ФІЗИКА. Вчимося розв'язувати задачі. "КОЛИВАННЯ ТА ХВИЛІ". Компенсаційний курс

Визначальною рисою механічних гармонічних коливань є те, що вони відбуваються в обмеженій області простору й характеризуються строгою повторюваністю. Це відображує наступне рівняння координати при гармонічних коливаннях точки:

або

де \(\varphi_{0}^{\prime}=\varphi_{0}+\pi/2\).

Постійні величини x_m, T, \(\varphi_{0}\) є параметрами – кількісними характеристиками – коливань і називаються, відповідно, амплітудою, періодом і фазою. Їхній зміст наочно ілюструє рис. 1.1

Амплітуда x_m (її також часто позначають як А) – то є максимальне зміщення точки з положення рівноваги. Вона визначає "розмах" коливань: усі можливі значення координати коливної точки лежать в інтервалі \(\left[-x_{m},\ x_{m}\right]\).

Період T – це проміжок часу, протягом якого відбувається одне повне коливання, тобто час, через який рух точки в точності повторюється.

Періодичність руху при коливаннях характеризують також лінійною ν та циклічною (коловою) ω частотою.

Линійна частота дорівнює кількості коливань, що відбуваються за 1 с:

і вимірюється у герцах (Гц). 1 Гц = 1 с⁻¹ – частота, при якій за 1 с відбувається одне коливання. При високих частотах використовують кілогерци (1 кГц = 10³ Гц) і мегагерци (1 МГц = 10⁶ Гц).

Циклічна (колова) частота є пов'язана з періодом і лінійною співвідношеннями:

Циклічна частота вимірюється у радіанах за секунду (рад/с, або 1/с).

Використовуючи співвідношення (1.3), рівняння гармонічних коливань (1.1) можна записати через частоту:

або

Фазою \(\varphi\) називається значення аргументу тригонометричної функції в наведених рівняннях:

\(\varphi=\frac{2\pi}{T}t+\varphi_{0}=\omega{t}+\varphi_{0}=2\pi\nu{t}+\varphi_{0}\).

Відповідно, величина ${{\varphi }_{0}}=\varphi \left( 0 \right)$ є початковою фазою коливань. Вона залежить від вибору моменту початку відліку часу й може мати будь-яке значення в інтервалі від 0  до \(2\pi\) рад.

Фаза визначає поточний стан коливного тіла. Відповідно, різниця фаз \(\delta=\varphi_{01}-\varphi_{02}\) визначає узгодженість у часі коливань із однаковою частотою.  Якщо різниця фаз \(\delta=0\) (рис.1.2а), то говорять, що коливання відбуваються "у фазі" або  ''синфазно'', а при \(\delta=\pi\) (рис.1.2б) – "у протилежних фазах" або "в протифазі". В інших випадках говорять, що коливання відбуваються із "зсувом фаз" \(\delta\) (до прикладу, на рис.1.2б зсув фаз складає \(\pi\), а на рис.1.2в \(\delta=\frac{\pi}{2}\)).

Рівняння швидкості точки при гармонічних коливаннях одержимо, взявши першу похідну по часу від координати (рівняння (1.4)):

або

де v_m – амплітуда швидкості, що пов'язана з амплітудою зміщення x_m співвідношенням

Порівнюючи рівняння (1.4) і (1.5), бачимо, що коливання швидкості за фазою випереджають коливання координати точки на \(\pi/2\) або на чверть періоду (рис.1.3а).

Рівняння прискорення одержимо, визначивши похідну швидкості з рівняння (1.5):

або

де величина

є амплітудою прискорення, котру, згідно з виразом (1.6), можна подати й так:

З рівняння (1.7) видно, що коливання прискорення відбуваються з різницею фаз \(\pi\), тобто в протифазі до коливань координати (рис.1.3б).

Слід зауважити, що тригонометрична функція в рівняннях швидкості й прискорення є визначена неоднозначно і залежить від вигляду цієї функції в рівнянні зміщення. До прикладу, при використанні рівняння (1.1a) у рівнянні (1.5) буде фігурувати функція \(\cos\), а в рівнянні (1.6) – функція \(\sin\). Але  будь-що,

тобто,

Відповідно до другого закону Ньютона та рівняння (1.9), прикладена до коливної точки рівнодійна сила у будь-який момент часу визначається, як

де

Формула виражає критерій гармонічності механічних коливань:

При цьому частота і період гармонічних коливань визначаються наступними загальними формулами:

де m – маса матеріальної точки, що коливається, k – коефіцієнт пропорційності між рівнодійною силою і відхиленням точки від положення рівноваги.

Маятниками називають тіла, здатні здійснювати вільні коливання навколо фіксованого положення рівноваги. Найпростішими серед них є пружинний та математичний маятники.

Пружинний маятник являє собою тіло маси m, з'єднане з невагомою пружиною жорсткістю k із закріпленим іншим кінцем (рис.1.4).

За відсутності сил тертя та опору повітря (на практиці – коли ними можна нехтувати), рух маятника визначається тільки силою пружності ([І], розділ V) у деформованій пружині, котра задовольняє умову (1.10)

\(F=-kx\),

де x – величина деформації.

Отже,

пружинний маятник здійснює гармонічні коливання з циклічною частотою

і періодом

де m – маса маятника, k – жорсткість пружини.

Все сказане стосується як горизонтальних (рис.1.4а), так і вертикальних (рис.1.4б) коливань, але в останньому випадку величина x не включає статичну деформацюю пружини маятника під дією сили тяжіння. 

Математичний маятник являє собою тіло маси m на невагомому нерозтяжному підвісі довжиною l із закріпленим кінцем (рис. 1.5).

За відсутності сил тертя в підвісі та опору середовища рух маятника відбувається під дією сил тяжіння \(m\vec{g}\) і натягу підвісу \(\vec{F}_{н}\), рівнодійна яких

\(\vec{F}=m\vec{g}+\vec{F}_{н}\)

при значних відхиленнях маятника (рис.1.5а) складно залежить від кута \(\alpha\). Тому довільні коливання математичного маятника не є гармонічними. Одначе при малих амплітудах ситуація спрощується, бо при \(\alpha\ll{1}\) \(\mathrm{tg}\alpha=\sin\alpha=\alpha\). Отже, можна вважати, що малі коливання математичного маятника відбуваються вздовж горизонтальної  осі ОХ (рис.1.5б) під дією повертаючої сили

\(F_{x}=-mg\cdot\mathrm{tg}\alpha=-mg\alpha\).

З тієї ж причини можна прийняти, що в будь-який момент часу кут відхилення маятника від положення рівноваги α = (x/l). У такому разі

\(F_{x}=-kx\),

де x – зміщення маятника з положення рівноваги і

Отже, згідно з критерієм (1.10),

Зіставивши вираз (1.16) з формулами (1.12) та (1.13), дісттанемо наступні формули для циклічної частоти \(\omega\) та періоду T  коливань математичного маятника:

Отже згідно з рівнянням (1.1), в будь-який момент часу вона дорвнює

де k – жорсткість пружини, x_m – амплітуда коливань.

Формула (1.19) зберігає чинність і для математичного маятника, де потенціальна енергія коливань визначається роботою проти рівнодійної сил тяжіння та натягу підвісу при відхиленні маятника від положення рівноваги. При цьому величина k  визначається виразом (1.16):

\(k=\frac{mg}{l}\).

Кінетична енергія гармонічних коливань

у відповідності до рівняння (1.5) виражається як

де m – маса, v_m – амплітуда швидкості тіла.

Якщо за допомогою співвідношень (1.5б) і (1.11) максимальну потенціальну енергію у рівнянні (1.19а) і максимальну кінетичну енергію у рівнянні (1.20) виразити через масу тіла m та частоту \(\omega\) й амплітуду коливань x_m, то вийде:

З урахуванням цього повна енергія гармонічних коливань у будь-який момент часу

\(W=W_{к}+W_{п}=W_{0}\left(\cos^{2}(\omega{t}+\varphi_{0})+\sin^{2}(\omega{t}+\varphi_{0})\right)=W_{0}\).

Отже, як і говорилося напочатку,

 Цей результат має просте пояснення: гармонічні коливання можливі тільки тоді, коли відсутні сили тертя й опору, тобто не відбувається перетворення механічної енергії на інші види.

Якщо у рівнянні (1.7) величину a_x представити у вигляді другої похідної координати по часу (див. [І], ф-ли (1.8)), то одержимо диференціальне рівняння гармонічних коливань:

(Примітка. Диференціальним називається рівняння, до якого, крім шуканої функції, входять її   похідні).

У математиці доводиться, що єдиними можливими розв'яками рівняння (1.21) є функції sin або cos. При цьому фізична природа величини x не має значення. До прикладу, для математичного маятника роль x відіграє кут відхилення нитки від вертикалі, а при розгляді електромагнітних коливань у коливальному контурі – заряд конденсатора, або сила струму в котушці, тощо.

Рівняння (1.21) виражає загальну ознаку гармонічних коливань:

У задачах, де потрібно складати рівняння гармонічних коливань за заданими характеристиками і початковими умовами, іноді виникають проблеми з визначенням початкової фази. Тож необхідно пам'ятати, що для її визначення треба використовувати обидві початкові умови (x(0), v(0)), бо тільки однією початкова фаза визначається неоднозначно.

Для визначення характеристик гармонічних коливань за заданим рівнянням слід записати його числовому вигляді й, порвнюючи з відповідним рівнянням із теорії,  встановити значення шукаих величин. При цьому слід пам'ятати, що коли в умові не вказано одиниці вимірювання, то значення величин по замовчуванню подано в основних одиницях СІ.

Задача 1.1. Точка здійснює гармонічні коливання з періодом T = 1,57 c  і амплітудою A = 12 см. Записати рівняння руху точки x(t), якщо в початковий момент часу вона має координату x_­­0 = 6 см і віддаляється від положення рівноваги.

Задача 1.2. Точка здійснює гармонічні коливання так, що на відстанях x₁ = 3 см і x₂ = 5 см від положення рівноваги її швидкість становить v₁ = 10 см/с і v₂ = 6 см/с, відповідно. Визначити циклічну частоту \(\omega\) й амплітуду A коливань точки.

Задача 1.3. Визначити середню шляхову швидкість \(\langle{v}\rangle\) тіла, що здійснює гармонічні коливання, якщо його максимальна швидкість складає \(v_{m}\) = 10 м/с.

Задача 1.1

Точка здійснює гармонічні коливання з періодом T = 1,57 c  і амплітудою A = 12 см.

Записати
рівняння руху точки x(t), якщо в початковий момент часу вона має координату x­­₀ = 6 см і  віддаляється від положення рівноваги.

Розв’язання

Оскільки в початковий момент часу ні координата, ні швидкість точки не дорівнюють нулю, то немає значення, яку функцію вибрати для опису коливань. Отож будемо шукати рівняння x(t) у вигляді

Значення A і T задані, отже, задача зводиться до визначення початкової фази \(\varphi_{0}\). Підставивши в рівняння (1) значення t = 0, x₀ і  A, одержимо

\(6=12\cos\varphi_{0}\)     \(\Rightarrow\)     \(\cos\varphi_{0}=\frac{1}{2}\)     \(\Rightarrow\)     \(\varphi_{0}=\pm\frac{\pi}{3}\).

Для вибору знаку \(\varphi_{0}\) врахуємо, що за умовою у початковий момент напрям швидкості точки збігається з напрямом осі OX, тобто \(v_{0x}>0\). Проекція швидкості \(v_{0x}=x^{\prime}(t)\), тому відповідно до рівняння (1) отримаємо

\(v_{x}=x^{\prime}(t)=-A\frac{2\pi}{T}\cos\left(\frac{2\pi}{T}\cdot{t}+\varphi_{0}\right)\).

При t = 0

\(v_{0x}=-A\frac{2\pi}{T}\sin\varphi_{0}\).

Оскільки \(v_{0x}>0\), то

\(\sin\varphi_{0}<0\)     \(\Rightarrow\)      \(\varphi_{0}<0\).

Отже, початкова фаза \(\varphi_{0}=-\pi/3\).

Підставивши в рівняння (1) всі числові значення, отримаємо відповідь:

\(x(t)=12\cos\left(4t-\pi/3\right)\), см.

Зауваження. Зверніть увагу на те, що при складанні рівняння коливань у відповіді всі величини, окрім часу, повинні бути представлені в числовому вигляді.

Задача 1.2

Точка здійснює гармонічні коливання так, що на відстанях x₁ = 3 см і x₂ = 5 см від положення рівноваги її швидкість становить v₁ = 10 см/с і v₂ = 6 см/с, відповідно.

Визначити 

циклічну частоту \(\omega\) й амплітуду A коливань точки.

Розв’язання

Припустимо, що рівняння руху точки має вигляд

де \(\varphi_{0}\) – початкова фаза, t – час. Тоді її швидкість

Виключимо з рівнянь (1) і (2) час t, скориставшись основною тригонометричною тотожністю \(\sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha=1\):

 (Такий прийом дуже часто є продуктивним у задачах на гармонічні коливання, коли немає необхідності у визначенні моменту часу, або він не заданий в умові задачі).

Відтак, записавши вирази (3) для обох пар заданих величин ((x₁, v₁); (x₂, v₂)) та прирівнявши їхні ліві частини, отримаємо шукану частоту:

\(\omega=\sqrt{\frac{v_{1}^{2}-v_{2}^{2}}{x_{2}^{2}-x_{1}^{2}}}\) = 2 c^-1,

а потім із одного з них — амплітуду 

А =5,83 см.

Задача 1.3 

Визначити
середню шляхову швидкість \(\langle{v}\rangle\) тіла, що здійснює гармонічні коливання, якщо його максимальна швидкість складає \(v_{m}\) = 10 м/с.

Розв’язання

Середня шляхова швидкість – це відношення пройденого шляху до часу (див.  [І], ф-ла (1.4)):

\(\langle{v}\rangle=\frac{S}{t}\).

Отже, якщо розглянути два крайні положення тіла C і D (рис. 3), то відстань між ними  S = 2A (А – амплітуда коливань) воно проходить за час t = T/2 у пів періоду коливань, і шукана середня шляхова швидкість дорівнює

У той же час максимальна швидкість тіла при гармонічних коливаннях за формулою (1.5б) складає:

\(v_{m}=A\omega=A\frac{2\pi}{T}\).  

Тож

\(T=\frac{2\pi{A}}{v_{m}}\),

де \(\omega\) – колова (циклічна) частота.

Підставивши цей вираз у формулу (1), знайдемо відповідь:

\(\langle{v}\rangle=\frac{4Av_{m}}{2\pi{A}}=\frac{2v_{m}}{\pi}\) ≈ 6,4 м/с.

У розглянутих далі задачах по замовчуванню вважається, що сили тертя та опору відсутні і g = 10 м/с².   

Задача 1.4. Визначити період T малих коливань кульки масою m = 40 г із зарядом $\left| q \right|$ = 8 мкКл, яку підвішено на тонкій шовковій нитці довжиною l = 1 м у напрямленому вертикально вгору електричному полі з напруженістю E = 300 В/см.

Задача 1.5. Пружну кульку на нитці довжиною l = 0,5 м прикріплено до пружної стінки, що нахилена під малим кутом \(\alpha\) до вертикалі, (див. розв'язок, рис. 4). Визначити, з яким інтервалом часу T кулька  вдарятиме в стінку, якщо нитку відвести на кут θ₀ = 2\(\alpha\) й відпустити.

Задача 1.6. Відкачаний до тиску P = 5 кПа горизонтальний циліндр поперечим перерізом S = 50 см² поділено рухомим поршнем масою m = 2 кг на дві однакові частини довжиною l = 1 м кожна. Нехтуючи товщиною поршня, визначити період T коливань поршня внаслідок незначного поштовху.

Задача 1.7. Визначити період T та амплітуду A коливань пластини масою M = 1,5 кг на вертикальній пружині жорсткістю k = 250 Н/м після падіння на неї шматка пластиліну масою m = 0,5 кг з висоти h = 20 см.

Задача 1.8. Показати, що потенціальна енергія малих коливань математичного маятника масою m і довжиною l  визначається формулою  \(W_{п}=\frac{kx^{2}}{2}\), де \(k=\frac{mg}{l}\).

Задача 1.9. Визначити період T  гармонічних коливань маятника на момент, коли потенціальна енергія коливань складає n = 80 % від повної, а зміщення з положення рівноваги та  швидкість мають значення x = 2 см і v = 3,1 см/с.  

Задача 1.4.

Визначити 

період T малих коливань кульки масою m = 40 г із зарядом $\left| q \right|$ = 8 мкКл, яку підвішено на тонкій шовковій нитці довжиною l = 1 м у напрямленому вертикально вгору електричному полі з напруженістю E = 300 В/см.

Розв'язання

Кулька на нитці являє собою математичний маятник (п. 1.3), тож період її коливань задається загальним виразом (1.13) і формулою (1.18). Але за умовою на кульку, крім сили тяжіння $m\vec{g}$, діє ще й вертикальна електрична сила $q\vec{E}$, як показано на рис. 1.4 для випадку q > 0. Тому у виразі (1.16) замість mg має стояти \(\left| mg\mp \left| q \right|E \right|\). Тож

$k=\frac{\left| mg\mp \left| q \right|E \right|}{l}$,

де знак ''–'' відповідає випадку q > 0 і навпаки.

В такому разі період коливань кульки визначається виразом

Обчислення дають наступні значення:

q  > 0 :  T = 3,14 с;       q  < 0 :  T = 1,57 с.                  

Задача 1.5.

Пружну кульку на нитці довжиною l = 0,5 м прикріплено до пружної стінки, що нахилена під малим кутом \(\alpha\) до вертикалі, рис 4.  

Визначити,

з яким інтервалом часу T кулька вдарятиме в стінку, якщо нитку відвести на кут θ₀ = 2\(\alpha\) й відпустити.

Розв’язання

Відповідно до умови кулька стикається зі стінкою пружньо, тобто без утрати енергії, й через рівні проміжки часу T, а в проміжках рухається, як математичний маятник за загальним рівнянням (1.4). Отже, якщо початкову координату кульки (відхилення від вертикалі) позначити як x₀, то далі вона змінюється за законом

 З урахуванням співвідношення між кутами \(\alpha\) і \(\Theta_{0}\), координата кульки на момент зіткнення зі стінкою t₁ дорівнює x₁ = –0,5x₀, тож із рівняння (1) маємо:

$\cos \omega {{t}_{1}}=-0,5\quad \Rightarrow \quad \omega {{t}_{1}}=\frac{2\pi }{3}$

Відтак, узявши до уваги формулу (1.17) і те, що інтервал часу між послідовними зіткненнями кульки зі стінкою T = 2t₁, отримаємо наступну відповідь задачі:

$T=\frac{4\pi }{3}\sqrt{\frac{l}{g}}$ = 0,95 с

Задача 1.6

Відкачаний до тиску P = 5 кПа горизонтальний циліндр перерізом S = 50 см² поділено рухомим поршнем масою m = 1 кг на дві частини довжиною l = 1 м кожна. Нехтуючи товщиною поршня, 

визначити

період T коливань поршня внаслідок незначного поштовху.

Дано:

Розв’язання

При відведенні поршня з рівноважного положення в будь-який бік компенсація сил тиску повітря ${{\vec{F}}_{1}}$, ${{\vec{F}}_{2}}$ (рис. 6 ) порушується так, що їхня рівнодійна $\vec{F}$ є спрямована протилежно й має проєкцію на вісь ОХ

Тому після вивільнення поршень починає коливатися з періодом, який визначається залежністю F_x(х) повертаючої сили від зміщення x поршня з положення рівноваги. Ця залежнічсть на загал може бути складною, але в даній задачі ситуація спрощується тим, що при малих коливаннях поршня температура повітря в циліндрі лишається сталою. Тож зміна його тиску та об'єму відбувається ізотермічно і є підпорядкована закону Бойля-Маріотта ([ІІІ], п. 1.3) Отже, P₁V₁ = P₂, V₂ = PV і, врахувавши, що V₁ = (l + x)S, V₂ = (l – x)S і V = l S, маємо:

\(Pl=P_{1}(l-x)\)      \(\Rightarrow\)      \(P_{1}=\frac{Pl}{l-x}\);

\(Pl=P_{2}(l+x)\)      \(\Rightarrow\)      \(P_{2}=\frac{Pl}{l+x}\).

У такому разі

\(F_{x}=PlS\left(\frac{1}{l+x}-\frac{1}{l-x}\right)=-PlS\frac{2x}{l^{2}-x^{2}}\).

За умовою \(x\ll{l}\), тож величиною \(x^{2}\) у цьому виразі можна знехтувати, тож

де

Отриманий вираз \(F_{x}\) збігається з формулою (1.10). Отже, малі,  коливання поршня є гармонічними, тож шуканий період T, згідно із загальною формулою (1.13), дорівнює

$T=2\pi \sqrt{\frac{ml}{2PS}}$ ≈ 1,3 c.

Задача 1.7

Визначити 

період T та амплітуду A коливань пластини масою M = 1,5 кг на вертикальній пружині жорсткістю k = 250 Н/м після падіння на неї шматка пластиліну масою m = 0,5 кг з висоти h = 20 см (рис. 7).

Розв’язання

Після падіння пластиліну на пластину створюється пружинний маятник (п. 1.3)  масою (M + m) і жорсткістю k. Отже, шуканий період коливань T за формулою (1.15) дорівнює

Спосіб 1.  При зіткненні в точці О з координатою x = 0 пластилін пердає пластині деякий імпульс, через що її наступні коливання відбуваються з відповідною швидкістю v₀ й

Коливання пластини з пластиліном відбуваються навколо точки O₁, на відстані х₀ від початкового положення, що визначається умовою компенсації сумарної ваги тіл і сили, з якою на них діє пружина:

При цьому коливання відбуваються не зі стану спокою, як зазвичай, а з певною початковою швидкістю v₀, що визначається законом збереження імпульсу. Тож, зважаючи на непружний характер зіткнення  

$mv=\left( M+m \right){{v}_{0}}$,

де  v – швидкість пластиліну на момент падіння на пластину, котра складає  (див. [І], ф-ла (1.19а)),  $v=\sqrt{2gh}$ . Отже, початкова швидкість коливань пластини з пластиліном

Рис. 7

Відтак при знайдених початкових умовах (x₀, v₀), із загальних рівняннь гармонічних коливань (1.4) і (1.5) виходить:

звідки, враховуючи відому тригонометричну тотожність, отримуємо:

 \(\frac{x^{2}}{A^{2}}+\frac{v^{2}}{A^{2}\omega^{2}}=1\)   \(\Rightarrow\)      \(A=\sqrt{x^{2}+\frac{v^{2}}{\omega^{2}}}\).

Ця рівність виконцється при будь-якому положенні коливного тіла, тож поклавши x = x₀, отримаємо :

$A=\sqrt{x_{0}^{2}+\frac{v_{0}^{2}}{{{\omega }^{2}}}}$ = $\sqrt{x_{0}^{2}+\frac{{{\left( {{v}_{0}}T \right)}^{2}}}{4{{\pi }^{2}}}}$

Відтак, узявши отримане напочатку (вираз (1)) значення T  та обрахувавши за виразами (2) і (3) значення x₀ і v₀ , дістанемо:

А = 9,2 см.

Спосіб 2. Амплітуду коливань можна знайти, й спираючися не на співвідношеня механіки коливань. А саме.

Стискання пружини відбувається за рахунок енергії пластини з пластиліном . Тому, якщо прийняти потенціальну енрегію тіл у найнижчій точці за 0, то на момент зупинки вся їхня енергія перейде в енергію деформації пружини на величину відстані x від початкового до крайнього положення пластини. Отже, 

$\frac{k{{x}^{2}}}{2}$ = $\frac{\left( M+m \right)v_{0}^{2}}{2}+\left( M+m \right)gx$   \(\Rightarrow\)     $k{{x}^{2}}-2\left( M+m \right)gx-\left( M+m \right)v_{0}^{2}=0$

Корені цього рівняння складають:

${{x}_{1,2}}=\frac{\left( M+m \right)g}{k}\pm \sqrt{{{\left( \frac{\left( M+m \right)g}{k} \right)}^{2}}+\frac{\left( M+m \right)v_{0}^{2}}{k}}$

або, враховуючи вирази (2) і (3),

${{x}_{1,2}}={{x}_{0}}\pm \sqrt{{{\left( \frac{\left( M+m \right)g}{k} \right)}^{2}}+\frac{\left( M+m \right)2gh}{k}}$.

Зрозуміло, що другі доданки в цьому виразі визначають макимальне відхилення пластини з пластиліном від точки рівноваги сил, тобто шукану амплітуду коливань. Отже,

${A}=\sqrt{{{\left( \frac{\left( M+m \right)g}{k} \right)}^{2}}+\frac{\left( M+m \right)2gh}{k}}$.

Обчислення дають

A = 9,2 см,

що, природньо, збігається із отриманим раніше значенням. Варто також відмітити, що перший доданок під радикалом дорівнює $x_{0}^{2}$. Отже, пластина з пластиліном, незалежно від їхньої маси та жорсткості пружини, повертаючись із найнижчої точки, підніметься вище початкового положення. Це пояснюється тим, що  коливання почалися не зі стану спокою, як зазвичай, і з певною початковою кінетичною енергією.

Задача 1.8

Показати,

що потенціальна енергія малих коливань математичного маятника масою m і довжиною l  визначається формулою  \(W_{п}=\frac{kx^{2}}{2}\), де \(k=\frac{mg}{l}\).

Розв’язання

Потенціальна енергія маятника обумовлена дією на нього сили тяжіння і виражається формулою

де m – маса маятника, h – висота підйому над положенням рівноваги (див. рис.8). З рис.8 видно, що

Оскільки маятник здійснює малі коливання (\(x\ll{l}\)), то \(\alpha\ll{1}\) рад. Тому \(\sin\frac{\alpha}{2}=\frac{\alpha}{2}\), і вираз (2) набуває вигляду:

\(h=2l\left(\frac{\alpha}{2}\right)^{2}=\frac{l\alpha^{2}}{2}\).

Підставивши його у формулу (1) і зробивши заміну \(\alpha=x/l\), отримаємо

\(W_{п}=\frac{mgx^{2}}{2l}=\frac{kx^{2}}{2}\),

де \(k=\frac{mg}{l}\), що і треба було довести.

Ця задача ілюструє універсальність формули (13.19): вона може бути застосовна до будь-яких гармонічних коливань, а не тільки до коливань під дією сили пружності.

 Задача 1.9

Визначити

період T  гармонічних коливань маятника на момент, коли потенціальна енергія коливань складає n = 80 % від повної, а зміщення з положення рівноваги та  швидкість мають значення x = 2 см і v = 3,1 см/с.

Розв’язання

Період коливань тіла на пружині визначається формулою:

Відношення (m/k) знайдемо через повну енергію коливань:

де (\(mv^{2}/2\)) – кінетична і (\(kx^{2}/2\)) – потенціальна енергія. Відтак із виразу (2) одержимо

\(\frac{m}{k}=\frac{x^{2}}{v^{2}}\left(\frac{W}{W_{п}}-1\right)\).

і після підстановку у формулу (1) дістанемо відповідь:

\(T=2\pi\frac{x}{v}\sqrt{\frac{W}{W_{п}}-1}=2\pi\cdot\frac{2}{3,1}\sqrt{\frac{1}{0,8}-1}\approx\) 2 c.

В електричному колі, що складається з конденсатора, котушки індуктивності та резистора, за який зазвчай правлять з'єднувальні провідники, за певних співвідношень між параметрами можуть виникати вільні електричні коливання. Тому таке коло називається коливальним контуром.

У теорії електичних коливань базовою моделлю є ідеальний коливальний контур, який складається з ідеального конденсатора та ідеальної котушки індуктивності, котрі з'єднані провідниками, що не мають електричного опору (рис.14.1). Отже, в ідеальному контурі при протіканні струму немає втрат енергії, а електричне й магнітне поля повністю зосереджені всередині конденсатора та котушки, відповідно.

Електричні коливання в контурі виникають наступним чином. При замиканні ключа K конденсатор починає розряджатися, створюючи в котушці струм та зустрічну ЕРС самоіндукції ([ІІІ], ф-ла (3.15)). Тому струм встановлюється не одразу, а поступово і, досягнувши певної величини, так само поступово спадає. При цьому, через ЕРС самоіндукції, на момент розрядки конденсатора (q = 0, U = 0) струм у контурі не припиняється, тож конденсатор не розряджається, а перезаряджається до вихідної напруги. А далі все повторюється знову й знову, тож у контурі виникають незагасаючі вільні електричні коливання.

Описані процеси математично виражаються диференціальним рівнянням ідеального контуру, котре  ґрунтується на тому, що в будь-який момент напруга на конденсаторі u збігається з ЕРС самоіндукції \({{\E}_{c}}\) в котушці:

Величини u і \({{\E}_{c}}\) визначаються формулами ([ІІІ], (2.23) і (3.14)), отже

де q – заряд конденсатора, \(i^{\prime}\) – похідна сили струму по часу.

Струм у контурі створюється перенесенням заряду з однієї обкладки конденсатора на іншу, тому миттєва сила струму i в контурі дорівнює швидкості зміни заряду конденсатора, котра визначається похідною заряду по часу:

Відповідно,

і, зробивши таку заміну у виразі (2.1), дістанемо диференціальне рівняння ідеального контуру:

котре за формою і загальним змістом є ідентичним із рівнянням (1.21). А це означає, що

 і відбуваються з циклічною частотою

Відповідно, їхній період  визначається формулою Томсона:

а лінійна частота 

 Рівняння коливань заряду конденсатора в ідеальному контурі можна одержати з рівнянь механічних коливань заміною  x → q. Зокрема, з рівняння  (1.4) дістаємо:

Напруга на конденсаторі \(u=q/C\) (розділ ІІ, (1.23)), тож рівняння коливань напруги на конденсаторі ідеального контуру має вигляд:

де U_m – амплітуда напруги, що визначається як

Оскільки сила струму в контурі \(i=q^{\prime}(t)\), то сила струму в ідеальному контурі:

де амплітуда сили струму

З рівнянь (2.9) і (2.11а) видно, що в ідеальному контурі коливання сили струму випереджають по фазі коливання напруги на конденсаторі на \(\pi/2\) або на чверть  періоду (рис.14.2).

(Коливання заряду на конденсаторі завжди мають таку саму фазу, що й коливання напруги (див. рівняння (2.8) та (2.9)). Тому графік  q(t) на рис.14.2 не показан0).

Енергія коливань в ідеальному контурі складається з енергії електричного поля конденсатора W_E та енергії магнітного поля котушки індуктивності W_B:

Відповідно до формул ([III] (2.32а), (3.16)) і рівнянь (2.9), (2.11а)

З виразів (2.12) та (2.5) виходить:

\(LI_{m}^{2}=L\omega^{2}q_{m}^{2}\)    \(\Rightarrow\)     \(LI_{m}^{2}=\frac{q_{m}^{2}}{C}\).

Тому з виразів (2.13), (2.14) і (2.15) очевидно, що

Таким чином,

На рис.14.3 показано графіки залежності від часу електричної W_E, магнітної W_B і повної енергії коливань W в ідеальному контурі.

Ці графіки наочно показують, що при вільних коливаннях в ідеальному контурі відбуваються неперервні взаємні перетворення електричного та магнітного полів без втрати енергії. Крім того, з рівнянь (2.14) і (2.15) випливає, що коливання енергії кожного з полів відбуваються з подвоєною частотою \(\omega^{\prime}\) відносно коливань напруги і струму:

Порівняння формул (2.16) і (13.21) показує їх математичну ідентичність. При цьому для контуру величини (1/C)  і L  виконують ту ж саму роль, що й жорсткість пружини k та маса вантажу m у випадку пружинного маятника.

Серед різноманітних змінних струмів найпростішим є синусоїдальний струм, який створюється генератором із напругою (ЕРС)

або

де U_m – амплітуда, \(\omega\) – циклічна частота (рад/с).

У техніці змінний струм характеризують лінійною частотою

$\nu =\frac{\omega }{2\pi }$ (Гц)

Генератор змінного струму на електричних схемах зображують так:

Активним опором R (рис.14.4) називають опір резистора в колі змінного струму. Він, як і при постійному струмі, є зумовлений гальмуванням упорядкованого руху носіїв струму іншими частинками провідника. Тож для змінного струму в резисторах є дійсними всі закони постійного струму, зокрема закон Ома:

де i та u – миттєві значення сили струму і напруги на резисторі, R – його опір. Отож, якщо на резистор подати напругу, що змінюється за законом (2.17), струм у ньому буде змінюватися так само: 

де амплітуда

Ємнісним опором називається опір, що створюється в колі змінного струму ідеальним конденсатором.

Напруга на конденсаторі кожної миті дорівнює напрузі генератора (формула (2.17)), до якого він підключений (рис.14.5). Отже, заряд конденсатора q = Cu змінюється з часом за законом

При цьому через з'єднувальні провідники і генератор протікає струм, який називається струмом конденсатора і, позаяк  за означенням і = q′ ([ІІІ], ф-ла (2.2)), складає:

або

де ${{I}_{m}}=\omega C{{U}_{m}}$ – амплітуда струму.

(Зауважимо, що струм конденсатора – абстрактне поняття, адже він зумовлюється не рухом зарядів між обкладками конденсатора, а зміною напруги на ньому.)

По аналогії з виразом (2.20) амплітуду струму конденсатора можна записати, як

Отже, струм конденсатора при заданій напрузі обмежується величиною

яка називається ємнісним опором.

Таким чином, для змінного струму в конденсаторі зв'язок між амплітудами струму I_m і напруги  U_m­  є аналогічний такому для постійного струму:

Але, як видно з рівнянь (2.22) і (2.17), для миттєвих значень

$i\ne \frac{u}{{{X}_{c}}}$,

тобто,

У колі змінного струму котушка теж створює специфічний індутривний опір, за який є відповідальним явище самоіндукції ([ІІІ], п. 1.4) Якщо котушку з індуктивністю L і активним опором R підключити до генератора змінної напруги (рис.14.6а), то струм i в ній буде визначатися не тільки напругою генератора \(u=U_{m}\sin\omega{t}\), а й ЕРС самоіндукції ${{\E}_{c}}=-L{i}'$, так що

$iR={{U}_{m}}\sin \omega t-L{i}'$

 Звідси для струму в ідеальній (R = 0) котушці (рис.14.6б) отримуємо наступне диференціальне рівняння

з якого випливає, що струм змінюється за законом

де величина

є його амплітудою, а

— індуктивним опором котушки.

Отже, для котушки індуктивності зв'язок між амплітуди струму I_m і напруги U_m в котушці індуктивності є пов'язані між собою так, як і резисторі та конденсаторі. Але для миттєвих значень такого зв'язку немає:

\(i\ne{u}/X_{L}\).

Отже, як і в конденсаторі,

Зрозуміло, що розглянутий зв'язок між амплітудами є чинним і в нерозгалуженому (послідовному) колі, що містить всі три види опордв. Це відображає закон Ома для змінного струму:

 При цьому повний опір Z, інакше — "імпеданс", визначається параметрами елементів кола (R, L, C) і способом їхнього з'єднання. Для найпростішого послідовного кола (рис.14.7)

або

Закон Ома для змінного струму стосується тільки амплітуд. Для миттєвих значень сили струму він не виконується, тобто сила струму в даний момент часу не дорівнює відношенню напруги в цей момент до повного опору. Але це не суперечить співвідношенню (2.29), тому що сила струму і напруга здійснюють коливання зі зсувом фаз і досягають своїх максимальних значень I_m і U_m не одночасно.

 Згідно з виразом (2.31), Повний опір Z , тож і амплітуда сили струму, залежать від частоти, як показує рис.14.8. Він, зокрема, відображує явище резонансу в колі змунного струму, що полягає у різкому збільшенні амплітуди при наближенні коливань струму до резонансної частоти \(\omega_{р}\), яка відповідає мінімуму повного опору кола й знаходиться з умови

що збігається із власною частотою ідеального контутру з такими самою ємністю та індуктивністю (фомула 2.16).

При резонансі повний опір резонансна амплітуда сили струму I_р відповідно до формул (2.31) та (2.29), дорівнюють

\(Z_{р}=R\),

\(I_{р}=\frac{U_{m}}{R}\).

Видно, що при резонансі відбувається компенсація ємнісного й індуктивного опорів. Це пояснюється тим, що напруга на конденсаторі й котушці змінюються в протифазі, тож віднімаються.

 Потужність змінного струму, що виділяється в колі у кожний момент часу, дорівнює добутку миттєвих значень сили струму і напруги. Ця миттєва потужність змінюється з великою частотою і її достатньо складно безпосередньо виміряти. Тому на практиці потужністю змінного струму називають середнє значення добутку сили струму й напруги.

Повна потужність у колі змінного струму виражається формулою

де I_m, U_m – амплітуди сили струму і напруги генератора, \(\varphi\) – різниця фаз між коливаннями струму і напруги генератора.

Величина \(\cos\varphi\) називається коефіцієнтом потужності і виражається через активний і повний опір кола формулою

Якщо підставити цей вираз у формулу (2.33) і врахувати закон Ома (формула (2.29), то виходить

де U = I_mR – напруги на активному опорі кола.

Така ж потужність виділялася б у колі постійного струму з опором R при силі струму і напрузі

Величини I  та U, що визначаються формулами (2.36), називаються діючими, або ж ефективними значеннями сили струму і напруги.

Діючі значення є загальноприйнятими практичними характеристиками змінного струму. Зокрема, електровимірювальні прилади показують діючі значення, робочі величини струмів і напруг на різних побутових приладах теж вказують у діючих значеннях.

Із застосуванням діючих значень струму й напруги формули потужності (2.33) і (2.35) записуються у вигляді

та

Остання формула показує, що споживана від генератора потужність змінного струму, виділяється тільки на активному опорі, а реактивні елементи – конденсатор і котушка індуктивності – енергії не споживають. Це пов'язано з тим, що при зарядці конденсатор поглинає відповідну енергію, а при розрядці – повністю повертає її в коло. Те ж саме відбувається і у котушці індуктивності при збільшенні і зменшенні сили струму.

 Трансформатор – це пристрій для перетворення ("трансформації") величини напруги та сили змінного струму.

Робота трансформатора ґрунтується на явищі електромагнітної індукції.

Трансформатор складається з двох (або більше) ізольованих обмоток, на спільному залізному осерді. Та обмотка, що підключається до джерела живлення, називається первинною, а та, до якої підключають навантаження, – вторинною. Якщо напруга на вторинній обмотці u₂ більша, ніж на первинній u₁, трансформатор називають підвищувальним, інакше (u₂ < u₁) – знижувальним.

Роботу трансформатора якісно можна пояснити так. При протіканні в первинній обмотці змінного струму в залізному осерді виникає змінний магнітний потік, який пронизує обидві обмотки і створює в кожному витку однакову ЕРС індукції ${\E}_{1}$. Активний опір первинної обмотки є малий порівняно з індуктивним. Тому спадом напруги на активному опорі можна нехтувати і вважати, що напруга на первинній обмотці

${{u}_{1}}={{N}_{1}}{{\E}_{1}}$,

де N₁ – кількість витків у первинній обмотці.

При розімкненій вторинній обмотці (режим "холостого ходу") напруга на ній

${{u}_{2}}={{N}_{2}}{{\E}_{1}}$,

де N₂ – кількість витків у вторинній обмотці.

Отже, відношення напруг

В теорії величину k називають коефіцієнтом трансформації, тож для знижувального трансформатора k > 1, а для підвищувального k < 1. Однак на практиці коефіцієнт трансформації підвищувального трансформатора виражають числом \(k^{\prime}=\frac{1}{k}\), яке є більшим за одиницю. Наприклад, говорять: "підвищувальний трансформатор з коефіцієнтом трансформації 10".

В трансформаторі певна частка енергії електричного струму втрачається внаслідок виділення тепла на активних опорах обмоток та при перемагнічуванні осердя. Але ці втрати невеликі, і ККД трансформації близький до 1. Тому з достатньою точністю можна вважати, що потужності струму у обмотках однакові:

Отже, у скільки разів трансформатор змінює напругу, у стільки ж разів (тільки в зворотному напрямку) він змінює й силу струму.

Додаток. Розв'язок рівняння (2.25) можна отримати або прямим інтегруванням, або опосердковано, наступним чином. З математики відомо, що (coskx)′ = – k(sinkx), отже

$\sin \omega t=-\frac{1}{\omega }{{\left( \cos \omega t \right)}^{\prime }}$.

Підставивши цей вираз у рівняння (2.26), дістанемо

$L{i}'=\frac{{{U}_{m}}}{\omega }{{\left( \cos \omega t \right)}^{\prime }}$,

звідки випливає вираз

$i=\frac{{{U}_{m}}}{\omega L}\cos \omega t$,

що є рівнозначно виразу (2.26).

Задача 14.8. Неонова лампочка горить, коли напруга на її електродах перевищує строго певне значення – напругу запалення U_з (незалежно від полярності). Лампочку включають в мережу з діючим значенням напруги, рівним напрузі запалення, U = U_з. Визначити, яку частину часу \(\eta\) (в частках періоду) горить лампочка.

Задача 14.9. У мережу змінного струму з частотою \(\nu\) = 50 Гц послідовно включені резистор R = 100 Ом і два однакові конденсатори по C = 30 мкФ. Один з конденсаторів пробивається. (При електричному пробої в діелектрику, який заповнює конденсатор, утворюється провідний канал, який сполучає (закорочує) пластини конденсатора). Визначити відношення сил струмів в колі до (I1) та після (I2) пробою одного з конденсаторів. 

Задача 14.10. Якщо котушку з індуктивністю L = 0,03 Гн приєднати до батареї з нульовим внутрішнім опором і ЕРС \(\mathcal{E}\) = 9 В (рис.10а), то сила струму в котушці I₁ = 1 A. Визначити силу струму в котушці I₂, якщо її приєднати до джерела змінного струму з частотою \(\nu=50\) Гц і напругою \(U=\mathcal{E}\) (рис.10б)

Задача 14.11. Послідовно з’єднанні конденсатор C, котушка індуктивності L = 0,338 Гн і резистор R = 2 Ом підключені до джерела напруги U = 220 В з частотою \(\nu=50\) Гц. Визначити: А) ємність конденсатора C, при якій струм у колі буде максимальним; Б) напруга на кожному з елементів схеми (конденсаторі U_C, котушці U_L, резисторі U_R) при максимальному струмі.

Задача 14.12. Електричне коло складається з послідовно з’єднаних котушки індуктивності L = 6 мкГн, конденсатора С = 0,01 мкФ і резистора R = 0,5 Ом. Визначити потужність P, яку необхідно підводити від джерела змінної напруги, щоб амплітуда напруги на конденсаторі при резонансі була U = 10 В.

Задача 14.13. Трансформатор, що підвищує напругу від U₁ = 100 В до U₂ = 3300 В, має замкнуте осердя у вигляді кільця. Крізь кільце пропущений дріт, кінці якого приєднані до вольтметра (рис.13). Вольтметр показує U = 0,5 В. Визначити кількість витків первинної N₁ і вторинної N₂ обмоток.

Задача 14.14. Трансформатор має осердя, показане на рис.14. Якщо обмотку I підключити до джерела з напругою U₁ = 160 В, то напруга на обмотці II буде дорівнювати U. Джерело U₁ відключають від обмотки I, і обмотку II підключають до джерела напруги U. Вважаючи, що магнітний потік ділиться порівну між розгалуженнями осердя визначити напругу U₂ на виводах обмотки I. Опором обмотки нехтувати.

Задача 14.15. На первинну обмотку знижувального трансформатора з коефіцієнтом трансформації k = 20 подана напруга U₁ = 220 В. При цьому у вторинній обмотці, яка замкнута на певне навантаження, тече струм I₂ = 5 А. Активний опір вторинної обмотки r₂ = 0,5 Ом. Нехтуючи втратами у первинній обмотці, визначити напругу \(U_{2}\) на клемах вторинної обмотки.

Задача 14.8

Неонова лампочка горить, коли напруга на її електродах перевищує строго певне значення – напругу запалення U_з (незалежно від полярності). Лампочку включають в мережу з діючим значенням напруги, рівним напрузі запалення, U = U_з.

Визначити,

яку частину часу \(\eta\) (в частках періоду) горить лампочка.

Розв’язання

Відповідно до означення (формула 14.36), діюче (або ефективне) значення напруги дорівнює

\(U=\frac{U_{m}}{\sqrt{2}}\),

де U_m – амплітуда напруги.

Залежність напруги від часу визначається законом (14.17):

\(u=U_{m}\sin\omega{t}\),

Графік цієї функції, а також рівні діючого значення напруги і рівного йому напруги запалення показані на рис.8. З нього зрозуміло, що лампочка горітиме в проміжках часу \(\left[t_{1},\ t_{2}\right]\) і \(\left[t_{3},\ t_{4}\right]\). З симетрії графіка функції \(\sin\omega{t}\) очевидно, що час горіння лампочки протягом одного періоду визначається за формулою

\(\tau=T-4t_{1}\).

Час t₁ знайдемо з умови загорання лампочки, враховуючи задану в умові рівність u = U_з:

\(U_{з}=\frac{U_{m}}{\sqrt{2}}=U_{m}\sin\omega{t}_{1}\)    \(\Rightarrow\)    \(\sin\omega{t}_{1}=\frac{1}{\sqrt{2}}\)    \(\Rightarrow\)    \(\omega{t}_{1}=\frac{\pi}{4}\).

Беручи до уваги, що циклічна частота пов'язана з періодом як \(\omega=2\pi/T\), знаходимо:

\(\frac{2\pi}{T}t_{1}=\frac{\pi}{4}\)    \(\Rightarrow\)    \(t_{1}=\frac{T}{8}\).

Отже

\(\tau=T-4\frac{T}{8}=\frac{T}{2}\)    \(\Rightarrow\)    \(\eta=\frac{\tau}{T}=0,5=50\) %.

Отже, лампочка горітиме половину часу, протягом якого вона підключена до електромережі.

Задача 14.9

У мережу змінного струму з частотою \(\nu\) = 50 Гц послідовно включені резистор R = 100 Ом і два однакові конденсатори по C = 30 мкФ (рис.9). Один з конденсаторів пробивається. (При електричному пробої в діелектрику, який заповнює конденсатор, утворюється провідний канал, який сполучає (закорочує) пластини конденсатора).

Визначити

відношення сил струмів в колі до (I₁) та після (I₂) пробою одного з конденсаторів. (Якщо говорять "сила струму" або "напруга" в колі змінного струму, то завжди мають на увазі діючі значення).

Розв’язання

Унаслідок пробою, замість початкового кола (рис.9–1а) утворюється нове коло (рис.9–1б). Сила змінного струму в колі визначається законом Ома. Тому шукане відношення дорівнює оберненому відношенню імпедансів:

\(\frac{I_{2}}{I_{1}}=\frac{Z_{1}}{Z_{2}}\).

Оскільки в колі відсутня індуктивність, то імпеданс кола

\(Z=\sqrt{R^{2}+X_{C}^{2}}\).

Реактивний ємнісний опір X_C визначається формулою (14.23)

\(X_{C}=\frac{1}{2\pi\nu{C}}\).

Враховуючи, що в даній задачі C₂ = C, а C₁ = C/2 (див. формулу (10.26)), знаходимо:

\(Z_{1}=\sqrt{R^{2}+\left(\frac{1}{2\pi\nu(C/2)}\right)^{2}}\) = 234,6 Ом.

\(Z_{2}=\sqrt{R^{2}+\left(\frac{1}{2\pi\nu{C}}\right)^{2}}\) =145,8 Ом.

Таким чином:

\(\frac{I_{1}}{I_{2}}=\frac{145,8}{234,6}\approx\) 0,62,

тобто сила струму після пробою збільшиться в \(\approx{1,6}\) рази.

Задача 14.10

Якщо котушку з індуктивністю L = 0,03 Гн приєднати до батареї з нульовим внутрішнім опором і ЕРС \(\mathcal{E}\) = 9 В (рис.10а), то сила струму в котушці I₁ = 1 A.

Визначити

силу струму в котушці I₂, якщо її приєднати до джерела змінного струму з частотою \(\nu=50\) Гц і напругою \(U=\mathcal{E}\) (рис.10б)

Розв’язання

В першому випадку в котушці тече постійний струм, сила якого залежить тільки від активного опору R (опора дроту, яким намотана котушка) і ЕРС джерела. Еквівалентна схема кола для цього випадку показана на рис.10а. Якщо ж струм змінний, то повний опір кола визначається не тільки опором дроту R, але й індуктивністним опором котушки X_L (рис.10б). Відповідно до закону Ома для постійного (11.15) і змінного (14.30) струму маємо:

Звідси, з урахуванням умови \(U=\mathcal{E}\), одержуємо:

де Z – імпенданс (повний опір) котушки. Оскільки в колі немає конденсатора, то опір ємності X_C = 0, і з формул (14.31) і (14.28) випливає

\(Z=\sqrt{R^{2}+(2\pi\nu{L})^{2}}\).

Підставивши цей вираз у формулу (2), отримаємо:

З формули (1) \(R=\mathcal{E}/I_{1}\), тому остаточна відповідь має вигляд:

\(I_{2}=\frac{1}{\sqrt{1/I_{1}^{2}+\left(2\pi\nu{L}/\mathcal{E}\right)^{2}}}\).

Виконавши обчислення одержимо:

I₂ = 0,7 A.

Задача 14.11

Послідовно з’єднанні конденсатор C, котушка індуктивності L = 0,338 Гн і резистор R = 2 Ом підключені до джерела напруги U = 220 В з частотою \(\nu=50\) Гц (рис.11)

Визначити:

А) ємність конденсатора C, при якій струм у колі буде максимальним;

Б) напруга на кожному з елементів схеми (конденсаторі U_C, котушці U_L, резисторі U_R) при максимальному струмі.

Розв’язання

А) Струм в колі (рис.11) буде найбільшим при мінімальному значенні повного опору, тобто при виконанні умови Z = R (див. формули (14.31), (14.31a)). Тому

\(\omega{L}-\frac{1}{\omega{C}}=0\)     \(\Rightarrow\)     \(\omega{L}=\frac{1}{\omega{C}}\).

Звідси знаходимо:

\(C=\frac{1}{\omega^{2}L}=\frac{1}{(2\pi\nu)^{2}L}=\frac{1}{(2\pi\cdot{50})^{2}\cdot{0,338}}=3\cdot{10^{-5}}\) Ф = 30 мкФ.

Б) За законом Ома (14.30) при Z = R маємо:

\(I_{m}=\frac{U}{R}\).

Підставивши цей вираз у формули (14.24), (14.29), (14.20), знаходимо:

\(U_{C}=\frac{I}{\omega{C}}=\frac{U}{2\pi\nu{CR}}=\frac{220}{22\cdot{2}\cdot{3,14}\cdot{50}\cdot{3}\cdot{10^{-5}}}=1061\) В;

\(U_{L}=I\omega{L}=\frac{U}{R}2\pi\nu{L}=\frac{220}{22}\cdot{2}\cdot{3,14}\cdot{50}\cdot{0,338}=1061\) В.

В отриманих результатах впадає в очі здавалося б парадоксальний факт – напруги на конденсаторі і котушці майже в 5 разів перевищують напругу джерела, а напруга на резисторі дорівнює напрузі джерела так, ніби конденсатора і котушки у колі немає. Ці особливості зв'язані з тим, що напруги на котушці і конденсаторі мають протилежні фази і виявляються рівними по величині.

Задача 14.12

Електричне коло складається з послідовно з’єднаних котушки індуктивності L =6 мкГн, конденсатора С = 0,01 мкФ і резистора R = 0,5 Ом.

Визначити

потужність P, яку необхідно підводити від джерела змінної напруги, щоб амплітуда напруги на конденсаторі при резонансі була U = 10 В.

Вказівка: Для змінного струму слово "потужність" без спеціальних домовленостей  означає середню потужність за період.

Розв’язання

Схема заданого кола зображена на рис.12. В колі змінного струму енергію споживає тільки резистор і вона визначається формулами (14.33), (14.34). В умовах резонансу з формул (14.31a), (14.32) і (14.34), маємо:

\(Z=R\),    \(\cos\varphi=1\)

Тому потужність, яка виділяється в колі, відповідно до формул (14.33) і (14.30), дорівнює:

де I_р – резонансна амплітуда сили струму в колі.

Значення I_р знаходимо через задану величину U_р за допомогою закону Ома (формула (14.24)), врахувавши вираз (14.32):

\(I_{р}=\frac{U_{р}}{X_{р}}=\omega{C}U_{р}=\frac{CU_{р}}{\sqrt{LC}}\)     \(\Rightarrow\)    \(I_{р}=U\sqrt{\frac{C}{L}}\).

Підставивши цей вираз у формулу (1), отримаємо відповідь:

\(P=\frac{RCU_{р}^{2}}{2L}\approx{4,17}\cdot{10^{-2}}\) Вт = 41,7 мВт.

Задача 14.13

Трансформатор, що підвищує напругу від U₁ = 100 В до U₂ = 3300 В, має замкнуте осердя у вигляді кільця. Крізь кільце пропущений дріт, кінці якого приєднані до вольтметра (рис.13). Вольтметр показує U = 0,5 В.

Визначити
кількість витків первинної N₁ і вторинної N₂ обмоток.

Розв’язання

Дріт разом з вольтметром утворюють замкнутий контур. Його поверхня пронизується магнітним потоком, створеним струмом в первинній обмотці. Це дозволяє вважати дріт (разом з вольтметром) обмоткою трансформатора, що має один виток. Для цієї "обмотки" формула трансформатора (14.39) набуває вигляд:

\(\frac{U}{U_{1}}=\frac{1}{N_{1}}\)     \(\Rightarrow\)     \(N_{1}=\frac{U_{1}}{U}=\frac{100}{0,5}=200\).

Таким чином, первинна обмотка трансформатора складається з N₁ = 200 витків. Число витків вторинної обмотки трансформатора N₂ також знаходимо з формули (14.39):

\(\frac{U_{1}}{U_{2}}=\frac{N_{1}}{N_{2}}\)     \(\Rightarrow\)     \(N_{2}=N_{1}\frac{U_{2}}{U_{1}}=200\cdot\frac{3300}{100}=6600\),

або

\(\frac{U}{U_{2}}=\frac{1}{N_{2}}\)     \(\Rightarrow\)     \(N_{2}=\frac{U_{2}}{U}=\frac{3300}{0,5}=6600\).

Задача 14.14

Трансформатор має осердя, показане на рис.14. Якщо обмотку I підключити до джерела з напругою U₁ = 160 В, то напруга на обмотці II буде дорівнювати U. Джерело U₁ відключають від обмотки I, і обмотку II підключають до джерела напруги U. Вважаючи, що магнітний потік ділиться порівну між розгалуженнями осердя

визначити

напругу U₂ на виводах обмотки I. Опором обмотки нехтувати.

Розв’язання

Припустимо, що кількість витків в обмотках I і II рівні N₁ і N₂ відповідно. Тоді напруга на обмотці I згідно з формулою (12.12)

де \(\Phi_{1}\) – магнітний потік, створений в осерді струмом в обмотці I, \(\Phi_{1}^{\prime}(t)\) – похідна магнітного потоку по часу. Оскільки потік \(\Phi_{1}\) ділиться порівну між розгалуженнями, обмотку II пронизує потік \(\Phi_{2}=\Phi_{1}/2\), індукуючи напругу U, яка дорівнює ЕРС у цій обмотці (обмотка розімкнена):

З формули (1) і (2) знаходимо

Якщо джерело напруги U підключити до обмотки II, то міркуючи аналогічно попередньому, нескладно отримати

Помноживши отриманий вираз (4) на (3), знаходимо відповідь:

\(\frac{U_{2}}{U_{1}}=\frac{1}{4}\)     \(\Rightarrow\)     \(U_{2}=\frac{U_{1}}{4}=\frac{160}{4}=40\) В.

Задача 14.15

На первинну обмотку знижувального трансформатора з коефіцієнтом трансформації k = 20 подана напруга U₁ = 220 В. При цьому у вторинній обмотці, яка замкнута на певне навантаження, тече струм I₂ = 5 А. Активний опір вторинної обмотки r₂ = 0,5 Ом. Нехтуючи втратами у первинній обмотці,

Визначити

напругу \(U_{2}\) на клемах вторинної обмотки.

Розв’язання

Відповідно до означення (14.39), коефіцієнт трансформації

де \(\mathcal{E}_{1}\) – ЕРС самоіндукції в первинній обмотці, \(\mathcal{E}_{2}\) – ЕРС індукції у вторинній обмотці.

За умовою в первинній обмотці втрат немає, тому можна записати:

Для вторинної обмотки, згідно із законом Ома (формула (11.17)),

де \( I_{2}r_{2}\) – спад напруги на активному опорі обмотки.

Відповідно до співвідношень (1) і (2),

\(\mathcal{E}_{2}=\frac{\mathcal{E}_{1}}{k}=\frac{U_{1}}{k}\).

Підставивши цей вираз в співвідношення (3), отримаємо відповідь:

\(U_{2}=\frac{U_{1}}{k}-I_{2}r_{2}\) = 8,5 В.

Найпростішою за властивостями монохроматичною хвилею є плоска хвиля. У рівнянні плоскої монохроматичної хвилі міститься інформація про основні параметри монохроматичної хвилі: амплітуду, період (частоти), швидкість поширення і довжину хвилі (хвильове число). Крім того використовуються такі поняття: фаза, хвильові поверхні, промінь, різниця фаз та різниці ходу.

Уявлення про плоску монохроматичну хвилю можна одержати, якщо уявити нескінченну площину-мембрану, яка здійснює гармонічні коливання в пружному середовищі (рис.15.1). Завдяки силам зчеплення між частинками середовища, ці коливання в усіх точках поширюються паралельно осі OX. Звичайно, коливання поширюються в обидва боки від мембрани. Але оскільки їхні властивості не залежать від напрямку, то надалі будемо вважати, що хвиля поширюється в додатному напрямку осі OX.

З огляду симетрії зрозуміло, що коливання всіх точок середовища в будь-якій площині, паралельній мембрані, повністю однакові. Тому така хвиля називається плоскою.

У пружному середовищі відсутнє поглинання енергії коливань. Тому коливання частинок середовища в плоскій хвилі мають однакову амплітуду і частоту. Але оскільки хвиля поширюється з кінцевою швидкістю, коливання у віддалених від джерела (мембрани) точках починаються з деяким запізненням.

Нехай мембрана і частинки середовища, що безпосередньо прилягають до неї, здійснюють коливання за законом

\(\xi(0,t)=\xi_{0}\cos\frac{2\pi}{t}t\),

де \(\xi\) – відхилення від положення рівноваги в момент часу t частинок середовища (у випадку немеханічної хвилі – це, відповідно, інша величина), розташованих в площині x = 0, \(\xi_{0}\) – амплітуда, T – період коливань.

Частинки, розташовані на відстані x від джерела, почнуть коливання з деяким запізненням \(\tau\). Отже, ці коливання описуються рівнянням

\(\xi(x,t)=\xi_{0}\cos\frac{2\pi}{T}(t-\tau)\).

Якщо хвиля поширюється зі швидкістю v, то \(\tau=x/v\) (див. рис.15.1), і

Рівняння (15.1) називається рівнянням плоскої монохроматичної хвилі, що поширюється уздовж осі OX.  Так само, як у випадку гармонічних коливань, існує кілька рівнозначних способів представлення рівняння монохроматичної хвилі, див. нижче. Рівняння (15.1) дає значення величини \(\xi\) у будь-якій точці простору і у будь-який момент часу.

Усі характеристики гармонічних коливань є також параметрами монохроматичної хвилі. Зокрема, – це амплітуда, період, циклічна або лінійна частота (див. розділ 13 ("Механічні коливання"), формули (13.1), (13.2), (13.3)).

Коливання в монохроматичній хвилі вимушені, вони створюються і підтримуються джерелом. Тому

Швидкість поширення хвилі характеризується швидкістю хвилі v, тобто відстанню, на яку поширюються коливання від джерела за одиницю часу.

У будь-якій заданій точці x = x₀ відповідно до рівняння (15.1) збуджуються гармонічні коливання (рис.15.2а):

початкова фаза яких \(\varphi_{0}\) визначається положенням цієї точки:

Аналогічно в будь-який заданий момент часу t = t₀ значення \(\xi\) залежать від координати за законом:

де

Таким чином, величина \(\xi\) змінюється від точки до точки теж за гармонічним законом (рис.15.2б). При цьому значення \(\xi\) повністю повторюються на відстані \(\lambda\) (рис.15.2.б), яка називається довжиною хвилі. З рівняння (15.3) випливає, що

Можна сказати, що довжина хвилі – це відстань, на яку поширюється хвиля за час одного періоду коливань.

Очевидно також, що

Величину \(\lambda\) можливо також виражати через швидкість v і частоти \(\nu\) або \(\omega\) співвідношеннями:

З використанням \(\lambda\) рівняння хвилі (15.1) можна записати як

Замість періоду T використовують також частоту \(\omega=2\pi/T\), а замість довжини хвилі \(\lambda\) – так зване хвильове число:

При цьому рівняння монохроматичної хвилі записується найбільш компактно:

Коливання у хвилі в кожній точці в кожен момент часу визначаються фазою.

Фазою хвилі називається аргумент функції в рівнянні хвилі, наприклад у (15.7)

У будь-якій заданій точці фаза безперервно змінюється з часом, а в будь-який заданий момент часу вона безперервно змінюється від точки до точки. Для наочного уявлення про розподіл фаз у просторі використовують поняття хвильових поверхонь, а для характеристики напрямків поширення хвилі використовують поняття променів.

Хвильова поверхня (іноді її називають фронтом хвилі) – це поверхня, у всіх точках якої фаза хвилі має одне і теж значення в даний момент часу.

Форма хвильових поверхонь дає наочне уявлення про хвилю. Вона залежить від типу джерела і властивостей середовища. Рівняння хвильових поверхонь знаходять підстановкою фіксованих значень \(\varphi=\varphi_{0}\) та t = t₀ до рівняння фази. Для розглянутої тут хвилі з рівняння (15.8) виходить

\(\varphi_{0}=\omega{t}-kx\)     \(\Rightarrow\)     x = const.

Це означає, що хвильові поверхні являють собою площини, перпендикулярні осі OX, тобто напрямку поширення хвилі (рис.15.3а). Саме тому така хвиля називається плоскою.

Іншим поширеним типом хвиль є сферична хвиля, що створюється точковим джерелом в однорідному ізотропному середовищі. Хвильові поверхні такої хвилі – сфери з центром у джерелі (рис.15.3б).

Промінь – це лінія, уздовж якої хвиля переносить енергію від джерела до даної точки.

У випадку однорідного та ізотропного середовища промені в кожній точці співпадають з напрямком швидкості хвилі і спрямовані уздовж нормалі до хвильової поверхні, що проходить через дану точку.

При розгляді різних хвильових явищ важливу роль відіграє різниця фаз хвилі \(\delta=\varphi_{2}-\varphi_{1}\) у двох точках в один і той же момент часу. Відповідно до рівняння (15.8) і формули (15.6)

де \(\Delta{x}=x_{2}-x_{1}\) – різниця відстаней від цих точок до джерела.

Формулою (15.9) визначається також

При цьому \(\Delta{x}\) – різниця відстаней від джерел до даної точки – називається різницею ходу хвиль (або променів).

Механічні хвилі при визначених частотах коливань, діючи на органи слуху – вуха, створюють слухове відчуття і називаються чутним звуком. Крім чутного звуку, існують інфразвук та ультразвук. За суб'єктивним сприйняттям всі звуки поділяються на музичні звуки та шуми. Усі звуки характеризуються гучністю, а музичні ще й висотою тону та тембром.

Чутний для людини звук утворюють механічні хвилі в середовищі, що мають частоти в діапазоні:

\(\nu=(16\div{20000})\) Гц.

Діапазон частот чутного звуку для інших істот може відрізнятися. Так, кажани чують в ультразвуковому діапазоні частот.

Хвилі с частотами \(\nu<16\) Гц називаються інфразвуком, а з частотами \(\nu>20000\) Гц – ультразвуком.

Звукові хвилі практично ніколи не бувають монохроматичними. Вони несуть коливання різних частот або, як говорять, мають певний спектральний склад. Сприйняття звуку людиною сильно залежить від характеру спектра. Якщо звук складається з усіх можливих частот у широкому діапазоні, то спектр такого звуку називають безперервним. Звуки з безперервним спектром людина сприймає як шуми. Якщо ж звик складається з визначеного набору хвиль з окремими частотами у заданому діапазоні частот, то кажуть, що спектр такого звуку є дискретним. Звуки з дискретним спектром сприймаються як музичні.

Музичні звуки характеризуються висотою і тембром (колоратурою). Висота звуку визначається частотою основного тону, тобто найнижчою частотою в спектрі даного звуку. Більш високі частоти, кратні до основного тону, називаються обертонами або гармоніками.

Набір обертонів і їхні амплітуди визначають тембр звуку – специфічне «забарвлення», що робить звук приємним для слуху і визначає індивідуальне звучання людського голосу і кожного музичного інструмента

Незалежно від спектру всі звуки за силою впливу на вухо характеризуються гучністю. Гучність звуку визначається амплітудою звукової хвилі і чутливістю вуха, яка максимальна в середині звукового діапазону і різко зменшується на краях.

Іншим розповсюдженим типом хвиль є електромагнітні хвилі. Їх виникнення обумовлене здатністю електричних і магнітних полів до взаємних перетворень. Властивості цих полів визначають характерні властивості електромагнітних хвиль: поперечність, гранично велику швидкість поширення і здатність переносити енергію на дуже великі відстані.

Перенесення енергії характеризується інтенсивністю хвилі.

Змінне магнітне поле породжує вихрове електричне поле, а змінне електричне поле, у свою чергу, породжує магнітне поле. Як наслідок, змінне електромагнітне поле здатне "самовідтворюватися", тобто існувати незалежно від тих зарядів, що його створили. При цьому коливання електричних і магнітних полів у відкритому просторі відбуваються не в тому самому місці, як, наприклад, у коливальному контурі, а поширюються з кінцевою швидкістю, утворючи хвилю.

Зауваження. Вихровим поле називають тому, що його силові лінії замкнуті. Вихрове електричне поле може виконувати роботу при переміщенні заряду уздовж замкнутої траєкторії і створювати електричний струм у замкнутому провідному контурі.

Коливання напруженості електричного \(\vec{E}\) і індукції магнітного \(\vec{B}\) полів відбуваються в напрямках, перпендикулярних напрямку поширення хвилі, тобто

Крім того, коливання полів відбуваються в однаковій фазі і у взаємно перпендикулярних напрямках так, що вектори \(\vec{E}\) і \(\vec{B}\) утворюють з вектором швидкості хвилі \(\vec{v}\) праву трійку, як показано на рис.15.4.

З рис. 15.4 видно, напрямки векторів у послідовності \(\vec{E}\), \(\vec{B}\), \(\vec{v}\), або \(\vec{B}\), \(\vec{v}\), \(\vec{E}\), або \(\vec{v}\), \(\vec{B}\), \(\vec{E}\), пов'язані правилом правого гвинта.

Швидкість поширення електромагнітних хвиль у вакуумі є універсальною фізичною сталою, яка майже точно дорівнює

\(c=3\cdot{10^{8}}\) м/с.

(Точне значення \(c=(299792458\pm{1,2})\) м/с)

Швидкість поширення електромагнітних хвиль у речовині залежить від діелектричної \(\varepsilon\) і магнітної \(\mu\) проникностей речовини:

Практично всі речовини, в яких можуть поширюватися електромагнітні хвилі, є слабо магнітними (у них \(|\mu-1|\lt{0,0001}\)). Для них можна вважати \(\mu=1\) і

Швидкість електромагнітних хвиль співпадає зі швидкістю поширення світла, що свідчить про електромагнітну природу світла. Тому електродинаміка є теоретичною базою хвильової оптики.

Електромагнітна хвиля переносить енергію, що випромінюється джерелом, в різні точки простору. Основною енергетичною характеристикою хвилі є інтенсивність.

Інтенсивність I чисельно дорівнює енергії, що переноситься хвилею за одиницю часу крізь одиничну площину, перпендикулярну до напрямку поширення хвилі:

де \(\Delta{W}\) – енергія, що переноситься протягом часу \(\Delta{t}\) через площину \(\Delta{S}_{\bot}\).

Одиниця інтенсивності – 1 Вт/м².

Розв'язування задач на хвилі проводять за схемою, викладеною у вступі (див. "Етапи розв'язування задач"), з урахуванням специфіки хвильових процесів.

1. При розгляді механічних хвиль, зокрема звукових, потрібно пам'ятати, що швидкість поширення хвилі і швидкість руху часток середовища – це зовсім різні швидкості. Перша визначається фізичними властивостями середовища, а друга – амплітудою і частотою хвилі.

2. Стандартні рівняння і формули, наведені в теоретичних відомостях, стосуються випадку, коли джерело і приймач (спостерігач) нерухомі відносно середовища, у якому поширюється хвиля. Але у випадку руху джерела або приймача (спостерігача) характеристики хвилі змінюються. Тому такі задачі вимагають особливої уваги.

Задача 15.1. Точки A, B та C лежать на лінії поширення плоскої монохроматичної хвилі. Точки B та C віддалені від точки A на відстані l₁ = 15 см та l₂ = 30 см відповідно. Швидкість поширення хвилі v = 0,6 м/с. Коливання в точці A відбуваються за законом \(\xi_{A}=0,05\cos(2\pi{t})\), м.

Задача 15.2. Джерело створює плоску звукову хвилю з частотою \(\nu\) = 500 Гц і амплітудою \(\xi_{m}=5\) мкм. Коливання в джерелі відбуваються за законом косинуса з нульовою початковою фазою. Для точки, що віддалена від джерела на відстань l = 170 м, і моменту часу t = 1 c. Визначити: А) зміщення частинок середовища від положення рівноваги \(\xi\); Б) швидкість їх коливального руху u; В) прискорення частинок a. Швидкість звуку прийняти v = 340 м/с.

Задача 15.3. У плоскій монохроматичній хвилі частота коливань частинок середовища \(\nu=10\) Гц. Різниця фаз коливань у двох точках, які лежать на лінії поширення хвилі на відстані \(\Delta{l}=100\) см одна від одної, дорівнює \(\Delta\varphi=\pi/4\). Визначити швидкість поширення хвилі v.

Задача 15.4. По озеру рухається катер, хвилі від якого дістаються до берега за час t = 1 хв. Відстань між гребенями хвиль l = 0,5 м, час між ударами хвиль об берег \(\tau=0,5\) с. Визначити відстань L від катера до берега.

Задача 15.5. Літак рухається горизонтально з надзвуковою швидкістю на висоті H = 4 км над землею. Спостерігач чує звук через час \(\tau= 10\) c після того, як літак пролетів над ним. Визначити  швидкість літака u. Швидкість звуку взяти v = 330 м/с.

Задача 15.6. Тепловоз подає звуковий сигнал з частотою \(\nu_{0}=400\) Гц. Пасажир, який стоїть на платформі сприймає частоту сигналу \(\nu=380\) Гц. Визначити: швидкість V та напрям руху тепловоза. Швидкість звуку в повітрі прийняти v = 340 м/с.

Задача 15.7. Відстань між гребенями хвиль на морі l = 5 м. Коли катер йде в напрямку поширення хвиль, вони б'ють у ніс катера з частотою n₁ = 2 удари за секунду. Якщо ж катер рухається назустріч хвилям, то удари в ніс йдуть з частотою n₂ = 4 удари за секунду. Визначити швидкість поширення хвиль v та швидкість руху катера V.

Задача 15.8. Вхідний коливальний контур радіоприймача з плоским повітряним конденсатором налаштований на довжину хвилі \(\lambda_{1}=200\) м. Визначити довжину хвилі \(\lambda_{2}\), на яку буде налаштований контур, якщо між обкладинками конденсатора розмістити діелектричну пластину з проникністю \(\varepsilon=6\), товщина якої в k = 3 рази менша ніж відстань між пластинами.

Задача 15.9. Частота електромагнітної хвилі \(\nu=1\) МГц. Визначити довжину електромагнітної хвилі: А) \(\lambda_{0}\) у вакуумі; Б) \(\lambda\) у немагнітному (\(\mu=1\)) діелектричному середовищі з діелектричною проникністю \(\varepsilon=2,25\).

Задача 15.10. На відстані l = 30 км від радіолокатора знаходиться літак. Визначити максимальне число імпульсів n, що може випромінювати локатор за \(\tau=1\) с для спостереження за літаком.

Задача 15.1

Точки A, B та C лежать на лінії поширення плоскої монохроматичної хвилі. Точки B та C віддалені від точки A на відстані l₁ = 15 см та l₂ = 30 см відповідно. Швидкість поширення хвилі v = 0,6 м/с. Коливання в точці A відбуваються за законом \(\xi_{A}=0,05\cos(2\pi{t})\), м.

Записати:
рівняння коливань в точках B та C.

Розв’язання

Коливання в заданій точці хвилі визначаються рівнянням (15.2) і співвідношенням (15.2a). Згідно з умовою задачі в точці A початкова фаза \(\varphi=0\), її координату приймемо x_A = 0. Тоді, x_B = l₁, x_C = l₂. Оскільки хвиля поширюється зі швидкістю v, то коливання в точках B та C відстають по фазі від коливань у точці A і згідно з рівнянням (15.2) мають вигляд:

\(x_{B}=x_{m}\cos\left(2\pi{t}-\frac{2\pi{l_{1}}}{v}\right)\);

\(x_{C}=x_{m}\cos\left(2\pi{t}-\frac{2\pi{l_{2}}}{v}\right)\).

У числовому вигляді:

\(x_{B}=0.05\cdot\cos\left(2\pi{t}-\frac{2\pi\cdot{0,15}}{0,06}\right)=0,05\sin(2\pi{t})\);

\(x_{B}=0.05\cdot\cos\left(2\pi{t}-\frac{2\pi\cdot{0,3}}{0,06}\right)=-0,05\cos(2\pi{t})\).

Задача 15.2

Джерело створює плоску звукову хвилю з частотою \(\nu\) = 500 Гц і амплітудою \(\xi_{m}=5\) мкм. Коливання в джерелі відбуваються за законом косинуса з нульовою початковою фазою. Для точки, що віддалена від джерела на відстань l = 170 м, і моменту часу t = 1 c.

визначити:

А) зміщення частинок середовища від положення рівноваги \(\xi\);

Б) швидкість їх коливального руху u;

В) прискорення частинок a.

Швидкість звуку прийняти v = 340 м/с.

Розв’язання

A)   Згідно з рівнянням (15.1) і формулою (13.2) можна записати:

Підставивши числові дані, отримаємо:

\(\xi=5\cdot{10^{-6}}\cdot\cos\left(1000\pi-\frac{1000\pi\cdot{170}}{340}\right)=5\cdot{10^{-6}}\) м = 5 мкм.

Б) Швидкість коливального руху частинок у хвилі – це похідна від зміщення по часу (формула (1.5)): \(u=\xi^{\prime}(t)\). Взявши похідну від функції (1), дістанемо

У числах

\(u=-1000\pi\cdot{5}\cdot{10^{-6}}\cdot\sin\left(1000\pi\cdot{1}-\frac{1000\pi\cdot{170}}{340}\right)=0\).

В) Прискорення частинок – це похідна швидкості коливального руху по часу (формула (1.7)): \(a=u^{\prime}(t)\). Взявши похідну від функції (2), знаходимо:

\(a=-(2\pi\nu)^{2}\xi\),

де, згідно з результатом пункту А), \(\xi=5\cdot{10^{-5}}\) м. Отже

\(a=-(2\pi\cdot{500})^{2}\cdot{5}\cdot{10^{-6}}=-49,3\) м/с².

Задача 15.3

У плоскій монохроматичній хвилі частота коливань частинок середовища \(\nu=10\) Гц. Різниця фаз коливань у двох точках, які лежать на лінії поширення хвилі на відстані \(\Delta{l}=100\) см одна від одної, дорівнює \(\Delta\varphi=\pi/4\).

Визначити

швидкість поширення хвилі v.

Розв’язання

Відповідно до формули (15.9) можна записати:

де \(\Delta{l}\) – задана відстань між точками, \(\lambda\) – довжина хвилі.

Швидкість поширення хвилі v виражається через довжину хвилі на основі формули (15.4a):

Виразивши величину l з співвідношення (1) і підставивши її у формулу (2), дістанемо

\(v=\frac{2\pi\nu\Delta{l}}{\Delta\varphi}=\frac{2\pi\cdot{10}\cdot{1}}{\pi/4}=80\) м/с.

Задача 15.4

По озеру рухається катер, хвилі від якого дістаються до берега за час t = 1 хв. Відстань між гребенями хвиль l = 0,5 м, час між ударами хвиль об берег \(\tau=0,5\) с.

Визначити

відстань L від катера до берега.

Розв’язання

Відстань між гребнями хвиль – то є довжина хвилі, час між ударами хвиль об берег дорівнює періоду коливань. Скориставшись зв'язком між довжиною хвилі \(\lambda\), періодом коливань T та швидкістю поширення хвилі v (формула (15.4)), знайдемо

\(v=\frac{\lambda}{T}=\frac{l}{\tau}\).

Тоді відстань, яку проходить хвиля за час t, становить

\(L=vt=\frac{l}{\tau}t=\frac{0,5}{0,5}\cdot{60}=60\) м.

тобто катер пливе на відстані 60 м від берега.

Задача 15.5

Літак рухається горизонтально з надзвуковою швидкістю на висоті H = 4 км над землею. Спостерігач чує звук через час \(\tau= 10\) c після того, як літак пролетів над ним.

Визначити
швидкість літака u. Швидкість звуку взяти v = 330 м/с.

Розв’язання

Літак у кожній точці свого перебування випромінює сферичну хвилю. Обвідна всіх цих сферичних хвильових поверхонь утворює конус, який являє собою фронт звукової хвилі, що поширюється від літака. На рис.5 показаний перетин деяких з цих сферичних поверхонь з площиною рисунка та слід обвідної O₂C. З рис.5 можна збагнути, що спостерігач (точка C) чує звук, який був випромінений літаком у точці O₁. В той момент, коли хвиля дійшла до спостерігача, літак вже знаходиться у точці O₂.

Врахуємо, що обвідна сферичних хвиль O₂C перпендикулярна до радіусів сфер. Отже на рис.5 трикутники \(\Delta{O}_{1}O_{2}C\), \(\Delta{A}O_{2}B\) та \(\Delta{A}CB\) прямокутні та подібні. За умовою задачі літак долає відстань AO₂ за час \(\tau\), тому

\(AO_{2}=u\tau\).

За цей же час звукова хвиля, що була випромінена літаком у точці A, доходить до точки B, отже

\(AB=v\tau\).

З трикутника AO₂B маємо:

\(\sin\alpha=\frac{AB}{AO_{2}}=\frac{v}{U}\).

З трикутника ABC:

\(H=\frac{AB}{\cos\alpha}=\frac{v\tau}{\sqrt{1-\sin^{2}\alpha}}=\frac{v\tau}{\sqrt{1-(v/u)^{2}}}\).

Після нескладних перетворень з останнього виразу знаходимо

\(u=\frac{v}{\sqrt{1-(v\tau/H)^{2}}}=\frac{330}{\sqrt{1-(330\cdot{10}/4000)^{2}}}=584\) м/с \(\approx{2100}\) км/год.

Задача 15.6

Тепловоз подає звуковий сигнал з частотою \(\nu_{0}=400\) Гц. Пасажир, який стоїть на платформі сприймає частоту сигналу \(\nu=380\) Гц.

Визначити:

швидкість V та напрям руху тепловоза. Швидкість звуку в повітрі прийняти v = 340 м/с.

Розв’язання

Приступаючи до розв'язання цієї і подібних задач, слід чітко усвідомити таке. В загальній теорії рівняння хвилі ((15.1), (15.5), (15.7)), а також її параметри (період T, частоти \(\nu\) та \(\omega\), швидкість v, довжина хвилі \(\lambda\)) визначені для випадку, коли джерело і спостерігач нерухомі відносно середовища, в якому поширюється хвиля. В такому разі частота (або період) хвилі дорівнює частоті коливань в джерелі. При цьому швидкість поширення хвилі (швидкість поширення коливань відносно середовища, яку можна знайти у довідкових таблицях) залежить тільки від властивостей середовища.

Але якщо джерело або спостерігач (чи обоє) рухаються відносно середовища, характеристики хвилі змінюються. Цим і пояснюється те, що для пасажира на платформі (точка S_п на рис.6) частота звуку \(\nu\) відрізняється від частоти джерела \(\nu_{0}\), розміщеного на рухомому тепловозі.

Згідно з формулою (15.4a) пасажир (спостерігач) зафіксує частоту сигналу

де \(\lambda\) – довжина звукової хвилі, створюваної рухомим тепловозом. Довжина хвилі – це відстань між сусідніми "гребенями" хвилі (для звукової хвилі такими "гребенями" є точки з максимальним значеннями тиску або концентрації молекул (густини) повітря). Джерело на тепловозі посилає ці гребені з інтервалом часу T₀, отже

де \(v^{\prime}\) – швидкість хвилі відносно тепловоза у напрямку до пасажира.

Швидкість \(\vec{v}^{\prime}\) виражається через швидкість звуку \(\vec{v}\) та швидкість тепловоза \(\vec{V}\) класичною формулою додавання швидкостей (1.10):

де знак "+" відноситься до випадку, коли тепловоз віддаляється від пасажира (рис.6а), а знак "-" – коли наближається (рис.6б).

Підставивши вираз (3) у формулу (2), отримаємо

\(\lambda=\frac{v\pm{V}}{\nu_{0}}\).

Таким чином, у відповідності з формулою (1)

\(\nu=\frac{v\nu_{0}}{v\pm{V}}=\frac{\nu_{0}}{1\pm{V/v}}\).

Згідно з умовою \nu\lt\nu_{0}\), отже

тобто тепловоз віддаляється від пасажира.

З формули (4) після елементарних викладок отримаємо:

\(V=\left(\frac{\nu_{0}}{\nu}-1\right)v\).

У числах

\(V=\left(\frac{400}{380}-1\right)\cdot(340)=17,9\) м/с = 64,4 км/год.

Примітка. Аналогічно до наведених міркувань і викладок можна отримати формули частоти звуку для випадку, коли рухаються як джерело, так і спостерігач. Вперше такі співвідношення були отримані Доплером. Тому зміна частоти, що сприймається при русі джерела і приймача, називається ефектом Доплера. Його прояв ви можете подивитися і почути.

Задача 15.7

Відстань між гребенями хвиль на морі l = 5 м. Коли катер йде в напрямку поширення хвиль, вони б'ють у ніс катера з частотою n₁ = 2 удари за секунду. Якщо ж катер рухається назустріч хвилям, то удари в ніс йдуть з частотою n₂ = 4 удари за секунду.

Визначити

швидкість поширення хвиль v та швидкість руху катера V.