physics.zfftt.kpi.ua

Задача 3.1. На шальки важільних терезів поставили однакові закриті посудини із сухим та з вологим повітрям при однакових тиску й температурі. Визначити,  яка з посудин переважить.

Задача 3.2. Абсолютна вологість повітря вдень при температурі t₁ = 30°C дорівнює ρ₁ = 15 г/м³. Визначити його відносну вологість φ₁ вдень і абсолютну ρ₂ та відносну φ₂  вологості вночі при температурі  t₂ = 10°C.

Задача 3.3. Людина в окулярах входить знадвору, де температура повітря t₁ = 5 °C, до приміщення з температурою t₂ = 25 °C. Визначити, при якій найбільшій відносній вологості повітря в приміщенні \( {{\varphi }_{\m }}\) окуляри не запітніють.

Задача 3.4. Увечері температура повітря була t₁ = 20°C при відносній вологості φ₁ = 70 %, а під ранок  знизилася до t₂ = 10°C . Визначити масу роси m, що випала з кожного кубометра повітря.

Задача 3.5. У відкачаному циліндрі з поршнем міститься V₁ = 10 л вологого повітря при тиску P₁ = 13,3 кПа, температурі t = 20°C і вологості φ = 70%. Визначити тиск P₂ повітря в циліндрі після того, як його об'єм при сталій температурі зменшили в k = 10 разів.

Задача 3.6. Дистильовану воду без розчиненого повітря в посудині з чистими й гладкими стінками можна нагріти до температури, що суттєво перевищує 100°С. Така ''перегріта'' вода при якомусь збуренні, приміром слабкому поштовху чи потраплянні порошинки, вибухоподібно закипає одночасно по всьому об'єму й одразу набуває стандартн0ї температури кипіння. Знайти масу пари m_п, що в таким чином утворюється з перегрітої до t = 120°С води масою m = 1 кг води в закритій посудині об'ємом V = 1,2 л. Питома теплоємність води с = 4,2 кДж/(кг·К), питома теплота пароутворення r = 2,3 MДж/кг.

========================

Задача 3.1

На шальки важільних терезів поставили однакові закриті посудини  із сухим та з вологим повітрям при однакових тиску й температурі. 

Визначити,

яка з посудин переважить.

Розв’язання

За однакового тиску, об'єму та температури загальні кількості молекул в обох посудинах, згідно з формулою (1.13), теж однакові.  Але, тоді як сухе повітря майже повністю складається з азоту N₂ (молярна маса 28 г/моль) і кисню О₂ (молярна маса 32 г/моль), у вологому частина вказаних молекул є заміщена легшими молекулами води H₂O (молярна маса 18 г/моль). Отже, переважить посудина із сухим повітрям.

 Абсолютна вологість повітря вдень при температурі t₁ = 30°C дорівнює ρ₁ = 15 г/м³.

Визначити

його відносну вологість φ₁ вдень і абсолютну ρ₂ та відносну φ₂  вологості вночі при температурі  t₂ = 10°C.

Розв’язання

Відносна вологість дорівнює відношенню абсолютної вологості ρ до густини насиченої водяної пари ρ_н, що визначається з рівняння Клапейрона (1.14) через задану температуру й тиск Р_н як

${{\rho }_{\text{н}}}=\frac{{{P}_{\text{н}}}M}{RT}$.

Тож, узявши з таблиць значення Р_1н = 31,8 мм.рт.ст. при температурі  30°C,  дістанемо ρ_1н = 30,3 г/м³ , і за означенням (3.6) Р_2н = 9,2 мм.рт.ст. для  10°C, дістанемо:

φ₁ = 49,5%.

Так само за таблицями  при температурі 10°C  ρ_2н = 9,6 г/м³, що менше за задану величину ρ₁. Це означає, що з кожного кубометра повітря випаде 5, 4 г роси, й воно буде насиченим і матиме вологість

ρ₂ = 9,6 г/м³  і  φ₂ = 100%.

Задача 3.3

Людина в окулярах входить знадвору, де температура складає t₁ = 5 °C,  до приміщення з температурою t₂ = 25 °C.

Визначити,

при якій найбільшій відносній вологості повітря в приміщенні \( {{\varphi }_{\m }}\) окуляри не запітніють.

Розв’язання

Після того, як людина увійшла до приміщення, скельця окулярів ще деякий час зберігають температуру близьку до t₁ = 5 °C. Зрозуміло, що прилеглий шар повітря набуває такої самої температури. При цьому окуляри не запітніють, якщо  на скельцях не почнеться конденсація водяної пари, тобто за умови

де ρ і ρ_н1 – абсолютна вологість повітря в кімнаті та густина насиченої водяної пари при температурі t₁, відповідно. Відтак, виразивши в цьому співвідношенні за означенням (3.6) величину ρ через відносну вологість φ повітря в кімнаті та густину насиченої пари ρ_н2  при температурі t₂, для максимальної допустимої відносної вологості отримаємо:

За наявності таблиць густин насиченої пари можна відразу обчислити відповідь. В іншому випадку спочатку з рівняння Клапейрона (1.14) слід виразити величини ρ = (m/V) через відповідні тиски й температури та отримати:

\(\varphi_{max}=\frac{P_{н1}}{P_{н2}}\cdot\frac{T_{2}}{T_{1}}\).

Відтак, взявши з таблиць значення P_н1 = 0,87 кПа, P_н2 = 3,17 кПа, отримаємо

\(\varphi_{max}\approx0,29\) = 29 %.

Задача 3.4

Увечері температура повітря була t₁ = 20°C при відносній вологості \(\varphi_{1}\) = 70 %, а під ранок знизилася до t₂ = 10°C.

Визначити 

масу роси m, що випала з кожного кубометра повітря.

Розв’язання

Шукана величина m (кг/м³) дорівнює різниці густин водяної пари (абсолютних вологостей) при температурах t₁ і t₂:

Роса випадає, коли водяна пара в повітрі стає насиченою, тобто

а величина \(\rho_{1}\), відповідно до означення (3.1), дорівнює

Отже,

Тож, виразивши  (m/V) через тиски насиченої пари з рівняння Клапейрона (1.14), отримаємо:

\({m}=\frac{M}{R}\left(\frac{\varphi_{1}P_{н1}}{T_{1}}-\frac{P_{н2}}{T_{2}}\right)\).

Відтак, узявши з таблиць P_н1 = 2,33 кПа і P_н2 = 1,22 кПа та R = 8,31 Дж/(моль·К) і M = 18 г/моль, знайдемо:

m ≈ 2,7 г.

Задача 3.5

У відкачаному циліндрі з поршнем міститься V₁ = 10 л вологого повітря при тиску P₁ = 13,3 кПа,  температурі t = 20°C і відносній вологості φ = 70 %. 

Визначити

тиск в P₂ повітря в циліндрі після того, як його об'єм при сталій температурі зменшили в k = 10 разів.

Розв’язання

Може здатися, що задача є тривіальною, позаяк за законом Бойля-Маріотта добуток тиску на об'єм газу є сталим. Але це не так, бо в циліндрі міститься суміш сухого повітря та водяної пари, тиск якої при досягненні насичення перестає залежати від об'єму. Тож поведінку сухого повітря та пари треба аналізувати окремо.

Позначимо парціальний тиск сухого повітря як P_п і водяної пари як P_в . Тоді за законом Дальтона (1.12) початковий тиск сухого повітря

P_п1 = P₁ – P_в1,

де початковий тиск пари P_в1 визначається вологістю повітря φ та тиском насиченої пари Р_н:

Тож, ураховуючи означенням (3.6),

За умовою повітря в циліндрі стискається ізотермічно, тому тиск і об'єм змінюються за рівнянням (1.16б):  

$\frac{{{P}_{\text{2}}}}{{{P}_{\text{1}}}}=\frac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}\quad \Rightarrow \quad {{P}_{\text{2}}}=k{{P}_{\text{1}}}$,   де  k = $\frac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}$.

Звідси, врахувавши співвідношення (2), визначимо тиск сухого повітря:

Водяна пара в циліндрі теж стискається, але її парціальний тиск P_в не може бути більшим за тиск насиченої пари P_н. Ця величина, згідно з означенням (3.6), всього в (1/φ) ≈ 1,4 раза перевищує початковий тиск P_в1, тоді як об'єм зменшується в k = 10 разів. Це означає, що задовго до закінчення стискування вологого повітря пара почне конденсуватися при сталому парціальному тиску P_в2 = P_н. Величина  P_н є табличною. Тож з урахуванням виразу (3) шуканий кінцевий тиск у циліндрі Р₂ = P_п2 + P_в2 дорівнює:

\({P}_{2}=k(P_{с1}-\varphi_{1}P_{н})+P_{н}\).

За таблицями при t = 20 °C  P_н = 2,34 кПа. Тож, підставивши цю  та задані в умови величини в отриманий вираз, дістанемо наступну відповідь:

P₂ = 119 кПа.

З приводу отриманого результату варто зауважити таке. Хоча стискання повітря в циліндрі відбувалося при сталій температурі, тобто ізотермічно, при десятикратному зменшенні об'єму тиск збільшився тільки в 9 разів. Але це зовсім не означає порушення закону Бойля-Маріотта, тому що в даному випадку ізотермічне стискання не було  ''ізопроцесом'', бо  через конденсацію пари кількість газу не лишалася сталою.

Задача 3.6.

Дистильовану воду без розчиненого в ній повітря в посудині з дуже чистими й гладкими стінками можна з певними пересторогами нагріти до температури, що суттєво перевищує 100°С. Така ''перегріта'' вода при якомусь збуренні, приміром слабкому поштовху чи потраплянні порошинки, вибухоподібно закипає одночасно  по всьому об'єму й одразу набуває ''нормальної'' температури кипіння.

Знайти

масу пари m_п, що в таким чином утворюється з перегрітої до t = 120°С води масою m = 1 кг  в закритій посудині об'ємом V = 1,2 л. Питома теплоємність води с = 4,2 кДж/(кг·К), питома теплота пароутворення r = 2,3 MДж/кг.

Розв’язання

В описаному процесі пара утворюється за рахунок енергії, яку втрачає вся вода при охолоджені до "нормальної" температури. Отже, згідно з формулами (2.15) і (2.17),

$cm\Delta t=r{{m}_{\text{п}}}$    $\Rightarrow $    ${{m}_{\text{п}}}=\frac{cm\Delta t}{r}$

де Δt = 20°С – величина ''перегрітості'' води.

Обчислення дають

m = 36,5 г.

Проте ставити на цьому ''крапку'' було би необачно. Пара утворюється при температурі t₀ = 100°С в замкненому об'ємі V_п = 0,2 л, тож згідно з таблицями її максимальний парціальний тиск (тиск при насиченні) складає P₀ ≈100 кПа (760 мм.рт.ст.). Тому для контролю визначимо з рівняння Клапейрона (1.14) максимальну можливу масу пари за таких умов:

${{m}_{\max }}=\frac{{{P}_{0}}{{V}_{\text{п}}}M}{R{{T}_{0}}}$  ≈ 116 г.

Таким чином, отримане значення m = 36,5 г є коректним.