physics.zfftt.kpi.ua

Серед періодичних коливань для науки і практики найважливішими є гармонічні коливання, які описуються гармонічними функціями і мають прості властивості. Важливість саме таких процесів зумовлена двома обставинами. По-перше, реальні коливання і хвилі, з якими доводиться мати справу, часто є близькими до гармонічних. По-друге, будь-який складний коливальний процес, як доводить математика, можна розглядати як суперпозицію (сукупність) гармонічних коливань. Тому в цей розділ присвячено саме таким процесам. Далі розглянуто:

1. Рівняння гармонічних коливань

2. Зображення гармонічних функцій

3. Додавання гармонічних коливань

4. Диференціальне рівняння гармонічних коливань

    Контрольні запитання

1. Рівняння гармонічних коливань

Як було сказано,  гармонічні коливання якоїсь величини ξ відбуваються за законом синуса або косинуса, тож визначаються рівнянням:

і визначаються трьома параметрами — амплітудою, періодом  (або частотою) і фазою. 

Амплітуда A — додатнє число, що дорівнює максимальному значенню коливної величини \( \xi \), так що  всі її можливі значення  лежать в інтервалі \(\pm A \). Іншими словами,  амплітуда задає “розмах” коливань.

За рівнянням (1.1), величина ξ задовольняє умову  \( \xi(t+nT)=\xi{(t)}\), отже

період коливань T є найменшим проміжком часу, через який значення величини ξ та характер її зміни повністю повторюються. 

Окрім періоду, повторюваність коливального процесу у часі характеризують іще й частотою. При цьому розрізняють лінійну та циклічну (колову) частоту.

Лінійна частота \(\nu \) є величиною оберненою до періоду:

Вона дорівнює кількості коливань, які здійснюються за одну секунду і вимірюється в герцах (Гц). При частоті 1 Гц = 1 с^-1 за одну секунду здійснюється одне повне коливання.

Циклічна (колова) частота ω пов’язана з лінійною частотою та періодом співвідношеннями

і вимірюється в рад/с. (Часто пишуть 1/с або с^-1).

Використання частоти, замість періоду, дозволяє записати рівняння коливань більш компактно:

Якщо коливання описуються функцією синуса, то

Задля зручності в теорії найчастіше використовують частоту ω і відповідні рівняння (1.4) або (1.4а).

З рівнянь гармонічних коливань також видно, що при заданій амплітуді A величина ξ(t) у кожен момент часу визначається аргументом гармонічної функції, що називається фазою коливань φ. Отже,

 Відповідно, величина \( \varphi_{0} \) називається початковою фазою. Одиницею фази є радіан (1 рад).

Слід зауважити, що термін “фаза” вживається не лишень у вказаному формальному сенсі, а й для словесної характеристики стадії коливального процесу або узгодженості коливань – згадаймо такі знайомі вислови, як “фази Місяця” або “коливання відбуваються в однакових (чи протилежних) фазах”.

2. Зображення гармонічних функцій

При розгляді декількох гармонічних коливань, які відбуваються одночасно, доводиться додавати відповідну кількість гармонічних функцій вигляду. Це потребує громіздких перетворень, а при великій кількості коливань може стати технічно нездійсненним без використання комп’ютера. Тому при аналізі коливань часто використовують штучні математичні прийоми, а саме:

2.1. Векторне зображення гармонічних функцій

2.2. Комплексне зображення гармонічних функцій

2.1. Векторне зображення гармонічних функцій

Цей спосіб ґрунтується на існуванні відповідності між гармонічними коливаннями та обертальним рухом. Нехай маємо вектор з модулем A, який обертається з кутовою швидкістю ω навколо свого початку (рис. 1.1) Якщо в початковий момент часу цей вектор складає з деякою віссю ОХ кут \(\varphi_{0}\), то в довільний момент t кут між ним і віссю буде рівним

\(\varphi (t)=\omega{t}+\varphi_{0}\).

Відповідно, якщо проекцію такого обертового вектора А_x = Acosφ на вісь ОХ позначити як ξ, то отримаємо:

\(\xi (t)=A\cos (\omega{t}+\varphi_{0}) \),

що збігається з (1.4), а спроєктувавши цей вектор на вісь OY, отримаємо рівняння (1.4а). Таким чином,

кожному гармонічному коливанню можна поставити у відповідність вектор із модулем, рівним амплітуді коливань А, який обертається з кутовою швидкістю, рівною циклічній частоті коливань ω, і в початковий момент часу складає з вибраною віссю кут, рівний початковій фазі коливань φ₀.

Доречі, саме через збіг величини ω із швидкістю обертання вказаного вектора вона й має назву “циклічної”, або “колової” частоти коливань.

Таким чином, гармонічні коливання можна зображувати відповідними векторами на рисунку, який називається векторною діаграмою, і оперувати не безпосередньо гармонічними функціями, а векторами, що їх зображують.

2.2. Комплексне зображення гармонічних функцій

З математики відомо, що комплексне число z = a + ib \(\left(i=\sqrt{-1}\right) \) можна записати або в показниковій формі, як \({z}=Ae^{i\varphi}\), або в тригонометричній формі у вигляді

де модуль A та аргумент \( \varphi \) комплексного числа визначаються співвідношеннями

\({A}=\sqrt{a^2+b^2}\) і \(\cos\varphi=\frac{a}{A}\), \( \sin\varphi=\frac{b}{A}\).

Тому, згідно з (1.6) і (1.4), рівняння гармонічних коливань ξ(t) можна розглядати як дійсну частину комплексної функції

При цьому комплексне число \( \tilde{A}=Ae^{i\varphi_{0}}\) називається комплексною амплітудою коливань. Дійсна (істинна) амплітуда визначається через квадрат модуля комплексної амплітуди на основі тотожності

(Нагадаємо, що спряженою до комплексної величини z називається величина z*, що створюється заміною уявної одиниці і у виразі z на –i.)

Указана відповідність (1.7) зберігається для всіх лінійних математичних операцій: множення на константу, додавання або віднімання, диференціювання, інтегрування. У цьому легко переконатися прямими обчисленнями. Через це розглянутий підхід є дуже продуктивним, оскільки оперувати з експонентами набагато зручніше, ніж із тригонометричними функціями. Зокрема, поширена задача про накладання декількох коливань однакової частоти та напрямку зводиться просто до додавання комплексних чисел (комплексних амплітуд).

3. Додавання гармонічних коливань

На початку говорилося про те, що складні коливальні процеси можна трактувати як суперпозицію (накладання), гармонічних коливань. Цей прийом широко застосовується в оптиці, техніці передачі сигналів та інших областях для аналізу та формування сигналів необхідної форми. Розглянемо найпростіші випадки — додавання двох гармонічних коливань, які відбуваються в одному та у взаємно перпендикулярних напрямках.

3.1. Додавання коливань одного напрямку

3.2. Додавання взаємно перпендикулярних коливань

3.1. Додавання коливань одного напрямку

Розглянемо рух тіла (матеріальної точки), яке бере участь одночасно у двох гармонічних коливаннях одного напрямку. Прикладом можуть бути вертикальні коливання кульки на пружині, прикріпленій до стелі салону автомобіля, який теж коливається на ресорах у вертикальному напрямку. Рух кульки відносно землі складається з коливань відносно автомобіля та коливань автомобіля відносно землі. Відповідно, закон руху кульки буде визначатися сумою рівнянь цих двох коливань. Аналіз показує, що результат такого додавання суттєво залежить від того, однакові чи ні частоти складових коливань.

Частоти однакові. Нехай точка бере участь у двох рухах уздовж однієї осі ОХ відповідно до рівнянь:

Для визначення рівняння результуючого руху \( {x}(t)=x_{1}(t)+x_{2}(t) \) скористаємося векторним способом зображення гармонічних функцій (1.9). Для цього зобразимо їх в момент t = 0 за допомогою векторів \( \vec{A}_{1}\) і \( \vec{A}_{2}\), що обертаються навколо осі О з кутовою швидкістю ω, як це описано в п. 2.1. На отриманій векторній діаграмі

(рис. 1.2) результуючий рух точки зображується вектором \(\vec{A}=\vec{A}_{1}+\vec{A}_{2}\), модуль якого за теоремою косинусів задається виразом:

а кут з віссю ОХ, як випливає з рисунка:

Таким чином, результатом додавання двох гармонічних коливань однакової частоти та напрямку є гармонічні коливання тієї самої частоти, амплітуда A та початкова фаза α яких визначаються виразами (1.10) і (1.11). Слід зауважити, що при цьому амплітуда результуючих коливань не дорівнює сумі амплітуд коливань, які додаються. Залежно від початкових фаз α₁ і α₂ вона може мати будь-яке значення в межах від A₁ + A₂ до |A₁ – A₂|.

Частоти різні. Розглянемо тепер випадок, коли точка бере участь у двох коливаннях однакового напрямку, але різної частоти ω₁ і ω₂. Якщо для спрощення викладок прийняти A₁ = A₂ і α₁ = α₂ = 0, то рівняння цих коливань мають вигляд:

Рівняння результуючого руху точки \({x}_{1}(t)+x_{2}(t) \) запишемо, скориставшися відомою формулою тригонометрії:

Це рівняння описує складний коливальний процес, наочне уявлення про який можна отримати, побудувавши графік функції (1.13), або шляхом безпосереднього графічного додавання функцій (1.12). На рис. 1.3 показано результат такого додавання для випадку α = 0 функцій

\({x}_{1}=A_{1}\cos\left(\omega{t}-\frac{\pi}{2}\right) \), \( x_{2}=A_{1}\cos{2}\omega{t}\).

Як для теорії, так і для практики окремий інтерес являє випадок, коли частоти ω₁ і ω₂ є близькими й відрізняються від певного значення ω на величину Δω << ω так, що ω₁ = ω + Δω і ω₂ = ω - Δω. У такому разі рівняння (1.13) набуває вигляду:

У цьому рівнянні величина cosΔωt змінюється з періодом \( {T}=2\pi /\Delta\omega \), тобто в \( \omega{/}\Delta\omega \) разів повільніше, ніж величина \(\cos\omega{t}\), період зміни якої \({T}=2\pi/\omega \). При Δω << ω за час T₀ відбувається багато коливань величини x з частотою ω, як показано на рис. 1.4а для випадку Δω = ω/10. Тому в (1.14) вираз у дужках можна трактувати як залежну від часу амплітуду A(t) і розглядати рух точки як гармонічні коливання з частотою ω, амплітуда яких змінюється теж за гармонічним законом із частотою Δω :

Графік A(t) показаний на рис. 1.4б.

Розглянуті коливання називають биттями. При накладанні акустичних коливань з близькими частотами ω₁ і ω₂ биття створюють відчуття (не завжди приємне) звукових пульсацій, які повторюються з частотою |ω₁ - ω₂|. Биття за відповідних умов виникають і при накладанні коливань не механічної природи, зокрема — напруг і струмів у електричних або електронних пристроях.

3.2. Додавання взаємно перпендикулярних коливань

Якщо точка одночасно здійснює гармонічні коливання у двох взаємно перпендикулярних напрямках, то на загал її рух не є коливальним і відбувається по складній траєкторії. Зокрема, траєкторія може виявитися незамкненою і ніколи не проходити через одну точку двічі. Проте, коли відношення частот коливань виражається відношенням цілих чисел, тіло рухається по замкненій траєкторії, форма котрої визначається співвідношенням частот, амплітуд і початкових фаз складових коливань.

Частоти однакові. Найпростішим є випадок додавання взаємно перпендикулярних коливань однієї частоти. Якщо коливання точки відбуваються вздовж координатних осей ОХ і OY, то їх можна описати рівняннями:

де початкова фаза коливань координати x вважається нульовою. Ото ж α по суті є різницею фаз цих двох коливань. Аби одержати рівняння траєкторії точки, тобто залежність y(x), з рівнянь (1.15) треба виключити час. Для цього за допомогою відомих формул тригонометрії перетворимо друге рівняння (1.15) наступним чином:

\(\frac{y}{b}=(\cos\omega{t}\cos\alpha-\sin\omega{t}\sin\alpha ) \) \( \Rightarrow \) \( \frac{y}{b}\left(\cos\omega{t}\cos\alpha-\sqrt{1-\cos^2\omega{t}}\cdot\sin\alpha\right) \).

Підставивши сюди вираз \(\cos\omega{t}=x/a \), який випливає з першого рівняння (1.15), отримаємо:

\(\frac{y}{b}=\frac{x}{a}\cos\alpha-\sin\alpha\cdot\sqrt{1-\left(\frac{x}{a}\right)^2}\).

Після піднесення до квадрату і нескладних перетворень одержимо шукане рівняння траєкторії:

З математики відомо, що рівняння (1.16) є рівнянням еліпса. Отже, на загал точка рухається по еліптичній траєкторії, параметри та просторова орієнтація котрої залежать від амплітуд а, b і різниці фаз α складових коливань. Розглянемо деякі окремі випадки.

1) α = 0. З (1.16) випливає, що

\( {y}=\frac{b}{a}{x}\),

тобто еліпс вироджується у відрізок прямої. Отже, точка здійснює гармонічні коливання, напрямок яких пролягає в першій і третій чвертях і визначається відношенням амплітуд складових коливань.

2) α = π. У цьому випадку ситуація подібна — з (1.16) маємо:

\( {y}=-\frac{b}{a}{x}\).

Тож у такому випадку точка теж здійснює гармонічні коливання, але вздовж лінії, що лежить у другій та четвертій чвертях.

Отримані результати дозволяють розглядати гармонічні коливання вздовж певного напрямку як суму (суперпозицію) двох гармонічних коливань тієї самої частоти, котрі відбуваються у взаємно перпендикулярних напрямках і мають різницю фаз α, або π. Такий підхід плідно використовується, зокрема, в оптиці.

3) α = π/2. При такій різниці фаз рівняння (1.16) набуває вигляду:

\( \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}={1}\).

Це означає, що при не однакових амплітудах складових коливань точка рухається по еліпсу, осі котрого орієнтовані вздовж осей координат. При а = b еліпс вироджується в коло з центром у початку координат. Знак різниці фаз α визначає один з двох можливих напрямів руху точки по траєкторії.

Фігури Ліссажу. Якщо точка здійснює взаємно перпендикулярні коливання з різними частотами, що співвідносяться, як цілі числа, траєкторіями руху є складні замкнені криві, що називаються фігурами Ліссажу.

У простих випадках рівняння фігур Ліссажу можна отримати за формулами тригонометрії. Наприклад, нехай складові коливання описуються рівняннями x = Asinωt та y = Asin2ωt. Тоді

y = 2Asinωt·cosωt = 2Asinωt\( \sqrt{1-{{\sin }^{2}}\omega t}\),

де sinωt = х/А. Зробивши таку заміну, дістанемо рівняння траєкторії точки:

\( {y}=2x\sqrt{1-{{\left( {x}/{A}\; \right)}^{2}}}\).

Її вигляд показує рис. 1.5.

Фігури Ліссажу для деяких інших співвідношень частот і зсувів фаз Δφ коливань представлені на рис. 1.6. Зазначимо, що фігури Ліссажу при додаванні електричних коливань легко спостерігати на екрані осцилографа. Це використовують на практиці для вимірювання та налаштовування частот електричних сигналів.

4. Диференціальне рівняння гармонічних коливань

Незалежно від умов і фізичної природи величини ξ(t) рівняння гармонічних коливань (1.4) є розв’язком єдиного диференціального рівняння. Його можна установити, знайшовши першу та другу похідні функції ξ(t):

\(\frac{\mathrm{d}\xi}{\mathrm{d}t}=-\omega{A}\sin(\omega{t}+\varphi_{0}) \) \( \Rightarrow \) \( \frac{\mathrm{d}^2\xi}{\mathrm{d}t^2}=-\omega^{2}A\cos (\omega{t}+\varphi_{0}) \)_.

Як видно, вираз другої похідної містить вихідну функцію (1.4), отже,

Отримане співвідношення є критерієм (достатньою умовою) гармонічних коливань:

якщо в будь-який момент часу друга похідна даної величини по часу виявляється прямо пропорційною самій величині і має протилежний знак, то ця величина здійснює гармонічні коливання, а коефіцієнт пропорційності дорівнює квадратові циклічної частоти коливань.

Мовою математики вираз (1.17) є звичайним однорідним диференціальним рівнянням другого порядку із постійними коефіцієнтами, яке прийнято записувати у вигляді:

У математиці доводиться, що розв’язками такого рівняння можуть бути тільки гармонічні функції. Тому рівняння (1.18) є диференціальним рівнянням гармонічних коливань.

Контрольні запитання

1. Які фізичні процеси називаються коливаннями? За якими ознаками класифікують коливання?

2. Назвіть умови існування вільних і вимушених коливань. Чи може однорідний диск, який закріплений на осі, що проходить через його центр, здійснювати вільні коливання? Вимушені коливання?

3. Які коливання називаються гармонічними та якими величинами вони характеризуються?

4. Що визначає амплітуда коливань? Чи може вона бути від’ємною?

5. Які величини визначають повторюваність коливального процесу в часі? Який вони мають зміст і як пов’язані між собою?

6. Чи можна довільні періодичні коливання характеризувати періодом T? Лінійною частотою ν? Циклічною частотою ω?

7. Чому гармонічні коливання можна зображувати векторами? Як у цьому способі відображається амплітуда коливань? Початкова та поточна фаза?

8. Чому гармонічні коливання можна зображувати комплексними експонентами?

9. Що таке комплексна амплітуда коливань? Яку інформацію вона містить?

10. Коли використання векторного або комплексного способів зображення гармонічних коливань є продуктивним?

11. Що таке биття? За якої умови вони спостерігаються?

12. Що таке фігури Лісажу? За якої умови вони спостерігаються?

13. Сформулюйте критерій гармонічних коливань і запишіть його математичний вираз.