ФІЗИКА. Вчимося розв'язувати задачі. "КОЛИВАННЯ ТА ХВИЛІ". Компенсаційний курс
Розділ ІІ. Електромагнітні коливання. Змінний струм
1.1. Вільні коливання у контурі
|
Вільні електричні коливання спостерігаються у коливальному контурі, причому в ідеальному контурі вони є гармонічними. Повну інформацію про коливання містить диференціальне рівняння коливального контуру. Зокрема, з нього можна визначити частоту і період вільних коливань, одержати рівняння коливань заряду, напруги і сили струму в контурі. У коливальному контурі відбуваються перетворення електричної і магнітної енергії коливань. |
В електричному колі, що складається з конденсатора, котушки індуктивності та резистора, за який зазвчай правлять з'єднувальні провідники, за певних співвідношень між параметрами можуть виникати вільні електричні коливання. Тому таке коло називається коливальним контуром.
У теорії електичних коливань базовою моделлю є ідеальний коливальний контур, який складається з ідеального конденсатора та ідеальної котушки індуктивності, котрі з'єднані провідниками, що не мають електричного опору (рис.14.1). Отже, в ідеальному контурі при протіканні струму немає втрат енергії, а електричне й магнітне поля повністю зосереджені всередині конденсатора та котушки, відповідно.
Електричні коливання в контурі виникають наступним чином. При замиканні ключа K конденсатор починає розряджатися, створюючи в котушці струм та зустрічну ЕРС самоіндукції ([ІІІ], ф-ла (3.15)). Тому струм встановлюється не одразу, а поступово і, досягнувши певної величини, так само поступово спадає. При цьому, через ЕРС самоіндукції, на момент розрядки конденсатора (q = 0, U = 0) струм у контурі не припиняється, тож конденсатор не розряджається, а перезаряджається до вихідної напруги. А далі все повторюється знову й знову, тож у контурі виникають незагасаючі вільні електричні коливання.
Описані процеси математично виражаються диференціальним рівнянням ідеального контуру, котре ґрунтується на тому, що в будь-який момент напруга на конденсаторі u збігається з ЕРС самоіндукції \({{\E}_{c}}\) в котушці:
|
\(u={{\E}_{c}}\). |
Величини u і \({{\E}_{c}}\) визначаються формулами ([ІІІ], (2.23) і (3.14)), отже
|
|
\(\frac{q}{C}=-Li^{\prime}\), |
(2.1) |
де q – заряд конденсатора, \(i^{\prime}\) – похідна сили струму по часу.
Струм у контурі створюється перенесенням заряду з однієї обкладки конденсатора на іншу, тому миттєва сила струму i в контурі дорівнює швидкості зміни заряду конденсатора, котра визначається похідною заряду по часу:
|
|
\(i=q^{\prime}\). |
(2.2) |
Відповідно,
|
|
\(i^{\prime}=q^{\prime\prime}(t)\). |
(2.3) |
і, зробивши таку заміну у виразі (2.1), дістанемо диференціальне рівняння ідеального контуру:
|
|
\(q^{\prime\prime}=-\frac{1}{LC}q\), |
(2.4) |
котре за формою і загальним змістом є ідентичним із рівнянням (1.21). А це означає, що
|
вільні електричні коливання в ідеальному контурі є гармонічними |
і відбуваються з циклічною частотою
|
|
\(\omega=\frac{1}{\sqrt{LC}}\). |
(2.5) |
Відповідно, їхній період визначається формулою Томсона:
|
|
\(T=2\pi\sqrt{LC}\), |
(2.6) |
а лінійна частота
|
|
\(\nu=\frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}\). |
(2.7) |
Рівняння коливань заряду конденсатора в ідеальному контурі можна одержати з рівнянь механічних коливань заміною x → q. Зокрема, з рівняння (1.4) дістаємо:
|
|
\(q=q_{m}\cos(\omega{t}+\varphi_{0})\), |
(2.8) |
Напруга на конденсаторі \(u=q/C\) (розділ ІІ, (1.23)), тож рівняння коливань напруги на конденсаторі ідеального контуру має вигляд:
|
|
\(u=U_{m}\cos(\omega{t}+\varphi_{0})\), |
(2.9) |
де Um – амплітуда напруги, що визначається як
|
|
\(U_{m}=\frac{q_{m}}{C}\). |
(2.10) |
Оскільки сила струму в контурі \(i=q^{\prime}(t)\), то сила струму в ідеальному контурі:
|
|
\(i=-\omega{q}_{m}\sin(\omega{t}+\varphi_{0})\) |
(2.11) |
|
|
\(i=I_{m}\cos\left(\omega{t}+\varphi_{0}+\frac{\pi}{2}\right)\), |
(2.11a) |
де амплітуда сили струму
|
|
\(I_{m}=\omega{q}_{m}\). |
(2.12) |
З рівнянь (2.9) і (2.11а) видно, що в ідеальному контурі коливання сили струму випереджають по фазі коливання напруги на конденсаторі на \(\pi/2\) або на чверть періоду (рис.14.2).
(Коливання заряду на конденсаторі завжди мають таку саму фазу, що й коливання напруги (див. рівняння (2.8) та (2.9)). Тому графік q(t) на рис.14.2 не показан0).
Енергія коливань в ідеальному контурі складається з енергії електричного поля конденсатора WE та енергії магнітного поля котушки індуктивності WB:
|
|
W = WE + WB. |
(2.13) |
Відповідно до формул ([III] (2.32а), (3.16)) і рівнянь (2.9), (2.11а)
|
|
\(W_{Е}=\frac{q_{m}^{2}}{2C}\cos^{2}(\omega{t}+\varphi_{0})\) =\(\frac{q_{m}^{2}}{4C}\left(1+cos(2\omega{t}+2\varphi_{0})\right)\), |
(2.14) |
|
|
\(W_{В}=\frac{LI_{m}^{2}}{2}\sin^{2}(\omega{t}+\varphi_{0})=\frac{LI_{m}^{2}}{2}\left(1-\cos(2\omega{t}+2\varphi_{0})\right)\). |
(2.15) |
З виразів (2.12) та (2.5) виходить:
\(LI_{m}^{2}=L\omega^{2}q_{m}^{2}\) \(\Rightarrow\) \(LI_{m}^{2}=\frac{q_{m}^{2}}{C}\).
Тому з виразів (2.13), (2.14) і (2.15) очевидно, що
|
|
\(W=\frac{q_{m}^{2}}{2C}=\frac{LI_{m}^{2}}{2}\) = const. |
(2.16) |
Таким чином,
|
повна енергія вільних коливань в ідеальному контурі зберігається, тобто не залежить від часу. |
На рис.14.3 показано графіки залежності від часу електричної WE, магнітної WB і повної енергії коливань W в ідеальному контурі.
Ці графіки наочно показують, що при вільних коливаннях в ідеальному контурі відбуваються неперервні взаємні перетворення електричного та магнітного полів без втрати енергії. Крім того, з рівнянь (2.14) і (2.15) випливає, що коливання енергії кожного з полів відбуваються з подвоєною частотою \(\omega^{\prime}\) відносно коливань напруги і струму:
|
\(\omega^{\prime}=2\omega\) |
або |
\(T^{\prime}=\frac{T}{2}\). |
Порівняння формул (2.16) і (13.21) показує їх математичну ідентичність. При цьому для контуру величини (1/C) і L виконують ту ж саму роль, що й жорсткість пружини k та маса вантажу m у випадку пружинного маятника.