physics.zfftt.kpi.ua

Задача 3.12. На горизонтальній поверхні, що знаходиться у спрямованому під кутом Θ = 60° до вертикалі магнітному полі з індукцією B = 0,1 Тл, лежить перпендикулярний до напряму поля стрижень масою m = 0,2 кг і довжиною l = 0,3 м. Визначити, за якої найменшої величини струму I у стрижні він почне ковзати при коефіцієнті тертя \(\mu=0,2\).

Задача 3.13. Стрижень довжиною l = 20 см і масою m = 50 г на двох однакових нитках підвісили на одному рівні перпендикулярно до напрямку горизонтального магнітного поля B = 0,2 Тл. Визначити, при якій мінімальній силі струму I₀ в стрижні одна з ниток лусне, якщо міцність кожної на розрив F₀ = 0,3 Н.

Задача 3.14. Каркас у формі трьох сторін квадрата з мідного (ρ = 8,9 г/см³) дроту перерізом S = 2,8 мм² вільно підвісили на горизонтальній осі та вмістили у вертикальне магнітне поле з індукцією B = 10 мТл. Визначити кут відхилення \(\varphi\) каркаса від вертикалі при пропусканні по ньому струму I = 50 A.

Задача 3.12. На горизонтальній поверхні, що знаходиться у спрямованому під кутом Θ = 60° до вертикалі магнітному полі з індукцією B = 0,1 Тл, лежить перпендикулярний до напряму поля стрижень масою m = 0,2 кг і довжиною l = 0,3 м. 

Визначити,

за якої найменшої величини струму I у стрижні він почне ковзати при коефіцієнті тертя \(\mu=0,2\).

Розв'язання

Розташування стрижня відносно поля відображає рис. 12 7.

При протіканні струму на стрижень, окрім сил тяжіння \(m\vec{g}\) та нормального тиску \(\vec{N}\) з боку поверхні, діє ще й сила Ампера \(\vec{F}_{A}\) (рис. 12-1 7-1), котра, як зрозуміло з умови, спрямована під кутом Θ до поверхні, тож може спричинити ковзання стрижня.

 Згідно з положеннями механіки ([І], ф-ла (2.14)), мінімальна необхідна для подолання тертя горизонтальна складова сили Ампера F_AcosΘ  (рис. 12-1) має дорівнювати

де μ – коефіцієнт тертя і N – нормальна реакція опори, що визначається силою тяжіння mg та вертикальною складовою сили Ампера F_AsinΘ. При цьому, залежно від напряму струму,  можливі два випадки: струм спрямовано "на нас" (рис.12-1а), або  "від нас" (рис.12-1б). Відповідно, реакція опори N та необхідна для подолання тертя сила Ампера F_A   у випадках а) і б) є різними:

Тож, зважаючи на формулу (3.8а), отримаємо наступні дві відповіді:

\(I_{1}=\frac{\mu{mg}}{Bl(\cos\Theta+\mu\sin\Theta)}\) ≈ 13,5 A;

\(I_{2}=\frac{\mu{mg}}{Bl(\cos\Theta-\mu\sin\Theta)}\) ≈ 17,1 A.

Наостанку зауважимо таке. Із виразу (2б) видно, що у випадку б) за умови \(\cos\Theta=\mu\sin\Theta\), або

$\operatorname{tg}\Theta =\frac{1}{\mu }$,                

величина F_A → ∞, тобто ніякий струм не зрушить стрижень з місця. Зрозуміло, що так само буде й з усяким іншим тілом і при будь-якій природі сили, що намагається його пересувати по опорі. Тому величина

$\Theta =\operatorname{arctg}\frac{1}{\mu }$

називається "кутом тертя" і визначає теоретичну межу можливості переміщення вантажів по горизонтальній поверхні штовханням. 

 Задача 3.13.

Стрижень довжиною l = 20 см і масою m = 50 г на двох однакових нитках горизонтально підвісили перпендикулярно до напрямку горизонтального магнітного поля B = 0,2 Тл.

Визначити,

при якій мінімальній силі струму I₀ в стрижні одна з ниток лусне, якщо міцність кожної на розрив F₀ = 0,3 Н.

Розв'язання

Відповідно до правила правого гвинта та умови задачі, сили натягу ниток \(\vec{F}\), Ампера \(\vec{F}_{А}\) та тяжіння \(m\vec{g}\), що діють на стрижень, є спрямовані вертикально, як показано на рис. 13. Отже, при рівновазі, враховуючи формулу (3.8a),маємо:

\(mg+IlB=2F\).

Якась із ниток порветься при струмі I₀, за якого сила натягу сягне граничної можливої величини F = F₀. Отже,

\(mg+I_{0}lB=2F_{0}\) \(\Rightarrow\) \(I_{0}=\frac{2F_{0}-mg}{Bl}=2,75\) A.

Задача 3.14.

Каркас у формі трьох сторін квадрата з мідного (ρ = 8,9 г/см³) дроту перерізом S = 2,8 мм² вільно підвісили на горизонтальній осі та вмістили у вертикальне магнітне поле з індукцією B = 10 мТл.

Визначити

кут відхилення \(\varphi\) каркаса від вертикалі при пропусканні по ньому струму I = 50 A.

Розв'язання

Уведемо позначення m і l для маси та довжини однієї сторони каркаса.

Просторове розташування підвішеного в магнітному полі каркаса зі струмом визначається силами тяжіння та Ампера, що діють на його сторони. В початковому (вертикальному) положенні каркаса магнітне поле, згідно з формулою (3.8), діє тільки на нижню сторону каркаса із перпендикулярною до нього горизонтальною силою \(\vec{F}_{А}\) (рис. 14а), котра відхиляє площину каркаса від вертикалі. При цьому з'являються й сили \(\vec{F}_{А1}\), \(\vec{F}_{А2}\), прикладені до бічних сторін. Але вони є паралельні до осі підвісу (рис. 14б) й зрівноважені, тож не впливають на розташування каркаса. Отож, згідно із статикою ([І], ф-ла (5.4)), каркас відхиляється від вертикалі на кут, при якому сумарний момент сил тяжіння та поперечної до осі обертання OO′ сили Ампера дорівнює нулю. 

 Для  складання потрібного рівняння моментів урахуємо таке. Плечі ОР сил тяжіння (рис.14в), що діють на бічні сторони каркаса, дорівнюють (l·sinφ)/2,  (рис. 14в). Відповідно, їхній сумарний момент М₁ = 2mg(l/2)·sinφ = mgl·sinφ. Для нижньої сторони плече сили тяжіння OQ є вдвічі більшим, отож її момент М₂ = mgl·sinφ. А плече сили Ампера дорівнює lcosα і її момент М₃ = F_A·lcosφ. Отже, умова рівноваги каркаса М₁ + М₂ = М₃ має вигляд:

F_A·lcosφ = 2mglsinφ.

Відтак, виразивши силу Ампера за формулою (3.8) і масу однієї сторони каркаса через густину  та об'єм дроту як m = ρlS , отримаємо наступну відповідь:

\(\mathrm{tg}\varphi=\frac{IBl}{2\rho{Slg}}=\frac{IB}{2\rho{Sg}}\).

Обчислення дають:

\(\mathrm{tg}\varphi=1\) \(\Rightarrow\) \(\varphi=\mathrm{arctg}(0,93)=43^{\circ}\).