ФІЗИКА ДЛЯ БАКАЛАВРІВ. КОЛИВАННЯ І ХВИЛІ: 4. Вільні електромагнітні коливання

ФІЗИКА ДЛЯ БАКАЛАВРІВ. КОЛИВАННЯ І ХВИЛІ

Назад: 3. Загасаючі та вимушені механічні коливання

Далее: 5. Вимушені гармонічні коливання в контурі

Частина І. КОЛИВАННЯ

4. Вільні електромагнітні коливання

Уже говорилося, що спостерігаються та використовуються на практиці коливальні процеси різної природи. Зокрема, велику роль у житті людини відіграють електромагнітні коливання – періодичні зміни струмів в електричних колах або характеристик електричного та магнітного полів. Це стосується як вимушених коливань, які створюються спеціальними пристроями, так і вільних коливань, які існують завдяки здатності електричного і магнітного полів до взаємних перетворень (ЕЛЕКТРИКА І МАГНЕТИЗМ. Частина V).

Вільні електромагнітні коливання розглядаються далі в наступних питаннях:

4.1. Коливальний контур

4.2. Вільні коливання в ідеальному контурі

4.3. Вільні загасаючі коливання в контурі

Контрольні запитання

4.1. Коливальний контур

Послідовний контур. Електромагнітні коливання спостерігаються в коливальних контурах – колах, що включають конденсатори, котушки індуктивності та резистори. Відповідно, електричними параметрами контура є опір R, індуктивність L і ємність C. Зазвичай роль резистора виконують з'єднувальні провідники. Коливальні контури можуть мати різну конфігурацію, але при вивченні загальних властивостей електромагнітних коливань розглядають найпростіші послідовні контури, в яких всі елементи сполучаються послідовно. Крім того, в теорії конденсатор і котушка контура розглядають як ідеальні. А саме, вважають, що електричне поле конденсатора та магнітне поле котушки повністю зосереджені всередині цих елементів, що виключає можливість випромінювання контуром електромагнітної енергії в простір. Також приймають, що конденсатор заповнено ідеальним діелектриком, а котушка має незмінну індуктивність L = const, і її власний опір r включають в опір резистора R. Окрім цього, в загальному випадку контур включає зовнішнє джерело (генератор) змінної ЕРС \( \mathcal{E}\). Принципова електрична схема такого контура показана на рис. 4.1.

Загальне рівняння послідовного контура. Коли в колі відбуваються електричні коливання, струм є нестаціонарним, тобто в різні моменти часу його величина не однакова. Але й у різних точках провідника величина струму в заданий момент часу теж є різною. Це пояснюється тим, що електричне поле, котре створюється джерелом і визначає величину струму в кожній точці провідника, поширюється вздовж нього із скінченною швидкістю. Через це виникає ефект запізнення – у віддалених від джерела точках задане значення струму встановлюється пізніше, ніж на вході кола. Проте через дуже велику швидкість поширення поля (c = 3·10⁸ м/с), ефект запізнення зазвичай є неістотним, і струм у контурі можна вважати квазістаціонарним (див. ЕЛЕКТРИКА І МАГНЕТИЗМ. Частина ІІІ, п. 3.1). За такої умови процеси в контурі є підпорядковані певному диференціальному рівнянню, яке можна встановити на основі загальних законів електричного струму.

Складемо диференціальне рівняння послідовного коливального контура, (рис. 4.1).

За другим правилом Кірхґофа (ЕЛЕКТРИКА І МАГНЕТИЗМ, частина.III, п. 2.5) сума спадів напруги на всіх ділянках замкненого контура дорівнює сумі всіх ЕРС, які діють у ньому. В коливальному контурі таких ЕРС дві: ЕРС генератора та ЕРС самоіндукції котушки, отож

\( {U}_{R}+U_{C}=\mathcal{E}+\mathcal{E}_{C} \).

(4.1)

Спад напруги на резисторі визначається законом Ома \( {U}_{R}={IR} \), спад напруги на конденсаторі дорівнює різниці потенціалів між обкладками і визначається його зарядом та ємністю \({U}_{C}=q/{C}\), а ЕРС самоіндукції за законом Фарадея (ЕЛЕКТРИКА І МАГНЕТИЗМ, частина. IV, п. 1.2) \( \mathcal{E}_{C}=-L(\mathrm{d}I/\mathrm{d}t) \) . Отже, маємо:

\( {IR}+\frac{q}{C}=\mathcal{E}-L\frac{\mathrm{d}I}{\mathrm{d}t} \).

(4.2)

При протіканні струму в контурі кожна порція електрики, що проходить провідником за час dt, потрапляє на пластину конденсатора і змінює його заряд на відповідну величину dq. Тому в (4.2) величина I дорівнює першій, а \(\mathrm{d}I/\mathrm{d}{t}\) – другій похідній заряду конденсатора по часу:

\({I}=\frac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}t}, \) \(\frac{\mathrm{d}I}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}^{2}q}{\mathrm{d}t^{2}}\).

(4.3)

Зробимо ці підстановки в (4.2):

\( {L}\frac{\mathrm{d}^{2}q}{\mathrm{d}t^{2}}+R\frac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}t}+\frac{q}{C}=\mathcal{E}\)

(4.4)

і введемо позначення

\(\beta=\frac{R}{2L}\),

(4.5)

\(\omega_{0}^{2}=\frac{1}{LC}\).

(4.6)

Відтак отримаємо загальне диференціальне рівнянням послідовного коливального контура:

\( \frac{\mathrm{d}^{2}q}{\mathrm{d}t^{2}}+2\beta\frac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}t}+\omega_{0}^{2}q=\frac{\mathcal{E}}{L}\),

(4.7)

яке відображає поведінку заряду конденсатора контура. Проінтегрувавши (розв’язавши) його, можна визначити, за яким законом q(t) змінюються з часом заряд конденсатора, а відтак і струм в котушці та напруги на всіх ділянках контура за будь яких заданих умов.

4.2 Вільні коливання в ідеальному контурі

Коливання заряду та напруги на конденсаторі. Власна частота контура. Якщо в контурі R = 0, то він називається ідеальним. Розглянемо процеси в такому контурі за відсутності генератора (рис. 4.2). У цьому випадку в (4.7) \( \beta =0 \) і \( \mathcal{E}=0 \) , отже

	\( \frac{\mathrm{d}^{2}q}{\mathrm{d}t^{2}}+\omega_{0}^{2}q={0}\).	(4.8)

Рівняння (4.8), згідно з (1.18), є рівнянням гармонічних коливань. Це означає, що, коли зарядити конденсатор певним зарядом q_m і надати контур самому собі, в ньому виникнуть гармонічні коливання заряду q(t) і напруги U_C(t) конденсатора, які можна описати загальними рівняннями (1.4):

\( {q(t)}=q_{m}\cos{(\omega_{0}t+\varphi_{0})}\)_,

(4.9)

U_C(t) = \(\cos{(\omega_{0}t+\varphi_{0})}\),

(4.9a)

Частота цих коливань, яку називають власною частотою контура, згідно з (4.6), визначається формулою:

\( \omega_{0}=\frac{1}{\sqrt{LC}}\), або \(\nu_{0}=\frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}\),

(4.10)

а період – формулою Томсона:

\( {T_{0}}=2\pi\sqrt{LC}\)_.

(4.10а)

Коливання струму та напруги на котушці індуктивності. Рівняння вільних коливань струму в котушці індуктивності контура знайдемо з виразів (4.3), скориставшись рівнянням (4.9):

\( I(t)=-I_{m}\sin{(\omega_{0}t+\varphi_{0})}\)_,

(4.12)

де амплітуда струму

\({I}_{m}=\omega_{0}q_{m}=\omega_{0}CU_{Cm}\).

(4.12а)

Задля зручності перепишемо рівняння (4.12) у вигляді:

\(I\left( t \right)={{I}_{m}}\cos \left( {{\omega }_{0}}t+{{\varphi }_{0}}+\frac{\pi }{2} \right)\)_.

(4.13)

Порівнюючи це рівняння з (4.11), бачимо, що

вільні коливання струму з в ідеальному контурі випереджають за фазою коливання напруги конденсатора на π/2 , або на чверть періоду.

Для встановлення рівняння коливань напруги на котушці врахуємо, що при вільних коливанннях в ідеальному контурі в рівнянні (4.2) R = 0 і \( \mathcal{E}={0}\). Отже,

\( \frac{q}{C}+L\frac{\mathrm{d}I}{\mathrm{d}t}={0}\).

З іншого боку, за другим правилом Кірхґофа за відсутності зовнішнього джерела,

\( {U}_{C}+U_{L}={0}\).

Таким чином,

\( {U}_{L}=L\frac{\mathrm{d}I}{\mathrm{d}t}\).

(4.14)

Визначивши похідну (\(\mathrm{d}I/\mathrm{d}{t}\)) з (4.12), отримаємо:

	\( {U_{L}}(t)=-U_{Lm}\cos{(\omega_{0}t+\varphi_{0})}\), або
	\( {U_{L}}(t)=U_{Lm}\cos{(\omega_{0}t+\varphi_{0}+\pi)}\),	(4.15)

де амплітуда напруги на котушці індуктивності

\( {U}_{Lm}=\omega_{0}LI_{m}\).

(4.15а)

Порівнюючи рівняння (4.15) і (4.13), бачимо, що

вільні коливання струму в ідеальному контурі відстають від коливань напруги на котушці індуктивності на π/2, або на чверть періоду.

Так само і рівнянь (4.15) і (4.13) випливає, що

в ідеальному контурі вільні коливання напруги на конденсаторі та на котушці індуктивності відрізняються за фазою на π, тож відбуваються в протифазі.

Фазові співвідношення між коливаннями струму та напруг в ідеальному контурі наочно показує рис.4.3:

Перетворення енергії в ідеальному коливальному контурі. Заряджений конденсатор і котушка індуктивності із струмом мають певний запас енергії, що зосереджена в їхніх полях – електричному та магнітному. Сума цих енергій складає енергію коливань у контурі. Позаяк в ідеальному контурі немає випромінювання та виділення у провідниках тепла при протіканні струму, то немає жодних каналів перетворення електромагнітної енергії на інші види. Тому

енергія вільних коливань в ідеальному контурі зберігається.

Ці якісні міркування можна обґрунтувати розрахунками. З електродинаміки відомо, що електрична енергія зарядженого конденсатора виражається як

\( {W}_{C}=\frac{CU^{2}}{2}=\frac{q^2}{2C}\).

(4.16)

Так само магнітна енергія котушки індуктивності визначається її індуктивністю та струмом:

\( {W}_{L}=\frac{LI^{2}}{2}\).

(4.17)

У коливальному контурі ці енергії, згідно з (4.11) і (4.12) визначаються рівняннями :

	\( {W}_{C}=W_{Cm}\cos^{2}{(\omega_{0}t+\varphi_{0})}\), де \({W}_{Cm}=\frac{CU_{m}^{2}}{2}=\frac{q_{m}^{2}}{2C}\)_,	(4.18)
	\( {W}_{L}=W_{Lm}\sin^{2}{(\omega_{0}t+\varphi_{0})}\), де \({W}_{Lm}=\frac{LI_{m}^{2}}{2}\).	(4.19)

Ці рівняння за допомогою відомих формул тригонометрії можна подати інакше:

\( {W}_{C}=\frac{1}{2}W_{Cm}(1+\cos{(2\omega_{0}t+2\varphi_{0})}{)} \),

\( {W}_{L}=\frac{1}{2}W_{Lm}(1-\cos{(2\omega_{0}t+2\varphi_{0})}{)}\).

Звідси випливає, що коливання енергій W_C і W_L відбуваються навколо їхніх середніх величин із частотою ω′ = 2ω₀ і в протифазі. Крім того з виразів (4.10) і (4.12а) маємо:

\( {I}_{m}=\frac{1}{\sqrt{LC}}\cdot{CU_{Cm}}\) \(\Rightarrow \) \( {L}I_{m}^{2}=CU_{m}^{2}\)_,

(4.20)

отже,

\( {W}_{Cm}=W_{Lm}=W_{0}\).

Урахувавши це, для повної енергії коливань у контурі з (4.18) і (4.19) маємо

\( {W}=W_{C}+W_{L}=W_{0}\sin^{2}{(\omega_{0}t+\varphi_{0})}+W_{0}\cos^{2}{(\omega_{0}t+\varphi_{0})}=W_{0}\).

(4.21)

Таким чином, як і говорилося, повна енергія вільних коливань в ідеальному контурі зберігається. З плином часу відбуваються лише взаємні перетворення енергій електричного поля конденсатора та магнітного поля котушки індуктивності.

Енергетичні перетворення в ідеальному контурі ілюструє рис. 4.4:

4.3. Вільні загасаючі коливання в контурі

Якщо в контурі R ≠ 0, то при протіканні струму в резисторі виділяється теплота, що утворюється за рахунок електромагнітної енергії контура. Тому за відсутності генератора (рис. 4.5) вільні коливання в контурі поступово загасають.

Рівняння та характеристики загасаючих коливань у контурі. Поклавши в (4.7) \( \mathcal{E}={0}\) , отримаємо диференціальне рівняння вільних коливань у реальному контурі:

\( \frac{\mathrm{d}^{2}q}{\mathrm{d}t^{2}}+2\beta\frac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}t}+\omega_{0}^{2}q={0} \).

(4.22)

Це рівняння не відрізняється від рівняння вільних загасаючих механічних коливань (3.1). Тому, якщо подати на конденсатор заряд q_m і надати контур самому собі, то при β < ω₀ в ньому виникають вільні загасаючі коливання заряду, що відбуваються за законом:

\( {q(t)}=q_{0}e^{-\beta{t}}\cos{(\omega{t}+\varphi_{0})} \)

(4.23)

або

\( {q(t)}=A(t)\cos{(\omega{t}+\varphi_{0})} \),

(4.24)

де величину A(t) можна розглядати як залежну від часу амплітуду, що спадає за експоненціальним законом (рис. 4.6):

\( {A(t)}=q_{0}e^{-\beta{t}}\).

(4.25)

Так само залежать від часу й амплітуди інших величин – напруг на конденсаторі й котушці індуктивності та струму в контурі. Тому можна записати загальний вираз амплітуди загасаючих коливань:

\( {A}=A_{0}e^{-\beta{t}}\),

(4.25а)

в якому константу А₀ формально можна трактувати як "початкову" амплітуду.

Циклічна частота ω і період T загасаючих коливань теж відрізняються від характеристик вільних гармонічних коливань ω₀, T₀ і визначаються формулами:

\( \omega=\sqrt{\omega_{0}^{2}-\beta^{2}}\),

(4.26)

\( {T}=\frac{2\pi}{\sqrt{\omega_{0}^{2}-\beta^{2}}}\)_.

(4.27)

Через параметри контура циклічна частота загасаючих коливань, згідно з (4.5) і (4.6), виражається формулою

\(\omega=\sqrt{\frac{1}{LC}-\frac{R^{2}}{4L^{2}}}\).

(4.28)

Для кількісної характеристики швидкості загасання або тривалості вільних коливань у контурі використовують ті самі величини, що й для механічних коливань: коефіцієнт загасання β, час релаксації τ, логарифмічний декремент загасання λ, добротність Q. Єдине, що варто зауважити, так це те, що частоти електричних коливань у контурах на загал є суттєво вищими, ніж частоти коливань механічних осциляторів, наприклад, маятників. Тому в режимі реального часу загасання вільних коливань в електричних контурах відбувається дуже швидко. Через це на практиці звичайно використовують не прямі міри загасання β і τ, а опосередковані величини λ і Q. Нагадаємо зміст указаних характеристик загасання та розглянемо, як вони визначаються через параметри коливального контура.

Коефіцієнт загасання β визначається формулою (4.5):

\( \beta=\frac{R}{2L}\)

і, згідно з (4.25), показує, як круто спадає амплітуда коливань. Це добре видно з рис. 4.7 і є цілком зрозумілим: що більша величина β, то більший опір контура R і більше електромагнітної енергії переходить у тепло протягом кожного періоду коливань.

Час релаксації τ визначається як

\( \tau=\frac{1}{\beta}=\frac{2L}{R}\).

(4.29)

Згідно з (4.25), величина τ дорівнює проміжку часу, за який амплітуда коливань зменшується в \( {e}\approx{2,72}\) разів. Отже, час релаксації показує, як довго зберігаються в контурі вільні коливання. Це також видно з рис. 4.7. Цікаво, що час релаксації є прямо пропорційним індуктивності контура L. Це не випадково, адже вільні коливання в контурі виникають і підтримуються завдяки ЕРС самоіндукції котушки, яка пропорційна L.

Логарифмічний декремент загасання λ є зручною мірою зменшення амплітуди за один період, а отже мірою швидкості загасання коливань. За означенням він дорівнює

\( \lambda=\ln\frac{A(t)}{A(t+T}\).

Підставивши з (4.25) вирази амплітуд A(t) і A(t + T), дістанемо:

\( \lambda=\ln\frac{a_{0}e^{-\beta{t}}}{a_{0}e^{-\beta{(t+T)}}}=\beta{T}=\frac{T}{\tau}\).

(4.30)

Згідно з (4.5), (4.10) і (4.27), величина λ через параметри контура визначається формулою:

\( \lambda=\frac{\pi}{\sqrt{\frac{L}{CR^{2}}-\frac{1}{4}}}\).

(4.30а)

Добротність контура Q за означенням визначається, як

\( {Q}=\frac{\pi}{\lambda}\)

(4.31)

і є кількісною характеристикою якості контура як коливальної системи, – адже чим більша добротність, тим менший декремент загасання і більший час збереження в контурі вільних коливань. Урахувавши вираз (4.30) і загальне співвідношення \( {T}=2\pi/\omega \), можна записати:

\( {Q}=\frac{\omega}{2\beta}\).

(4.32)

Через параметри контура добротність виражається, як

\( {Q}=\sqrt{\frac{L}{CR^{2}}-\frac{1}{4}}\).

(4.33)

При слабкому загасанні, коли β < ω₀, частота загасаючих коливань близька до власної частоти контура (ω ≈ ω₀). Тому для добротності з достатньою точністю можна записати:

\( {Q}=\frac{\omega_{0}}{2\beta}\).

(4.34)

Тоді на підставі (4.5) і (4.10) маємо зручну спрощену формулу для розрахунків:

\( {Q}=\frac{1}{R}\sqrt{\frac{L}{C}}\).

(4.35)

Розрахункова формула (4.30а) теж спрощується:

\( \lambda=\pi{R}\sqrt{\frac{C}{L}}\).

(4.36)

Слід зауважити, що, по-перше, умова слабкого загасання не є жорсткою, і, по-друге, на практиці коливальні контури завжди мають високу добротність, тобто дуже мале загасання. Тому в усіх реальних випадках спрощені формули (4.35) і (4.36) фактично є точними.

Параметри вільних коливань у контурі суттєво залежать від коефіцієнта загасання β. При цьому, якщо \( \beta\to\omega_{0}\), то, відповідно до (4.26) і (4.27), \(\omega\to{0}\) і \({T}\to\infty \). Це означає, що заряд конденсатора та струм у котушці спадають до нуля, не здійснивши жодного повного коливання. Такий режим називається аперіодичною розрядкою контура. Отже, при коефіцієнтах загасання \(\beta\ge\omega_{0}\) вільні коливання в контурі неможливі. Тому величина β_k = ω₀ називається критичним загасанням. Критичному загасанню відповідає критичний опір контура R_k, який визначити з виразів (4.5) і (4.10):

\( \beta_{k}=\omega_{0}\) \(\Rightarrow \) \(\frac{R_{k}}{2L}=\frac{1}{\sqrt{LC}}\) \(\Rightarrow \) \({R}_{k}=2\sqrt{\frac{L}{C}}\).

(4.37)

Вільні коливання в контурі з опором R можливі лише за умови R < R_k, тому

критичний опір контура — то є найменший опір, при якому в контурі вже неможливі вільні коливання.

При R ≥ R_k всі величини, що характеризують коливання, втрачають зміст. Але їх все одно буває зручно виражати через критичний опір. Наприклад, згідно з (4.35) і (4.37), добротність контура можна подати, як

\( {Q}=\frac{R_{k}}{2R}\).

(4.38)

Загасаючі коливання напруги на конденсаторі та струму. Оскільки напруга на конденсаторі \( U_{C}={q/C} \), то поклавши в (4.23) задля зручності \( \varphi_{0}={0}\), отримаємо наступне рівняння загасаючих коливань напруги на конденсаторі контура:

\( {U}_{C}(t)=U_{0}e^{-\beta{t}}\cos\omega{t}\), де \({U}_{0}=\frac{q_{0}}{C}\).

(4.39)

Для отримання рівняння коливань струму визначимо похідну dq/dt з рівняння (4.23) за умови \(\varphi_{0}={0}\):

\({I(t)}=\frac{\mathrm{dq}}{\mathrm{d}t}=-q_{0}e^{-\beta{t}}{(\beta\cos\omega{t}+\omega\sin\omega{t})}\).

Це рівняння можна привести до зручнішого вигляду, помноживши і поділивши його на власну частоту контура ω₀. Відтак

\( {I(t)}=-\omega_{0}q_{0}e^{-\beta{t}}\left(\frac{\beta}{\omega_{0}}\cos\omega{t}+\frac{\omega}{\omega_{0}}\sin\omega{t}\right) \).

(4.40)

Згідно з (4.26), \( \beta^{2}+\omega^{2}=\omega_{0}^{2}\), крім того, \( \beta <\omega_{0}\) і \( \omega < \omega_{0}\). Це дозволяє трактувати числові множники в дужках як гармонічні функції деякого кута, що визначається, скажімо, такими співвідношеннями:

\(\frac{\beta}{\omega_{0}}=\cos\psi \); \(\frac{\omega}{\omega_{0}}=\sin\psi\), або \(\frac{\omega}{\beta}=\mathrm{tg}{\psi}\).

(4.41)

Тоді, увівши позначення \( \omega_{0}q_{0}=I_{0}\) і подавши в (4.40) величину в дужках, як косинус різниці кутів, отримаємо рівняння загасаючих коливань струму в контурі:

\( {I(t)}=-I_{0}e^{-\beta{t}}\cos{(\omega{t}-\psi)}\),

або

\( {I(t)}=I_{0}e^{-\beta{t}}\cos{(\omega{t}+\varphi)}\),

(4.42)

де \( \varphi =\pi-\psi \), і, згідно з (4.41),

\( \mathrm{tg}\varphi=\frac{\omega}{\beta}\).

(4.43)

Таким чином, в контурі із загасанням, на відміну від ідеального, зсув фаз між вільними коливаннями напруги на конденсаторі та струму в котушці \( \varphi\ne\pi /{2}\).

Величину \( \varphi \) за допомогою виразу (4.32) можна визначити й через добротність контура:

\( \mathrm{tg}\varphi = {2Q}\).

(4.43а)

З цього співвідношення випливає, що \(\varphi \) із збільшенням добротності значно зростає і вже при Q = 25 досягає величини 89°. Отже, вказана відміна фазових співвідношень для реальних радіотехнічних контурів є неістотною. Але вона відіграє велику роль у звичайних (не коливальних), колах змінного струму. Детальніше про це говориться в розділі "Змінний струм", п. 6.

Енергія загасаючих коливань. Зрозуміло, що енергія вільних загасаючих коливань у контурі не зберігається, вона монотонно спадає з часом аж до нуля. При цьому через складні фазові співвідношення між напругою на конденсаторі і струмом в котушці індуктивності точний вираз повної енергії коливань у контурі виявляється громіздким і незручним для аналізу. Але, як щойно говорилося, при слабкому загасанні можна вважати, що зсув фаз між напругою (4.39) і струмом (4.42) складає \( \varphi=\pi /{2} \), як в ідеальному контурі. Тоді для струму можна записати

\( {I(t)}=-I_{0}e^{-\beta{t}}\sin\omega{t}\).

(4.44)

Відтак, провівши ті самі викладки, що й для ідеального контура (п. 4.2), отримаємо наступний наближений вираз повної енергії загасаючих коливань у контурі:

\( {W(t)}=W_{0}e^{-2\beta{t}}\), де \({W_{0}}=\frac{CU_{0}^{2}}{2}\approx\frac{LI_{0}^{2}}{2}\).

(4.45)

Отже, при слабкому загасанні

енергія вільних коливань у контурі спадає за експоненціальним законом, як і напруга та струм, але вдвічі швидше.

Утрати енергії вільних коливань визначаються загасанням β, від якого залежить і добротність контура Q. Тому можна встановити прямий зв’язок між утратами енергії коливань і добротністю. Для цього визначимо відносну втрату енергії коливань за час одного періоду:

\( \frac{\Delta{W}}{W}=\frac{W-W_{1}}{W}=1-\frac{W_{1}}{W}\),

(4.46)

де

\( {W}=W_{0}e^{-2\beta{t}}\) і \({W_{1}}=W_{0}e^{-2\beta{(t+T)}}\).

Підставивши ці вирази в (4.46), та врахувавши (4.30) і (4.31), дістанемо:

\( \frac{\Delta{W}}{W}=1-e^{-2\lambda}=1-e^{2\pi /Q}\).

(4.47)

При слабкому загасанні декремент λ << 1, а добротність Q >> 1, тобто показник експоненти є суттєво меншим за одиницю. Тому можна скористатися відомим із математики наближеним виразом е^х≈ 1+х при x << 1 і, зробивши заміну х = –2π/Q, отримати з (4.47):

\( \frac{\Delta{W}}{W}=\frac{2\pi}{Q}\), або \( {Q}=2\pi\frac{W}{\Delta{W}}\).

(4.48)

Цей вираз висвітлює енергетичний зміст добротності:

добротність контура характеризує відношення енергії вільних коливань в будь-який момент часу до втрати цієї енергії за час одного періоду коливань, починаючи від цього моменту.

Це твердження, рівно як і закон (4.45) загасання енергії W(t), є чинними також і для механічних загасаючих коливань.

Контрольні запитання

1. За яких умов у колі можливі електричні коливання?

2. Чи можливі в колі без котушки індуктивності електричні коливання:

а) вільні; б) вимушені?

3. Чи можливі в колі без конденсатора електричні коливання: а) вільні; б) вимушені?

4. Що таке ідеальний коливальний контур?

5. У теорії конденсатор і котушка індуктивності коливального контура розглядаються як ідеальні. Що мається на увазі?

6. Що таке власна частота контура? Чи використовується цей параметр при розгляді коливань у не ідеальному контурі?

7. Співставте вільні електричні коливання в ідеальному контурі з ємністю C та індуктивністю L із вільними гармонічними коливаннями кульки маси m на пружині жорсткості k, і встановіть відповідність між величинами C, L та m, k.

8. Що можна сказаи про частоти вільних коливань у контурах, які мають однакові індуктивності та ємності?

9. Назвіть й охарактеризуйте величини, котрі визначають швидкість загасання вільних коливань у контурі.

10. У скільки разів зменшується амплітуда загасаючих коливань у контурі за час утричі більший, ніж час релаксації контра?

11. Назвіть й охарактеризуйте величини, котрі визначають тривалість існування вільних коливань у контурі.

12. Що таке критичний опір контура? Як він виражається через параметри контура?

13. Який зв’язок є між добротністю та: а) критичним опором контура;

б) енергією вільних коливань у контурі?

14. З якою частотою змінюється енергія конденсатора контура, якщо струм у контурі змінюється з частотою ω?

16. Установіть відповідність між електричною і магнітною енергією ідеального контура з одного боку та кінетичною і потенціальною енергією гармонічних коливань маятника з іншого.