}-45^{\circ}$

Задача 16.9

На бічну грань скляної (n = 1,5) призми, що має заломний кут $\varphi=0,1$ рад, під малим кутом падає промінь світла.

Визначити кут відхилення $\delta$ променя призмою.

Дано:

φ = 0,1 рад

n = 1,5

δ - ?

Розв’язання

Скористаємося результатами задачі 16.8 (формули (3) і (4)):

	$\delta=(\alpha_{1}+\alpha_{2})-(\beta_{1}+\beta_{2})$;	(1)
	$\varphi=\beta_{1}+\beta_{2}$.	(2)

Відтак залишається визначити суму кутів $\alpha_{1}$ та $\alpha_{2}$. При малих кутах $\sin\alpha\approx\alpha$, отже, за законом заломлення (16.6) можна наближено записати

$\frac{\alpha_{1}}{\beta_{1}}=n$ $\Rightarrow$ $\alpha_{1}=n\beta_{1}$,

$\frac{\beta_{2}}{\alpha_{2}}=\frac{1}{n}$ $\Rightarrow$ $\alpha_{2}=n\beta_{2}$.

(3)

де n – показник заломлення призми. Підставивши вирази (3) у формулу (1) і врахувавши співвідношення (2), отримаємо:

$\delta=n(\beta_{1}+\beta_{2})-(\beta_{1}+\beta_{2})=(n-1)\varphi$.

Таким чином, при малих кутах падіння кут відхилення променя в призмі з малим заломним кутом залежить тільки від показника заломлення та заломного кута.

Виконаємо обчислення:

$\delta=(1,5-1)\cdot{0,1}=0,05$ рад = $2,86^{\circ}$.

Задача 16.10

Промінь світла падає на бічну грань тригранної скляної (n = 1,5) призми з кутом заломлення $\varphi=60^{\circ}$.

Визначити

мінімальне значення кута падіння $\alpha_{m}$, при якому світло буде проходити крізь призму.

Дано:

n = 1,5

φ = 60°

α_m - ?

Розв’язання

На рис.10 показаний хід граничного променя крізь призму і відповідні кути.

Світло буде проходити крізь призму за умови

$\beta_{2}\le\beta_{г}$,

(1)

де $\beta_{г}$ – граничний кут, для якого відповідно до формули (16.7), умову (1) можна записати, як

$\sin\beta_{2}\le\frac{1}{n}$.

З іншого боку (див. задачу 16.8, формула (4))

$\varphi=\beta_{1}+\beta_{2}$ $\Rightarrow$ $\beta_{2}=\varphi-\beta_{1}$.

(2)

відповідно до цього світло проходить крізь призму за умови

$\sin(\varphi-\beta_{1})\le\frac{1}{n}$.

З виразів (1) і (2) слідує, що найбільшій величині $\beta_{1}=\beta_{г}$ відповідає таке значення $\beta_{1}=\beta_{m}$, при якому

$\sin(\varphi-\beta_{m})=\frac{1}{n}$.

(3)

За законом заломлення (16.6) найменшому значенню $\beta_{1}=\beta_{m}$ відповідає шуканий найменший кут падіння $\alpha_{1}=\alpha_{m}$, причому

$\sin\beta_{m}=\frac{\sin\alpha_{m}}{n}$.

Підставляючи цей вираз в рівність (3) і використовуючи відому тригонометричну формулу, одержимо

$\frac{1}{n}=\sin\varphi\cdot\frac{1}{n}\sqrt{n^{2}-\sin^{2}\alpha_{m}}-\frac{1}{n}\sin\alpha_{m}\cos\varphi$ $\Rightarrow$

$\Rightarrow$ $1+\sin\alpha_{m}\cos\varphi=\sin\varphi\sqrt{n^{2}-\sin^{2}\alpha_{m}}$.

Зведемо останній вираз в квадрат і виконаємо перетворення:

$\sin^{2}\alpha_{m}+2\sin\alpha_{m}\cos\varphi+1-n^{2}\sin^{2}\varphi=0$.

Рішення цього квадратного рівняння відносно $\sin\alpha_{m}$ дає

$\sin\alpha_{m}=-\cos\varphi+\sqrt{\cos^{2}\varphi-1+n^{2}\sin\varphi}=-\cos\varphi+\sin\varphi\sqrt{n^{2}-1}$.

(Другий корінь не має фізичного змісту).

Виконаємо обчислення:

$\sin\alpha{m}=-\cos{60^{\circ}}+\sin{60^{\circ}}\sqrt{1,5^{2}-1}$ $\Rightarrow$ $\alpha_{m}=27,9^{\circ}$.

2.2. Побудова зображень у дзеркалах і лінзах

Порядок визначення побудовою зображень предмета та ходу променів у дзеркалах і лінзах ілюструють наступні приклади.

Задача 16.11. Предмет AB розташовано між фокусом F і полюсом P вгнутого сферичного дзеркала. Визначити зображення $\mathrm{A^{\prime}B^{\prime}}$ предмета.

Задача 16.12. Предмет AB розташовано між фокусом F і подвійним фокусом 2F збиральної лінзи, як показано на рис.12. Визначити зображення предмета і означити його.

Задача 16.13. На рис.13 показано хід заданого променя крізь збиральну лінзу. Визначити положення фокусів лінзи.

Задача 16.14. На рис.14 показаний хід променя 1 і напрямок падіння променя 2 на розсіювальну лінзу. Визначити хід променя 2 після лінзи.

Задача 16.15. За заданим положенням точки S і головної оптичної осі лінзи O′O″ визначити положення оптичного центра та фокусів і тип лінзи, якщо точки S і S′ розташовані, як показано А) на рис.15а; Б) на рис.15б.

Задача 16.16. На рис.16 показано положення точок A, B та їхніх зображень A′, B′ у лінзі. Визначити положення лінзи та її фокусів і тип лінзи.

Задача 16.11

Предмет AB розташовано між фокусом F і полюсом P вгнутого сферичного дзеркала (рис.11).

Визначити

зображення $\mathrm{A^{\prime}B^{\prime}}$ предмета.

Розв’язування

Очевидно, що зображення точки A знаходиться на головній оптичній осі OP дзеркала. Точки A і B розташовані на однаковій відстані від дзеркала, тому точки зображення $\mathrm{A^{\prime}}$, $\mathrm{ B^{\prime}}$ також рівновіддалені від дзеркала (див. формулу (16.9)). Отже, для розв’язування задачі досить побудувати тільки зображення точки B. Побудову проводимо в порядку, відповідно до пункту 1 рекомендацій (рис. 16.12). Ці дії показані на рис.11-1.

1. Проводимо з точки B паралельно головній оптичній осі OP промінь 1 і відбитий промінь 1′, що проходить через фокус дзеркала F;

2. Проводимо другий промінь 2 через точки F, B і відбитий промінь 2′, що є паралельним OP;

3. Продовжуємо промені 1′ і 2′ до перетину і знаходимо уявне зображення B′ точки B;

4. Опускаємо з точки B′ перпендикуляр на головну оптичну вісь дзеркала OP і визначаємо положення A′ зображення точки A і всього предмета (стрілка A′B′).

Таким чином, якщо предмет розташований між полюсом і фокусом, то угнуте дзеркало дає уявне, пряме і збільшене зображення. (Зокрема, через це вгнуті дзеркала використовуються при голінні).

Задача 16.12

Предмет AB розташовано між фокусом F і подвійним фокусом 2F збиральної лінзи, як показано на рис.12.

Визначити

зображення предмета й означити його.

Розв’язування

Задача зводиться до побудови зображень точок A і B.

Точка A. Для побудови зображення точки A використовуємо два промені: промінь 1, що збігається з головною оптичною віссю, і промінь 2, що йде уздовж відрізка AB і падає на лінзу в точці C (рис.12-1). Для побудови ходу променя після заломленні в лінзі побудуємо побічну оптичну вісь, яка паралельна до променя 2, а також фокальну площину F′F″ згідно з пунктом 3) рекомендацій. Після заломленні у лінзі промінь 2 перетинається з побічною оптичною віссю у фокальній площині. На перетині променів 1 і 2′, що пройшли, одержуємо зображення точки A (точка A′).

Точка B. Для побудови зображення точки B теж треба визначити хід крізь лінзу двох променів, що виходять з цієї точки. У якості одного зручно взяти використаний вище промінь 2. Інший промінь 3 проводимо через оптичний центр лінзи O. Зображення точки B (точка B′) одержуємо на перетині променів 2′ і 3. Стрілка A′B′ є шуканим зображенням. Воно дійсне, збільшене і перевернуте.

Примітка. Для побудови можна використовувати й інші промені. Наприклад, замість допоміжного променя 2 – промінь 2′, а замість променя 3 – промінь 3′ (див. рис.12-1).

Задача 16.13

На рис.13 показаний хід заданого променя крізь збиральну лінзу.

Визначити

положення фокусів лінзи.

Розв’язування

Для розв’язання використовуємо властивості фокальної площини (див. Характеристики лінзи):

1) фокальна площина проходить через фокус перпендикулярно головної оптичної осі;

2) будь-які паралельними між собою промені після лінзи перетинаються в одній точці фокальної площини.

Побудову проводимо в такій послідовності (див.рис.13-1):

1. Проводимо через центр лінзи O допоміжний промінь 2 паралельний заданому падаючому променю 1 – A (див. Рекомендації, п.2);

2. Знаходимо точку перетину променів 2 і 1′ (точці B), яка належить фокальній площині;

3. Опускаємо перпендикуляр 3 із точки B на головну оптичну вісь лінзи O′O″ і визначаємо положення правого фокуса лінзи F₁.

4. Симетрично точці F₁ відзначаємо положення лівого фокуса F₂. Строго кажучи для визначення положення F₂ треба було б повторити побудову п.п.1-3, використовуючи в якості падаючого промінь 1′ – лінія BA (оборотність променів). Але для тонких лінз це можна не робити.

Задача 16.14

На рис.14 показано хід променя 1 і напрямок падіння променя 2 на розсіювальну лінзу.

Визначити

хід променя 2 після лінзи.

Розв’язування

Побудова ходу променів показане на рис.14-1. Воно виконується в два етапи.

1. За допомогою допоміжного променя 1 так, як описано в задачі 16.13, визначаємо положення фокальної площини лінзи CF;

2. Проводимо через оптичний центр лінзи O паралельно променю 2 допоміжний промінь DO, і знаходимо точку перетину D його з фокальною площиною;

3. Оскільки напрямок шуканого заломленого променя теж проходить через точку D, проводимо через точки D і B відрізок і одержуємо шуканий промінь 2′.

Задача 16.15

По заданому положенню точки S і головної оптичної осі лінзи O′O″.

Визначити

положення оптичного центра і фокусів, а також визначити тип лінзи, якщо точки S і S′ розташовані, як показано

А) на рис.15а;

Б) на рис.15б.

Розв’язування

Ключем до розв’язування задачі є той факт, що точка і її зображення завжди лежать на одному промені, що проходить через оптичний центр лінз (див. Рекомендації п.3).

Побудова виконаємо паралельно для обох випадків у такій послідовності (рис.15-1а,б):

1. Проводимо промінь 1 через точки S і S′ і на перетині його з оптичною віссю O’O” одержуємо положення оптичного центра O лінзи.

2. Проводимо через точку O перпендикуляр до O′O″, що показує положення площини лінзи.

3. Направляємо з точки S на лінзу промінь 2, паралельний O′O″, і визначаємо точку його падіння на лінзу (точка A).

4. Заломлений промінь 2′ (сам чи його продовження) перетинає головну оптичну вісь лінзи у фокусі. З іншого боку зображення (точка S′) теж знаходиться на цьому промені. Тому, провівши промінь 2′ через точки S′ і A, на перетині з віссю O′O″ знаходимо положення фокуса F₁. Положення другого фокуса відзначаємо симетрично з іншого боку лінзи.

5. З ходу променя 2 (очевидно, що у випадку A) розсіювальна лінза, а у випадку Б) збиральна. Показуємо це на рисунку відповідно «вилочками» (рис.15-1а) і «стрілочками» (рис.15-1б).

Задача 16.16

На рис.16 показане положення точок A, B та їхніх зображень A′, B′ у лінзі.

Визначити

положення лінзи та її фокусів, а також визначити тип лінзи.

Розв’язування

Розв’язування задачі проводимо в кілька етапів. Для зручності побудови виконані на окремих рисунках-фрагментах (рис.16-1).

1. Визначення положення оптичного центра лінзи (рис.16-1а). Точка і її зображення лежать на одному промені, що проходить через центр лінзи (див. Рекомендації, п.2). Тому проводимо промені AA′, BB′ і на їх перетині одержуємо оптичний центр лінзи .

2. Визначення положення площини лінзи (рис.16-1б). Для визначення положення площини лінзи треба, крім точки O, знати положення ще однієї точки, що належить площині лінзи. Таку точку легко визначити, прийнявши до уваги, що, якщо дві точки лежать на одному промені, що падає на лінзу, те їхні зображення також лежать на одному промені, що пройшов крізь лінзу.

Тому проводимо промені через точки A, B і A′, B′ і на їх перетині знаходимо необхідну точку D. Площина лінзи проходить через точки O, D і зображується на кресленні прямою P′P″.

3. Визначення головної оптичної осі і типу лінзи (рис.16-1б). Головну оптичну вісь O′O″ проводимо через точку перпендикулярно P′P″. Точки A, B і їхні зображення A′, B′ розташовані по різні сторони від головної оптичної осі лінзи. Отже, це лінза збиральна. Показуємо це на кресленні «стрілочками».

4. Визначення фокусів (рис.16-1г,д). Для визначення положення фокусів лінзи проводимо промені, паралельні головній оптичній осі O′O″: AE (рис.16-1г) і A′G (рис.16-1д). Після заломлення ці промені проходять через точки A¢ і A, відповідно, і перетинають O′O″ у фокусах F₁ і F₂.

Примітка. Побудову рис.16-1д можна не робити, тому що в тонкій лінзі фокуси розташовуються симетрично, тобто на рівних відстанях від центра лінзи.

Рис.16-1е являє собою узагальнений рисунок, на якому показане все розв’язання задачі (за винятком необов'язкової побудови д). Цифри вказують послідовність побудов.

2.3. Формули дзеркала і лінзи

Рекомендації до теми

Задача 16.17. Рефлектор прожектора являє собою угнуте сферичне дзеркало з радіусом кривизни R = 30 см. Визначити на якій відстані l від фокуса дзеркала треба розташувати на головній оптичній осі точкове джерело світла, щоб одержати конічний пучок відбитих променів, що сходиться в точку на відстані L = 10 м від полюса дзеркала.

Задача 16.18. Мурашка повзе зі швидкістю v = 5 мм/с уздовж головної оптичної осі опуклого дзеркала. Визначити швидкість руху зображення мурашки u у момент, коли вона знаходиться на відстані d = 1,5F від дзеркала (F – фокусна відстань).

Задача 16.19. Малий предмет розглядають, приклавши до ока збірну лінзу (лупу) з фокусною відстанню F = 5 см так, що утворюється пряме зображення предмета, розміщене на відстані найкращого зору L = 25 см від лінзи. Визначити положення d предмета та збільшення $\Gamma$ зображення.

Задача 16.20. Відстань між предметом та його зображенням у розсіювальній лінзі l = 5 см, а збільшення $\Gamma=0,5$. Визначити фокусну відстань F та оптичну силу лінзи D.

Задача 16.21.Збірна лінза має фокусну відстань F. Визначити: А) при якій відстані d₀ між предметом та лінзою, відстань між предметом та його дійсним зображенням буде найменшою L = L_min; Б) величину L_min.

Задача 16.22. Світна точка S та екран E розташовані на відстані L = 1 м одне від одного. Збірна лінза, вміщена між ними, дає чітке зображення $\mathrm{S}^{\prime}$ на екрані при двох положеннях, відстань між якими l = 60 см (див. схематичний рис. 22). Визначити фокусну відстань лінзи F.

Задача 16.23. Промені збіжного конічного пучка, що проходять крізь розсіювальну лінзу з фокусною відстанню F = 30 см, перетинаються в точці В головної оптичної осі на відстані L = 60 см від центра лінзи O (рис.23). Визначити відстань l на яку, зміститься точка перетину променів, якщо лінзу прибрати.

Задача 16.24. Короткозорий хлопець читає книжку, тримаючи її на відстані d₀ = 16 см від очей. Визначити оптичну силу Dл окулярів, які потрібні хлопцеві для корекції зору.

Задача 16.25. Оптична система складається із збірної лінзи Л₁ з відомою фокусною відстанню F₁ і розсівної лінзи Л2, що розміщена у фокальній площині лінзи Л₁ так, що головні оптичні осі лінз співпадають (рис.25). Предмет AB розташований на відстані d₁ = 3F₁ перед збиральною лінзою. Визначити фокусну відстань розсіювальної лінзи F2, якщо система дає дійсне зображення предмета із збільшенням $\Gamma=2$.

Задача 16.17

Рефлектор прожектора являє собою угнуте сферичне дзеркало з радіусом кривизни R = 30 см.

Визначити

на якій відстані l від фокуса дзеркала треба розташувати на головній оптичній осі точкове джерело світла, щоб одержати конічний пучок відбитих променів, що сходиться в точку на відстані L = 10 м від полюса дзеркала.

Дано:

R = 30 см = 0,1 м

L = 10 м

l - ?

Розв’язання

Положення вершини відбитого пучка S′ (рис.17) і джерела S зв'язані формулою дзеркала (16.9). Оскільки дзеркало угнуте і точка S′ є дійсним зображенням точки S, усі величини у формулі (16.9) мають знак «+» (див. правило знаків). Відповідно до тексту задачі f = L і d = F + l, де F – головна фокусна відстань дзеркала. Тому формула (16.9) здобуває вигляд:

$\frac{1}{F+l}+\frac{1}{L}=\frac{1}{F}$.

Звідси, після елементарних викладок одержуємо

$l=\frac{F^{2}}{L-F}$.

Для сферичного дзеркала $F=\frac{R}{2}$ (формула (16.8)), тому

$l=\frac{R^{2}}{2(2L-R)}$.

З урахуванням того, що за умовою L >> R, остаточну відповідь доцільно представити у вигляді:

$l\approx\frac{R^{2}}{4L}=4\cdot{10^{-3}}$ м = 4 мм

У такий спосіб джерело варто розташувати на 4 мм далі від полюса P, ніж фокус F. На рис.17-1 для ілюстрації показана побудова ходу одного з променів. (При побудові враховано, що показник заломлення повітря практично рівний одиниці).

Задача 16.18

Мурашка повзе зі швидкістю v = 5 мм/с уздовж головної оптичної осі опуклого дзеркала.

Визначити

швидкість руху зображення мурашки u у момент, коли вона знаходиться на відстані d = 1,5F від дзеркала (F – фокусна відстань).

Дано:

v = 5 мм/с

d = 1,5F

u - ?

Розв’язання

Побудуємо зображення мурашки в дзеркалі на момент, коли вона знаходиться в точці A на головній оптичній осі (рис.18).

Для цього (див. Рекомендації, п.3. рис.16.15б):

1) показуємо положення фокальної площини дзеркала F′F″;

2) проводимо допоміжний промінь KC, продовження якого за дзеркалом проходить через центр кривизни дзеркала C. Він перетинає фокальну площину в точці D;

3) будуємо хід променя AB, паралельного KC: після відбивання він йде так, щоб його продовження за дзеркалом перетинається з променем KC у точці D фокальної площини;

4) другий промінь AP, необхідний для побудови зображення, направимо уздовж головної оптичної осі; (після відбивання в точці P (полюс дзеркала) він змінить напрямок на протилежний);

5) На перетині відрізків BD і AC одержуємо уявне зображення A′ точки A.

Відповідно до формули сферичного дзеркала (16.9) з урахуванням правила знаків, маємо:

$-\frac{1}{F}=\frac{1}{d}-\frac{1}{f}$ $\Rightarrow$ $f=\frac{Fd}{d+F}$,

(1)

де F – фокусна відстань дзеркала, d, f – відстані від предмета (мурашки) і її зображення у дзеркалі (рис.18).

Відстань (координата) мурашки до дзеркала змінюється за законом d = d₀ + vt, де d₀ – відстань у початковий момент часу. Підставимо вираз d у формулу (1):

$f=\frac{F(d_{0}+vt)}{d_{0}+vt+F}$.

За умовою задачі необхідно визначити миттєву швидкість, що визначається як похідна координати за часом $u=f^{\prime}(t)$ (див. формулу (1.5)). За правилами визначення похідної дробу маємо:

$u=f^{\prime}(t)=\frac{Fv(d_{0}+vt+F)-F(d_{0}+vt)v}{(d_{0}+vt+F)^{2}}=\frac{vF^{2}}{(d+F)^{2}}$.

За умовою в заданий момент часу f = 1,5F , тому

$u=\frac{vF^{2}}{(1,5F+F)^{2}}=\frac{v}{6,25}=\frac{5}{6,25}=0,8$ мм/с

(2)

Ті ж, хто не володіють вищою математикою, можуть міркувати так. Нехай у заданий момент часу відстань від мурашки до дзеркала дорівнює d. Тоді відстань f від дзеркала до зображення визначається формулою (1). За деякий проміжок часу $\Delta{t}$ ці відстані зміняться і стануть рівними відповідно d₁ і f₁. Переміщення зображення

$\Delta{f}=f_{1}-f=\frac{Fd_{1}}{d_{1}+F}-\frac{Fd}{(d+F)}$,

звідки

$\Delta{f}=\frac{F^{2}\Delta{d}}{(d+F)(d_{1}+F)}$,

(3)

де $\Delta{d}$ – переміщення мурахи за час $\Delta{t}$.
З формул (1) і (3) можна зрозуміти, що рух зображення нерівномірний. Отже, для визначення його швидкості треба розглядати переміщення $\Delta{f}$ і $\Delta{d}$, за гранично малий проміжок часу $\Delta{t}\to{0}$. У такому випадку величини d і d₁ у формулі (3) можна вважати рівними і записати:

$\Delta{f}=\frac{F^{2}\Delta{d}}{(d+F)^{2}}$

звідки одержуємо швидкість зображення

$u=\frac{\Delta{f}}{\Delta{t}}=\frac{F^{2}}{(d+F)^{2}}\cdot\frac{\Delta{d}}{\Delta{t}}=\frac{F^{2}v}{(d+F)^{2}}$,

що співпадає з виразом (2).

Задача 16.19

Малий предмет розглядають, приклавши до ока збірну лінзу (лупу) з фокусною відстанню F = 5 см так, що утворюється пряме зображення предмета, розміщене на відстані найкращого зору L = 25 см від лінзи.

Визначити

положення d предмета та збільшення $\Gamma$ зображення.

Дано:

F = 5 см

L = 25 см

d, $\Gamma$ - ?

Розв’язання

Лупа є найпростішим приладом, що "озброює" око. Для того, щоб зображення було прямим (неперевернутим), точки предмета та їх зображення повинні бути розташовані по один бік від головної оптичної осі лінзи. В збіральній лінзі це можливо, тільки коли предмет розміщений між оптичним центром та фокусом. При цьому зображення є уявним і збільшеним, як видно з побудови рис.19.

Отже, згідно з формулою лінзи (16.13) та правилом знаків і умовою задачі f = L, маємо:

$\frac{1}{d}-\frac{1}{L}=\frac{1}{F}$ $\Rightarrow$ $d=\frac{LF}{L+F}\approx{4,2}$ см.

(1)

Збільшення зображення визначимо, підставивши вираз (1) у формулу (16.14):

$\Gamma=\frac{f}{d}=\frac{L+F}{F}=6$.

З останнього виразу видно, що збільшення тим більше, чим менша фокусна відстань лінзи. Тому в якості луп використовують короткофокусні лінзи, і при розгляданні предмета його розміщують у безпосередньо біля фокуса лупи. Це очевидно з формули (1) за умови F << L.

Задача 16.20

Відстань між предметом та його зображенням у розсіювальній лінзі l = 5 см, а збільшення $\Gamma=0,5$.

Визначити

фокусну відстань F та оптичну силу лінзи D.

Дано:

l = 5 см

$\Gamma=0,5$

F, D - ?

Розв’язання

Побудова зображення предмета AB в розсіювальній лінзі та відповідні відстані показані на рис.20, з якого видно що

l = d – f.

(1)

Лінійне збільшення лінзи $\Gamma$ визначається формулою (16.14):

$\Gamma=\frac{H}{h}=\frac{f}{d}$.

(2)

З рівнянь (1) та (2) знайдемо f та d:

$-\frac{1}{F}=\frac{1}{d}-\frac{1}{f}$ $\Rightarrow$ $F=\frac{fd}{d-f}=\frac{l\Gamma}{(1-\Gamma)^{2}}=\frac{5\cdot{0,5}}{1-0,5}=10$ см.

Оптична сила лінзи

$D=-\frac{1}{F}=-10$ дптр.

Задача 16.21

Збірна лінза має фокусну відстань F.

Визначити:

А) при якій відстані d₀ між предметом та лінзою, відстань між предметом та його дійсним зображенням буде найменшою L = L_min;

Б) величину L_min.

Дано:

d₀ - ?

L_min- ?

Розв’язання

Предмет та його дійсне зображення знаходяться по різні боки від лінзи (рис.21). Тому відстань l між предметом та його дійсним зображенням

L = d + f.

(1)

Отже

f = L – d.

Підставивши цей вираз у формулу лінзи (16.9), отримаємо залежність L від d:

$\frac{1}{d}+\frac{1}{L-d}=\frac{1}{F}$ $\Rightarrow$ $L=\frac{d^{2}}{d-F}$.

(2)

Далі задачу можна розв'язувати двома способами:

1) з використанням методів вищої математики;

2) алгебраїчно.

I спосіб.

А) Щоб визначити, при якому значенні d = d₀ величина L буде найменшою (L = L_min), знайдемо похідну від L по d і прирівняємо її до нуля. За правилом диференціювання дробу

$L^{\prime}=\frac{2d(d-F)-d^{2}}{(d-F)^{2}}=\frac{d(d-2F)}{(d-F)^{2}}$.

(3)

Мінімальній відстані L = L_min відповідає така величина d = d₀, при якій $L^{\prime}(d_{0})=0$, отже

$\frac{d_{0}( d_{0}-2F)}{( d_{0}-F)}=0$ $\Rightarrow$ $d_{0}=2F$.

(4)

Зауважимо, що рівність нулю похідної відповідає також умові максимуму L. Однак відстань d може бути якою завгодно то, згідно з виразом (1), те ж саме можна сказати і про L. Таким чином, відсутні чинники, які б зумовили можливість досягнення максимуму функції L(d).

При цьому враховано те, що $ d_{0}\ne{F}$ і $ d_{0}\ne{0}$, оскільки при $ d_{0}=F$ зображення не існує (див. формулу (16.13)), а $d_{0}=0$ не має фізичного змісту: предмет не може знаходитись всередині лінзи

Б) Підставивши значення $d_{0}=2F$ у вираз (2), отримаємо для мінімальної відстані L_min:

$L_{min}=\frac{4F^{2}}{2F-F}=4F$.

За такої умови з виразу (1) випливає, що f = 2F.

Отже при мінімальній відстані L = L_min: предмет і його дійсне зображення розміщені у подвійному фокусі лінзи. Як наслідок, збільшення $\Gamma=f/d=1$. Сказане свідчить про те, що для збірної лінзи не лише головні фокуси, а й подвійні фокуси є особливими точками.

II спосіб. Перепишемо вираз (2) у вигляді квадратного рівняння відносно величини d:

$d^{2}-Ld+LF=0$.

(5)

Корені цього рівняння можна подати у вигляді:

$d_{1,2}=\frac{L}{2}\left(1\pm\sqrt{1-\frac{4F}{L}}\right)$.

(6)

Обидва корені d₁ і d₂ мають фізичний зміст і визначають два положення предмета відносно збиральної лінзи, при яких на заданій відстані утворюються дійсні зображення (в одному випадку збільшене, а в іншому зменшене). Але з виразу (6) очевидно, що дійсні корені, а отже – розв'язок задачі, існують лише за умови

$1-\frac{4F}{L}\ge{0}$ $\Rightarrow$ $L\ge{4F}$.

Звідси відразу випливає відповідь на запитання Б):

$L_{min}=4F$.

Підстановка цього значення у виразі (6) дає величину d. (завдання А)):

$d_{0}=\frac{L_{min}}{2}=2F$.

Задача 16.22

Світна точка S та екран E розташовані на відстані L = 1 м одне від одного. Збірна лінза, вміщена між ними, дає чітке зображення $\mathrm{S}^{\prime}$ на екрані при двох положеннях, відстань між якими l = 60 см (див. схематичний рис. 22).

Визначити фокусну відстань лінзи F.

Дано:

L = 1 м

l = 60 см

F - ?

Розв’язання

На рис.22-1 схематично показані точка S, її зображення $\mathrm{S}^{\prime}$ на екрані E, два положення лінзи (1), (2) та відповідні відстані.

Задачу можна розв'язати декількома способами.

I спосіб. Логічно найпростішими є такий шлях. Запишемо формулу лінзи (16.9) для обох положень лінзи та співвідношення, що випливають безпосередньо з умови задачі та рис.22-1:

$\frac{1}{d_{1}}+\frac{1}{f_{1}}=\frac{1}{F}$,

$\frac{1}{d_{2}}+\frac{2}{f_{2}}=\frac{1}{F}$,

(1)

$d_{1}+f_{1}=L$,

$d_{2}+f_{2}=L$,

(2)

$d_{2}-d_{1}=L$.

(3)

Ця система з п'яти рівнянь містить 5 невідомих (d₁, f₁, d₂, f₂, F), отже є повною. Розв'язавши її, можна визначити шукану фокусну відстань F. Але такий спосіб не є раціональним, оскільки пов'язаний з громіздкими викладками.

II спосіб. Розв'язання значно спрощується, якщо врахувати оборотність світлових променів, яка дозволяє міняти місцями предмет і його зображення. Відтак стає зрозумілим, що d₂ = f₁, f₂ = d₁ і рівняння (3) набуває вигляду

$f_{1}-d_{1}=l$.

(4)

Почленно додавши, а потім віднявши, рівняння (2) і (3), легко отримаємо

$d_{1}=\frac{L-l}{2}$, $f_{1}=\frac{L+l}{2}$.

Підставивши ці вирази в рівняння (1), після нескладних викладок знайдемо відповідь:

$\frac{2}{L-l}+\frac{2}{L+l}=\frac{1}{F}$ $\Rightarrow$ $F=\frac{L^{2}-l^{2}}{4l}=16$ см.

III спосіб. Скористаємось виразами d₁ і d₂ з задачі 16.19 (формула (6)):

$d_{1}=\frac{L}{2}\left(1-\sqrt{1-\frac{4F}{L}}\right)$,

$d_{2}=\frac{L}{2}\left(1+\sqrt{1-\frac{4F}{L}}\right)$.

В такому виразі, згідно з співвідношенням (3)

$l=L\sqrt{1-\frac{4F}{L}}$ $\Rightarrow$ $F=\frac{L^{2}-l^{2}}{4L}$.

Задача 16.23

Промені збіжного конічного пучка, що проходять крізь розсіювальну лінзу з фокусною відстанню F = 30 см, перетинаються в точці В головної оптичної осі на відстані L = 60 см від центра лінзи O (рис.23).

Визначити

відстань l на яку, зміститься точка перетину променів, якщо лінзу прибрати.

Дано:

F = 30 см

L = 60 см

l - ?

Розв’язання

Промені, що падають на лінзу, не виходять з якоїсь світної точки (джерела). Тому може здатись, що формула лінзи (16.13) тут непридатна через невизначеність параметра d – відстані від "предмета" до лінзи. Але завдяки оборотності світлових променів можна "обернути" задачу в такий спосіб. Розмістимо в точці B точкове джерело, що напрямляє на лінзу конічний світловий пучок, обмежений променями BA′ і BA″ (рис.23-1). Тоді заломлені промені утворять такий самий, як падаючі, але розбіжний пучок, і точка B’ буде уявним зображенням точки B. При цьому OB = L = d і OB′ =L – l = f.

З формули лінзи (16.9), враховуючи правило знаків, маємо

$\frac{1}{L}-\frac{1}{L-l}=-\frac{1}{F}$,

(1)

звідки

$l=\frac{L^{2}}{L+F}=40$ см.

Цікаво і корисно звернути увагу на те, що формулі (1) можна надати іншої інтерпретації, яка дозволяє отримати відповідь у цій та подібних задачах одразу, не розглядаючи оберненої задачі. Точка B′ за умовою є точкою перетину продовжень падаючих на лінзу променів. Тому її можна формально трактувати як уявне джерело, тобто як уявний зображуваний предмет. Натомість точка B є дійсним зображенням уявної точки B′. В такому разі OB′ = L – l = d i OB = L = f, і вираз (1) набуває вигляду:

$-\frac{1}{d}+\frac{1}{f}=-\frac{1}{F}$,

що співпадає з формулою лінзи (16.9) і відповідає правилу знаків (величина 1/d взята зі знаком "–", а 1/f – зі знаком "+").

Задача 16.24

Короткозорий хлопець читає книжку, тримаючи її на відстані d₀ = 16 см від очей.

Визначити

оптичну силу D_л окулярів, які потрібні хлопцеві для корекції зору.

Дано:

d₀ = 16 см

D_л - ?

Розв’язання

Людина з нормальним зором найкраще розрізняє дрібні деталі, якщо предмет розташований на відстані найкращого бачення d = 25 см. Люди з дефектами зору змушені роздивлятися дрібні предмети, тримаючи їх на відстанях d₀, що відрізняються від вказаної. Для корекції зору застосовують окуляри, при цьому кришталик ока та лінзу окулярів можна вважати оптичною системою, в якій лінзи розташовані впритул одна до одної. Оптична сила такої системи D, тобто «скорегованого» ока, визначається формулою (16.15):

D = D₀ + D_л,

(1)

де D₀ – оптична сила кришталика, D_л – оптична сила лінзи окулярів.

За формулою тонкої лінзи (16.13)

$D_{0}=\frac{1}{d_{0}}+\frac{1}{f}$; $D=\frac{1}{d}+\frac{1}{f}$,

(2)

де f – відстань між кришталиком та дном ока. (Нагадаємо, що на дні ока знаходиться сітківка, що відіграє роль "екрана", на який фокусується зображення розглядуваних об'єктів). Підставивши вирази (2) у формулу (1), після перетворень дістанемо

$D_{л}=D-D_{0}=\frac{1}{d}-\frac{1}{d_{0}}=\frac{1}{0,25}-\frac{1}{0,16}=-2,25$ дптр.

Оптична сила від'ємна, отже для короткозорих людей окуляри виготовляються з розсіювальних лінз.

Задача 16.25

Оптична система складається із збірної лінзи Л₁ з відомою фокусною відстанню F₁ і розсівної лінзи Л₂, що розміщена у фокальній площині лінзи Л₁ так, що головні оптичні осі лінз співпадають (рис.25). Предмет AB розташований на відстані d₁ = 3F₁ перед збиральною лінзою.

Визначити

фокусну відстань розсіювальної лінзи F₂, якщо система дає дійсне зображення предмета із збільшенням $\Gamma=2$.

Дано:

d₁ = 3F₁

$\Gamma=2$

F₂ - ?

Розв’язання

Приблизний хід променів і необхідні для аналізу відстані показані на рис.25-1.

Ключ до аналітичного розв'язання задач на зображення в оптичних системах полягає в тому, що зображення, яке створюється (або створювалося б) одним елементом системи можна розглядати як зображуваний предмет для наступного елемента.

В даній задачі це стосується зображення A₁B₁ (див. рис.25-1), яке створювала б лінза Л₁ за відсутності Л₂. Тому варто визначити положення цього зображення. Згідно з формулою лінзи (16.13) та умовою задачі d₁ = 3F₁ маємо:

$\frac{1}{3F_{1}}+\frac{1}{f_{1}}=\frac{1}{F_{1}}$ $\Rightarrow$ $f_{1}=\frac{3}{2}F_{1}$.

(1)

По відношенню до лінзи Л2 відрізок A₁B₁ є уявним предметом, а A₂B₂ – його дійсним зображенням (див. Задачу 16.23). Тому згідно з правилом знаків для Л₂ формула (16.13) набуває вигляду:

$-\frac{1}{d_{2}}+\frac{1}{f_{2}}=\frac{1}{F_{2}}$.

(2)

З рис.25-1 видно, що d₂ = f₁ – F₁ і з урахуванням значення (1)

$d_{2}=\frac{3}{2}F_{1}-F_{2}=\frac{1}{2}F_{1}$.

З подібних трикутників O₂A₂B₂ і O₂O₁C маємо:

$\frac{f_{2}}{F_{1}}=\frac{H}{h}$ $\Rightarrow$ $f_{2}=\Gamma{F}_{1}=2F_{2}$,

де $\Gamma=2$ – задане збільшення системи.

Підставивши ці значення d₂ і f₂ у формулу (2), дістанемо відповідь:

$-\frac{2}{F_{1}}+\frac{1}{\Gamma{F}_{1}}=-\frac{1}{F_{2}}$ $\Rightarrow$ $F_{2}=\frac{2}{3}F_{1}$.

3. Задачі для самостійної роботи

1. Закони відбивання та заломлення

2. Лінзи: побудова зображення та формула лінзи

Відбивання та заломлення світла

У наведених задачах по замовчуванню для показників заломлення води та скла прийнято значення 1,33 і 1,5, відповідно.

Рівень А

16.1.	Що відбудеться з кольором світлового променя при переході з повітря у скло, якщо його довжина змінилася від $600$ нм до $420$ нм? Відповідь пояснити. [Нічого]
16.2.	Довжина хвилі червоного світла у воді дорівнює довжині зеленого світла у повітрі. Вода опромінюється червоним світлом. Який колір побачить людина, яка розплющила очі під водою? Відповідь поясніть. [Червоне]
16.3.	Якою має бути найменша висота вертикального дзеркала, аби людина, стоячи могла бачити себе на повний зріст? [Половина зросту]
16.4.	Сонячний промінь, який проходить крізь малий отвір у шторі, падає під кутом $48^{\circ}$ до поверхні стола. Як необхідно розташувати на шляху променя плоске дзеркало, аби він відбивався горизонтально? [під кутом $24^{\circ}$ до поверхні стола]
16.5.	Дно колодязя освітлюють сонячними променями за допомогою плоского дзеркала. Як воно має бути розташоване при висоті Сонця над горизонтом $45^{\circ}$? [Під кутом $67,5^{\circ }$ до горизонту]
16.6.	Предмет, який знаходиться перед плоским дзеркалом, перемістили на 40 см під кутом $30^{\circ }$ до площини дзеркала. На скільки при цьому змінилася відстань між предметом та його зображенням у дзеркалі? [$40$ cм]
16.7.	Світловий промінь падає на плоске дзеркало під кутом $45^{\circ}$. На який кут повернеться відбитий промінь при повороті дзеркала на $15^{\circ}$ навколо осі, що лежить у його площині? [$30^{\circ}$]
16.8.	На підлозі під маленькою лампочкою, котру підвішено на висоті 2,5 м, лежить плоске дзеркальце діаметром 5 см. Якого діаметра «зайчик» утвориться на стелі при її висоті 4 м? [$13$ см]
16.9.	Визначити довжину хвилі світла з частотою $\nu=4\cdot{10}^{14}$ Гц у речовині з показником заломлення $n=1,2$. [$624$ нм]
16.10.	Чому дорівнює рівень води у склянці з товщиною дна 5 мм і показником заломлення 1,73, якщо час проходження світла через воду й дно склянки є однаковий? [$6,5$ мм]
16.11.	Кут падіння променя на поверхню скла складає $60^{\circ}$. Під яким кутом має падати промінь на поверхню води, аби заломлюватися під таким самим кутом? [$50^{\circ}$]
16.12.	На скільки зміниться кут заломлення світла в скляній пластині при зміні кута падіння від початкового значення $40^{\circ}$ на $20^{\circ}$ ? [$9,9^{\circ}$; $12,2^{\circ}$]
16.13.	Зігнутий посередині прут занурено у воду так, що людина, котра дивиться на нього, не бачить згину. Чому дорівнює кут згину прута, якщо його надводна частина утворює кут $\varphi$ з горизонтом? $\left[ \frac{\pi }{2}-\varphi =\arcsin \left( \cos \frac{\varphi }{n} \right) \right]$
16.14.	Відносний показник заломлення на межі повітря-пластик складає $0,8$, а на межі рідина-повітря$1,75$. Чому дорівнює відносний показник заломлення на межі рідина-пластик? [1,4]
16.15.	Промінь світла падає на занурену у воду прозору пластинку під кутом $20^{\circ}$ до поверхні. Який показник заломлення має пластинка, якщо в ній кут заломлений променя дорівнює $[44^{\circ}$ $1,8]$
16.16.	При якому куті падіння світла на поверхню дотику прозорих пластин із відносним показником заломлення $n=1,2$ відбитий та заломлені промені будуть взаємно перпендикулярні? [$50^{\circ}$]
16.17.	Водолаз на дні водойми бачить сонячні промені під кутом $45^{\circ}$. Визначити висоту Сонця над горизонтом. [$56,5^{\circ}$]
16.18.	Світло під кутом $70^{\circ}$ падає на стос занурених у воду плоскопаралельних пластин, показник заломлення котрих поступово змінюється від 1,4 до 1,9. Під яким кутом світло вийде з пластин? $[40^{\circ}$]

Рівень Б

16.19.	Туристи, що наближаються до гори, бачать її вершину під кутом $5^{\circ}$ до горизонту. Визначити висоту гори, якщо на шляху $5$ км указаний кут збільшився на $1^{\circ}$. [2,6 км]
16.20.	Під світильником у формі матової кулі радіусом $20$ см, яку підвішено на висоті $5$ м над підлогою, на підставці висотою $1$ м лежить м'яч радіусом $10$ см. Визначити радіуси тіні та півтіні від м'яча на підлозі. [$7,5$ см; $17,5$ см]
16.21.	На якій висоті завис аеростат, якщо із спостережної башти висотою $H$ його видно під кутом $\varphi_1$ до горизонту, а під кутом $\varphi_2$ спостерігається його зображення на гладкій поверхні озера? $\left[ \frac{\sin \left( {{\varphi }_{1}}+{{\varphi }_{2}} \right)}{\sin \left( {{\varphi }_{1}}-{{\varphi }_{2}} \right)}H \right]$
16.22.	Скільки утворюється зображень точкового джерело світла, що розташоване між двома взаємно перпендикулярними плоскими дзеркалами. [3]
16.23.	Два плоскі дзеркала утворюють двогранний кут $\vartheta=178^{\circ}$. Визначити відстань між зображеннями точкового джерела, яке є рівновіддалене від дзеркал і розташоване на відстані 7 см від лінії їхнього перетину. [1,4 см]
16.24.	Два плоских дзеркала утворюють двогранний кут $\alpha=60^{\circ}$. У площині, яка перпендикулярна до ребра кута, на них падає промінь світла. Який кут між собою утворюють падаючий та відбитий від обох дзеркал промені? [$120^{\circ}$]
16.25.	На середині дна непрозорої кубічної коробочки з ребром $10$ см лежить дробинка. Людині, що дивиться на коробочку, видно її нижнє ребро, але не видно дна. Чи побачить людина дробинку, не змінюючи свого положення, якщо коробочку вщент заповнити водою? [Ні]
16.26.	При переході з повітря у скло довжина світлової хвилі змінюється від $600$ нм до $420$ нм. Під яким кутом світло падає на плоску межу поділу цих середовищ, якщо відбитий і заломлений промені є взаємно перпендикулярними? [55°]
16.27.	Вертикальний стовп вбито у дно водойми так, що $1$ м його довжини виступає над водою. Визначити довжину тіні стовпа на поверхні води та на дні ріки, якщо висота Сонця над горизонтом складає $30^{\circ}$, а глибина водойми $2$ м. [1,73 м; 3,44 м]
16.28.	Висота Сонця над горизонтом $20^{\circ}$. Під яким кутом потрібно до горизонту слід розташувати дзеркало у воді, аби світло відбивалося від нього під кутом $\beta=20^{\circ}$ до вертикалі? [$47^{\circ}$]
16.29.	Два взаємно перпендикулярні промені падають з повітря на поверхню рідини так, що кути їхнього заломлення дорівнюють $20^{\circ}$ і $39^{\circ}$. Визначити показник заломлення рідини. [1,4]
16.30.	На горизонтальне дзеркало на дні озера глибиною h = 4,5 м потрапляє світловий промінь, який падає на поверхню води під кутом $30^{\circ}$. На якій відстані від точки падіння промінь вийде з води? [3,65 м]
16.31.	Людина, що розглядає під собою камінь на дні річки, оцінює її глибину як $2$ м. Чому дорівнює дійсна глибина річки? [1,5м]
16.32.	Людина розглядає своє зображення у дзеркалі на дні посудини глибиною $8$ см, яку вщент заповнено водою. На яку відстань є акомодоване око людини, якщо воно розташоване на висоті $10$ см над поверхнею води? [32 см]
16.33.	Спостерігач перпендикулярно до плоскопаралельної скляної пластинки завтовшки $4,5$ см розглядає предмет, який знаходиться за нею на відстані $15$ см від дальньої поверхні Якою спостерігач побачить відстань до предмета? [18 см]
16.34.	У посудину налито дві незмішувані рідини з показником заломлення $n_1=1,4$, $n_2=1,8$ і товщиною шару $h_1=4,2$ см, $h_2=2,7$ см, відповідно. На якій відстані від верхньої поверхні побачить розташованим дно посудини спостерігач, розглядаючи його вертикально? [4,5 см]
16.35.	Пучок світла шириною $5$ см падає на скляну пластинку під кутом $50^{\circ}$. Чому дорівнює ширина пучка у склі? [7,7 см]
16.36	Промінь, який падає під кутом \70^{\circ}\), створює світну цятку на аркуші паперу. На скільки вона зміститься, якщо на папір на шляху променя покласти скляну пластину товщиною $3$ см? [$19,5$ мм]
16.37	Вузький світловий пучок проходить крізь прозорий брусок товщиною $10$ см. Визначити його показник заломлення, якщо при куті падіння $45^{\circ}$ відстань між променями на вході та виході з пластини дорівнює $3$ см. [1,42]
16.38	На скляну прозору пластину з показником заломлення $n$, товщиною $d$ і посрібленою нижньою поверхнею під кутом $\varphi$ падає світловий промінь. Визначити довжину його шляху в пластині. $\left[ 2d/\sqrt{{{n}^{2}}-{{\sin }^{2}}\varphi } \right]$
16.39	Над центром фанерного диска радіусом $1$ м, який стоїть на плаву в озері глибиною $3$ м, знаходиться точкове джерело світла. На якій відстані над поверхнею води воно розташоване, якщо площа тіні від диска на дні вдвічі перевищує його власну площу? [≈ 1,9 м]
16.40	На дні озера глибиною 3 м знаходиться точкове джерело світла. Який мінімальний радіус має мати непрозорий плавучий диск, аби джерело було невидиме з гелікоптера? [3,4 м]
16.41	Спостерігач розглядає порожню посудину з квадратним дном (10×10) см² і з покладеною посередині дробинкою так, що лінія зору проходить через верхній край та ребро посудини. Визначити висоту стінки поудини, якщо при її повному заповненні водою дробинка з'явилася в полі зору спостерігача. [h = 7,25 см]
16.42	На якій глибині перебуває водолаз зростом $178$ см, якщо він бачить відбиті від поверхні води частини горизонтального дна, що віддалені від нього на $15$ м і більше? [7,5 м]
16.43	У склі є заповнена водою сферична порожнина радіусом $R=3$ см, на яку падає широкий паралельний пучок світла. Визначити радіус світлового пучка, що потрапляє в порожнину. [2,66 см]
16.44	Визначити кут відхилення скляним клином з кутом $5^{\circ}$ променя, що падає на клин по нормалі. [$2,5^{\circ}$]
16.45	Промінь виходить із призми із заломним кутом $45^{\circ}$ під тим самим кутом, що входить. Визначити показник заломлення призми, якщо за такої умови кут відхилення променя склдає $15^{\circ}$. [1,3]
16.46	На тонкий прозорий клин із кутом $\alpha$ і показником заломлення n перпендикулярно до поверхні падає світловий промінь. Довести, що кут відхилення променя клином складає $(n-1)\alpha$.
16.47.	Довести, що довільний промінь, який падає на основу тригранної рівнобедреної призми із посрібленими бічними гранями, вийде з неї у зворотньому напрямі.
16.48.	Промінь світла входить в скляну призму під кутом $\pi/6$, а виходить під кутом $\pi/3$, відхилившись на кут $\pi/4$. Визначити заломний кут призми. [$45^{\circ}$]
16.49.	У товстій скляній пластині роблено отвір у вигляді призми з гладкими гранями й основою у формі правильного трикутника. На який кут відхилиться після проходження крізь отвір світловий промінь, який падає зі скла на поверхню отвору під кутом $30^{\circ}$ і перпендикулярно до його осі? [$≈23^{\circ}$]

Рівень В

16.50.	Людина $170$ см на зріст зі швидкістю $1$ м/с віддаляється з-попід вуличного ліхтаря так, що в певний момент довжина її тіні становить $1,3$ м, а через $2$ с — $1,8$ м. На якій висоті підвішено ліхтар? [$8,5$ м]
16.51.	Світловий промінь, який проходить крізь отвір у вертикальному екрані, падає на шестигранне дзеркало, що обертається зі швидкістю 0,6 рад/с навколо вертикальної власної осі. Відстань між екраном і гранями дзеркала 1 м. З яким розмахом рухається «зайчик» на екрані та в яких межах змінюється його швидкість? [± 1,73 м від отвору; (0,5 ÷ 2) м/с]
16.52.	На одне з двох з'єднаних дзеркал, які утворюють гострий двогранний кут, перпендикулярно до його ребра падає світловий промінь. Як зміниться кут між ним і відбитим від дзеркал променем при їхньому невеликому повороті навколо ребра двогранного кута? [не зміниться]
16.53.	N плоскопаралельних прозорих пластин утворюють стопу, в якій показник заломлення кожної наступної є в k разів менший, ніж попередньої. При якому найменшому куті падіння $\alpha $ світло не пройде крізь стопу, якщо показник заломлення верхньої пластини складає n? $\left[ \sin \alpha =\left( n/{{k}^{N-1}} \right) \right]$
16.54.	Тонкий паралельний світловий пучок падає в напрямку центра сферичної порожнини в прозорій речовині. Чому дорівнює її показник заломлення, якщо площа світлової плями на передній поверхні порожнини є в $4$ рази менша, ніж на задній? [1,5]
16.55.	Промінь світла падає перпендикулярно на бічну грань рівнобічної трикутної призми з заломним кутом $40^{\circ}$ і, зазнавши повного відбивання на другої бічної грані, виходить через основу призми під кутом $30^{\circ}$ до основи. Визначити показник заломлення речовини призми. [1,73]

Розділ 17. Хвильова оптика

Хвильова оптика досліджує явища, розгляд яких неможливий без урахування хвильових властивостей світлового випромінення.

До таких явищ, зокрема, відносяться інтерференція та дифракція. Ці явища спостерігаються при утворенні та накладанні певним чином узгоджених хвиль.

Теоретичні відомості. Інтерференція світла

Теоретичні відомості. Дифракція світла

Приклади розв’язування задач

Задачі для самостійної роботи

Теоретичні відомості. Інтерференція світла

При накладанні хвиль від двох чи більше джерел за певних умов спостерігається специфічне явище інтерференції. Інтерференція спостерігається при накладанні когерентних хвиль.

При інтерференції в залежності від різниці фаз (різниці ходу) на екрані створюється інтерференційна картина - зони збільшення та зменшення інтенсивності світла (інтерференційні смуги). Найбільша та найменша інтенсивності спостерігаються при виконанні загальних умов максимумів і мінімумів.

Накладання хвиль від декількох джерел створює у кожній точці простору відповідні результуючі коливання.

Нехай маємо два точкових джерела (рис.17.1) S₁ та S₂ в однорідному прозорому середовищі, що випромінюють монохроматичні світлові хвилі однієї частоти $\omega$ (довжини хвилі $\lambda$). Приймемо, що в певній точці спостереження P кожна з хвиль збуджує коливання електричного поля вздовж одного напрямку і однакової амплітуди E_m. (саме такі умови створюються при реальному спостереженні інтерференції світла). В такому разі рівняння цих коливань мають вигляд

$E_{1}=E_{m}\cos(\omega{t}-\varphi_{1})$;

$E_{2}=E_{m}\cos(\omega{t}-\varphi_{2})$.

Початкові фази $\varphi_{1}$ і $\varphi_{2}$ залежать від початкових фаз кожної з хвиль $\varphi_{01}$, $\varphi_{02}$ і відстаней l₁, l₂ від джерел до даної точки P. Згідно з рівнянням монохроматичної хвилі (15.5)) і формулою (15.6))

$\varphi_{1}=\frac{2\pi}{\lambda}l_{1}-\varphi_{01}$,

$\varphi_{2}=\frac{2\pi}{\lambda}l_{2}-\varphi_{02}$

(17.1)

де $\lambda$ – довжина світлової хвилі.

За принципом суперпозиції результуюча напруженість

$E=E_{1}+ E_{2}=E_{m}(\cos(\omega{t}-\varphi_{1})+(\cos(\omega{t}-\varphi_{2})$,

або

$E=2E_{m}\cos\frac{\varphi_{2}-\varphi_{1}}{2}\cdot\cos\left(\omega{t}-\frac{\varphi_{2}-\varphi_{1}}{2}\right)$.

Отже, при накладанні двох монохроматичних хвиль однакової частоти створюються гармонічні коливання

$E=E_{0}\cos(\omega{t}-\varphi)$

з початковою фазою $\varphi=(\varphi_{1}+\varphi_{2})/2$ і амплітудою

$E_{0}=2E_{m}\cos\left(\frac{\delta}{2}\right)$.

(17.2)

яка залежить від різниці фаз

$\delta=\varphi_{2}-\varphi_{1}$

(17.3)

хвиль, що накладаються.

Оскільки інтенсивність прямо пропорційна квадрату амплітуди $I\sim{E}_{0}^{2}$, тому з виразу (17.2)) випливає, що

$I=4I_{1}\cos^{2}\left(\frac{\delta}{2}\right)$,

(17.3)

де $I_{1}$ – інтенсивність, що створюється кожною з хвиль окремо.

Очевидно, що $I\ne2I_{1}$. У цьому і полягає ефект інтерференції.

Інтерференцією називається таке накладання хвиль, при якому результуюча інтенсивність у точці накладання не дорівнює сумі інтенсивностей, створюваних кожною з хвиль окремо.

Зазначимо, що інтерференція не суперечить закону збереження енергії. Енергія не виникає (у точках, де $I\gt{2}I_{1}$) і не щезає (якщо $I\lt{2}I_{1}$), вона лише відповідним чином перерозподілюється у просторі.

З виразу (17.4) зрозуміло, що для спостереження інтерференції необхідно, щоб величина $\delta$ не змінювалася з часом, тобто, щоб хвилі, що накладаються були узгодженими, або когерентними.

Когерентними називаються хвилі, різниця фаз яких $\delta$ у даній точці простору не залежить від часу. Точно ця умова виконується лише для ідеальних монохроматичних хвиль однієї частоти. Для реальних хвиль когерентність означає достатньо повільну зміну $\delta$ з часом.

Отже,

інтерференція спостерігається лише при накладанні когерентних хвиль.

Світло від реальних джерел не є неперервною хвилею з заданою початковою фазою. Воно складається з безлічі елементарних порцій випромінення, що випускаються окремими атомами протягом дуже коротких проміжків часу. Фази таких порцій ніяк не узгоджені між собою. Тому при накладанні хвиль від двох незалежних джерел різниця фаз $\delta$ швидко і невпорядковано змінюється. Як наслідок, світлові хвилі від незалежних джерел є некогерентними, і при їх накладанні інтерференція не спостерігається. Виняток становлять оптичні квантові генератори – лазери, – випромінення яких є високомонохроматичним і має стабільну фазу.

Отримати когерентні світлові хвилі і спостерігати інтерференцію можна, якщо поділити випромінювання від одного джерела на два промені і потім звести їх у просторі.

В такому випадку початкові фази в обох пучках у будь який момент однакові $\varphi_{01}=\varphi_{02}=\varphi_{0}$, а різниця фаз $\delta=\varphi_{2}-\varphi_{1}$, згідно з виразами (17.1), залежить тільки від відстаней l₁, l₂ і не залежить від часу.

Для такого поділу використовують різні способи, що базуються на відбиванні та заломленні світла. Зокрема, когерентні хвилі утворюються при відбиванні світла від поверхонь тонких прозорих плівок. Завдяки інтерференції таких хвиль спостерігається яскраве райдужне забарвлення плівок бензину в калюжах або мильних бульбашок, видуванням яких полюбляють бавитися діти.

З виразу (17.4) очевидно, що результат інтерференції (величина I) при накладанні двох заданих когерентних хвиль залежить від значення різниці фаз $\delta=\varphi_{2}-\varphi_{1}$. Підставивши сюди вирази (17.1) і врахувавши, що в реальних умовах спостереження $\varphi_{01}=\varphi_{02}$, отримаємо

$\delta=\frac{2\pi}{\lambda}(l_{2}-l_{1})$.

(17.5)

Різниця відстаней від джерел до даної точки (див. рис.17.1)

$\Delta_{0}=l_{2}-l_{1}$

називається геометричною різницею ходу хвиль (або променів), що приходять у дану точку.

Таким чином, в однорідному середовищі різниця фаз пов'язана з різницею ходу співвідношенням

$\delta=\frac{2\pi}{\lambda}\Delta_{0}$.

(17.6)

Якщо світлові хвилі від джерел до даної точки розповсюджуються у двох різних середовищах з показниками заломлення n₁ і n₂, тоді довжини хвиль не є однаковими (див. формулу (16.4)):

$\lambda_{1}=\frac{\lambda_{0}}{n_{1}}$ і $\lambda_{2}=\frac{\lambda_{0}}{n_{2}}$.

Тому фази коливань

$\varphi_{1}=\frac{2\pi}{\lambda_{1}}$, $\varphi_{2}=\frac{2\pi}{\lambda_{2}}$, і

$\delta=2\pi\left(\frac{l_{2}}{\lambda_{2}}-\frac{l_{1}}{\lambda_{1}}\right)=\frac{2\pi}{\lambda_{0}}(l_{2}n_{2}-l_{1}n_{1})$,

де $\lambda_{0}$ – довжина світлової хвилі у вакуумі.

Величина

$L=l\cdot{n}$

називається оптичною довжиною шляху, а

$\Delta=L_{2}-L_{1}=l_{2}n_{2}-l_{1}n_{2}$

(17.6a)

оптичною різницею ходу.

Таким чином, для неоднорідних середовищ

$\delta=\frac{2\pi}{\lambda_{0}}\Delta$.

(17.6б)

При переході від точки до точки у певному напрямку різниця фаз $\delta$, згідно з формулою (17.5), монотонно змінюється (зростає або спадає), а величина $\cos^{2}(\delta/2)$ у формулі (17.4) періодично змінюється між значеннями 0 та 1.

З цієї причини у просторі створюється система інтерференційних смуг – зон з великою та з малою інтенсивністю. Максимальна інтенсивність спостерігається, якщо $\cos^{2}(\delta/2)=1$, тобто при

$\delta=\pm{2m}\pi$,

$m=0,\ 1,\ 2,…$

(17.7a)

Мінімумам інтенсивності відповідають точки зі значенням $\cos^{2}(\delta/2)=0$, і

$\delta=\pm{(2m+1)}\pi$,

$m=0,\ 1,\ 2,…$

(17.7б)

Підставивши ці значення $\delta$ у вираз (17.6a), дістанемо зручні для розрахунків загальні умови максимумів та мінімумів при інтерференції двох хвиль.

Умова максимумів:

$\Delta=\pm\lambda=\pm{2m}\frac{\lambda}{2}$

(17.8а)

Умова минимумів:

$\Delta=\pm\left(m+\frac{1}{2}\right)\lambda_{0}=\pm(2m+1)\frac{\lambda_{0}}{2}$

(17.8б)

Таким чином,

максимуми інтерференції спостерігаються при оптичній різниці ходу, що дорівнює парній кількості напівхвиль, а мінімуми – при непарній. Тим самим визначення результату інтерференції у даній точці зводиться до визначення різниці ходу когерентних променів, які приходять у цю точку.

Теоретичні відомості. Дифракція світла

Якщо на шляху поширення хвиль трапляються різкі неоднорідності, то спостерігається дифракція. На явищі дифракції світла заснована дія оптичного приладу, що зветься дифракційною граткою. Дифракційна гратка має важливі практичні застосування.

Дифракцією називаються явища, зумовлені здатністю хвиль змінювати напрям поширення при зустрічі з різкими неоднорідностями – невеликими непрозорими перешкодами або з отворами у непрозорому екрані.

Можливість практичного спостереження дифракції залежить від розмірів перешкод: вони повинні бути співвимірними з довжиною хвилі (оптимально – (10 – 100)$\lambda$.

Дифракційні явища можна аналізувати на основі принципу Гюйгенса-Френеля, згідно з яким

кожну точку відкритої хвильової поверхні можна розглядати як точкове джерело елементарних когерентних вторинних хвиль, які розповсюджуються під усіма можливими кутами в бік поширення падаючої на перешкоду хвилі.

Оскільки вторинні хвилі когерентні, то при накладанні вони інтерферують з утворенням максимумів і мінімумів інтенсивності. З цієї причини при проходженні світла крізь малий отвір (рис.17.2а) на поставленому за ним екрані спостерігається не просто розмите зображення отвору, а сукупність світлих і темних смуг (кілець) – дифракційних максимумів і мінімумів (рис.17.2б).

Дифракційні смуги від одного отвору через його малі розміри дуже слабкі. Але інтенсивність дифракційних максимумів різко збільшується у дифракційній гратці.

Найпростіша дифракційна гратка являє собою плоску прозору пластинку, на поверхні якої створена система однакових вузьких прозорих смуг (щілин), розділених однаковими непрозорими проміжками (рис.17.3). Відстань d між сусідніми щілинами називається періодом гратки, і є одним з її основних параметрів. Часто замість d використовують сталу дифракційної гратки n = 1/d – кількість щілин на одиницю довжини гратки. Ще одним параметром гратки є загальна кількість щілин N. Для дифракційних граток високого класу d ~ 1 мкм (10^-6 м) і N ~ 10⁵.

При опроміненні гратки паралельним пучком променів внаслідок дифракції після неї під будь-яким кутом $\varphi$ поширюється N когерентних пучків від усіх щілин. Кут, під яким поширюється певний пучок, називають кутом дифракції. В результаті інтерференції цих пучків на розташованому за ґраткою екрані виникає складна дифракційна картина, що складається з великої кількості мінімумів та максимумів різної інтенсивності. Серед них вирізняються дуже інтенсивні головні максимуми. Вони визначаться умовою головних максимумів ґратки:

$d\sin\varphi=\pm{m}\lambda$,

m = 0, 1, 2, …

(17.9)

У цій формулі d – період гратки, $\varphi$ – кут дифракції (див. рис.17.3), $\lambda$ – довжина хвилі світла, яким опромінюється гратка, m – ціле число, що називається порядком дифракційного спектра.

Умова (17.9) і велика інтенсивність головних максимумів мають просте пояснення. З рис.17.3 можна зрозуміти, що величина $\Delta=d\sin\varphi $ – то є різниця ходу променів, які йдуть під кутом $\varphi$ від двох сусідніх щілин. Це означає, що при виконанні умови (17.9) фази коливань електричного поля від усіх N щілин кратні $2\pi$. Тому результуюча амплітуда $E=NE_{1}$, а результуюча інтенсивність

$I=N^{2}I_{1}$,

(17.10)

де $I_{1}$ – інтенсивність світла, що створюється однією щілиною, N – загальна кількість щілин гратки.

З формули (17.10) випливає, що в головних максимумах спостерігається дуже велика концентрація світлової енергії. Це визначає практичні застосування дифракційної гратки.

Згідно з умовою (17.9), кожній довжині хвилі $\lambda$ відповідає свій власний кут дифракції $\varphi$, а отже своє власне положення головного максимума при заданому m.

Тому, якщо на гратку P з відомим періодом напрямити пучок білого світла (рис.17.4), то на екрані E для всіх $m\ne{0}$ замість вузьких яскравих смуг утворюються спектри – широкі смуги, що забарвлені у кольори веселки. У центрі екрана m = 0, $\sin\varphi=0$ і умова (17.9) виконується для будь-якої довжини хвилі. Тому в центрі екрана спостерігається вузька незабарвлена смуга.

Вимірявши кут дифракції $\varphi$ (або координату відповідної точки на екрані), можна визначити довжину хвилі $\lambda$ світла, що дає дифракційний максимум у даній точці екрана:

$\lambda=\frac{d\sin\varphi}{m}$.

Властивість дифракційної гратки розгортати світло у спектр використовується в оптичних приладах для отримання монохроматичного світла та для визначення спектрального складу невідомого випромінення.

Приклади розв'язування задач

1. Інтерференція світла

2. Дифракція світла

Інтерференція світла

Задача 17.1. Два точкові когерентні джерела світла розташовані на відстані l = 0,5 м від екрана. Довжина хвилі світла $\lambda=620$ нм. Відстань між джерелами d = 0,4 мм. Визначити відстань $\Delta{x}$ між інтерференційними максимумами на екрані.

Задача 17.2. На тонку плівку з показником заломлення n = 1,33 падає паралельний пучок білого світла під кутом $\alpha=30^{\circ}$. Визначити мінімальну товщину плівки d, при якій відбите світло з довжиною хвилі $\lambda_{1}=0,64$ мкм максимально підсилене внаслідок інтерференції, а з довжиною хвилі $\lambda_{2}=0,40$ мкм – зовсім не відбивається. Врахувати, що при відбиванні від оптично більш густого середовища фаза відбитої хвилі стрибком змінюється на $\delta=\pi$.

Задача 17.3. Скляний клин (показник заломлення n = 1,5) має кут при вершині $\varphi=2^{\prime}$. На клин падає нормально монохроматичне світло з довжиною хвилі $\lambda=600$ нм. Визначити відстань x між сусідніми темними інтерференційними смугами, що спостерігаються у відбитих променях.

Задача 17.1.

Два точкові когерентні джерела світла розташовані на відстані l = 0,5 м від екрана. Довжина хвилі світла $\lambda=620$ нм. Відстань між джерелами d = 0,4 мм.

Визначити

відстань $\Delta{x}$ між інтерференційними максимумами на екрані.

Дано:

l = 0,5 м

$\lambda=620$ нм = 6,2·10^-7 м

d = 0,4 мм = 0,4·10^-3 м

$\Delta{x}$ - ?

Розв’язання

Припустимо, що в точці А на екрані (рис.1) спостерігається максимум інтерференції. Це можливо, якщо різниця ходу $\Delta$ двох променів S₁A та S₂A задовольняє умові (17.8a):

$\Delta=\pm{m}\lambda$,

(1)

де m – цілі числа. Знайдемо різницю ходу, скориставшись геометричною побудовою на рис.1. З трикутників S₁AB та S₂AC за теоремою Піфагора маємо:

S₁A² = S₁B² + AB²; S₂A² = S₂C² + AC².

Відрізки AB та AC відповідно дорівнюють

AB = AD - $\frac{1}{2}$BC; AC = AD + $\frac{1}{2}$BC.

Позначимо AD = x. Оскільки S₁B = S₂C = l, BC = d, маємо:

S₁A² = l² + (x – d/2)²; S₂A² = l² +(x + d/2)².

(2)

Різницю квадратів (S₂A² – S₁A²) запишемо у вигляді:

S₂A² – S₁A² = (S₂A – S₁A)(S₂A + S₁A).

Інтерференційна картина в таких випадках завжди спостерігається поблизу центра екрана (точка D на рис.1), тобто $x\ll{l}$. За цих умов S₂A + S₁A $\approx$ 2l, S₂A – S₁A = $\Delta$отже

S₂A² – S₁A² = $\Delta\cdot{2l}$.

Підставимо сюди вирази (2) і дістанемо:

$l^{2}+(x+d/2)^{2}-l^{2}-(x-d/2)^{2}=\Delta{2l}$ $\Rightarrow$ $x=\frac{\Delta\cdot{l}}{d}$.

Врахувавши умову (1), знаходимо, що точка A, в якій спостерігається максимум інтерференції з номером m, віддалена від точки D на відстань

$x_{m}=\frac{m\lambda{l}}{d}$.

Точка А₁, в якій спостерігається максимум з номером (m + 1), віддалена від точки О на відстань

$x_{m+1}=\frac{(m+1)\lambda{l}}{d}$,

отже відстань між максимумами

$\Delta{x}=x_{m+1}-x_{m}=\frac{\lambda{l}}{d}$.

З останнього виразу зрозуміло, що для покращення умов спостереження інтерференції необхідно збільшувати відстань від джерел до екрана l і зменшувати відстань між джерелами d.

Виконаємо обчислення:

$\Delta{x}=\frac{6,2\cdot{10^{-7}}\cdot{0,5}}{0,4\cdot{10^{-3}}}=7,75\cdot{10}^{-4}$ м $\approx{0,8}$ мм.

Задача 17.2

На тонку плівку з показником заломлення n = 1,33 падає паралельний пучок білого світла під кутом $\alpha=30^{\circ}$.

Визначити

мінімальну товщину плівки d, при якій відбите світло з довжиною хвилі $\lambda_{1}=0,64$ мкм максимально підсилене внаслідок інтерференції, а з довжиною хвилі $\lambda_{2}=0,40$ мкм – зовсім не відбивається. Врахувати, що при відбиванні від оптично більш густого середовища фаза відбитої хвилі стрибком змінюється на $\delta=\pi$.

Дано:

n = 1,33

$\alpha=30^{\circ}$

$\lambda_{1}=0,64$ мкм

$\lambda_{2}=0,40$ мкм

d - ?

Розв’язання

Світло, що падає на плівку, частково відбивається від її верхньої поверхні, частково входить у плівку, відбивається від її нижньої поверхні та виходить назовні. Хід одного з падаючих променів показаний на рис.2. Промені 1 та 2 є когерентними, оскільки утворені поділом одного падаючого променя. Якщо на шляху променів поставити лінзу, що збере їх в одну точку (такою лінзою може бути кришталик ока), то буде спостерігатись інтерференція. Як наслідок, інтенсивність відбитого світла в залежності від різниці фаз $\delta$ може підсилюватися (при виконанні умови (17.7а)), або послаблятися (при виконанні умови (17.7б)).

Різниця фаз залежить від різниці ходу променів (формула (17.5)). Визначимо геометричні довжини шляху променів 1 та 2 від точки падіння А до точок D та С (подальші шляхи променів до екрана однакові, тому їх не треба враховувати). Шлях променя 1 l₁ = AD. З трикутника ACD:

l₁ = AC$\cdot\sin\alpha$=2AE$cdot\sin\alpha$.

З трикутника ABE: AE = $d\cdot\mathrm{tg}\beta$, отже $l_{1}=2d\cdot\frac{\sin\alpha\cdot\sin\beta}{\sqrt{1-\sin^{2}\beta}}$

Підставивши вираз $\sin\beta=\sin\alpha/n$ з закону заломлення світла (16.6), дістанемо:

$l_{1}=2d\frac{\sin^{2}\alpha}{n\sqrt{1-\sin^{2}\alpha/n}}=\frac{2d\sin^{2}\alpha}{\sqrt{n^{2}-sin^{2}\alpha}}$.

(1)

Аналогічно визначаємо шлях променя 2 (див. рис.2):

$l_{2}=AB+BC=2AB=\frac{2d}{\cos\beta}=\frac{2d}{\sqrt{1-\sin^{2}\beta}}=\frac{2dn}{\sqrt{n^{2}-\sin^{2}\alpha}}$.

(2)

В однорідному середовищі різниця фаз пов’язана з шляхами променів співвідношенням (17.5). Але в даній задачі промені поширюються в різних середовищах: промінь 1 у повітрі (n = 1), а промінь 2 у плівці (n = 1,33). Тоді довжини хвиль цих променів різні: у променя 1 задане в умові значення $\lambda_{0}$, а у променя 2 $\lambda=\lambda_{0}/n$ (див. формулу (16.4)), і формула (17.5) набуває вигляду:

$\delta=\frac{2\pi{l_{2}}}{\lambda}-\frac{2\pi{l_{1}}}{\lambda_{0}}$ $\Rightarrow$ $\delta=\frac{2\pi}{\lambda}(l_{2}n-l_{1})$.

Підставивши в це співвідношення вирази (2) і (1), після спрощення отримаємо:

$\delta=\frac{2\pi}{\lambda_{0}}\cdot{2d}\sqrt{1-\sin^{2}\alpha}$.

(3)

Для визначення результату інтерференції цих променів слід урахувати вказаний в умові ефект зміни фази на $\delta_{0}=\pi$ променя 1, який відбивається від плівки (оптично більш густої, ніж повітря). Промінь 2 в точці В відбивається від повітря, тому його фаза не змінюється. Тому повна різниця фаз променів 1 і 2 $\delta_{n}=\delta-\delta_{0}=\delta-\pi$. З урахуванням виразу (3), маємо:

$\delta=\frac{2\pi}{\lambda_{0}}\cdot\left(2d\sqrt{n^{2}-\sin^{2}\alpha}-\frac{\lambda_{0}}{2}\right)$.

(4)

Максимум інтерференції для довжини хвилі \)\lambda_{0}=\lambda_{1}\) спостерігається при виконанні умови (17.7a), тобто

$\frac{2\pi}{\lambda_{0}}\left(2d\sqrt{n^{2}-\sin^{2}\alpha}-\frac{\lambda_{0}}{2}\right)=2m_{1}\pi$ $\Rightarrow$

$\Rightarrow$ $2d\sqrt{n^{2}-\sin^{2}\alpha}=(2m+1)\frac{\lambda_{0}}{2}$.

(5)

Мінімум інтерференції для довжини хвилі $\lambda_{0}=\lambda$ спостерігається при виконанні умови (17.7б), тобто

$\frac{2\pi}{\lambda_{0}}\left(2d\sqrt{n^{2}-\sin^{2}\alpha}-\frac{\lambda_{0}}{2}\right)=(2m_{2}+1)\pi$ $\Rightarrow$

$\Rightarrow$ $2d\sqrt{n^{2}-\sin^{2}\alpha}=(m_{2}+1)\lambda_{0}$.

(6)

Порядки інтерференції (числа m₁, m₂) у формулах (5) та (6) є незалежними і, звичайно, можуть бути різними.

Оскільки умови (5) і (6) повинні виконуватись одночасно, то, прирівнюючи праві частини, дістанемо

$(2m_{1}+1)\frac{\lambda_{1}}{2}=(m_{2}+1)\lambda_{2}$ $\Rightarrow$ $\frac{2m_{2}+2}{2m_{1}+1}=\frac{\lambda_{1}}{\lambda_{2}}$

Мінімальній можливій товщині плівки відповідають мінімальні значення цілих чисел m₂ та m₁, що з урахуванням значень $\lambda_{1}$ та $\lambda_{2}$ дає

$\frac{2m_{2}+2}{2m_{1}+1}=\frac{8}{5}$ $\Rightarrow$ $\frac{m_{2}+1}{2m_{1}+1}=\frac{4}{5}$.

Звідси: m₂ + 1 = 4; 2m₁ + 1 =5.

Підставивши будь-яке з цих чисел у відповідну формулу ((6) або (5)), отримаємо відповідь. Наприклад:

$d=\frac{(2m+1)\lambda}{4\sqrt{n^{2}-sin^{2}\alpha}}=\frac{5\cdot{0,64}\cdot{10^{-6}}}{4\sqrt{1,33^{2}-\sin^{2}30^{\circ}}}=6,49\cdot{10}^{-7}$ м $\approx$ 0,65 мкм.

*********************************

Задача 17.3

Скляний клин (показник заломлення n = 1,5) має кут при вершині $\varphi=2^{\prime}$. На клин падає нормально монохроматичне світло з довжиною хвилі $\lambda=600$ нм

Визначити

відстань x між сусідніми темними інтерференційними смугами, що спостерігаються у відбитих променях.

Дано:

n = 1,5

φ = 2′

λ = 600 нм = 6·10^-7 м

x - ?

Розв’язання

Промінь світла, який падає на клин, частково відбивається, а частково проходить у скло. Оскільки кут клина дуже малий, можна вважати, що кут заломлення практично дорівнює куту падіння, тобто $\alpha=\beta=0$ Промінь, що зайшов у скло, відбивається від нижньої грані клина і після виходу зі скла інтерферує з променем, відбитим від верхньої грані. Умови утворення темних смуг (мінімумів інтерференції) цих променів такі ж, як у попередній задачі. Слід тільки врахувати, що в даній задачі $\alpha=0$. Отже, згідно з виразом (6) з задачі 17.2 маємо таку умову мінімумів:

$2dn=\lambda$,

(1)

де m – порядок (номер) мінімуму.

Припустимо, що в точці A (рис.3) спостерігається (m + 1)-й мінімум. Тоді, позначивши товщину клина в цій точці d₁, можемо записати:

$2d_{1}n=(m+1)\lambda$.

(2)

Аналогічно для точки B де спостерігається наступний інтерференційний мінімум порядку m +2 і товщина клина дорівнює d₂:

$2d_{2}n=(m+2)\lambda$.

(3)

Віднявши ліві та праві частини виразів (3) та (2), дістанемо:

$2(d_{2}-d_{1})n=\lambda$ $\Rightarrow$ $d_{2}-d_{1}=\frac{\lambda}{2n}$.

Різниця d₂ – d₁ = s дуже мала. Тому з трикутника ABC, враховуючи малість кута $\varphi$ (звичайно, вираженого в радіанах), маємо

$\frac{S}{\varphi}=\frac{\lambda}{2n\varphi}=\frac{6\cdot{10^{-7}}}{2\cdot{1,5}\cdot{5,82}\cdot{10}^{-4}}=0,00034$ м = 0,34 мм.

Дифракція світла

Задача 17.4. При опроміненні дифракційної гратки білим світлом спектри другого та третього порядків частково перекриваються. Визначити довжину хвилі $\lambda_{2}$ у спектрі другого порядку (m2 = 2), на яку накладається фіолетова ($\lambda_{3}=400$ нм) межа спектра третього порядку (m3 = 3).

Задача 17.5. При опроміненні дифракційної гратки білим світлом спектри другого та третього порядків частково перекриваються. Визначити довжину хвилі $\lambda_{2}$ у спектрі другого порядку (m2 = 2), на яку накладається фіолетова ($\lambda_{3}=400$ нм) межа спектра третього порядку (m3 = 3).

Задача 17.4

При опроміненні дифракційної гратки білим світлом спектри другого та третього порядків частково перекриваються.

Визначити

довжину хвилі $\lambda_{2}$ у спектрі другого порядку (m₂ = 2), на яку накладається фіолетова ($\lambda_{3}=400$ нм) межа спектра третього порядку (m₃ = 3).

Дано:

m₂ = 2

m₃ = 3

λ₃ = 400 нм

λ₃ - ?

Розв’язання

З умови задачі зрозуміло, що кути дифракції $\varphi$ для хвиль $\lambda_{2}$ та $\lambda_{3}$ однакові. Тому, згідно з умовою (17.9), маємо:

$d\sin\varphi=m_{2}\lambda_{2}$; $d\sin\varphi=m_{3}\lambda_{3}$

Прирівнюючи праві частини цих виразів, одержимо

$m_{2}\lambda_{2}= m_{3}\lambda_{3}$ $\Rightarrow$ $\lambda_{2}=\frac{m_{3}}{m_{2}}\lambda_{3}=\frac{3}{2}\cdot{400}=600$ нм.

Задача 17.5

Монохроматичне світло нормально падає на дифракційну гратку, яка має 45 штрихів на кожний міліметр довжини. Кут між напрямками на максимуми другого (m₁ = 2) та третього (m₂ = 3) порядків $\Theta=1,6^{\circ}$.

Визначити

довжину хвилі світла $\lambda$.

Дано:

N = 45 1/мм

m₁ = 2

m₂ = 3

Θ = 1,6°

λ - ?

Розв’язання

Відповідно до умови головних максимумів дифракційної гратки (формула (17.9)), і з урахуванням умови задачі для максимумів порядку m₁ і m₂ можна записати:

	$\d\sin\varphi=m_{1}\lambda$,	(1)
	$\d\sin(\varphi+\Theta)=m_{2}\lambda$,	(2)

де $\varphi$ – кут між нормаллю до ґратки і напрямком на максимум порядку m₁ (рис.1), d – період гратки, що зв'язаний з числом штрихів на одиницю довжини співвідношенням

$d=\frac{1}{N}$.

Представимо вираз (2) у вигляді

$\frac{m_{2}\lambda}{d}=\sin\varphi\cos\Theta+\sin\Theta\cos\varphi$.

(3)

Оскільки кут $\Theta\ll{1}$ (1,6° = 0,028 рад), то можна прийняти $\cos\Theta=1$ та $\sin\Theta=\Theta$ (рад). Крім того

$\cos\varphi=\sqrt{1-\sin^{2}\varphi}$.

Зробивши ці підстановки у вираз (3), одержимо

$\frac{m_{2}\lambda}{d}=\sin\varphi+\Theta\sqrt{1-\sin^{2}\varphi}$.

Підставивши вираз $\sin\varphi=m_{1}\lambda/d$ з формули (1) в останній вираз, після перетворень знаходимо:

$\lambda=\frac{\Theta}{N\sqrt{(m_{2}-m_{1})^{2}+m_{1}^{2}\Theta}}=\frac{\Theta}{N\sqrt{1+\Theta^{2}}}\approx\frac{\Theta}{N}$.

Обчислення дають:

$\lambda=\frac{0,028}{45}\approx{620}$ нм.

Задачі для самостійної роботи

1. Інтерференція світла

2. Дифракція світла

Інтерференція світла

Рівень 1

17.1	Джерело випромінює монохроматичне світло з частотою $\nu=4,84\cdot{10}^{14}$ Гц. Скільки довжин хвиль вкладається на відстані $l=1$ м а) у вакуумі; б) у воді; в) у сірковуглецю? [1613, 2151, 2629]
17.2	За який час світло із частотою $\nu=0,6\cdot{10}^{15}$ Гц, яке падає нормально на скляну пластинку товщиною $d=0,5$ мм, пройде крізь неї? [2,5 пс]
17.3	Різниця ходу двох когерентних хвиль у вакуумі $\Delta=0.4\lambda$. Чому дорівнює різниця фаз цих хвиль? [$0,8\pi$]
17.4	Якщо дві хвилі інтерферують між собою, то чи впливає одна хвиля на поширення іншої? Чи змінюється енергія хвиль під час інтерференції? [Ні]
17.5	Різниця ходу двох когерентних променів світла $\Delta=2$ мкм. Визначити довжини всіх хвиль, які можуть бути: а) максимально підсилені; б) максимально послаблені в результаті інтерференції. Граничні довжини хвиль, які сприймає людське око, становлять 400 – 760 нм. [а) ~0,67 мкм; 0,5 мкм; 0,4 мкм б) 0,571 мкм, 0,444 мкм]
17.6	На рис. 17.6 подана схема інтерференційного досвіду Ллойда. Точкове джерело монохроматичного світла S розташоване на деякій висоті над плоским дзеркалом AB. Які промені дають у цьому досліді інтерференцію? Визначити побудовою область на екрані E, де спостерігається інтерференція.

Рівень 2

17.7	На скляній плоскопаралельній пластині лежить плоскоопукла лінза. При опроміненні лінзи монохроматичним світлом на її поверхні можна спостерігати концентричні кола більшої і меншої інтенсивності. Пояснити це явище.
17.8	На мильну плівку ($n=1,3$), яка знаходиться в повітрі, падає нормально біле світло. При якій мінімальній товщині плівки відбиті промені з довжиною хвилі $\lambda=0,55$ мкм будуть мати максимальну інтенсивність у результаті інтерференції ? [0,1 мкм]
17.9	На шляху одного з паралельних променів розміщена посудина з газом довжиною $l=10$ см. Показник заломлення газу $n=1,002$. Яку оптичну різницю ходу будуть мати промені? [$0,2$ мм]
17.10	Два точкових когерентних джерела світла (довжиною хвилі $\lambda=620$ нм) розташовані на відстані $L=0,5$ м від екрана. Чому дорівнює відстань між інтерференційними максимумами, якщо відстань між джерелами $d=0,4$ мм? [$0,775$ мм]

17.11	Святий Миколай дивиться крізь вікно вкрите льодом на різдвяну ялинку. Йому здається, що всі іграшки мають зеленуватий ($\lambda=550$ нм) відтінок. Оцінити силу додаткового тиску на віконну раму внаслідок наявності шару льоду на склі, якщо площа вікна $S=1$ м². Густина льоду $\rho=900$ кг/м³, показник переломлення $n=1,3$. [$\approx{1}$ мН]
17.12	На скляний клин з показником переломлення $n=1,55$ нормально падає монохроматичне світло. Кут між гранями клина $\varphi=2^{\prime}$. Яку довжину хвилі має світло, якщо відстань між сусідніми інтерференційними смугами у відбитому світлі $x=0,3$ мм? [541 нм]
17.13	Плоско-опукла лінза лежить опуклою стороною на плоскопаралельній скляній пластині. Яку товщину має шар повітря між лінзою і пластиною в тім місці, де у відбитому світлі (довжина хвилі $\lambda=0,6$ мкм) можна бачити перше підсилення світла внаслідок інтерференції? Який вид має геометричне місце точок, де світло підсилене? [0,15 мкм; коло]
17.14	Розсіяне світло з довжиною хвилі $\lambda=580$ нм падає на мильну плівку товщиною $d=0,15$ мкм. Під яким максимальним кутом треба дивитися на плівку, щоб відбите від її світло було максимально підсилене в наслідок інтерференції?
17.15	Визначити масу гасу, що був розлитий на поверхні води, якщо при спостереженні під кутом $\alpha=60^{\circ}$ людина бачить посиленим світло з довжиною хвилі $\lambda=580$ нм. Площа плями $S=0,5$ м². [52 мг]

Дифракція світла

Рівень 1

17.16

Період дифракційної ґратки в п'ять разів більше за довжину хвилі світла. Визначити кути, під якими спостерігаються перші три максимуми дифракційної картини. [11,5°; 23,5°; 36,8°]

17.17

Скільки штрихів на кожний міліметр має дифракційна ґратка, якщо при спостереженні у монохроматичному світлі з довжиною хвилі $\lambda=0,6$ мкм, максимум п'ятого порядку відхилений на кут $\varphi=18^{\circ}$ від початкового напрямку? [$10^3$]

Рівень 2

17.18	Визначити мінімальне значення періоду дифракційної ґратки, на якій можна спостерігати весь спектр світла, що сприймає людське око (від 400 до 780 нм)? [0,78 мкм]
17.19	Чи можуть перекриватися дифракційні спектри першого і другого порядків у видимій частині спектра? Відповідь підтвердити розрахунком. [Ні]
17.20	На дифракційну ґратку нормально падає монохроматичне світло з довжиною хвилі $\lambda=590$ нм. На скільки відрізняються кути спостереження максимумів першого і другого порядків, якщо дифракційна гратка має $N=500$ штрихів на 1 см? [$1^{\circ}41^{\prime}$]
17.21	Дифракційна гратка, яка має $N=100$ штрихів/мм, опромінюється білим світлом. Визначити кут між напрямками лінії $\lambda_1=400$ нм і $\lambda_2=750$ мм у спектрі першого порядку. [2°]
17.22	Дифракційна ґратка, яка має $N=500$ штрихів на , опромінюється білим світлом. Визначити довжину хвилі в дифракційному спектрі 4-го порядку, що накладається на довжину хвилі $\lambda=750$ нм в спектрі 3-го порядку. [562,5 нм]
17.23	Період дифракційної ґратки $d=3$ мкм. Визначити загальну кількість дифракційних максимумів, які можна спостерігати за допомогою цієї ґратки при її освітленні світлом з довжиною хвилі $\lambda=650$ нм. Під яким кутом спостерігається максимум найбільшого порядку? [9; 60°]

17.24	Дифракційна ґратка опромінюється монохроматичним світлом з довжиною хвилі $\lambda=620$ нм. Чому дорівнює період цієї ґратки, якщо на екрані, який розташований на відстані $a=60$ см, відстань між максимумами першого порядку $x=1,48$ мм? [50 мкм]
17.25	Дифракційна ґратка має $N=2000$ штрихів на 1 см. На її поверхню нормально падає монохроматичне світло з довжиною хвилі $\lambda=694$ нм. На який кут від початкового напрямку відхилиться світло в максимумі першого порядку? Який максимальний порядок максимуму можна спостерігати за допомогою цієї ґратки? [8°; 7]
17.26	На дифракційну ґратку, що має $x=45$ штрихів на , падає монохроматичне світло. Визначити довжину хвилі світла, якщо кут між напрямками на другий і третій дифракційні максимуми $\Delta\varphi=1,6^{\circ}$. [620 нм]
17.27	При опроміненні дифракційної ґратки білим світлом спектри другого і третього порядків частково перекриваються. На яку довжину хвилі в спектрі другого порядку припадає фіолетова границя ($\lambda=400$ нм) спектра третього порядку? [600 нм]
17.28	Біле світло нормально падає на дифракційну гратку. Кут, при якому співпадають дифракційні максимуми ліній $\lambda_1=656$ нм і $\lambda_2=410$ нм у спектрах різних порядків становить $\varphi=41^{\circ}$. Визначити період цієї гратки. [5 мкм]

Закон відбивання: кут відбивання \(\alpha^{\prime}\) дорівнює кутові падіння \(\alpha\) (рис. 16.2а):
\(\alpha^{\prime}=\alpha\).			(1.2)
Закон заломлення: відношення синуса кута падіння \(\alpha^{\prime}\) до синуса кута заломлення \(\beta\) дорівнює оберненому відношенню показників заломлення даних середовищ:
\(\frac{\sin\alpha}{\sin\beta}=\frac{n_{2}}{n_{1}}\)	або	\(n_{1}\sin\alpha=n_{2}\sin\beta\).	(1.3)

	\(\delta=(\alpha_{1}+\alpha_{2})-(\beta_{1}+\beta_{2})\);	(1)
	\(\varphi=\beta_{1}+\beta_{2}\).	(2)

16.50.	Людина \(170\) см на зріст зі швидкістю \(1\) м/с віддаляється з-попід вуличного ліхтаря так, що в певний момент довжина її тіні становить \(1,3\) м, а через \(2\) с — \(1,8\) м. На якій висоті підвішено ліхтар? [\(8,5\) м]
16.51.	Світловий промінь, який проходить крізь отвір у вертикальному екрані, падає на шестигранне дзеркало, що обертається зі швидкістю 0,6 рад/с навколо вертикальної власної осі. Відстань між екраном і гранями дзеркала 1 м. З яким розмахом рухається «зайчик» на екрані та в яких межах змінюється його швидкість? [± 1,73 м від отвору; (0,5 ÷ 2) м/с]
16.52.	На одне з двох з'єднаних дзеркал, які утворюють гострий двогранний кут, перпендикулярно до його ребра падає світловий промінь. Як зміниться кут між ним і відбитим від дзеркал променем при їхньому невеликому повороті навколо ребра двогранного кута? [не зміниться]
16.53.	N плоскопаралельних прозорих пластин утворюють стопу, в якій показник заломлення кожної наступної є в k разів менший, ніж попередньої. При якому найменшому куті падіння $\alpha $ світло не пройде крізь стопу, якщо показник заломлення верхньої пластини складає n? $\left[ \sin \alpha =\left( n/{{k}^{N-1}} \right) \right]$
16.54.	Тонкий паралельний світловий пучок падає в напрямку центра сферичної порожнини в прозорій речовині. Чому дорівнює її показник заломлення, якщо площа світлової плями на передній поверхні порожнини є в \(4\) рази менша, ніж на задній? [1,5]
16.55.	Промінь світла падає перпендикулярно на бічну грань рівнобічної трикутної призми з заломним кутом \(40^{\circ}\) і, зазнавши повного відбивання на другої бічної грані, виходить через основу призми під кутом \(30^{\circ}\) до основи. Визначити показник заломлення речовини призми. [1,73]

	\(\d\sin\varphi=m_{1}\lambda\),	(1)
	\(\d\sin(\varphi+\Theta)=m_{2}\lambda\),	(2)

ФІЗИКА. Вчимося розв'язувати задачі. "ОПТИКА". Компенсаційний курс

Оглавление

СВІТЛО (Вступ)

Розділ I. Геометрична оптика

1. Теоретичні відомості.

1.1. Основні поняття

1.2. Закони відбивання і заломлення

1.3. Дзеркала і лінзи

1.4. Загальні рекомендації з розв'язування задач

2. Приклади розв’язування задач

2.1. Закони відбивання і заломлення

2.2. Побудова зображень у дзеркалах і лінзах

2.3. Формули дзеркала і лінзи

3. Задачі для самостійної роботи

Відбивання та заломлення світла

Розділ 17. Хвильова оптика

Теоретичні відомості. Інтерференція світла

Теоретичні відомості. Дифракція світла

Приклади розв'язування задач

Інтерференція світла

Дифракція світла

Задачі для самостійної роботи

Інтерференція світла

Дифракція світла