ФІЗИКА ДЛЯ БАКАЛАВРІВ. КОЛИВАННЯ І ХВИЛІ

Серед періодичних коливань для науки і практики найважливішими є гармонічні коливання, які описуються гармонічними функціями і мають прості властивості. Важливість саме таких процесів зумовлена двома обставинами. По-перше, реальні коливання і хвилі, з якими доводиться мати справу, часто є близькими до гармонічних. По-друге, будь-який складний коливальний процес, як доводить математика, можна розглядати як суперпозицію (сукупність) гармонічних коливань. Тому в цей розділ присвячено саме таким процесам. Далі розглянуто:

1. Рівняння гармонічних коливань

2. Зображення гармонічних функцій

3. Додавання гармонічних коливань

4. Диференціальне рівняння гармонічних коливань

    Контрольні запитання

1. Рівняння гармонічних коливань

Як було сказано,  гармонічні коливання якоїсь величини ξ відбуваються за законом синуса або косинуса, тож визначаються рівнянням:

і визначаються трьома параметрами — амплітудою, періодом  (або частотою) і фазою. 

Амплітуда A — додатнє число, що дорівнює максимальному значенню коливної величини \( \xi \), так що  всі її можливі значення  лежать в інтервалі \(\pm A \). Іншими словами,  амплітуда задає “розмах” коливань.

За рівнянням (1.1), величина ξ задовольняє умову  \( \xi(t+nT)=\xi{(t)}\), отже

період коливань T є найменшим проміжком часу, через який значення величини ξ та характер її зміни повністю повторюються. 

Окрім періоду, повторюваність коливального процесу у часі характеризують іще й частотою. При цьому розрізняють лінійну та циклічну (колову) частоту.

Лінійна частота \(\nu \) є величиною оберненою до періоду:

Вона дорівнює кількості коливань, які здійснюються за одну секунду і вимірюється в герцах (Гц). При частоті 1 Гц = 1 с^-1 за одну секунду здійснюється одне повне коливання.

Циклічна (колова) частота ω пов’язана з лінійною частотою та періодом співвідношеннями

і вимірюється в рад/с. (Часто пишуть 1/с або с^-1).

Використання частоти, замість періоду, дозволяє записати рівняння коливань більш компактно:

Якщо коливання описуються функцією синуса, то

Задля зручності в теорії найчастіше використовують частоту ω і відповідні рівняння (1.4) або (1.4а).

З рівнянь гармонічних коливань також видно, що при заданій амплітуді A величина ξ(t) у кожен момент часу визначається аргументом гармонічної функції, що називається фазою коливань φ. Отже,

 Відповідно, величина \( \varphi_{0} \) називається початковою фазою. Одиницею фази є радіан (1 рад).

Слід зауважити, що термін “фаза” вживається не лишень у вказаному формальному сенсі, а й для словесної характеристики стадії коливального процесу або узгодженості коливань – згадаймо такі знайомі вислови, як “фази Місяця” або “коливання відбуваються в однакових (чи протилежних) фазах”.

2. Зображення гармонічних функцій

При розгляді декількох гармонічних коливань, які відбуваються одночасно, доводиться додавати відповідну кількість гармонічних функцій вигляду. Це потребує громіздких перетворень, а при великій кількості коливань може стати технічно нездійсненним без використання комп’ютера. Тому при аналізі коливань часто використовують штучні математичні прийоми, а саме:

2.1. Векторне зображення гармонічних функцій

2.2. Комплексне зображення гармонічних функцій

2.1. Векторне зображення гармонічних функцій

Цей спосіб ґрунтується на існуванні відповідності між гармонічними коливаннями та обертальним рухом. Нехай маємо вектор з модулем A, який обертається з кутовою швидкістю ω навколо свого початку (рис. 1.1) Якщо в початковий момент часу цей вектор складає з деякою віссю ОХ кут \(\varphi_{0}\), то в довільний момент t кут між ним і віссю буде рівним

\(\varphi (t)=\omega{t}+\varphi_{0}\).

Відповідно, якщо проекцію такого обертового вектора А_x = Acosφ на вісь ОХ позначити як ξ, то отримаємо:

\(\xi (t)=A\cos (\omega{t}+\varphi_{0}) \),

що збігається з (1.4), а спроєктувавши цей вектор на вісь OY, отримаємо рівняння (1.4а). Таким чином,

кожному гармонічному коливанню можна поставити у відповідність вектор із модулем, рівним амплітуді коливань А, який обертається з кутовою швидкістю, рівною циклічній частоті коливань ω, і в початковий момент часу складає з вибраною віссю кут, рівний початковій фазі коливань φ₀.

Доречі, саме через збіг величини ω із швидкістю обертання вказаного вектора вона й має назву “циклічної”, або “колової” частоти коливань.

Таким чином, гармонічні коливання можна зображувати відповідними векторами на рисунку, який називається векторною діаграмою, і оперувати не безпосередньо гармонічними функціями, а векторами, що їх зображують.

2.2. Комплексне зображення гармонічних функцій

З математики відомо, що комплексне число z = a + ib \(\left(i=\sqrt{-1}\right) \) можна записати або в показниковій формі, як \({z}=Ae^{i\varphi}\), або в тригонометричній формі у вигляді

де модуль A та аргумент \( \varphi \) комплексного числа визначаються співвідношеннями

\({A}=\sqrt{a^2+b^2}\) і \(\cos\varphi=\frac{a}{A}\), \( \sin\varphi=\frac{b}{A}\).

Тому, згідно з (1.6) і (1.4), рівняння гармонічних коливань ξ(t) можна розглядати як дійсну частину комплексної функції

При цьому комплексне число \( \tilde{A}=Ae^{i\varphi_{0}}\) називається комплексною амплітудою коливань. Дійсна (істинна) амплітуда визначається через квадрат модуля комплексної амплітуди на основі тотожності

(Нагадаємо, що спряженою до комплексної величини z називається величина z*, що створюється заміною уявної одиниці і у виразі z на –i.)

Указана відповідність (1.7) зберігається для всіх лінійних математичних операцій: множення на константу, додавання або віднімання, диференціювання, інтегрування. У цьому легко переконатися прямими обчисленнями. Через це розглянутий підхід є дуже продуктивним, оскільки оперувати з експонентами набагато зручніше, ніж із тригонометричними функціями. Зокрема, поширена задача про накладання декількох коливань однакової частоти та напрямку зводиться просто до додавання комплексних чисел (комплексних амплітуд).

3. Додавання гармонічних коливань

На початку говорилося про те, що складні коливальні процеси можна трактувати як суперпозицію (накладання), гармонічних коливань. Цей прийом широко застосовується в оптиці, техніці передачі сигналів та інших областях для аналізу та формування сигналів необхідної форми. Розглянемо найпростіші випадки — додавання двох гармонічних коливань, які відбуваються в одному та у взаємно перпендикулярних напрямках.

3.1. Додавання коливань одного напрямку

3.2. Додавання взаємно перпендикулярних коливань

3.1. Додавання коливань одного напрямку

Розглянемо рух тіла (матеріальної точки), яке бере участь одночасно у двох гармонічних коливаннях одного напрямку. Прикладом можуть бути вертикальні коливання кульки на пружині, прикріпленій до стелі салону автомобіля, який теж коливається на ресорах у вертикальному напрямку. Рух кульки відносно землі складається з коливань відносно автомобіля та коливань автомобіля відносно землі. Відповідно, закон руху кульки буде визначатися сумою рівнянь цих двох коливань. Аналіз показує, що результат такого додавання суттєво залежить від того, однакові чи ні частоти складових коливань.

Частоти однакові. Нехай точка бере участь у двох рухах уздовж однієї осі ОХ відповідно до рівнянь:

Для визначення рівняння результуючого руху \( {x}(t)=x_{1}(t)+x_{2}(t) \) скористаємося векторним способом зображення гармонічних функцій (1.9). Для цього зобразимо їх в момент t = 0 за допомогою векторів \( \vec{A}_{1}\) і \( \vec{A}_{2}\), що обертаються навколо осі О з кутовою швидкістю ω, як це описано в п. 2.1. На отриманій векторній діаграмі

(рис. 1.2) результуючий рух точки зображується вектором \(\vec{A}=\vec{A}_{1}+\vec{A}_{2}\), модуль якого за теоремою косинусів задається виразом:

а кут з віссю ОХ, як випливає з рисунка:

Таким чином, результатом додавання двох гармонічних коливань однакової частоти та напрямку є гармонічні коливання тієї самої частоти, амплітуда A та початкова фаза α яких визначаються виразами (1.10) і (1.11). Слід зауважити, що при цьому амплітуда результуючих коливань не дорівнює сумі амплітуд коливань, які додаються. Залежно від початкових фаз α₁ і α₂ вона може мати будь-яке значення в межах від A₁ + A₂ до |A₁ – A₂|.

Частоти різні. Розглянемо тепер випадок, коли точка бере участь у двох коливаннях однакового напрямку, але різної частоти ω₁ і ω₂. Якщо для спрощення викладок прийняти A₁ = A₂ і α₁ = α₂ = 0, то рівняння цих коливань мають вигляд:

Рівняння результуючого руху точки \({x}_{1}(t)+x_{2}(t) \) запишемо, скориставшися відомою формулою тригонометрії:

Це рівняння описує складний коливальний процес, наочне уявлення про який можна отримати, побудувавши графік функції (1.13), або шляхом безпосереднього графічного додавання функцій (1.12). На рис. 1.3 показано результат такого додавання для випадку α = 0 функцій

\({x}_{1}=A_{1}\cos\left(\omega{t}-\frac{\pi}{2}\right) \), \( x_{2}=A_{1}\cos{2}\omega{t}\).

Як для теорії, так і для практики окремий інтерес являє випадок, коли частоти ω₁ і ω₂ є близькими й відрізняються від певного значення ω на величину Δω << ω так, що ω₁ = ω + Δω і ω₂ = ω - Δω. У такому разі рівняння (1.13) набуває вигляду:

У цьому рівнянні величина cosΔωt змінюється з періодом \( {T}=2\pi /\Delta\omega \), тобто в \( \omega{/}\Delta\omega \) разів повільніше, ніж величина \(\cos\omega{t}\), період зміни якої \({T}=2\pi/\omega \). При Δω << ω за час T₀ відбувається багато коливань величини x з частотою ω, як показано на рис. 1.4а для випадку Δω = ω/10. Тому в (1.14) вираз у дужках можна трактувати як залежну від часу амплітуду A(t) і розглядати рух точки як гармонічні коливання з частотою ω, амплітуда яких змінюється теж за гармонічним законом із частотою Δω :

Графік A(t) показаний на рис. 1.4б.

Розглянуті коливання називають биттями. При накладанні акустичних коливань з близькими частотами ω₁ і ω₂ биття створюють відчуття (не завжди приємне) звукових пульсацій, які повторюються з частотою |ω₁ - ω₂|. Биття за відповідних умов виникають і при накладанні коливань не механічної природи, зокрема — напруг і струмів у електричних або електронних пристроях.

3.2. Додавання взаємно перпендикулярних коливань

Якщо точка одночасно здійснює гармонічні коливання у двох взаємно перпендикулярних напрямках, то на загал її рух не є коливальним і відбувається по складній траєкторії. Зокрема, траєкторія може виявитися незамкненою і ніколи не проходити через одну точку двічі. Проте, коли відношення частот коливань виражається відношенням цілих чисел, тіло рухається по замкненій траєкторії, форма котрої визначається співвідношенням частот, амплітуд і початкових фаз складових коливань.

Частоти однакові. Найпростішим є випадок додавання взаємно перпендикулярних коливань однієї частоти. Якщо коливання точки відбуваються вздовж координатних осей ОХ і OY, то їх можна описати рівняннями:

де початкова фаза коливань координати x вважається нульовою. Ото ж α по суті є різницею фаз цих двох коливань. Аби одержати рівняння траєкторії точки, тобто залежність y(x), з рівнянь (1.15) треба виключити час. Для цього за допомогою відомих формул тригонометрії перетворимо друге рівняння (1.15) наступним чином:

\(\frac{y}{b}=(\cos\omega{t}\cos\alpha-\sin\omega{t}\sin\alpha ) \) \( \Rightarrow \) \( \frac{y}{b}\left(\cos\omega{t}\cos\alpha-\sqrt{1-\cos^2\omega{t}}\cdot\sin\alpha\right) \).

Підставивши сюди вираз \(\cos\omega{t}=x/a \), який випливає з першого рівняння (1.15), отримаємо:

\(\frac{y}{b}=\frac{x}{a}\cos\alpha-\sin\alpha\cdot\sqrt{1-\left(\frac{x}{a}\right)^2}\).

Після піднесення до квадрату і нескладних перетворень одержимо шукане рівняння траєкторії:

З математики відомо, що рівняння (1.16) є рівнянням еліпса. Отже, на загал точка рухається по еліптичній траєкторії, параметри та просторова орієнтація котрої залежать від амплітуд а, b і різниці фаз α складових коливань. Розглянемо деякі окремі випадки.

1) α = 0. З (1.16) випливає, що

\( {y}=\frac{b}{a}{x}\),

тобто еліпс вироджується у відрізок прямої. Отже, точка здійснює гармонічні коливання, напрямок яких пролягає в першій і третій чвертях і визначається відношенням амплітуд складових коливань.

2) α = π. У цьому випадку ситуація подібна — з (1.16) маємо:

\( {y}=-\frac{b}{a}{x}\).

Тож у такому випадку точка теж здійснює гармонічні коливання, але вздовж лінії, що лежить у другій та четвертій чвертях.

Отримані результати дозволяють розглядати гармонічні коливання вздовж певного напрямку як суму (суперпозицію) двох гармонічних коливань тієї самої частоти, котрі відбуваються у взаємно перпендикулярних напрямках і мають різницю фаз α, або π. Такий підхід плідно використовується, зокрема, в оптиці.

3) α = π/2. При такій різниці фаз рівняння (1.16) набуває вигляду:

\( \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}={1}\).

Це означає, що при не однакових амплітудах складових коливань точка рухається по еліпсу, осі котрого орієнтовані вздовж осей координат. При а = b еліпс вироджується в коло з центром у початку координат. Знак різниці фаз α визначає один з двох можливих напрямів руху точки по траєкторії.

Фігури Ліссажу. Якщо точка здійснює взаємно перпендикулярні коливання з різними частотами, що співвідносяться, як цілі числа, траєкторіями руху є складні замкнені криві, що називаються фігурами Ліссажу.

У простих випадках рівняння фігур Ліссажу можна отримати за формулами тригонометрії. Наприклад, нехай складові коливання описуються рівняннями x = Asinωt та y = Asin2ωt. Тоді

y = 2Asinωt·cosωt = 2Asinωt\( \sqrt{1-{{\sin }^{2}}\omega t}\),

де sinωt = х/А. Зробивши таку заміну, дістанемо рівняння траєкторії точки:

\( {y}=2x\sqrt{1-{{\left( {x}/{A}\; \right)}^{2}}}\).

Її вигляд показує рис. 1.5.

Фігури Ліссажу для деяких інших співвідношень частот і зсувів фаз Δφ коливань представлені на рис. 1.6. Зазначимо, що фігури Ліссажу при додаванні електричних коливань легко спостерігати на екрані осцилографа. Це використовують на практиці для вимірювання та налаштовування частот електричних сигналів.

4. Диференціальне рівняння гармонічних коливань

Незалежно від умов і фізичної природи величини ξ(t) рівняння гармонічних коливань (1.4) є розв’язком єдиного диференціального рівняння. Його можна установити, знайшовши першу та другу похідні функції ξ(t):

\(\frac{\mathrm{d}\xi}{\mathrm{d}t}=-\omega{A}\sin(\omega{t}+\varphi_{0}) \) \( \Rightarrow \) \( \frac{\mathrm{d}^2\xi}{\mathrm{d}t^2}=-\omega^{2}A\cos (\omega{t}+\varphi_{0}) \)_.

Як видно, вираз другої похідної містить вихідну функцію (1.4), отже,

Отримане співвідношення є критерієм (достатньою умовою) гармонічних коливань:

якщо в будь-який момент часу друга похідна даної величини по часу виявляється прямо пропорційною самій величині і має протилежний знак, то ця величина здійснює гармонічні коливання, а коефіцієнт пропорційності дорівнює квадратові циклічної частоти коливань.

Мовою математики вираз (1.17) є звичайним однорідним диференціальним рівнянням другого порядку із постійними коефіцієнтами, яке прийнято записувати у вигляді:

У математиці доводиться, що розв’язками такого рівняння можуть бути тільки гармонічні функції. Тому рівняння (1.18) є диференціальним рівнянням гармонічних коливань.

Контрольні запитання

1. Які фізичні процеси називаються коливаннями? За якими ознаками класифікують коливання?

2. Назвіть умови існування вільних і вимушених коливань. Чи може однорідний диск, який закріплений на осі, що проходить через його центр, здійснювати вільні коливання? Вимушені коливання?

3. Які коливання називаються гармонічними та якими величинами вони характеризуються?

4. Що визначає амплітуда коливань? Чи може вона бути від’ємною?

5. Які величини визначають повторюваність коливального процесу в часі? Який вони мають зміст і як пов’язані між собою?

6. Чи можна довільні періодичні коливання характеризувати періодом T? Лінійною частотою ν? Циклічною частотою ω?

7. Чому гармонічні коливання можна зображувати векторами? Як у цьому способі відображається амплітуда коливань? Початкова та поточна фаза?

8. Чому гармонічні коливання можна зображувати комплексними експонентами?

9. Що таке комплексна амплітуда коливань? Яку інформацію вона містить?

10. Коли використання векторного або комплексного способів зображення гармонічних коливань є продуктивним?

11. Що таке биття? За якої умови вони спостерігаються?

12. Що таке фігури Лісажу? За якої умови вони спостерігаються?

13. Сформулюйте критерій гармонічних коливань і запишіть його математичний вираз.

Найбільш наочними й зручними для вивчення є механічні коливання – рух тіла (матеріальної точки), при якому його положення у просторі та інші характеристики руху з плином часу періодично повторюються.

Характер руху всякого тіла визначається властивостями діючих на нього сил. Зокрема, якщо прикладена “спонукальна” сила періодично змінює свій напрям на протилежний і здатна подолати сили тертя та опору, то тіло здійснює вимушені коливання. Вільні механічні коливання тіла спостерігаються, коли рівнодійна прикладених сил весь час намагається повернути його в положення рівноваги. Таку силу інколи називають “повертаючою силою”. Але слід пам’ятати, що цей термін є умовним. У природі не існує ніякої спеціальної повертаючої сили — вона створюється сумісною дією якихось інших сил. До прикладу, при вільних коливаннях кульки на нитці повертаюча сила є рівнодійною сил тяжіння та натягу нитки.

Далі розглянуто:

2.1. Координата, швидкість, прискорення

2.2. Умова існування механічних гармонічних коливань

2.3. Маятники

2.4. Енергія механічних гармонічних коливань

   Контрольні запитання

1.1. Координата, швидкість, прискорення

\( {x(t)}=x_{m}\cos{(}\omega{t}+\varphi_{0}{)}\),

(2.1)

де x_m – амплітуда коливань (максимальне відхилення тіла від положення рівноваги).

Рівняння швидкості. Швидкість і напрям руху тіла визначається проєкцією вектора швидкості на вісь ОХ, тобто похідною координати по часу: \( {v}=\mathrm{d}x/\mathrm{d}{t}\). Отже, згідно з (2.1), рівняння швидкості тіла при гармонічних коливаннях має вигляд:

\( {v(t)}=-v_{m}\omega\sin{(}\omega{t}+\varphi_{0}{)}\) або \( {v(t)}=v_{m}\cos{(}\omega{t}+\varphi_{0}+\frac{\pi}{2}{)}\),

(2.2)

де \( {v_{m}}\) – амплітуда (максимальне значення) швидкості пов’язана з амплітудою коливань співвідношенням

\( {v_{m}}=x_{m}{\omega}\).

(2.2а)

Примітка. В рівнянні (2.2) мається на увазі проєкція вектора швидкості, але, позаяк рух відбувається вздовж однієї осі, індекс проєкції не вказують. Це стосується і всіх інших векторних величин, які використовуються далі для характеристики гармонічних коливань.

З рівняння (2.2) видно, що коливання швидкості за фазою випереджають коливання координати на π/2 або на чверть періоду.

Рівняння прискорення отримаємо аналогічно з (2.1) або (2.2), врахувавши, що прискорення є першою похідною по часу від швидкості або другою похідною від координати:

\( {a(t)}=-A\omega^{2}\cos{(}\omega{t}+\varphi_{0}{)}\) або \( {a(t)}=a_{m}\cos{(}\omega{t}+\varphi_{0}+\pi{)}\).

(2.3)

Амплітуда прискорення

\( {a_{m}}=x_{m}\omega^{2}=v_{m}{\omega}\).

(2.3а)

Із рівняння (2.3) випливає, що коливання прискорення випереджають (або відстають) коливання координати на π. Інакше говорячи, коливання прискорення відбуваються у протифазі до коливань координати.

На рис. 2.1 зображені графіки координати x(t) швидкості \({v(t)}\) і прискорення \( {a(t)}\) тіла при гармонічних коливаннях, які наочно показують фазові співвідношення між цими величинами.

2.2. Умова існування механічних гармонічних коливань

Із рівнянь (2.1) і (2.3) випливає, що при гармонічних коливаннях прискорення тіла в будь-який момент часу є прямо пропорційним до координати (зміщення з положення рівноваги):

2.3. Маятники

Практичне значення розглянутої умови гармонічних коливань (2.5) і співвідношення (2.6) полягає в тому, що, визначивши рівнодійну прикладених до тіла сил, можна не лишень установити, чи здійснює воно гармонічні коливання, а й знайти їхню основну характеристику – частоту або період. Проілюструємо це на прикладі маятника – тіла, що підвішене на пружині чи нитці, або знаходиться на осі, навколо якої може здійснювати вільні коливання.

\( {F}=-{kx}\),

де x – координата маятника.

Оскільки сила F задовольняє умову (2.5), маятник (тягарець на пружині), виведений з положення рівноваги і наданий самий собі, в обох випадках здійснює гармонічні коливання з циклічною частотою та періодом, які визначаються жорсткістю пружини k і масою тягарця m, відповідно до формул (2.7) і (2.8).

Математичний маятник. У строгому розумінні математичним маятником називається матеріальна точка, підвішена на невагомій нерозтяжній нитці. Реально – це кулька певної маси m підвішена на довгій тонкій сталевій дротині (струні) довжини l, масою котрої можна нехтувати (рис. 2.3). Силу тертя в точці кріплення та силу опору повітря також можна вважати не істотними.

Коли маятник перебуває в рівновазі, сили тяжіння та натягу нитки є компенсованими. Але, якщо кульку відвести й відпустити, з’явиться рівнодійна \(\vec{F}=m\vec{g}+\vec{F}\)_н, напрямлена до положення рівноваги (рис. 2.3). Відтак маятник буде здійснювати вільні коливання. Рух маятника можна розглядати як рух матеріальної точки маси m по колу радіуса \({l}\) навколо горизонтальної осі Z, що проходить через точку кріплення нитки (т. О на рис. 2.3). Тому, відповідно до відомого з механіки рівнянням моментів відносно осі (див. МЕХАНІКА. Розділ 7, п. 7.3), можемо записати:

\({M_{z}}={I\beta_{z}}\),

(2.9)

де \( {M_{z}},~I,~\beta_{z}\) – сумарний момент сил, момент інерції кульки відносно осі О та кутове прискорення, відповідно.

Оскільки напрям сили натягу \(\vec{F}\)_н проходить через вісь Z, момент відносно неї створює тільки сила тяжіння: \({M_{z}}=-mgl\sin\alpha \), де α - кут відхилення нитки маятника від вертикалі. Знак "–" у виразі стоїть тому, що кут α відраховують проти годинникової стрілки, а момент сили тяжіння діє за годинниковою стрілкою, тобто у від’ємному напрямку. Крім того \(\beta_{z}=\mathrm{d}^{2}\alpha /\mathrm{d}{t}^{2}\). Відтак можемо записати:

\({-mgl}\sin\alpha=I\frac{\mathrm{d}^{2}\alpha}{\mathrm{d}t^{2}}~~~~\Rightarrow~~~~\frac{\mathrm{d}^{2}\alpha}{\mathrm{d}t^{2}}+\frac{mgl}{I}\sin\alpha ={0}\),

Підставивши в (2.9) вираз моменту інерції матеріальної точки \({I}={ml^{2}}\), отримаємо диференціальне рівняння руху математичного маятника:

\(\frac{\mathrm{d}^{2}\alpha}{\mathrm{d}t^{2}}+\frac{g}{l}\sin\alpha = {0}\).

(2.9а)

Диференціальне рівняння (2.9а) є доволі складним – воно не збігається з рівнянням гармонічних коливань (1.18) і не має розв’язків у елементарних функціях. Це означає, що коливання маятника не є гармонічними. Але при малих амплітудах максимальний кут відхилення нитки маятника від вертикалі малий (α_m << 1), і рівнянні (2.9а) можна з достатньою точністю покласти \(\sin\alpha =\alpha \). Тоді

\(\frac{\mathrm{d}^{2}\alpha}{\mathrm{d}t^{2}}+\omega^{2}\alpha={0},~~~\omega^{2}=\frac{g}{l}\).

(2.9б)

Отримане спрощене рівняння (2.9б) не відрізняється від загального диференціального рівняння гармонічних коливань (1.18), отже, кут відхилення нитки маятника від вертикалі змінюється за законом (1.4):

\(\alpha{(t)}=\alpha_{m}\cos{(\omega{t}+\varphi_{0})}\).

(2.10)

Оскільки при малих кутах дуга практично співпадає з хордою, можна вважати, що кулька маятника рухається вздовж горизонтальної осі, і її координата \({x=l\alpha}\) змінюється за законом:

\({x(t)}=x_{m}\cos{(\omega{t}+\varphi_{0})}\),

де амплітуда визначається довжиною та максимальним кутом відхилення маятника від вертикалі: \({x}_{m}={l\alpha_{m}}\).

Таким чином, при малих амплітудах математичний маятник здійснює вільні гармонічні коливання з циклічною частотою

\(\omega=\sqrt{\frac{g}{l}}\)

(2.11)

і періодом

\({T}=2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}\).

(2.11а)

Останній вираз називається формулою Гюйґенса.

Фізичний маятник. Фізичним маятником називають протяжне тверде тіло, яке може вільно коливатися навколо закріпленої осі О, що не проходить через його центр мас С, (рис. 2.4). У положенні рівноваги центр мас маятника знаходиться на одній вертикалі з точкою підвісу (рис. 2.4а), тому сили тяжіння \({m\vec{g}}\) та реакції осі \(\vec{R}\) є компенсованими. Але після відхилення тіла на деякий кут φ (рис. 2.4б) так само, як у випадку математичного маятника, виникає момент сили тяжіння \( {M}=-mgl\sin\varphi \) (\({l}\) – відстань між точкою підвісу та центром мас) відносно осі О, який намагається повернути маятник у положення рівноваги. Тому, якщо маятник надати самому собі, він почне коливатися згідно із рівнянням (2.9а), яке не є диференціальним рівнянням гармонічних коливань. Але, як і раніше, при малих кутах відхилення воно спрощується і набуває вигляду (2.9б):

\( \frac{\mathrm{d}^{2}\varphi}{\mathrm{d}t^{2}}+\omega^{2}\varphi = {0}\), \( \omega^{2}=\frac{mgl}{I}\).

Це означає, що при малих кутах відхилення \({\varphi_{m}}\ll{1}\), вільні коливання фізичного маятника є гармонічними і здійснюються за законом:

із циклічною частотою

чи періодом

При розгляді коливань фізичного маятника часто використовують поняття зведеної довжини фізичного маятника:

У такому разі формули (2.13) і (2.13а) трансформуються в

які збігаються з відповідними формулами для математичного маятника. Тому можна сказати, що

зведена довжина фізичного маятника дорівнює довжині математичного маятника з таким самим періодом вільних коливань.

2.4. Енергія гармонічних коливань

При зміні швидкості та координати тіла, що здійснює гармонічні коливання, відповідно змінюється і його кінетична та потенціальнв енергія.

Кінетична енергія гармонічних коливань (2.1) у довільний момент часу, з урахуванням виразів (2.2), (2.2а) і (2.6), визначається, як:

Максимальна величина кінетичної енергії

Гармонічні коливаннях тіла відбуваються під дією квазіпружної сили (2.5), котра, як і пружна, є консервативною. Тому, з урахуванням виразу (2.1), потенціальна енергія гармонічних коливань у довільний момент часу визначається виразом

Максимальне значення потенціальної енергії

Із виразів (2.16а) та (2.17а) видно, що

при гармонічних коливаннях максимальні значення кінетичної та потенціальної енергій тіла збігаються:

Відтак для повної енергії гармонічних коливань у довільний момент часу, урахувавши (2.16), (2.17) і (2.18), отримуємо:

Таким чином,

при гармонічних коливаннях повна енергія коливань зберігається, тобто не залежить від часу.

Це означає, що при вільних гармонічних коливаннях механічна енергія не переходить в інші форми, зокрема, в тепло. Тому такі коливання можливі лише за відсутності сил тертя та опору, які насправді в механічних системах завжди є. Отже, реально

вільні коливання ніколи не бувають строго гармонічними.

Але це не стосується вимушених коливань, позаяк у цьому випадку втрати механічної енергії на тертя та опір можуть компенсуватися за рахунок роботи спонукальної сили.

Відмітимо також, що згідно з (2.16а), (2.17) і (2.18),

повна енергія гармонічних коливань є прямо пропорційною квадратові амплітуди.

Наостаок зауважимо, що вирази (2.16) і (2.17) можна записати, як

\(K=\frac{1}{2}{{K}_{m}}\left( 1-\cos \left( 2\omega +2{{\varphi }_{0}} \right) \right)\)

та

\(U=\frac{1}{2}{{U}_{m}}\left( 1+\cos \left( 2\omega +2{{\varphi }_{0}} \right) \right)\),

звідки видно, що

при гармонічних коливаннях кінетична та потенціальна енергії змінюються з подвоєною частотою по відношенню до частоти самих коливань.

На рис. 2.5 показані графіки кінетичної K, потенціальної U та повної W енергій тіла, що здійснює гармонічні коливання. З них видно, що кінетична та потенціальна енергії змінюються в протифазі. Це пояснює, чому максимальне значення кожної з них дорівнює повній енергії коливань.

Контрольні запитання 1. Який зв’язок існує між амплітудами швидкості та зміщення точки при гармонічних коливаннях? Між фазами цих величин? 2. Який зв’язок існує між амплітудами прискорення та швидкості точки при гармонічних коливаннях? Між їхніми фазами? 3. Який зв’язок існує між амплітудами прискорення та зміщення точки при гармонічних коливаннях? Між миттєвими значеннями цих величин? Між їхніми фазами? 4. За якої умови вільні коливання тіла є гармонічними? Чи може тіло здійснювати гармонічні коливання під дією не пружних сил? 5. Чи можна сказати, що вільні гармонічні коливання точки здійснюються під дією сили, яка змінюється за гармонічним законом у залежності: а) від часу; б) від координати точки? 6. Чи можна твердити, що вільні коливання маленького тягарця, підвішеного на невагомій нерозтяжній нитці, та коливання тягарця, підвішеного на ідеальній невагомій пружині, відбуваються за однаковим законом? 7. Що таке математичний маятник? За яких умов його вільні коливання є гармонічними? 8. Що таке фізичний маятник? За яких умов вільні коливання фізичного маятника є гармонічними? 9. Від чого і як залежить період вільних коливань фізичного маятника? 10. Що таке зведена довжина фізичного маятника та від чого вона залежить? 11. В якому співвідношенні (Кm : Um) знаходяться максимальна кінетична та максимальна потенціальна енергія точки при гармонічних коливаннях ? Чому? 12. Який зв’язок існує між частотою гармонічних коливань точки та частотою зміни її кінетичної та потенціальної енергії? Чому? 13. Доведіть прямими розрахунками, що при гармонічних коливаннях потенціальна енергія математичного маятника залежить від його зміщення x із положення рівноваги як U = kx2/2, де k = mg/l.

Незагасаючі вільні коливання є ідеалізацією. В реальній коливальній системі завжди присутні різноманітні сили тертя і опору, які призводять до втрат енергії коливань. Тому в дійсності вільні коливання є загасаючими – їхня амплітуда невпинно зменшується від початкового значення аж до нуля. Основні властивості таких коливань розглянуті нижче у наступних питаннях:

3.1. Рівняння вільних загасаючих коливань

3.2. Параметри загасання вільних коливань

3.3. Вимушені механічні коливання. Резонанс

        Контрольні запитання

3.1. Рівняння вільних загасаючих коливань

Циклічна частота загасаючих коливань дорівнює

\( \omega = \sqrt{\omega_{0}^{2}-\beta^{2}}\).

(3.3)

Відповідно, період

\( {T}=\frac{2\pi}{\sqrt{\omega_{0}^{2}-\beta^{2}}}\).

(3.3а)

Амплітуда (розмах) загасаючих коливань із часом спадає, тож крайні значення зміщення та інших характеристик руху з часом не повторюються. Тому загасаючі коливання не є гармонічними і навіть періодичними в строгому математичному сенсі. Відтак частота і період загасаючих коливань відображають не повне відтворення характеристик руху в часі, а лишень його циклічний характер. Одначе через крайні та нульові положення тіло проходить строго періодично з інтервалом у половину періоду гармонічної функції в рівнянні (3.2). Це дозволяє трактувати загасаючі коливання як гармонічні коливання із залежною від часу амплітудою А(t):

\( {x(t)}=A(t)\cos (\omega{t}+\varphi) \).

(3.4)

де

\( {A}(t)={{A}_{0}}{{e}^{-\beta{t}}}\),

(3.5)

Зауважимо також, що згідно з виразом (3.3) частота вільних загасаючих коливань ω відрізняється від власної частоти ω₀. Ця відміна тим більша, чим більший коефіцієнт загасання. Зокрема при \( \beta\to\omega_{0} \) маємо \( \omega\to{0}\) і \( {T}\to\infty \), що означає перехід до аперіодичного руху тіла. Таким чином,

вільні коливання можливі лише за умови \( \beta<\omega_{0}\).

3.2. Параметри загасання вільних коливань

Для кількісної характеристики загасання коливань використовують декілька величин. Одна з них – коефіцієнт загасання β – фігурує безпосередньо в рівнянні (3.2). Що більша величина β, тим швидше спадає амплітуда коливань (рис. 3.2). Використовують також інші параметри загасання: час релаксації, логарифмічний декремент загасання та добротність.

Часом релаксації τ — то є проміжок часу, за який амплітуда коливань зменшується в e ≈ 2,72 разів. Тож узявши до уваги вираз (3.4), отримаємо:

\( \frac{a_{0}e^{-\beta{t}}}{a_{0}e^{-\beta{(t+\tau)}}}={e} \) \( \Rightarrow \) \( e^{\beta\tau}=e \) \( \Rightarrow \) \( \tau=\frac{1}{\beta} \),

(3.6)

Таким чином, час релаксації є величиною оберненою до коефіцієнта загасання і показує наскільки повільно загасають коливання.

Логарифмічний декремент загасання λ – це логарифм відношення двох амплітуд, які відділені проміжком часу в один період:

\( \lambda =\ln\frac{A(t)}{A(t+T)}=\ln\frac{a_{0}e^{-\beta{t}}}{a_{0}e^{-\beta (t+T)}} \) \( \Rightarrow \) \( \lambda=\beta{T}=\frac{2\pi\beta}{\omega}\).

(3.7)

З урахуванням (3.6) можна також записати:

\( \lambda=\frac{T}{\tau}\).

(3.7а)

Інколи загасання характеризують кількістю коливань N_e, які відбуваються за час релаксації. Очевидно, що

\( {N}_{e}=\frac{\tau}{T}=\frac{1}{\lambda}\).

(3.8)

Що більша величина N_e, тим довше в коливальній системі зберігаються вільні коливання, тобто тим якіснішою вона є. Але зазвичай якість коливальної системи характеризують не безпосередньо числом N_e, а добротністю Q – величиною, котра пов’язана з N_e або з декрементом загасання λ співвідношеннями:

\( {Q}=\pi{N}_{e}=\frac{\pi}{\lambda}\).

(3.9)

Згідно з (3.7) і (3.7а), добротність можна виразити через частоту та коефіцієнт загасання або через час релаксації та період вільних коливань:

	\( {Q}=\frac{\omega}{2\beta}\),	(3.9а)
	\( {Q}=\pi\frac{\tau}{T}\).	(3.9б)

Добротність характеризує також втрати енергії коливань унаслідок загасання. Можна показати, що при слабкому загасанні (β << ω₀)

\( {Q}=\frac{2\pi{W}}{|\Delta{W}|}\),

(3.10)

де W – енергія вільних коливань у  даний момент часу, а |ΔW| – утрата енергії коливань за один період, починаючи від цього моменту.

3.3. Вимушені механічні коливання. Резонанс

Коливання різної природи широко використовуються в технічних пристроях і машинах, тому вони мають бути незагасаючими. Для цього до системи треба весь час підводити енергію, аби компенсувати завжди наявні втрати енергії коливань. Отже, незагасаючими можуть бути лише вимушені коливання, що створюються і підтримуються завдяки постійному періодичному зовнішньому впливу на систему.

Рівняння вимушених коливань. Вимушені механічні коливання відбуваються під дією періодичної зовнішньої спонукальної (змушуючої) сили, властивості якої й визначають характер коливань. Найпростішими є вимушені коливання тіла, на яке, крім квазіпружної сили F_пр = –kx та сили опору \( {F}_{оп}=-\alpha{v}\), діє гармонічна спонукальна сила

\( {F}=F_{0}\cos\omega{t} \).

У такому разі для тіла маси m рівняння руху (другий закон Ньютона) має вигляд:

\( {m}\frac{\mathrm{d}^{2}x}{\mathrm{d}t^{2}}=-kx-\alpha\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}+F_{0}\cos\omega{t}\).

Увівши стандартні параметри \(\alpha /m=2\beta \), \({k/m}=\omega_{0}^{2}\) і позначення \( {f_{0}}=F_{0}/{m}\), це рівняння можна переписати у загально прийнятому вигляді диференціального рівняння вимушених коливань під дією гармонічної спонукальної сили:

У такому вигляді воно є чинним не лише для координати, а й для будь якої іншої фізичної величини.

Із математики відомо, що загальний розв’язок диференціального рівняння такого виду складається з двох доданків:

\( {x}(t)=a_{0}e^{-\beta{t}}\cos{(}\omega^{\prime}{t} + \varphi)+A\cos{(}\omega{t}-\varphi_{0}{)}\),

де величина \( \omega\prime = \sqrt{\omega_{0}^{2}-\beta^{2}}\) збігається з частотою вільних загасаючих коливань (3.3). Отже, можна говорити, що тіло бере участь у двох рухах: 1) загасаючих коливаннях із частотою і 2) незагасаючих коливаннях із частотою спонукальної сили ω. Але внесок від першого доданку з плином часу зменшується, тому амплітуда коливань поступово наближається до незмінної величини A, як показано на рис. 3.3.

Це відбувається за певний час установлення, що є сумірним із часом релаксації \({\tau}\) вільних загасаючих коливань. Наприклад, за час \( {t}=5\tau \) амплітуда вимушених коливань досягає величини 99,5% від усталеної величини A. Відтак установлюються гармонічні стаціонарні вимушені коливання, що відбуваються за законом:

Амплітуду A та початкову фазу φ₀  вимушених коливань можна визначити різними способами. Наприклад, підставивши функцію (3.12) в рівняння (3.11) і побудувавши відповідну векторну діаграму (див. Розділ І, п. 1.2). Відповідні розрахунки дають:

і

Ці вирази указують на суттєві відмінності між вимушеними та вільними коливаннями:

1. У той час, як частота вільних коливань визначається параметрами коливальної системи, частота вимушених коливань від них ніяк не залежить і повністю визначається частотою спонукальної сили;

2. Амплітуда і початкова фаза вимушених коливань залежать як від властивостей спонукальної сили (амплітуди F₀ та частоти ω, так і від властивостей коливальної системи (власної частоти ω₀ та коефіцієнта загасання β). У той же час амплітуда та початкова фаза вільних коливань “ні від чого не залежать” і визначаються тільки способом виведення системі із стану рівноваги – величиною початкового відхилення, або початкової швидкості тіла;

3. Амплітуда вимушених коливань є функцією частоти: A = A(ω).

Резонанс. Проаналізуємо характер залежності амплітуди вимушених коливань від частоти, задля чого будемо подумки поступово збільшувати величину ω у виразі (3.13). Відтак при наближенні величини ω до ω₀ перший доданок під коренем у (3.13) буде швидко зменшуватися, наближаючись до нуля, а по тому – так само швидко збільшуватись. Відповідно, амплітуда A спочатку буде зростати, а потім спадати, проходячи при певному значенні частоти ω = ω_р через максимум. Таке зростання амплітуди вимушених коливань при наближенні частоти спонукальної сили до певної величини ω_р називається резонансом, а частота ω_р — резонансною частотою. Резонансну частоту можна знайти, дослідивши підкорінну функцію в (3.13) на мінімум. Відповідний розрахунок дає

Підставивши цей вираз у (3.13), визначимо резонансну амплітуду:

Отримані вирази показують, що резонансна частота та резонансна амплітуда залежать від коефіцієнта загасання коливальної системи β. При його зменшенні резонансна частота ω_р наближається до власної частоти ω₀, а резонансна амплітуда А_р зростає, як показано на рис. 3.4.

При β = 0 формула (3.15) дає ω_р = ω₀, а (3.16) – \( {A}_{p}\to\infty \). Але повністю позбутися загасання неможливо, можна лише зробити його слабким, так, що β << ω₀. При цьому резонансна частота практично збігається із власною частотою системи ω_р = ω₀, але резонансна амплітуда коливань лишається скінченною.

Резонанс є важливим явищем, яке широко використовується в техніці. Приміром, на явищі резонансу ґрунтується дія язичкового частотоміра. Використовують це явище і в резонансних машинах, які призначені для випробування матеріалів на міцність. Широко використовують резонанс в акустиці, електро- та радіотехніці, тощо. Але явище резонансу може бути і шкідливим. До прикладу, відомо, що в масивних обертових вузлах машини при недостатньо точній збалансованості мас під час роботи виникають великі періодичні сили, що діють на підшипники, опору машини, корпус корабля, тощо. Частота таких сил, яка дорівнює частоті обертання валу, може збігтися з власною частотою коливань певної частини машини. При цьому виникнуть сильні резонансні коливання, що може призвести до поломки валу або руйнування фундаменту. Так само через недоліки в конструкції літака при певній швидкості польоту можуть виникнути руйнівні коливання крил. Тому при розробці подібних машин і пристроїв приділяють велику увагу запобіганню можливості виникнення резонансних коливань або, принаймні, їхньому послабленню до безпечного рівня.

Контрольні запитання

1. Чи можливі вільні гармонічні коливання в реальній механічній системі? Чому?

2. Якщо тіло маси m здійснює коливання в середовищі, де на нього діє сила опору

F = – \(\alpha{v}\), то чому дорівнює коефіцієнт загасання коливань?

3. Чи є вільні загасаючі коливання гармонічними? Строго періодичними?

4. Чому частота вільних загасаючих коливань маятника менша, ніж його власна частота?

5. Назвіть ті величини, що визначають швидкість загасання коливань і ті, що характеризують їхню тривалість

6. Що показує час релаксації коливань?

7. Що називається логарифмічним декрементом загасання? Як він пов’язаний з часом релаксації?

8. Яку кількість вільних коливань здійснює точка за час релаксації при логарифмічному декременті загасання λ?

9. Що таке добротність коливальної системи? Як вона виражається через циклічну частоту та коефіцієнт загасання?

10. Який зв’язок існує між втратами енергії загасаючих коливань і добротністю системи?

11. Від чого залежать частота стаціонарних вимушених коливань і частота вільних коливань?

12. Від чого залежать амплітуда стаціонарних вимушених коливань і амплітуда вільних коливань?

13. У чому полягає явище резонансу? Від чого і як залежить резонансна частота вимушених гармонічних коливань точки?

Уже говорилося, що спостерігаються та використовуються на практиці коливальні процеси різної природи. Зокрема,  велику роль у житті людини відіграють електромагнітні коливання – періодичні зміни струмів в електричних колах або характеристик електричного та магнітного полів. Це стосується як вимушених коливань, які створюються спеціальними пристроями, так і вільних коливань, які існують завдяки здатності електричного і магнітного полів до взаємних перетворень (ЕЛЕКТРИКА І МАГНЕТИЗМ. Частина V).

 Вільні електромагнітні коливання   розглядаються далі в наступних питаннях:

4.1. Коливальний контур

4.2. Вільні коливання в ідеальному контурі

4.3. Вільні загасаючі коливання в контурі

        Контрольні запитання

4.1. Коливальний контур

Послідовний контур. Електромагнітні коливання спостерігаються в коливальних контурах – колах, що включають   конденсатори, котушки індуктивності та резистори. Відповідно, електричними параметрами контура є опір R, індуктивність L і ємність C. Зазвичай роль резистора виконують з'єднувальні провідники. Коливальні контури можуть мати різну конфігурацію, але при вивченні загальних властивостей електромагнітних коливань розглядають найпростіші послідовні контури, в яких всі елементи сполучаються послідовно. Крім того, в теорії конденсатор і котушка контура розглядають як ідеальні. А саме, вважають, що електричне поле конденсатора та магнітне поле котушки повністю зосереджені всередині цих елементів, що виключає можливість  випромінювання контуром електромагнітної енергії в простір. Також приймають, що конденсатор заповнено ідеальним діелектриком, а котушка має незмінну індуктивність  L = const, і її власний  опір r включають в опір резистора R. Окрім цього, в загальному випадку  контур включає зовнішнє джерело (генератор) змінної ЕРС  \( \mathcal{E}\). Принципова електрична схема такого контура показана на рис. 4.1.

Загальне рівняння послідовного контура. Коли в колі відбуваються електричні коливання, струм є нестаціонарним, тобто в різні моменти часу його величина не однакова. Але й у різних точках провідника величина струму в заданий  момент часу теж є різною. Це пояснюється тим, що електричне поле, котре створюється  джерелом і визначає величину струму в кожній точці провідника, поширюється вздовж нього із скінченною швидкістю. Через це виникає ефект запізнення – у віддалених від джерела точках задане значення струму встановлюється пізніше, ніж на вході кола. Проте через дуже велику швидкість поширення поля  (c  = 3·10⁸ м/с), ефект запізнення зазвичай є неістотним, і струм у контурі можна вважати квазістаціонарним (див. ЕЛЕКТРИКА І МАГНЕТИЗМ.  Частина ІІІ, п. 3.1). За такої умови  процеси в контурі є підпорядковані певному диференціальному рівнянню, яке можна встановити на основі загальних законів електричного струму.

Складемо диференціальне рівняння послідовного коливального контура,   (рис. 4.1).

За другим правилом Кірхґофа (ЕЛЕКТРИКА І МАГНЕТИЗМ, частина.III, п. 2.5) сума спадів напруги на всіх ділянках замкненого контура дорівнює сумі всіх ЕРС, які діють у ньому. В коливальному контурі таких ЕРС дві: ЕРС генератора та ЕРС самоіндукції котушки, отож

Спад напруги на резисторі визначається законом Ома  \( {U}_{R}={IR} \), спад напруги на конденсаторі дорівнює різниці потенціалів між обкладками і визначається його зарядом та ємністю  \({U}_{C}=q/{C}\), а ЕРС самоіндукції за законом Фарадея (ЕЛЕКТРИКА І МАГНЕТИЗМ, частина. IV, п. 1.2) \( \mathcal{E}_{C}=-L(\mathrm{d}I/\mathrm{d}t) \) . Отже, маємо:

При протіканні струму в контурі кожна порція електрики, що проходить провідником за час dt, потрапляє на пластину конденсатора і змінює його заряд на відповідну величину  dq. Тому в (4.2) величина I дорівнює першій, а  \(\mathrm{d}I/\mathrm{d}{t}\) – другій похідній заряду конденсатора по часу:

Зробимо ці підстановки в (4.2):

і введемо позначення

Відтак отримаємо загальне диференціальне рівнянням послідовного коливального контура:

яке відображає поведінку заряду конденсатора контура. Проінтегрувавши (розв’язавши) його, можна визначити, за яким законом q(t) змінюються з часом заряд конденсатора, а відтак і струм в котушці та напруги на всіх ділянках контура за будь яких заданих умов.

4.2 Вільні коливання в ідеальному контурі

Коливання заряду та напруги на конденсаторі. Власна частота контура. Якщо в контурі  R = 0, то він називається ідеальним. Розглянемо процеси в такому контурі за відсутності генератора (рис. 4.2). У цьому випадку в (4.7) \( \beta =0 \)  і  \( \mathcal{E}=0 \)  , отже

Рівняння (4.8), згідно з (1.18), є рівнянням гармонічних коливань. Це означає, що, коли зарядити конденсатор певним зарядом  q_m  і надати контур самому собі, в ньому виникнуть гармонічні коливання заряду q(t) і напруги U_C(t) конденсатора, які можна описати загальними рівняннями (1.4):

Частота цих коливань, яку називають власною частотою контура, згідно з (4.6), визначається формулою:

а період – формулою Томсона:

Коливання струму та напруги на котушці індуктивності. Рівняння вільних коливань струму в котушці індуктивності контура знайдемо з виразів (4.3), скориставшись рівнянням (4.9):

де амплітуда струму

Задля зручності перепишемо рівняння (4.12) у вигляді:

Порівнюючи це рівняння з (4.11), бачимо, що

вільні коливання струму з в ідеальному контурі випереджають за фазою коливання напруги конденсатора на π/2 , або на чверть періоду.

Для встановлення рівняння коливань напруги на котушці врахуємо, що при вільних коливанннях в ідеальному контурі в рівнянні (4.2)  R = 0  і \( \mathcal{E}={0}\). Отже,

\( \frac{q}{C}+L\frac{\mathrm{d}I}{\mathrm{d}t}={0}\).

З іншого боку, за другим правилом Кірхґофа за відсутності зовнішнього джерела,

\( {U}_{C}+U_{L}={0}\).

Таким чином,

Визначивши похідну  (\(\mathrm{d}I/\mathrm{d}{t}\))  з (4.12),  отримаємо:

де амплітуда напруги на котушці індуктивності

Порівнюючи рівняння (4.15) і (4.13), бачимо, що

вільні коливання струму в ідеальному контурі відстають від коливань напруги на котушці індуктивності на π/2, або на чверть періоду.

Так само і рівнянь (4.15) і (4.13) випливає, що

в ідеальному контурі вільні коливання напруги на конденсаторі та на котушці індуктивності відрізняються за фазою на π, тож відбуваються в протифазі.

Фазові співвідношення між коливаннями струму та напруг в ідеальному контурі наочно показує рис.4.3:

Перетворення енергії в ідеальному коливальному контурі. Заряджений конденсатор і котушка індуктивності із струмом мають певний запас енергії, що зосереджена в їхніх полях – електричному та магнітному. Сума цих енергій складає енергію коливань у контурі. Позаяк в ідеальному контурі немає випромінювання та виділення  у провідниках  тепла при протіканні струму, то немає жодних каналів перетворення електромагнітної енергії на інші види. Тому

енергія вільних коливань в ідеальному контурі зберігається.

Ці якісні міркування можна обґрунтувати розрахунками. З електродинаміки відомо, що електрична енергія зарядженого конденсатора виражається як

Так само магнітна енергія котушки індуктивності визначається її індуктивністю та струмом:

У коливальному контурі ці енергії, згідно з (4.11) і (4.12) визначаються рівняннями :

Ці рівняння за допомогою відомих формул тригонометрії можна подати інакше:

\( {W}_{C}=\frac{1}{2}W_{Cm}(1+\cos{(2\omega_{0}t+2\varphi_{0})}{)} \),

\( {W}_{L}=\frac{1}{2}W_{Lm}(1-\cos{(2\omega_{0}t+2\varphi_{0})}{)}\).

Звідси випливає, що коливання енергій  W_C і  W_L відбуваються навколо їхніх середніх величин із частотою  ω′ = 2ω₀  і в протифазі. Крім того з виразів (4.10) і (4.12а) маємо:

отже,

\( {W}_{Cm}=W_{Lm}=W_{0}\).

Урахувавши це, для повної енергії коливань у контурі з (4.18) і (4.19) маємо

Таким чином, як і говорилося, повна енергія вільних коливань в ідеальному контурі зберігається. З плином часу відбуваються лише взаємні перетворення енергій електричного поля конденсатора та магнітного поля котушки індуктивності.

Енергетичні перетворення в ідеальному контурі ілюструє рис. 4.4:

4.3. Вільні загасаючі коливання в контурі

Якщо в контурі  R ≠ 0, то при протіканні струму в резисторі виділяється теплота, що утворюється за рахунок електромагнітної енергії контура. Тому за відсутності генератора (рис. 4.5) вільні коливання в контурі поступово загасають.

Рівняння та характеристики загасаючих коливань у контурі. Поклавши в (4.7) \( \mathcal{E}={0}\) , отримаємо диференціальне рівняння вільних коливань у реальному контурі:

Це рівняння не відрізняється від  рівняння вільних загасаючих механічних коливань (3.1). Тому, якщо  подати  на конденсатор заряд  q_m  і надати контур самому собі, то при β < ω₀ в ньому виникають вільні загасаючі коливання заряду, що відбуваються за законом:

або

де величину  A(t) можна розглядати як залежну від часу амплітуду, що спадає  за експоненціальним законом (рис. 4.6):

Так само залежать від часу й амплітуди інших величин – напруг на конденсаторі й котушці індуктивності та струму в контурі. Тому можна записати загальний вираз амплітуди загасаючих коливань:

в якому константу А₀ формально можна трактувати як "початкову" амплітуду. 

Циклічна частота   ω  і період  T   загасаючих коливань теж відрізняються від характеристик вільних гармонічних коливань  ω₀, T₀  і визначаються формулами:

і

Через параметри контура циклічна частота загасаючих коливань, згідно з (4.5) і (4.6), виражається формулою

 Для кількісної характеристики швидкості загасання або тривалості вільних коливань у контурі використовують ті самі величини, що й для механічних коливань: коефіцієнт загасання  β, час релаксації  τ, логарифмічний декремент загасання  λ, добротність  Q. Єдине, що варто зауважити, так це те, що частоти електричних коливань у контурах на загал є суттєво вищими, ніж частоти коливань механічних осциляторів, наприклад, маятників. Тому в режимі реального часу загасання вільних коливань в електричних контурах відбувається дуже швидко. Через це на практиці звичайно використовують не прямі міри загасання  β  і  τ, а опосередковані величини  λ  і Q. Нагадаємо зміст указаних характеристик загасання та розглянемо, як вони визначаються через параметри коливального контура.

Коефіцієнт загасання β  визначається формулою (4.5):

\( \beta=\frac{R}{2L}\)

і, згідно з (4.25), показує, як круто спадає амплітуда коливань. Це добре видно з рис. 4.7 і є цілком зрозумілим: що більша величина  β, то більший опір контура  R і більше електромагнітної енергії переходить у тепло протягом кожного періоду коливань.

Час релаксації   τ  визначається  як

Згідно з (4.25), величина τ  дорівнює проміжку часу, за який амплітуда коливань зменшується в  \( {e}\approx{2,72}\) разів. Отже, час релаксації показує, як довго зберігаються в контурі вільні коливання. Це також видно з рис. 4.7. Цікаво, що час релаксації є прямо пропорційним індуктивності контура L. Це не випадково, адже вільні коливання в контурі виникають і підтримуються завдяки ЕРС самоіндукції котушки, яка пропорційна  L.

Логарифмічний декремент загасання λ є зручною мірою зменшення амплітуди за один період, а отже мірою швидкості загасання коливань. За означенням він дорівнює

\( \lambda=\ln\frac{A(t)}{A(t+T}\).

Підставивши з (4.25) вирази амплітуд  A(t) і  A(t + T), дістанемо:

Згідно з (4.5), (4.10) і (4.27), величина  λ  через параметри контура визначається формулою:

Добротність контура Q  за означенням визначається, як

і є кількісною характеристикою якості контура як коливальної системи, – адже чим більша добротність, тим менший декремент загасання і більший час збереження в контурі вільних коливань. Урахувавши вираз (4.30) і загальне співвідношення  \( {T}=2\pi/\omega \), можна записати:

Через параметри контура добротність виражається, як

При слабкому загасанні, коли  β < ω₀, частота загасаючих коливань близька до власної частоти контура  (ω ≈ ω₀). Тому для добротності з достатньою точністю можна записати:

Тоді на підставі (4.5) і (4.10) маємо зручну спрощену формулу для розрахунків:

Розрахункова формула (4.30а) теж спрощується:

Слід зауважити, що, по-перше, умова слабкого загасання не є жорсткою, і, по-друге, на практиці коливальні контури завжди мають високу добротність, тобто дуже мале загасання. Тому в усіх реальних випадках спрощені формули (4.35) і (4.36) фактично є точними.

Параметри вільних коливань у контурі суттєво залежать від коефіцієнта загасання  β. При цьому, якщо  \( \beta\to\omega_{0}\), то, відповідно до (4.26) і (4.27), \(\omega\to{0}\)  і  \({T}\to\infty \). Це означає, що заряд конденсатора та струм у котушці спадають до нуля, не здійснивши жодного повного коливання. Такий режим називається аперіодичною розрядкою контура. Отже, при коефіцієнтах загасання  \(\beta\ge\omega_{0}\) вільні коливання в контурі неможливі. Тому величина    β_k = ω₀  називається критичним загасанням. Критичному загасанню відповідає критичний опір контура  R_k, який визначити з виразів (4.5) і (4.10):

Вільні коливання в контурі з опором  R можливі лише за умови  R < R_k, тому

критичний опір контура — то є найменший опір, при якому в контурі вже неможливі вільні коливання.

При  R ≥ R_k  всі величини, що характеризують коливання, втрачають зміст. Але їх все одно буває зручно виражати через критичний опір. Наприклад, згідно з (4.35) і (4.37), добротність контура можна подати, як

 Загасаючі коливання напруги на конденсаторі та струму. Оскільки напруга на конденсаторі  \( U_{C}={q/C} \), то поклавши в (4.23) задля зручності  \( \varphi_{0}={0}\), отримаємо наступне рівняння загасаючих коливань напруги на конденсаторі контура:

Для отримання рівняння коливань струму визначимо похідну  dq/dt  з рівняння (4.23) за умови  \(\varphi_{0}={0}\):

\({I(t)}=\frac{\mathrm{dq}}{\mathrm{d}t}=-q_{0}e^{-\beta{t}}{(\beta\cos\omega{t}+\omega\sin\omega{t})}\).

Це рівняння можна привести до зручнішого вигляду, помноживши і поділивши його на власну частоту контура  ω₀. Відтак

Згідно з (4.26),  \( \beta^{2}+\omega^{2}=\omega_{0}^{2}\), крім того,  \( \beta <\omega_{0}\)  і   \( \omega < \omega_{0}\). Це дозволяє трактувати числові множники в дужках як гармонічні функції деякого кута, що визначається, скажімо, такими співвідношеннями:

Тоді, увівши позначення  \( \omega_{0}q_{0}=I_{0}\)  і подавши в (4.40) величину в дужках, як косинус різниці кутів, отримаємо рівняння загасаючих коливань струму в контурі:

\( {I(t)}=-I_{0}e^{-\beta{t}}\cos{(\omega{t}-\psi)}\),

або

де  \( \varphi =\pi-\psi \), і, згідно з (4.41),

Таким чином, в контурі із загасанням, на відміну від ідеального,  зсув фаз між вільними коливаннями напруги на конденсаторі та струму в котушці  \( \varphi\ne\pi /{2}\).

Величину  \( \varphi \)  за допомогою виразу (4.32) можна визначити й через добротність контура:

З цього співвідношення випливає, що  \(\varphi \) із збільшенням добротності значно зростає і вже при Q = 25 досягає величини 89°. Отже, вказана відміна фазових співвідношень для реальних радіотехнічних контурів є неістотною. Але вона відіграє велику роль у звичайних (не коливальних), колах змінного струму. Детальніше про це говориться в розділі  "Змінний струм",  п. 6.

Енергія загасаючих коливань.  Зрозуміло, що енергія вільних загасаючих коливань у контурі не зберігається, вона монотонно спадає з часом аж до нуля. При цьому через складні фазові співвідношення між напругою на конденсаторі і струмом в котушці індуктивності точний вираз повної енергії коливань у контурі виявляється громіздким і незручним для аналізу. Але, як щойно говорилося, при слабкому загасанні можна вважати, що зсув фаз між напругою (4.39) і струмом (4.42) складає  \( \varphi=\pi /{2} \), як в ідеальному контурі. Тоді для струму можна записати

Відтак, провівши ті самі викладки, що й для ідеального контура (п. 4.2), отримаємо наступний наближений вираз повної енергії загасаючих коливань у контурі:

Отже, при слабкому загасанні

енергія вільних коливань у контурі спадає за експоненціальним законом, як і напруга та струм, але вдвічі швидше.

Утрати енергії вільних коливань визначаються загасанням β, від якого залежить і добротність контура Q. Тому можна встановити прямий зв’язок між утратами енергії коливань і добротністю. Для цього визначимо відносну втрату енергії коливань за час одного періоду:

де

\( {W}=W_{0}e^{-2\beta{t}}\)   і  \({W_{1}}=W_{0}e^{-2\beta{(t+T)}}\).

Підставивши ці вирази в (4.46), та врахувавши (4.30) і (4.31), дістанемо:

При слабкому загасанні декремент  λ << 1, а добротність  Q >> 1, тобто показник експоненти є суттєво меншим за одиницю. Тому можна скористатися відомим із математики наближеним виразом  е^х ≈ 1+х при  x << 1  і, зробивши заміну  х = –2π/Q, отримати з  (4.47):

Цей вираз висвітлює енергетичний зміст добротності:

добротність контура характеризує відношення енергії вільних коливань в будь-який момент часу до втрати цієї енергії за час одного періоду коливань, починаючи від цього моменту.

Це твердження, рівно як і закон (4.45) загасання енергії  W(t), є чинними також і для механічних загасаючих коливань.

Контрольні запитання

1. За яких умов у колі можливі електричні коливання?

2. Чи можливі в колі без котушки індуктивності електричні коливання:

  а) вільні;  б) вимушені?

3. Чи можливі в колі без конденсатора електричні коливання: а) вільні;  б) вимушені?

4. Що таке ідеальний коливальний контур?

5. У теорії конденсатор і котушка індуктивності коливального контура розглядаються як ідеальні. Що мається на увазі?

6. Що таке власна частота контура?  Чи використовується цей параметр при розгляді коливань у не ідеальному контурі?

7. Співставте вільні електричні коливання в ідеальному контурі з ємністю C  та індуктивністю L із вільними гармонічними коливаннями кульки маси m на пружині жорсткості k, і встановіть відповідність між величинами C, L та m, k.

8. Що можна сказаи про частоти  вільних коливань у контурах, які  мають однакові індуктивності та ємності?

9. Назвіть й охарактеризуйте величини, котрі визначають швидкість загасання вільних коливань у контурі.

10. У скільки разів зменшується амплітуда загасаючих коливань у контурі за час утричі   більший, ніж час релаксації контра?

11. Назвіть й охарактеризуйте величини, котрі визначають тривалість існування   вільних коливань у контурі.

12. Що таке критичний опір контура? Як він виражається через параметри контура?

13. Який зв’язок є між добротністю та: а) критичним опором контура;

       б) енергією вільних коливань у контурі?

14. З якою частотою змінюється енергія конденсатора контура, якщо струм у контурі       змінюється з частотою ω?

16. Установіть відповідність між електричною і магнітною енергією ідеального контура з одного боку та кінетичною і потенціальною енергією гармонічних коливань маятника з іншого.

Загасаючі коливання становлять інтерес для теорії. А на практиці щонайширше застосування мають незагасаючі електричні коливання – від промислового змінного струму і до найрізноманітніших радіоелектронних приладів і пристроїв. Для створення незагасаючих коливань у контурі необхідно весь час компенсувати втрати електричної енергії на опорі  R. Це роблять, включаючи в контур зовнішнє джерело (генератор) змінної напруги, яке  створює та підтримує незагасаючі коливання.

Далі розглянуті наступні питання:

5.1. Амплітуда та фаза коливань заряду

5.2. Коливання напруг і струму. Резонанс

 Контрольні запитання

5.1. Амплітуда та фаза коливань заряду

Схема контура для дослідження вимушених коливань була наведена в п. 4.1 і має вигляд:

Там  же було встановлено  й загальне диференціальне рівняння (4.7) послідовного контура:

\( \frac{\mathrm{d}^{2}q}{\mathrm{d}t^{2}}+2\beta\frac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}t}+\omega_{0}^{2}q=\frac{\mathcal{E}}{L}\),

Розглянемо контур, в який включено зовнішній генератор із ЕРС, що змінюється за гармонічним законом \(E={{E}_{0}}\cos \omega t\). У такому разі наведене рівняння контура має вигляд:

де β = R/2L – загасання, і ω₀ = \({1}/{\sqrt{LC}}\;\) – власна частота контура.

Із теорії диференціальних рівнянь відомо, що загальні розв’язки цього рівняння можна записати, як 

де \( \omega^{\prime} =\sqrt{\omega_{0}^{2}-\beta^{2}}\), що збігається з частотою вільних коливань у контурі, а ω — частота генератора.

Така структура функцій  q(t) має просте фізичне обґрунтування. В момент увімкнення генератор виводить контур з рівноважного стану. Відтак у ньому крім вимушених коливань, які створюються й підтримуються генератором і визначаються другим доданком у виразі  q(t), збуджуються й вільні загасаючі коливання (перший доданок). Але останні через якийсь час практично повністю загасають, і в контурі встановлюються стаціонарні вимушені коливання заряду на конденсаторі, що визначаються рівнянням:

За своїми властивостями такі коливання суттєво відрізняються від вільних. Приміром, частота вимушених коливань зовсім не залежить від параметрів контура і задається генератором. Також, на відміну від вільних коливань, у яких амплітуда та початкова фаза не залежать від параметрів контура і “задаються” умовами створення, амплітуда й фаза вимушених коливань визначаються не тільки генератором, а й параметрами контура.

Мовою математики амплітуда q₀ і початкова фаза φ₀ є сталими інтегрування рівняння (5.1), які визначаються шляхом підстановки розв’язку у вихідне рівняння. Тож знайдемо з (5.2) похідні   dq/dt  та  d²q/dt² і підставимо їх у (5.1):

Далі зробимо заміну

і після елементарних викладок дістанемо:

Хоча в рівняння (5.3) входять дві невідомі величини – амплітуда заряду q₀ і початкова фаза  φ₀, – з нього за допомогою векторного зображення гармонічних коливань  (розділ 1, п. 1.2) можна визначити обидва параметри. При цьому ліва частина рівняння (5.3) зображується двома взаємно перпендикулярними векторами, а права – вектором, який є їхньою сумою, як показано на рис. 5.1. Вектори на цій діаграмі утворюють прямокутний трикутник, з якого легко отримати вирази для амплітуди та початкової фази заряду на конденсаторі контура:

і

5.2. Коливання напруг і струму. Резонанс

Вимушені коливання струму та напруг. Вимушені гармонічні коливання в контурі відбуваються за таким самим законом, як і вільні коливання в ідеальному контурі. Тому струм та напруги на конденсаторі і котушці індуктивності визначаються рівняннями й співвідношеннями, що є аналогічними до (4.11), (4.13), (4.15). Тож, увівши в них позначення

отримаємо:

Початкова фаза коливань струму, згідно з (5.5) і (5.6), визначається, як

За фазою коливання напруги на конденсаторі (5.8) відстають, а на котушці індуктивності (5.9) випереджають коливання струму на π/2. Отже, фазові співвідношення при вимушених коливаннях в контурі такі самі, як і при вільних незагасаючих коливаннях.

Резонанс. Як і при механічних коливаннях (розділ 3, п. 3.3), амплітуди вимушених коливань у контурі залежать від частоти. Ці залежності називають амплітудними (або резонансними) характеристиками контура. Відповідно до (5.4) і (4.11а), (4.12а), та (4.15а), вони визначаються такими виразами:

Із цих виразів випливає, що для напруг на конденсаторі й котушці та струму в контурі можливе явище резонансу – проходження амплітуди вимушених коливань через максимум при певній резонансній частоті ω = ω_р.

Резонансну частоту для кожної з указаних величин можна знайти за стандартним алгоритмом, визначивши та прирівнявши до нуля її похідну. Такі обчислення  показують, що резонансна частота стуму збігається із власною частотою контура:

А от резонансні частоти напруг на конденсаторі  ω_с і котушці індуктивності ω_L залежать від загасання  β  і визначаються виразами:

Як видно, ці частоти пов’язані співвідношенням:

\( \omega_{C}\cdot\omega_{L}=\omega_{0}^{2} \)

Підстановка резонансних частот (5.14) – (5.16) у вирази амплітуд (5.11) – (5.13) дає:

При слабкому загасанні величиною  \( \beta^{2} \) під коренем можна знехтувати і, урахувавши (4.34), отримати:

Ці вирази дають простий спосіб вимірювання добротності та показують ще одне “обличчя” цієї важливої характеристики контура:

добротність можна трактувати як коефіцієнт підсилення напруги на ємності або індуктивності контура при резонансі.

Головні особливості резонансу в коливальному контурі наочно відображають рис. 5.2 і 5.3.

На рис. 5.2 показані резонансні криві напруги на конденсаторі та на котушці індуктивності при заданій ЕРС генератора в контурі з малою добротністю й заданим загасанням, а на рис. 5.3 – резонансні криві струму в контурі при різних загасаннях і однаковій ЕРС генератора. Видно, що при зменшенні загасання і збільшенні добротності резонанс стає гострішим: криві  \( {I}_{m}(\omega)\) стають вищими та вужчими. Можна довести, що при слабкому загасанні добротність контура

де  ω₀ – резонансна частота струму (5.14), а  Δω = |ω₁ - ω₂| ширина резонансної кривої, визначена на рівні

як показано на рис. 5.3.

Велика гострота резонансу в контурі з високою добротністю зумовлює широке практичне застосування коливальних контурів у царині радіотехніки та телекомунікацій, позаяк  дозволяє здійснювати селекцію сигналів. Ставлячи на вході приймального пристрою коливальний контур і налаштовуючи його на відповідну резонансну частоту, можна з широкого спектру частот, які приходять з ефіру чи лінії передач, виділяти і далі опрацьовувати сигнали тільки з потрібною частотою. При цьому що вища добротність контура, тим краще він виділяє сигнал заданої частоти. Отже,

добротність виступає ще і як міра селективності контура.

 Контрольні запитання

1. Що треба зробити, аби в реальному коливальному контурі створити гармонічні коливання?

2. Від чого залежить частота стаціонарних вимушених коливань у контурі?

3. Зобразіть приблизний вигляд графіка залежності від часу амплітуди вимушених коливань у контурі.

4.  Чому дорівнює зсув фаз між коливаннями напруги генератора та заряду                  конденсатора  контура? За якої умови коливання заряду за фазою: а) відстають     від  коливань напруги  генератора;  б) випереджають їх?

 5. Відстають чи випереджають за фазою вимушені коливання напруги на                            конденсаторі контура  коливання струму? На скільки?

6. Відстають чи випереджають за фазою вимушені коливання напруги на коушці   контура  коливання струму? На скільки?

7. Відстають чи випереджають за фазою вимушені коливання напруги на конденсаторі контура  коливання напруги на котушці? На скільки?

8. За якої умови вимушені коливання струму в контурі за фазою: а) відстають від коливань напруги генератора; б) випереджають коливання напруги генератора; в) збігаються з коливаннями напруги генератора?

9. При якій частоті амплітуда вимушених коливань струму в контурі є              максимальною?

10. При якій частоті амплітуда вимушених коливань напруги на конденсаторі              контура    є максимальною?

11. Чому дорівнює резонансна амплітуда напруги на конденсаторі контура при            слабкому загасанні?

12. При якій частоті амплітуда вимушених коливань напруги на котушці контура є    максимальною?

13. Чому дорівнює резонансна амплітуда напруги на котушці контура при                      слабкому        загасанні?

‹

Одним із важливих для практики видів вимушених електричних коливань є змінний струм. У широкому значенні змінним струмом називають будь-які періодичні вимушені коливання струму та напруги в  електричному колі. Але зазвичай під  змінним струмом розуміють  синусоїдальний струм, який змінюється за гармонічним законом. Це пояснюється тим, що саме за таким законом змінюється з часом ЕРС потужних індукційних генераторів на електростанціях, які дають більшу частину всієї споживаної людством електричної енергії. Далі розглядаються такі питання:

6.1. Закон Ома для змінного струму

6.2. Резонанс у колі змінного струму

6.3. Потужність у колі змінного струму

        Контрольні запитання

6.1. Закон Ома для змінного струм

Найпростішим повним за складом колом змінного струму є послідовний контур, який включає резистор R, конденсатор C і котушку індуктивності L (див. схему), на які подається гармонічна напруга 

u = U0cosωt.

(6.1)

Але на відміну від коливального контура, в загальному випадку наявність у колі всіх полічених елементів не є обов’язковою. Зокрема це стосується котушки індуктивності. Тому в теорії змінного струму вона розглядається не як джерело ЕРС самоіндукції, а як пасивний елемент кола, що разом з іншими живиться від генератора змінної напруги.

Раніше (ЕЛЕКТРИКА І МАГНЕТИЗМ, частина ІІІ) було показано, що змінні струми практично завжди є квазістаціонарними. Тому, відповідно до другого правила Кірхґофа, для миттєвих значень напруг на ділянках послідовного кола можна записати:

uR + uC + uL = U0cosωt.

(6.2)

При цьому струм у всіх ділянках кола в кожен момент часу однаковий, і виражається загальним рівнянням

(6.3)

У випадку стаціонарного (постійного) струму зв’язок між струмом та напругою, що подається на послідовне коло, визначається законом Ома. Чи це так і для змінного струму, не є очевидним і потребує спеціального розгляду. Спочатку проаналізуємо зв’язок між струмом і напругою для кожної ділянки кола окремо.

Резистор у колі змінного струму. Активний опір.  Резистор по суті – то є просто провідник із певним опором R , для якого в кожну мить  виконується закон Ома u = iR . Отже, рівняння коливань напруги на опорі R, згідно з (6.3), має вигляд:

(6.4)

Відмітимо, що струм і напруга на опорі R змінюються синфазно, і їхні амплітуди пов’язані співвідношенням:

або

(6.5)

У колах змінного струму крім резисторів фігурують і котушки індуктивності та конденсатори, які теж чинять опір протіканню струму. Тому в теорії змінного струму опір R, що зумовлений розсіюванням носіїв струму і є причиною виділення у провіднику джоульового тепла, називають активним опором.

Котушка індуктивності та конденсатор у колі змінного струму. Реактивні опори. При протіканні змінного струму по котушці індуктивності напруга на ній визначається як:

Імпеданс. Закон Ома для змінного струму. Встановимо тепер, як струм у колі пов’язаний з напругою на вході (напругою генератора). Вище вже говорилося, що в послідовному колі за умови квазістаціонарності напруга на вході дорівнює сумі напруг на всіх ділянках кола, а струм скрізь однаковий, так само, як у випадку стаціонарного (постійного) струму. Тому може здатися, що величина змінного струму, як і у випадку постійного, дорівнює відношенню напруги на вході до суми опорів усіх ділянок кола. Але насправді це не так, оскільки напруги на різних ділянках кола мають різні фази (див. рівняння (6.1),(6.4), (6.6) і (6.9)).

6.2. Резонанс у колі змінного струму

Реактивні опори (6.8), (6.11) та імпеданс (6.18) залежать від частоти, як показано на рис. 6.2а. При зростанні частоти індуктивний опір збільшується, а ємнісний зменшується. Тому, коли опори  Х_L і Х_С  зрівнюються, то реактивний опір Х_L – Х_С, = 0 й імпеданс, згідно з (6.18), має мінімальне можливе значення Z = R . Відповідно, амплітуда струму (6.19)  набуває максимального можливого при заданій амплітуді напруги на вході значення

6.3. Потужність у колі змінного струму

Можливості отримання корисної енергії в тому чи іншому електричному пристрої визначаються роботою та потужністю електричного струму в колах цього пристрою. Розглянемо, від чого залежить потужність на окремих ділянках та в усьому колі змінного струму.

Потужність на активному опорі. Діючі значення напруги та струму. Спочатку розглянемо потужність струму, що виділяється на резисторі. Миттєва потужність на будь-якій ділянці кола дорівнює добутку миттєвих значень струму та напруги. Відповідно,  на резисторі вона, згідно з (6.3) і (6.4), визначається виразом:

Але, позаяк змінні струми мають високу частоту,  практично значимою є тільки середня потужність \( {P}=\langle{p}\rangle \), тобто величина

Середнє значення функцій косинус і синус дорівнює нулеві, тому, з урахуванням (6.5), 

Ці формули можна записати зручніше, увівши так звані “діючі” (або “ефективні”) значення струму та напруги, котрі виражаються через амплітуди як

Відтак формули (6.25) набувають вигляду:

і стають такими самими, як і для постійного струму. Отже, можна сказати, що

діючі значення напруги та сили змінного струму – це такі величини напруги та сили постійного струму, при яких у провіднику виділяється така сама потужність, як і при заданому змінному струмі.

Іншими словами, діючі значення дорівнюють характеристикам  постійного струму, котрий є енергетично еквівалентним даному змінному струмові.

Із означень (6.26) випливає, що всі співвідношення, в які входять амплітуди струму й напруги, зберігаються і для діючих значень. Зокрема, це стосується співвідношень, які виражають закон Ома для всього кола (6.17) та окремих ділянок (6.5), (6.7), (6.10):

Діючі значення є дуже зручними і тому загально прийнятими на практиці. Зокрема, всі вимірювальні прилади змінного струму проградуйовані в діючих значеннях. Тому в техніці та побуті, коли мова йде про величину змінного струму чи напруги, терміни “діючі значення” спеціально не вживають, і слова “напруга в мережі дорівнює 220 В” або напис на вилці чи розетці “220 В, 6 А” по замовчуванню означають саме діючі значення. Що ж до амплітуди напруги в освітлювальній мережі, то вона складає  \( {U}_{0}=220\cdot\sqrt{2}\approx{311}\) В. Ще одне зауваження про терміни. Діючі значення були уведені через потужність змінного струму, що виділяється на резисторі R. На відміну від котушки індуктивності та конденсатора, ця потужність виділяється при будь-якому напрямку і фазі  φ струму. Можна сказати, що резистор "активно" споживає енергію джерела струму, тому опір R називають активним опором. Слід також зауважити, що активний опір в колі змінного струму не є тотожнім до опору в колі постійного струму. Ці величини збігаються тільки в нерухомих колах, де опір R  зумовлюється виключно розсіюванням ("гальмуванням") носіїв струму при зіткненнях із іншими частинками провідника і є фактором необоротного перетворення енергії електричного струму на тепло. Але, до прикладу, в електричних двигунах споживана енергія струму переходить не тільки в тепло, а й, головно, в механічну роботу. Тому активний опір працюючого двигуна є набагато більшим, ніж нерухомого.

Потужність на котушці індуктивності та на конденсаторі. Суттєва відмінність між реактивними опорами  X_L і  X_C  та активним опором R виявляється в процесах перетворення енергії в колі змінного струму. Аби в цьому переконатися, знайдемо миттєву та середню потужності струму на індуктивності та на ємності. Вказані миттєві потужності визначаються добутком миттєвих значень струму (6.3) та відповідної миттєвої напруги (6.6) і (6.9):

І, позаяк середня величина \( \langle\sin{(}2\omega{t}-2\varphi{)}\rangle={0}\), середні потужності на котушці та на конденсаторі

Цей, можливо, неочікуваний результат має просте пояснення. Ані в котушці індуктивності, ані в конденсаторі не відбувається ніяких перетворень електричної енергії в інші форми, наприклад у тепло. Через це магнітна енергія, яка накопичується в котушці під час збільшення струму від нуля до амплітудного значення, при подальшому зменшенні струму до нуля повністю повертається до генератора чи інших частин кола. Подібні процеси відбуваються й при збільшенні та зменшенні напруги на конденсаторі. Тому, на відміну від активного опору,  стосовно індуктивності та ємності слід говорити не про споживання енергії від генератора, а тільки про енергообмін між ними та генератором. Саме з цієї причини котушку індуктивності та конденсатор називають реактивними елементами кола, а величини  X_L  і  X_C – реактивними опорами.

Повна потужність у колі змінного струму.  Згідно з (6.1) і (6.3), миттєва потужність струму у всьому колі

\( {p}=iu=I_{0}U_{0}\cos{(}\omega{t}-\varphi{)}\cos\omega{t}\).

За допомогою відомої формули тригонометрії цей вираз можна записати, як

Звідси видно, що миттєва потужність, яка виділяється в колі, коливається навколо рівня з подвоєною частотою струму. Можливий вигляд графіка  p(t), згідно з (6.31), показаний на рис. 6.3. Наявність на графіку ділянок із  p < 0 може видатися несподіваною, але легко пояснюється присутністю в колі реактивних опорів. Раніше вже говорилося про те, що, на відміну від резистора, котушка індуктивності та конденсатор  не перетворюють енергію струму на інші форми, а лише періодично накопичують, а потім повністю повертають її в коло (див. (6.29), (6.29а)). Причому ці процеси відбувається не синхронно. Тому може статися, що протягом певних частин періоду енергія, яку віддають реактивні елементи перевищує ту, що поглинається на активному опорі. В такому разі “зайву” енергію коло віддає в генератор, а формальною мовою це  означає, що воно споживає від’ємну потужність.

Розглянутий аналіз процесів перетворення енергії в колі є важливими для теорії, але практичне значення має лише середня потужність струму  \( {P}=\langle{p}\rangle \), яку споживає коло. Тому на практиці під потужністю змінного струмурозуміють саме середнє значення величини (6.31):

Урахувавши, що , і перейшовши від амплітуд до діючих значень, отримуємо:

Отже, потужність, яка виділяється в колі змінного струму, залежить не тільки від сили струму та напруги, а й від зсуву фаз між ними. Відповідно, величина  cosφ називається коефіцієнтом потужності (в інженерній практиці — “косинусом фі”. Його вираз можна знайти безпосередньо з векторної діаграми (рис. 6.1) як  U_R/U0, або через формулу (6.20):

Коефіцієнт потужності відіграє важливу роль в електротехніці, оскільки визначає ефективність використання електричної енергії. Справді, якщо cosφ << 1, то навіть при великому струмі та напрузі коло майже не споживає енергії з мережі живлення. При цьому генератор працює вхолосту, і необхідні для генерації струму енергетичні ресурси витрачаються марно. Тому коефіцієнт потужності завжди необхідно максимально підвищувати. Для цього треба наближати імпеданс до активного опору, тобто зменшувати реактивну складову імпедансу. З цією метою в коло з великою індуктивністю, яку мають, скажімо, обмотки електричного двигуна, включають компенсуючі конденсатори. Аналогічно в коло з великою ємністю включають додаткові котушки індуктивності. Таким чином, хоча середня потужність на реактивних опорах дорівнює нулеві, ці опори відіграють суттєву роль в енергетиці кола змінного струму. Тому в електротехніці крім потужності (6.32), яку називають активною потужністю, розглядають так звану реактивну потужність Q, яку вимірюють не у ватах, а у “варах” (скорочення від "вольт-ампер реактивний") і визначають за формулою  Q = IUsinφ.  Але  детально це питання розглядають не в загальній фізиці, а в електротехніці.

 Контрольні запитання

При єдності загальних властивостей хвилі можуть мати істотні відмінності, пов'язані з їхнім походженням і фізикою процесів, які в них відбуваються. Тому в теорії хвилі класифікуються за відповідними ознаками. До прикладу, окремо розглядають механічні хвилі, з якими, зокрема, пов'язаний звук, та електромагнітні хвилі, що є відповідальні за світло. Крім того, властивості хвиль істотно залежать від умов поширення і можуть бути складними. В даному посібнику розглядаються хвилі в ізотропних середовищах, де характеристики хвиль не залежать від напрямку поширення.

Далі розглядається:

1.1. Поперечні та поздовжні хвилі

1.2. Характеристики та рівняння гармонічних хвиль

1.3. Хвильове рівняння

1.4. Стоячі хвилі

        Контрольні запитання

1.1. Поперечні та поздовжні хвилі

Одним з класифікаторів хвилі є напрям коливань, що відбуваються в ній. За цією ознакою хвилі поділяють на поздовжні та поперечні. При цьому

в поздовжній хвилі коливання в кожній точці відбуваються вздовж напрямку поширення.

Відповідно,

в поперечній хвилі коливання відбуваються перпендикулярно до напрямку поширення.

Теорія і дослід свідчать, що електромагнітні хвилі можуть існувати і в речовині, й у вакуумі, і завжди є поперечними. Натомість механічні хвилі, котрі є можливі тільки в речовині, можуть бути як поперечними, так і поздовжніми. При цьому тип хвиль, які можуть виникати, залежить від взаємодії між молекулами середовища. У твердому тілі, де сили зв'язку між атомами є пружними, виникають хвилі обох типів. Проте в об'ємі рідини, де сили взаємодії між молекулами ними є непружними, та в газі, де їх практично немає, можуть існувати лише поздовжні хвилі. Але на поверхні рідини між молекулами діють споріднені з пружними сили поверхневого натягу. Через це на поверхні рідини виникають і поперечні хвилі, які кожен бачив на водоймах.

Нижче наведена “жива картинка”, що схематично зображує поздовжню та поперечну хвилю в середовищі. Якщо уважно до неї придивитися, можна помітити важливу деталь: точки-частинки середовища, не рухаються в напрямку поширення хвилі, а лише здійснюють коливання навколо фіксованих положень. Отже,

у хвилі відбувається не перенесення речовини, а перенесення коливань.

1.2. Характеристики та рівняння гармонічних хвиль

Вище говорилося, що хвилі різної природи мають спільні загальні властивості й описуються за допомогою єдиного математичного апарату. При цьому найпростішими і найважливішими є гармонічні хвилі, що являють собою поширення у просторі гармонічних коливань.

Рівняння плоскої гармонічної хвилі. Уявімо, що в однорідному пружному середовищі розміщена нескінченна площина-мембрана. Якщо вона почне коливатися, то через сили зчеплення частинки прилеглого шару середовища будуть утягувати в рух сусідній шар, він – наступний, і так далі. Як наслідок, коливання від джерела будуть поширюватись, охоплюючи все більшу область простору, тобто, утвориться хвиля. З міркувань симетрії зрозуміло, що в будь-якій площині паралельній до мембрани всі точки середовища будуть рухатись однаково, тому така хвиля називається плоскою.

Нехай мембрана й прилеглі частинки середовища здійснюють коливання вздовж осі ОХ (рис. 1.1) за законом

\( \xi{(0,t)}=\xi_{0}\cos\frac{2\pi}{T}t \),

де ξ – зміщення з положення рівноваги, ξ₀ – амплітуда, T - період коливань.

У пружному середовищі відсутні сили тертя, тому з такою самою амплітудою та періодом коливатимуться частинки і в будь-якому іншому шарі. Але, позаяк хвиля поширюється з кінцевою швидкістю, у віддалених шарах частинки почнуть коливатись із деяким запізненням τ , відповідно до рівняння

\( \xi =\xi_{0}\cos\frac{2\pi}{T}(t-\tau) \).

Час запізнення дорівнює \( \tau=x/v \), де \( {v}\) – швидкість поширення хвилі, x – відстань від джерела до даної точки (див. рис 1.1). Тому зміщення ξ є функцією двох змінних — координати й часу:

\( \xi(x,t)=\xi_{0}\cos\frac{2\pi}{T}\left(t-\frac{x}{v}\right) \) або \( \xi(x,t)=\xi_{0}\cos\left(\frac{2\pi}{T}t-\frac{2\pi}{vT}x\right) \).

Це рівняння можна переписати зручніше у вигляді

або

де враховано співвідношення ω = 2π/T та введено величини λ і k , які називаються відповідно довжиною хвилі та хвильовим числом і визначаються співвідношеннями:

Вираз (1.2) (або (1.1)) є рівнянням плоскої гармонічної хвилі. Воно визначає зміщення ξ частинок середовища у будь-якій точці простору і в будь-який момент часу.

(Примітка. Для хвилі іншої природи під “зміщенням” слід розуміти збурення тієї фізичної величини, що визначає природу хвилі).

Розглянута хвиля утворюється праворуч від мембрани й поширюється в додатньому напрямку осі ОХ. По інший бік мембрани утворюється така сама хвиля, що поширюється в протилежному напрямі. Її рівняння отримаємо з (1.2) заміною \( {v}\) на \( {-v}\):

Характеристики гармонічної хвилі. Зрозуміло, що всі характеристики гармонічних коливань одночасно є характеристиками й гармонічної хвилі. Це амплітуда ξ₀, період T, циклічна ω або лінійна ν частота та фаза (аргумент гармонічної функції у рівнянні хвилі). У цьому зв’язку одразу зауважимо, що коливання в гармонічній хвилі створюються й підтримуються певним джерелом, тобто є вимушеними. Тому

період (частота) хвилі визначається тільки джерелом і не залежить від властивостей середовища.

Дві інші величини – λ і k – є специфічними саме для хвилі й пов’язані з її поширенням у просторі. Зокрема із (1.3) видно, що

довжина хвилі дорівнює відстані, на яку поширюється хвиля за час одного періоду коливань.

Для кращого розуміння особливостей хвильового процесу розглянемо залежність величини ξ від часу ξ(t) в заданій точці простору x = x₀ та від координати ξ(х) в заданий момент часу t = t₀. Згідно з (1.1), ці залежності мають вигляд:

Графіки ξ(t) та ξ(x) показані на рис. 1.2.

Рис. 1.2а показує, що в будь-якій точці простору відбуваються гармонічні коливання величини ξ з періодом T і частотою ω = 2π/T, а з рис. 1.2б видно, що в будь-який момент часу значення ξ розподілені у просторі теж за гармонічним законом. При цьому величина λ дорівнює найменшій відстані у напрямку поширення хвилі між точками, в яких коливання відбуваються в однаковій фазі.

(Примітка. Формально зсув фаз складає 2π, але, позаяк частинки в таких точках рухаються однаково, говорять, що вони коливаються в однаковій фазі, або синфазно).

Отже, можна сказати, що

довжина хвилі є просторовим періодом хвилі.

Як і для локальних коливань,

аргумент гармонічної функції в рівняннях (1.1), (1.2) називається фазою хвилі.

Згідно з (1.2), фаза хвилі через частоту та хвильове число визначається, як

Фаза визначає і величину ξ, і характер її зміни в різних точках і в різні моменти часу. Тому різниця фаз δ = φ₁ - φ₂ в двох точках простору характеризує узгодженість коливань, які збуджуються хвилею в цих точках. Для хвилі в однорідному ізотропному середовищі різниця фаз у двох точках  в заданий момент часу дорівнює

де літерою l позначено відстань від джерела до даної точки й ураховано зв’вязок (1.4) між хвильовим числом і довжиною хвилі. Співвідношення (1.7а) визначає також і різницю фаз двох різних хвиль у даній точці простору за умови, що вони мають однакові частоти і початкові фази. В цьому випадку величина Δl  називається різницею ходу хвиль; вона є зручною при аналізі різних хвильових явищ.

Хвильові поверхні та фазова швидкість. Фаза хвилі є функцією координат і часу. В даній точці простору вона змінюється з часом. Так само, в даний момент часу фаза змінюється при переході від однієї точки до іншої. При цьому задане значення фази хвиля має не в одній, а в цілій множині точок, які утворюють відповідну “хвильову поверхню”. Отже,

хвильовою поверхнею називається множина точок у просторі хвилі, в яких у фіксований момент часу фаза хвилі має однакове значення.

В однорідному й ізотропному середовищі, як випливає з (1.7), всі точки хвильової поверхні є рівновіддаленими від джерела. Справді, при заданих величинах φ = φ₀ і t = t₀

Через кожну точку з будь-якою координатою x проходить хвильова поверхня із відповідною фазою

φ₀ = ωt₀ - kx,

отож у просторі хвилі існує нескінченна множина хвильових поверхонь.

Гармонічна хвиля, що тут розглядається, є ідеалізацією: вона займає увесь нескінченний простір і ніяк не обмежена у часі, позаяк у рівнянні (1.2) величини x і t можуть бути якими завгодно. Але реальна хвиля за час від моменту виникнення до заданої миті досягає точок, які віддалені від джерела на певну скінченну відстань. Тому існує хвильова поверхня, що відокремлює область простору, в якій хвиля є, від тієї, куди вона ще не дісталась. Така межова поверхня називається фронтом хвилі.

Із рівнянь (1.7) і (1.8) випливає також, що хвильові поверхні рухаються. Рівняння руху хвильової поверхні отримаємо з (1.8), увівши замість заданого моменту t₀ поточний час t:

\( {x}=-\frac{\varphi_{0}}{k}+\frac{\omega}{k}{t} \) \( \Rightarrow \) \( {v}=\frac{\omega}{k}\).

Отже, хвильові поверхні рухаються із швидкістю

яка називається фазовою швидкістю.

Зіставлення цього виразу з (1.4) показує, що саме з такою швидкістю поширюється гармонічна хвиля. Тому визначник “фазова” може здатися зайвим. Але в теорії він є необхідним, оскільки реальні хвилі не є строго гармонічними і поширюються з іншою, так званою груповою швидкістю, що збігається фазовою лише в окремих випадках.

Плоскі, циліндричні та сферичні хвилі. Оскільки в однорідному й ізотропному середовищі всі точки хвильової поверхні є рівновіддаленими від джерела, їхня форма визначається геометричною конфігурацією джерела і може бути складною. Але в теорії та практиці найчастіше розглядаються три найпростіші типи хвиль – плоскі, циліндричні та сферичні.

Плоскою хвилею називається така, що має плоскі хвильові поверхні. Саме тому розглянута вище хвиля (1.2), що створюється джерелом у формі нескінченної площини і в усіх точках поширюється в одному напрямку ОХ, називається плоскою. Відповідно до (1.8), координати точок довільної хвильової поверхні хвилі (1.2) визначаються загальним рівнянням x = const, яке є рівнянням площини, перпендикулярної до осі ОХ. Отже, хвильові поверхні плоскої хвилі (1.2) складають множину площин, які орієнтовані перпендикулярно до напрямку поширення хвилі (рис. 1.3а ).

Розглянемо тепер хвилю, що створюється джерелом у вигляді нескінченної прямої пульсуючої нитки. З міркувань симетрії зрозуміло, що така хвиля в однорідному ізотропному просторі поширюється від нитки радіально по всіх напрямках і з однаковою швидкістю. Відповідно, хвильові поверхні такої хвилі являють собою множину коаксіальних циліндрів (рис. 1.3б), через що вона й називається циліндричною хвилею.

Рівняння циліндричної хвилі можна з відповідними корекціями отримати з (1.2). По-перше, циліндрична хвиля поширюється по всіх радіальних напрямках, тому координату x в (1.2) треба замінити на відстань r від даної точки хвилі до нитки:

ξ(r,t) = ξ₀cos(ωt - kr).

І, по-друге, слід урахувати залежність амплітуди циліндричної хвилі від відстані r до джерела. Джерело має певну потужність і створює у просторі відповідний потік енергії. Тому в середовищі без поглинання крізь будь-яку хвильову поверхню щосекунди проходить однакова енергія Φ₀ .

(Примітка. В ідеальній циліндричній хвилі лінійне джерело вважається нескінченним. Тому під Φ₀ слід розуміти потік енергії, що проходить крізь ділянку циліндричної хвильової поверхні заданої довжини).

Енергія коливань розподіляється по хвильовій поверхні S із поверхневою густиною

\( {j}=\frac{\Phi_{0}}{S} \).

Величина j визначає концентрацію енергії, тож і амплітуду коливань у кожній точці хвильової поверхні. Енергія коливань є прямо пропорційною квадратові амплітуди (див. Частина І, п. 2.4), отже

У циліндричній хвилі площа ділянки хвильової поверхні довжини \( {l} \) і радіуса r дорівнює \( {S} = 2\pi{rl} \), Тому можна записати

де a – амплітудний множник залежний від потужності джерела.

Відтак рівняння циліндричної хвилі набуває вигляду:

Третя з названих простих є сферична хвиля. Вона створюється в однорідному ізотропному середовищі точковим джерелом і має хвильові поверхні у формі сфер із центром у джерелі (рис.1.3в). Очевидно, що миттєві значення величини ξ(r, t) зменшуються при віддаленні від джерела, тому рівняння сферичної хвилі є подібним до рівняння циліндричної хвилі. Відміна полягає тільки в залежності амплітуди ξ₀ від відстані r до джерела. В сферичній хвилі на відстані r від джерела потік енергії Φ₀ рівномірно розподіляється по поверхні сфери площею S = 4πr², тож густина потоку є обернено пропорційна квадратові відстані: j ~ (1/r²). Отже, згідно з (1.10) і (1.11),

і рівняння сферичної хвилі має вигляд

Стосовно отриманих результатів слід зробити деякі зауваження. По-перше, можливі значення координат і часу в рівняннях (1.2), (1.11) і (1.13) формально є нічим не обмежені. Тож вони описують абстрактні хвилі, що охоплюють увесь простір і ніяк не обмежені в часі. Реальні ж хвилі десь і колись починаються та закінчуються і тому мають складніші властивості, зокрема, характеризуються двома швидкостями – фазовою та груповою. Крім того плоске та лінійне джерело не можуть бути нескінченними, тому створити плоску або циліндричну хвилю в усьому просторі є принципово неможливо.

(Правда, за допомогою відповідних технічних засобів їх можна створити в обмеженій області простору. До прикладу, в оптиці це роблять за допомогою лінз або дзеркал).

Неможливим є й необмежене зростання амплітуди (\( \xi_{0}\to\infty\)) циліндричної та сферичної хвиль при наближенні до джерела (\( {r}\to{0}\)), яке випливає з рівнянь (1.11) і (1.13), оскільки в дійсності лінійне (нитка) та точкове (кулька) джерело мають певний скінченний радіус r₀. Тому рівняння (1.11) і (1.13) реально виконуються тільки хвильовій зоні — на відстанях r, які суттєво перевищують r₀.

Хвильовий вектор. Для однієї плоскої хвилі завжди можна вибрати систему координат так, аби хвиля поширювалась уздовж осі ОХ і описувалася рівнянням (1.2). Але при одночасному розгляді декількох хвиль, які поширюються в різних напрямках, це неможливо. Тому треба встановити загальне рівняння хвилі, тобто визначити функцію \( \xi{(\vec{r}t)}\) у довільній точці з радіусом-вектором \( \vec{r}\). Для зручності розглянемо хвилю, що поширюється перпендикулярно до осі OZ у довільному напрямку. Покажемо цей напрямок на рис. 1.4 одиничним вектором (ортом) \( \vec{n} \) і проведемо в напрямку \(\vec{n}\) допоміжну координатну вісь ОХ′.

Виберемо тепер якусь точку \( \mathrm{P}(\vec{r}) \) із радіусом-вектором \( \vec{r} \) і проведемо через неї відрізок АВ перпендикулярно до осі ОХ′, який зображує хвильову поверхню, що проходить через точку Р і перетинається з віссю ОХ′ в точці Р′. Оскільки обидві точки лежать на одній хвильовій поверхні, коливання в них однакові і, згідно з (1.2), записуються, як:

\( \xi = \xi_{0}\cos{(\omega{t}-kx^{\prime})} \).

Із рис. 1.4 видно, що \( {x}^{\prime}=r\cos\alpha =\vec{n}\cdot\vec{r} \). То ж рівняння коливань в точці \( {P}(\vec{r}) \) має вигляд

\( \xi{(r,t)}=\xi_{0}\cos{(\omega{t}-kr\cos\alpha )}=\xi_{0}\cos{(\omega{t}-k\vec{n}\cdot\vec{r})}\).

Це рівняння є чинним для будь-якої точки та будь-якого напрямку поширення плоскої хвилі й по суті є її загальним рівнянням. Але його можна подати краще, увівши замість хвильового числа k = 2π/λ хвильовий вектор

який визначає не лише довжину хвилі λ, а й напрям її поширення. Тому загальне рівняння плоскої гармонічної хвилі у векторній формі записується як

У декартовій системі координат

При поширенні плоскої хвилі вздовж осі OX k_y = k_z =0, k_x = k, і рівняння (1.15а) трансформується в розглянуте раніше рівняння (1.2). Також, з урахуванням виразів (1.10а) і (1.12), рівняння (1.15) можна застосовувати й для циліндричних та сферичних хвиль.

Загасаючі хвилі. Досі розглядалися хвилі в абсолютно пружному середовищі, де відсутні втрати енергії коливань. Якщо ж середовище поглинає енергію хвилі, то це призводить до додаткового зменшення амплітуди із віддаленням від джерела, і хвиля є загасаючою. Як свідчить дослід, зменшення амплітуди через поглинання відбувається за експоненціальним законом \( \xi=\xi_{0}\mathrm{e}^{-\gamma{x}}\). Тому рівняння плоскої, сферичної та циліндричної хвиль у середовищі із загасанням, відповідно, мають вигляд:

\( \xi=\xi_{0}\mathrm{e}^{-\eta{x}}\cos{(\omega{t}-kx)}\),

\( \xi=\frac{A}{r}\mathrm{e}^{-\eta{r}}\cos{(\omega{t}-kr)} \),

\( \xi=\frac{A}{\sqrt{r}}\mathrm{e}^{-\eta{r}}\cos{(\omega{t}-kr)} \).

1.3. Хвильове рівняння

На початку відмічалося, що всі хвильові процеси мають низку спільних властивостей. Це виявляється в тому, що хвильова функція ξ будь-якої хвилі є розв’язком єдиного диференціального рівняння, що називається хвильовим рівнянням. Знайдемо хвильове рівняння незагасаючої хвилі на прикладі плоскої гармонічної хвилі (1.15а). Для цього визначимо другі частинні похідні по часу та по координатах від функції ξ(x,y,z,t):

\( \frac{\partial^{2}\xi}{\partial{x}^{2}}=-\xi_{0}k_{x}^{2}\cos{(\omega{t}-k_{x}x-k_{y}y-k_{z}z)}=-k_{x}^{2}\xi \).

Аналогічно отримаємо:

\( \frac{\partial^{2}\xi}{\partial{y}^{2}}=-k_{y}^{2}\xi \), \( \frac{\partial^{2}\xi}{\partial{z}^{2}}=-k_{z}^{2}\xi \).

Додавши координатні похідні і врахувавши, що \( {k}_{x}^{2}+k_{y}^{2}+k_{z}^{2}=k^{2}\), одержимо:

Вираз в дужках записують скорочено, як

де символи \( \Delta \) або \( \nabla^{2}\) позначають оператор Лапласа.

(Довідка. У математиці терміном “оператор” і відповідним символом позначають задану послідовність математичних дій (операцій), які належить виконати над тою чи іншою функцією. Зокрема, в декартових координатах (1.17) оператор Лапласа передбачає взяття других похідних по координатах від заданої функції \( \xi{(x,y,z,t)}\) вираз буде іншим.

З урахуванням цього вираз (1.17) можна переписати, як

\( \xi=-\frac{1}{k^{2}}\nabla^{2}\xi\).

Відтак, порівнюючи його з виразом (1.16), отримуємо:

\( \frac{1}{k^{2}}\nabla^{2}\xi=\frac{1}{\omega^{2}}\frac{\partial^{2}\xi}{\partial{t}^{2}}\).

Звідси випливає хвильове рівняння:

в якому параметр \( {v}=(\omega{/k}) \) є фазовою швидкістю хвилі.

Можна довести, що це диференціальне рівняння виконується не лише для плоскої гармонічної хвилі (1.15а), а й для незагасаючої хвилі будь-якого виду та природи.

1.4 Стоячі хвилі

При накладанні хвиль, які поширюються в зустрічних напрямах, за відповідних умов виникає специфічний коливальний процес, відомий як стояча хвиля. Розглянемо утворення стоячої хвилі при накладанні двох плоских гармонічних хвиль, які поширюються у протилежних напрямах осі ОХ (див. анімацію) і в яких коливання відбуваються вздовж одного напрямку з однаковою амплітудою ξ₀ і частотою ω, але з певним зсувом фаз α.