ФІЗИКА. Вчимося розв'язувати задачі. "КОЛИВАННЯ ТА ХВИЛІ". Компенсаційний курс
Розділ І. Механічні коливання
2.1. Рівняння і характеристики гармонічних коливань
У задачах, де потрібно складати рівняння гармонічних коливань за заданими характеристиками і початковими умовами, іноді виникають проблеми з визначенням початкової фази. Тож необхідно пам'ятати, що для її визначення треба використовувати обидві початкові умови (x(0), v(0)), бо тільки однією початкова фаза визначається неоднозначно.
Для визначення характеристик гармонічних коливань за заданим рівнянням слід записати його числовому вигляді й, порвнюючи з відповідним рівнянням із теорії, встановити значення шукаих величин. При цьому слід пам'ятати, що коли в умові не вказано одиниці вимірювання, то значення величин по замовчуванню подано в основних одиницях СІ.
Задача 1.1. Точка здійснює гармонічні коливання з періодом T = 1,57 c і амплітудою A = 12 см. Записати рівняння руху точки x(t), якщо в початковий момент часу вона має координату x0 = 6 см і віддаляється від положення рівноваги.
Задача 1.2. Точка здійснює гармонічні коливання так, що на відстанях x1 = 3 см і x2 = 5 см від положення рівноваги її швидкість становить v1 = 10 см/с і v2 = 6 см/с, відповідно. Визначити циклічну частоту \(\omega\) й амплітуду A коливань точки.
Задача 1.3. Визначити середню шляхову швидкість \(\langle{v}\rangle\) тіла, що здійснює гармонічні коливання, якщо його максимальна швидкість складає \(v_{m}\) = 10 м/с.
Задача 1.1
Точка здійснює гармонічні коливання з періодом T = 1,57 c і амплітудою A = 12 см.
Записати
рівняння руху точки x(t), якщо в початковий момент часу вона має координату x0 = 6 см і віддаляється від положення рівноваги.
|
Дано: T = 1,57 c
A = 12 см
\(x_{0}\) = 6 см
|
|
x(t) - ?
|
Розв’язання
Оскільки в початковий момент часу ні координата, ні швидкість точки не дорівнюють нулю, то немає значення, яку функцію вибрати для опису коливань. Отож будемо шукати рівняння x(t) у вигляді
|
|
\(x(t)=A\cos\left(\frac{2\pi}{T}t+\varphi_{0}\right)\). |
(1) |
Значення A і T задані, отже, задача зводиться до визначення початкової фази \(\varphi_{0}\). Підставивши в рівняння (1) значення t = 0, x0 і A, одержимо
\(6=12\cos\varphi_{0}\) \(\Rightarrow\) \(\cos\varphi_{0}=\frac{1}{2}\) \(\Rightarrow\) \(\varphi_{0}=\pm\frac{\pi}{3}\).
Для вибору знаку \(\varphi_{0}\) врахуємо, що за умовою у початковий момент напрям швидкості точки збігається з напрямом осі OX, тобто \(v_{0x}>0\). Проекція швидкості \(v_{0x}=x^{\prime}(t)\), тому відповідно до рівняння (1) отримаємо
\(v_{x}=x^{\prime}(t)=-A\frac{2\pi}{T}\cos\left(\frac{2\pi}{T}\cdot{t}+\varphi_{0}\right)\).
При t = 0
\(v_{0x}=-A\frac{2\pi}{T}\sin\varphi_{0}\).
Оскільки \(v_{0x}>0\), то
\(\sin\varphi_{0}<0\) \(\Rightarrow\) \(\varphi_{0}<0\).
Отже, початкова фаза \(\varphi_{0}=-\pi/3\).
Підставивши в рівняння (1) всі числові значення, отримаємо відповідь:
\(x(t)=12\cos\left(4t-\pi/3\right)\), см.
Зауваження. Зверніть увагу на те, що при складанні рівняння коливань у відповіді всі величини, окрім часу, повинні бути представлені в числовому вигляді.
Задача 1.2
Точка здійснює гармонічні коливання так, що на відстанях x1 = 3 см і x2 = 5 см від положення рівноваги її швидкість становить v1 = 10 см/с і v2 = 6 см/с, відповідно.
Визначити
циклічну частоту \(\omega\) й амплітуду A коливань точки.
|
Дано: \(x_{1}\) = 3 см
\(v_{1}\) = 10 см/с
\(x_{2}\) = 5 см
\(v_{2}\) = 6 см/с
|
|
A - ?
\(\omega\) - ?
|
Розв’язання
Припустимо, що рівняння руху точки має вигляд
|
|
\(x=A\sin(\omega{t}+\varphi_{0})\), |
(1) |
де \(\varphi_{0}\) – початкова фаза, t – час. Тоді її швидкість
|
|
\(v_{x}=x^{\prime}(t)=A\omega\cos(\omega{t}+\varphi_{0})\). |
(2) |
Виключимо з рівнянь (1) і (2) час t, скориставшись основною тригонометричною тотожністю \(\sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha=1\):
|
|
\(\left. \begin{align} \sin(\omega{t}+\varphi_{0})=\frac{x}{A} \\ \cos(\omega{t}+\varphi_{0})=\frac{x}{A\omega} \\ \end{align} \right\} \) \(\Rightarrow\) \(\frac{x^{2}}{A^{2}}+\frac{v^{2}}{A^{2}\omega^{2}}=1\). |
(3) |
(Такий прийом дуже часто є продуктивним у задачах на гармонічні коливання, коли немає необхідності у визначенні моменту часу, або він не заданий в умові задачі).
Відтак, записавши вирази (3) для обох пар заданих величин ((x1, v1); (x2, v2)) та прирівнявши їхні ліві частини, отримаємо шукану частоту:
\(\omega=\sqrt{\frac{v_{1}^{2}-v_{2}^{2}}{x_{2}^{2}-x_{1}^{2}}}\) = 2 c-1,
а потім із одного з них — амплітуду
А =5,83 см.
Задача 1.3
Визначити
середню шляхову швидкість \(\langle{v}\rangle\) тіла, що здійснює гармонічні коливання, якщо його максимальна швидкість складає \(v_{m}\) = 10 м/с.
|
Дано: \(v_{m}\) = 10 м/с
|
|
\(\langle{v}\rangle\) - ?
|
Розв’язання
Середня шляхова швидкість – це відношення пройденого шляху до часу (див. [І], ф-ла (1.4)):
\(\langle{v}\rangle=\frac{S}{t}\).
Отже, якщо розглянути два крайні положення тіла C і D (рис. 3), то відстань між ними S = 2A (А – амплітуда коливань) воно проходить за час t = T/2 у пів періоду коливань, і шукана середня шляхова швидкість дорівнює
|
|
\(\langle{v}\rangle=\frac{4A}{T}\). |
(1) |
У той же час максимальна швидкість тіла при гармонічних коливаннях за формулою (1.5б) складає:
\(v_{m}=A\omega=A\frac{2\pi}{T}\).
Тож
\(T=\frac{2\pi{A}}{v_{m}}\),
де \(\omega\) – колова (циклічна) частота.
Підставивши цей вираз у формулу (1), знайдемо відповідь:
\(\langle{v}\rangle=\frac{4Av_{m}}{2\pi{A}}=\frac{2v_{m}}{\pi}\) ≈ 6,4 м/с.