physics.zfftt.kpi.ua

Задача 3.1. Спостерігач на нерухомому візку вимірює індукцію магнітного поля довгого провідника зі струмом й отримує значення \(\vec{B}\).

Визначити,

яким стане результат вимірювання \(\vec{B}\)′, коли візок почне рухатись у тому самому напрямі й з тією самою швидкістю, що й вільні електрони в провідникові.

Розв'язання

Аби з'ясувати сенс завдання, згадаємо наступне.

1. Електричним струмом називається перенесення електричного заряду в просторі, байдуже, відбувається воно в речовині, чи вакуумі. Тож магнітне поле створюється й визначається не провідним тілом, а  впорядкованим рухом у ньому зарядів-носіїв струму.

2. Індукція магнітного поля провідника є прямо пропорційна силі струму, котра теж  прямо пропорційно залежить від дрейфовій швидкості носіїв струму (формула (2.4)).

3. Швидкість руху як така є визначеною не сама по собі, а лише по відношенню до якогось вибраного тіла ([І], п. 1.2), яким у даній задачі є візок.

Отже, нехай вільні електрони впорядковано рухаються провідником із якоюсь  швидкістю \(\vec{u}\) і створюють струм І протилежного напрямку, як показано на схематичному рис. 1а. Тоді для спостерігача на нерухомому візку (т. А) вектор індукції магнітного поля\(\vec{B}\) за правилом правого гвинта є напрямлений "від нас" і має прямо пропорційний до величини u модуль:

$B\sim u$

Коли ж візок почне рухатись так, як сказано в умові, для спостерігача впорядкований рух електронів  припиниться, й вони більше не створюватимуть магнітне поле. Але натомість у протилежному напрямі почнуть зі швидкістю \(\vec{V}=-\vec{u}\) рухатися й створювати магнітне поле позитивно заряджені іони провідника (рис. 1б). При цьому, позаяк кількості та величини заряду іонів і вільних електронів є однакові, створювані ними поля будуть збігатися:

   \(\vec{B}^{\prime}=\vec{B}\).

Зауважимо, що отриманий результат залишається чинним при будь-якій швидкості та напрямі руху візка вздовж провідника.  Радимо  переконатись у цьому самостійно за допомогою формули додавання швидкостей з механіки ([І], п. 1.2)

Задача 3.2. Довгий прямий дріт зі струмом зігнуто під прямим кутом.

Визначити

напрям магнітного поля на лінії однієї з половин провідника.

Розв'язання

На рис. 2 показано частину провідника та певну точку А, в якій належить визначати напрям магнітного поля. 

Згідно з принципом суперпозиції, індукція поля всього провідника \(\vec{B}_{0}\) дорівнює сумі індукцій полів його частин:

\(\vec{B}_{0}=\vec{B}_{1}+\vec{B}_{2}\).

При цьому для прямого провідника зі струмом вектор індукції магнітного поля в будь-якій точці має бути перпендикулярним до площини, в якій лежать ця точка та провідник, і спрямованим за правилом правого гвинта (п. 1.1). Тому в точці А вектор індукції поля вертикальної сторони кута (нехай це буде \(\vec{B}_{1}\)) є спрямований "на нас". А ось для горизонтальної сторони та точки А ніякої спільної площини, тож і можливого напряму поля, не існує. Це означає, що на лінії прямого струму індукція створюваного ним магнітного поля дорівнює нулю. Отже для горизонтальної частини провідника маємо \(\vec{B}_{2}\)= 0,  і  \(\vec{B}_{0}=\vec{B}_{1}\).

Таким чином, маємо наступну відповідь:

магнітне поле зігнутого під кутом прямого провідника на лінії однієї зі сторін спрямовано перпендикулярно до площини кута ''до нас''.  

Задача 3.3

Магнітне поле створюється двома довгими розташованими на деякій відстані один від одного прямими провідниками зі струмом.

Визначити

вектор індукції \(\vec{B}_{0}\) поля у віддалених від кожного з них на таку саму відстань точках, якщо в них індукція поля одного провідника B = 0,1 мТл. Розглянути випадки, коли напрями струмів: а) однакові і б) протилежні.

Розв'язання

На рис. 3 показано точки перетину K, L провідників із перпендикулярною площиною та точку M, у якій належить визначати вектор \(\vec{B}_{0}\), який за принципом суперпозиції (3.2) дорівнює

де \(\vec{B}_{1}\) і \(\vec{B}_{2}\) – вектори індукції поля, яке створює в т. М кожен із провідників окремо. При цьому за умовою задачі складові вектори мають однакові модулі В й за правилом правого гвинта спрямовані перпендикулярно до відповідних сторін рівностороннього трикутника ΔКLМ .

а). Очевидно, що при однаковому напрямку струму в провідниках (рис. 3 а) кут між векторами \(\vec{B}_{1}\) і \(\vec{B}_{2}\) складає 60°.  Отже, вектор \(\vec{B}_{0}\) є паралельним до прямої K — L і має модуль

\({B}_{0}=2B\cos{30}^{\circ}=B\sqrt{3}\approx\) 0,17 Тл.

б). При протилежних напрямках струмів (рис. 3 б) указаний кут між векторами дорівнює 120°, тож  результуючий вектор є перпендикулярний до напрямку K — L  і має модуль

\(B_{0}=2B\cos{60^{\circ}}=0,1\) Тл.

Здача 3.4.

На двох довгих прямих ізольованих провідниках із однаковим струмом у різний спосіб роблять "петлі"однакового розміру і форми. При цьому індукція магнітного поля в центрі петлі, відповідно, складає B_а = 400 мкТл і B_б = 200 мкТл.

Визначити

індукцію магнітного поля, що створюється в цій точці прямою (${{B}_{-}}$) і викривленою (${{B}_{0}}$) частиною провідника окремо.

 Дано:

Розв'язання

Форму петель показано на рисунку.

За принципом суперпозиції індукція магнітного поля провідника в центрі петлі дорівнює сумі індукцій полів, створюваних окремо прямою та вигнутою частиною: 

${\vec{B}}$ = ${{\vec{B}}_{–}}$ + ${{\vec{B}}_{о}}$.     

При цьому вектори  ${{\vec{B}}_{–}}$ в обох випадках однакові, а от ${{\vec{B}}_{о}}$ при однакових модулях мають протилежні напрямки: у випадку а) "до нас", а у випадку б)  "від нас". Отже, модулі вектора індукції результуючого поля складають, відповідно,

${{B}_{а}}$ = ${{B}_{-}}$ + ${{B}_{о}}$;

${{B}_{б}}$ = ${{B}_{-}}$ – ${{B}_{о}}$.

Звідси дістаємо наступну відповідь:

${{B}_{-}}$ = $\frac{{{B}_{а}}+{{B}_{б}}}{2}$ =300 мкТл;    ${{B}_{о}}$ = $\frac{{{B}_{а}}-{{B}_{б}}}{2}$ = 100 мкТл . 

 В отриманій відповіді впадає в око, що петля із струмом створює в центрі поле, котре є всього втричі слабіше за поле несумірного з нею за довжиною прямого провідника. Це пояснюється тим, що всі ділянки петлі є розташовані на порівняно невеликій відстані від центра, тоді як для прямої частини окремі ділянки при переміщенні від центра стрімко віддаляються від нього, і їхній вклад в індукцію поля швидко стає неістотним.