physics.zfftt.kpi.ua

Задача 2.1. Сила електричного струму I у провіднику змінюється з часом t, як показано на графіку I(t). Визначити заряд q, який проходить провідником за перші 5 с.

Задача 2.2. За борівською моделлю атома електрон в атомі Гідрогену рухається навколо ядра по коловій орбіті радіуса R = 53 пм. Заряд електрона e = 1,6·10^–19 Кл, маса m = 9,1·10^–31 кг. Визначити силу еквівалентного струму I, що створюється цим рухом.

Задача 2.3. Густина струму в мідній дротині  складає j = 1 А/мм². Оцінити шлях S, який проходить кожен носій струму за час переміщення уздовж дротини на відстань l = 5 мм при температурі 20°С, прийнявши їхню концентрацію на рівні концентрації атомів.

Задача 2.1

Сила електричного струму I у провіднику змінюється з часом t, як показано на графіку. рис. 1.

Визначити

заряд q, який проходить провідником за перші 5 с.

Розв’язання

При зміні сили струму з часом порція заряду \(\Delta{q_{k}}\), що в якийсь момент t_k проходить провідником за малий проміжок часу \(\Delta{t_{k}}\), наближено складає

\(\Delta{q}_{k}\approx{I}(t_{k})\cdot\Delta{t}_{k}\)

і чисельно дорівнює площі відповідної вузької смужки на графіку I(t) шириною Δt_k, рис. 1. Відповідно, заряд за весь заданий час наближено визначається  сумарною площі таких смужок:

$q\approx \sum\limits_{k}{{{I}_{k}}\Delta {{t}_{k}}}$.

Зрозуміло, що при при зменшенні інтервалів \(\Delta{t_{k}}\) похибка розрахунку зменшується, тож точна величина q чисельно дорівнює площі виділеної ділянки графіка I(t), котра, як видно з рис. 1, утворює з осями координат дві стичні трапеції. Тож, обчисливши їхню сумарну площу за даними умови, дістанемо таку відповідь:

\(q=1,05\) (Кл).

 Задача 2.2

За борівською моделлю атома електрон в атомі Гідрогену рухається навколо ядра по коловій орбіті радіуса R = 53 пм (рис. 2). Заряд електрона e = 1,6·10^–19 Кл, маса m = 9,1·10^–31 кг.

Визначити

силу еквівалентного струму I, що створюється цим рухом.

Розв’язання

Згідно із завданням, йдеться про величину заряду  q, який за одиницю часу переноситься електроном крізь розташовану на його шляху уявну площинку при обертанні навколо ядра. Отже,

де n – частота обертання, тобто кількість обертів електрона по орбіті за 1 с.

Величину n не важко знайти, позаяк вона визначається доцентровим прискоренням ([І], ф-ла (1.28)) електрона, котре дорівнює відношенню сили його притягання до ядра (формула (1.3)) та масою. Тож

Відтак за виразом (1) знаходимо відповідь:

$I=\frac{{{e}^{2}}}{2\pi R}\sqrt{\frac{k}{mR}}$,

де k = (1/4πε₀) = 9·10⁹ м/Ф.

Обчислення дають:

І = 1,05·10^–3 А ≈ 1 мА.

 Задача 2.3.

Густина струму в мідній дротині  складає j = 1 А/мм².

Оцінити

шлях S, який проходить кожен носій струму за час переміщення уздовж дротини на відстань l = 5 мм при температурі 20°С, прийнявши їхню концентрацію на рівні концентрації атомів.

Розв’язання

Упорядкований рух носіїв струму в металах, якими є вільні електрони, відбувається на тлі їхнього хаотичного теплового руху і в певному сенсі нагадує повільне зміщення (дрейф) рою комах під дією легкого вітерцю. Тому швидкість упорядкованого руху носіїв, яку називають дрейфовою швидкістю, є характеристикою не окремих носіїв, а всієї їхньої сукупності. Що ж до поодиноких носіїв, то через хаотичність теплового руху пройдений кожним із них шлях S набагато перевищує зміщення l уздовж провідника і складає

S = vt,

де v – середня швидкість теплового руху носіїв, і t = (l/u) – час їхнього переміщення (дрейфу) вздовж провідника на відстань l із дрейфовою швидкістю u.  Отже шуканий шлях

Дрейфову швидкість u можна визначити з формули (2.4) як

через задані густину струму j і відомий заряд e та концентрацію носіїв n = (N/V), що визначається їхньою кількістю в якомусь виділеному об'ємі провідника.

Величину n можна визначити з основних положень молекулярно-кінетичної теорії ([II], розділ І, п. 1.1).  Дійсно, за умовою кількість носіїв у провіднику дорівнює кількості атомів N, отож складає

N = νN_А,

де ν (моль) – кількість речовини у провіднику, N_А – стала Авогадро (кількість атомів в одному молі). А об'єм

$V=\frac{m}{\rho }=\frac{\nu M}{\rho }$,

де ρ – густина, а m і M – маса виділеної частини провідника та молярна маса його речовини. Отже, для концентрації атомів, тож і носіїв струму, маємо

Відтак за формулою (2) визначаємо дрейфову швидкість u:

де e = 1,6·10^–19 Кл, N_А = 6,02·10²³ моль^-1, густина міді ρ =(m/V) = 8,9·10³ кг/м³, молярна маса M = 64·10³ кг/моль. Обчислення дають

u ≈ 10^–4 м/с = 0,1 мм/с.

Швидкість теплового руху носіїв (електронів) оцінимо за формулою середньоквадратичної швидкості частинок ідеального газу ([ІІ], ф-ла (1.9)):

\(v\approx\sqrt{\frac{3kT}{m}}\),

де k = 1,38·10^-23 Дж/К – стала Больцмана, m = 9,1·10^-31 кг – маса електрона, T = 293 К (20 °С). Тож

v ≈ 10⁵ м/с.

Відтак, за отриманими значеннями v i u з формули (1) знайдемо наступну оцінку шляху, який проходить окремий носій за час дрейфу уздовж провідника на відстань l = 5 мм:

S ≈ 5000 км.

Отже, цей вражаючий результат свідчить, що спрощене уявлення про рух носіїв струму вздовж провідника зі струмом є вельми умовним.