ФІЗИКА. Вчимося розв'язувати задачі. "КОЛИВАННЯ ТА ХВИЛІ". Компенсаційний курс
Розділ І. Механічні коливання
1.4. Енергія гармонічних коливань
|
|
\(W_{п}=\frac{kx^{2}}{2}\). |
(1.19) |
Отже згідно з рівнянням (1.1), в будь-який момент часу вона дорвнює
|
|
\(W_{п}=\frac{kx_{m}^{2}}{2}\cos^{2}(\omega{t}+\varphi_{0})\), |
(1.19a) |
де k – жорсткість пружини, xm – амплітуда коливань.
Формула (1.19) зберігає чинність і для математичного маятника, де потенціальна енергія коливань визначається роботою проти рівнодійної сил тяжіння та натягу підвісу при відхиленні маятника від положення рівноваги. При цьому величина k визначається виразом (1.16):
\(k=\frac{mg}{l}\).
Кінетична енергія гармонічних коливань
|
|
\(W_{к}=\frac{mv^{2}}{2}\) |
|
у відповідності до рівняння (1.5) виражається як
|
|
\(W_{к}=\frac{mv_{m}^{2}}{2}\sin^{2}(\omega{t}+\varphi_{0})\), |
(1.20) |
де m – маса, vm – амплітуда швидкості тіла.
Якщо за допомогою співвідношень (1.5б) і (1.11) максимальну потенціальну енергію у рівнянні (1.19а) і максимальну кінетичну енергію у рівнянні (1.20) виразити через масу тіла m та частоту \(\omega\) й амплітуду коливань xm, то вийде:
|
|
\(\frac{mv_{m}^{2}}{2}=\frac{kx_{m}^{2}}{2}=\frac{m\omega^{2}x_{m}^{2}}{2}=W_{0}\). |
|
З урахуванням цього повна енергія гармонічних коливань у будь-який момент часу
\(W=W_{к}+W_{п}=W_{0}\left(\cos^{2}(\omega{t}+\varphi_{0})+\sin^{2}(\omega{t}+\varphi_{0})\right)=W_{0}\).
Отже, як і говорилося напочатку,
|
повна енергія гармонічних коливань зберігається: |
|||
|
|
\(W_{п}+W_{к}=\) const. |
|
|
Цей результат має просте пояснення: гармонічні коливання можливі тільки тоді, коли відсутні сили тертя й опору, тобто не відбувається перетворення механічної енергії на інші види.